精品解析：北京市中国人民大学附中朝阳学校2025-2026学年高一上学期十月练习数学试卷（3-10班）

人大附中朝阳学校2025～2026学年度第一学期高一年级十月练习（3-10班） 试题 2025年10月 考生须知 1.本试卷分为Ⅰ、Ⅱ两卷，两大题共有22小题，共4页，满分150分；答题纸共6页，考试时长120分钟． 2.请将个人信息完整填写在答题纸密封线内，确保信息准确无误，“机读答题卡”学号是18825XXXX． 3.第Ⅰ卷各题均须用2B铅笔按规定要求在“机读答题卡”对应区域上作答，选项与题号要对应，填涂要规范，保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损，不得做任何标记． 4.第Ⅱ卷各题均须用黑色字迹的签字笔按规定要求在答题纸上作答． 第Ⅰ卷（共40分请将答案填涂在答题纸上） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知集合，若中恰有3个元素，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，真命题的是（ ） A. ，都有 B. ，使得 C. 任意非零实数，，都有 D. 函数的最小值为2 7. 已知不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，且，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 某班有名学生，有围棋爱好者人，足球爱好者人，同时爱好这两项的最多人数为，最少人数为，则（ ） A. B. C. D. 10. 若X是一个集合，是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X属于，属于；（2）中任意多个元素的并集属于；（3）中任意多个元素的交集属于，则称是集合X上的一个拓扑．已知集合，对于下面给出的四个集合： ①；②； ③；④； 其中是集合X上的拓扑的集合的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题部分共110分） 二、填空题：（本大题共6个小题，共30分，把答案写在答题纸上．） 11. 不等式的解集为________. 12. 已知集合，，若满足，则实数a的值为______． 13. 若则的最小值为_____________，此时_________． 14. 不等式在上恒成立，则m的取值范围是______． 15. 设，是关于x的方程的实数根，则的最大值为______，若两个实数根都在内，则实数a的取值范围是______． 16. 小华同学学完集合的基本运算后，自己定义了如下集合运算：且，小华列举了如下命题： ①任意集合 ②任意集合 ③任意集合 ④若，则 其中，所有正确命题的序号是__________. 三、解答题：（本大题共6个题，共80分，并把解题过程和答案规范书写在答题纸上．） 17. 设全集为，集合，． （Ⅰ）求集合． （Ⅱ）求． 18. 已知集合，集合． （1）若，求实数m的取值范围； （2）若，求实数m的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 19. 选用恰当的证明方法，证明下列不等式． （1）已知，且，求证：； （2）已知，求证：． 20. 为了减少碳排放，某公司革新技术，将其生产过程中产生的二氧化碳加工成副产品.已知该公司每月处理二氧化碳的量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）和处理量（吨）之间的函数关系式为，且每处理1吨二氧化碳所得的副产品价值为元. （1）该公司月处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最低？ （2）该公司按照以上方式处理二氧化碳，每月能否获利？若能，求出每月最大利润；若不能，求出每月最小亏损. 21. 已知，：． （1）当时成立，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 22. 以某些整数为元素的集合具有以下两个性质： ①中的元素有正整数，也有负整数；②若，则． （1）若，求证：； （2）求证：； （3）判断集合是有限集还是无限集？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人大附中朝阳学校2025～2026学年度第一学期高一年级十月练习（3-10班） 试题 2025年10月 考生须知 1.本试卷分为Ⅰ、Ⅱ两卷，两大题共有22小题，共4页，满分150分；答题纸共6页，考试时长120分钟． 2.请将个人信息完整填写在答题纸密封线内，确保信息准确无误，“机读答题卡”学号是18825XXXX． 3.第Ⅰ卷各题均须用2B铅笔按规定要求在“机读答题卡”对应区域上作答，选项与题号要对应，填涂要规范，保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损，不得做任何标记． 4.第Ⅱ卷各题均须用黑色字迹的签字笔按规定要求在答题纸上作答． 第Ⅰ卷（共40分请将答案填涂在答题纸上） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集、补集的定义计算可得. 【详解】解：因为，，所以， 又，所以； 故选：C 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定的结构形式可得正确的选项. 【详解】命题“，”的否定为：，”， 故选：C. 3. 已知，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举反例即可判断ABD，根据立方差公式即可求解C. 【详解】对于A，当时，，故A错误， 对于B，取，满足，但，故B错误， 对于C，由于， 故时，由于不同时为0，故不可能同时为0，故， 因此，故C正确， 对于D，若为负数，则无意义，故D错误， 故选：C 4. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】找出的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】，所以，“”“”，但“”“”， 所以，“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 5. 已知集合，若中恰有3个元素，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解集合A中的不等式，得到集合A，由中的元素，判断的取值范围. 【详解】等价于，解得， 又，， 若中恰有3个元素，则，所以， 即的取值范围为. 故选：C. 6. 下列命题中，真命题的是（ ） A. ，都有 B. ，使得 C. 任意非零实数，，都有 D. 函数的最小值为2 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，利用特殊值判断即可；对于B，当即可判断；对于C，令，即可判断；对于D，由基本不等式即可判断. 【详解】解：对于A，当时，，显然， 所以，都有成立为假命题. 对于B，显然当时，成立，故为真命题. 对于C，当时，则，故不成立，为假命题. 对于D，，当且仅当时，取等号，即，显然无解，即取不到最小值，故不成立，为假命题. 故选：B. 7. 已知不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据恒成立，转化为，即可根据分式不等式的求解得解. 【详解】由于对任意的恒成立，故， 进而， 故选：B 8. 已知，，且，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据一元二次不等式的解法，求得，再结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】由不等式，可化为， 解得，即集合， 因为集合 又因为，可得， 则满足，解得，即实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了根据集合的包含关系求参数，以及一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法求得集合是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 9. 某班有名学生，有围棋爱好者人，足球爱好者人，同时爱好这两项的最多人数为，最少人数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用集合分别表示围棋爱好者，足球爱好者，全班学生组成全集，利用Venn图易得结论． 【详解】设集合分别表示围棋爱好者，足球爱好者，全班学生组成全集，就是两者都爱好的，要使中人数最多，则，，要使中人数最少，则，即，，∴． 故选：D． 【点睛】本题考查集合的运算，考查Venn图的应用．属于基础题． 10. 若X是一个集合，是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X属于，属于；（2）中任意多个元素的并集属于；（3）中任意多个元素的交集属于，则称是集合X上的一个拓扑．已知集合，对于下面给出的四个集合： ①；②； ③；④； 其中是集合X上的拓扑的集合的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据新定义进行验证． 【详解】③不满足条件（1），，其他满足满足条件（1）； ①不满足条件（2），其中， ②④均满足． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题部分共110分） 二、填空题：（本大题共6个小题，共30分，把答案写在答题纸上．） 11. 不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】等价于且，然后解出即可. 【详解】因为，所以且 所以 故答案为： 【点睛】本题考查的是分式不等式的解法，较简单. 12. 已知集合，，若满足，则实数a的值为______． 【答案】－3 【解析】 【分析】根据交集定义，若，则且，从而讨论集合的情况，确定实数a的值. 【详解】由题意可得，且， 当时，解得， 此时，，，不符合题意，舍去； 当时，解得， 当时，，，中元素不满足互异性，不符合题意，舍去， 当时，，，，符合题意， 综上所述，， 故答案为：－3. 13. 若则的最小值为_____________，此时_________． 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】 先判断和，再根据基本不等式求的最小值即可. 【详解】解：因为，所以，， 所以 当且仅当即时，取等号， 所以的最小值是8. 故答案为：①8；② 14. 不等式在上恒成立，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】结合函数图象列关系式求解. 【详解】设，则在恒成立， 因为函数开口向上，若与轴无交点，则方程无实根， 所以，解得； 若与轴有交点，若在恒成立， 则，解得， 综上可知，, 所以的取值范围是. 故答案为：. 15. 设，是关于x的方程的实数根，则的最大值为______，若两个实数根都在内，则实数a的取值范围是______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】对①，由方程根的情况求范围，由韦达定理化简求最值；对②由函数图象特征列式求解. 【详解】因为是关于的方程的实数根， 所以，解得，且， 所以， 即的最大值为； 若两个实数根都在内，因为函数的对称轴为， 所以函数与轴在有两个交点，且， 由，解得， 所以实数的取值范围是. 故①：；②. 16. 小华同学学完集合的基本运算后，自己定义了如下集合运算：且，小华列举了如下命题： ①任意集合 ②任意集合 ③任意集合 ④若，则 其中，所有正确命题的序号是__________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由新定义的集合运算结合交集、子集等概念逐一判断每一个命题即可求解. 【详解】对于命题①，由新定义，若，则当且仅当且，而这显然不可能， 这表明了此时不存在，即，故命题①正确； 对于命题②，不妨设，由新定义，， 这表明了此时，故命题②不正确； 对于命题③，由新定义，若，则一定有且， 这表明了此时集合是集合的子集，即，故命题③正确； 对于命题④，若，则当且仅当，即若，则一定有， 由新定义，若，则当且仅当且，而这显然不可能， 这表明了此时不存在，即若，则，故命题④正确. 综上所述：所有正确命题的序号是①③④. 故答案为：①③④. 三、解答题：（本大题共6个题，共80分，并把解题过程和答案规范书写在答题纸上．） 17. 设全集为，集合，． （Ⅰ）求集合． （Ⅱ）求． 【答案】（1）（2）或． 【解析】 【详解】试题分析：（1）先求集合B,再根据数轴求集合．（2）求分别求集合A,B的补集，再利用数轴求交集． 试题解析：解：（Ⅰ）由题意得：，， ∴． （Ⅱ）或，或， ∴或． 18. 已知集合，集合． （1）若，求实数m的取值范围； （2）若，求实数m的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由元素在集合中得不等式组，解不等式即可求参数的范围； （2）当时，先求出和两种情况下取值，再求其补集可得； （3）先由题意得到是的真子集，再分和两种情况，当时利用集合的包含关系解不等式组可得. 【小问1详解】 因为， 所以，解得， 所以实数m的取值范围. 【小问2详解】 若时， 当时，即，可得； 当时，需满足或， 解得（舍）或，即， 所以时可取其补集为. 【小问3详解】 若是的充分不必要条件，所以到是的真子集， 当时，由（2）可得； 当时，，即， 又（等号不同时取），解得， 又，所以. 综上，实数m的取值范围为. 19. 选用恰当的证明方法，证明下列不等式． （1）已知，且，求证：； （2）已知，求证：． 【答案】（1）证明： 由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； （2）证明： ， 因为，所以，所以， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）由题设，应用基本不等式证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 20. 为了减少碳排放，某公司革新技术，将其生产过程中产生的二氧化碳加工成副产品.已知该公司每月处理二氧化碳的量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）和处理量（吨）之间的函数关系式为，且每处理1吨二氧化碳所得的副产品价值为元. （1）该公司月处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最低？ （2）该公司按照以上方式处理二氧化碳，每月能否获利？若能，求出每月最大利润；若不能，求出每月最小亏损. 【答案】（1） （2）能获利，最大利润为 【解析】 【分析】（1）根据月处理成本（元）和处理量（吨）之间的函数关系式可得，再根据基本不等式可得解； （2）设利润为，则，再根据二次函数性质可得最值. 【小问1详解】 由已知月处理成本（元）和处理量（吨）之间的函数关系式， 则每吨的平均处理成本为， 当且仅当，即时取等号， 即当月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低； 【小问2详解】 设利润为，则， 又， 则当时，取最大值为， 该公司按照以上方式处理二氧化碳，每月能获利，且最大利润为. 21. 已知，：． （1）当时成立，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）(－3，2)；（2）. 【解析】 【分析】（1）由得含的不等式，解之得的取值范围； （2）把是的充分不必要条件转化为由，进而求出实数的取值范围． 【详解】解：（1）， ，， 实数的取值范围为：． （2）， 设，， 是的充分不必要条件， ①由（1）知，时，，满足题意； ②时，，满足题意； ③时，，满足题意； ④或时，设， 对称轴为，由得 或， 或， 或， 或 综上可知： 22. 以某些整数为元素的集合具有以下两个性质： ①中的元素有正整数，也有负整数；②若，则． （1）若，求证：； （2）求证：； （3）判断集合是有限集还是无限集？请说明理由． 【答案】（1）由②若则可得： 若，则，； （2）由①，可设且；即为正整数，为正整数，由②可知，个相加属于集合，即，同理，个相加属于集合，即，； （3）集合为无限集；理由如下： 判断：集合为无限集． 假设集合为有限集，则集合中必最大值，且最大值为正数，不妨设最大值为， 由（2）若，，则可得：与集合的最大值为矛盾， 所以集合为无限集． 【解析】 【分析】（1）设，得，进一步得到； （2）设，进一步得到，同理得到，从而得到； （3）利用反证法进行证明，从而得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $