第十二章二次根式 分类专项训练 2024——2025学年苏科版八年级数学下册

二次根式的定义 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式. 2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数. 1. 二次根式的被开方数可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足； 2. 二次根式的两个要素：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数； 3. 形如的式子也是二次根式，表示b与的乘积，当b为带分数或小数时，要写成假分数的形式； 4. 在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了. 5.“”中的“2”可以省略，“”表示三次根式，不可省略 例题 下列各式:， (b2) , , , ,其中是二次根式的个数有（ ） A．2个 B．3个 C．4个. D．5个 2. 二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件是，由于负数没有平方根，所以当时，就无意义. 1. 单个二次根式，如有意义的条件是； 2. 二次根式相加，如有意义的条件是； 3. 二次根式作为分母时，如有意义的条件是； 4. 二次根式与分式相加，如有意义的条件是. 1．（2025•番禺区三模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是　 　 ． 2．（2025•太和县三模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　 　 ． 3．（2025春•日照校级期中）如果有意义，那么字母x的取值范围是　 　 ． 根据二次根式有意义条件求值 4． （2025•连云港校级二模）已知，则3x+y的值为 　 　 ． 5．（2025•安州区开学）（1）若x、y都是实数，且满足y1，试化简代数式：|x﹣1|． （2）设a、b、c为△ABC的三边，化简：． 6．（2025春•寻乌县期末）（1）【问题情景】请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求x、y的值． 解：由已知得：，解得x＝　 　 ，y＝　 　 ； （2）【尝试应用】若x，y为实数，且，则　 　 ； （3）【拓展创新】已知，求（m+n）2的值． 二次根式的性质 1.≥0，（≥0）； 注：“”表示的是算术平方根 2. （≥0）；非负数的算术平方根的平方等于它本身，（隐含条件：a大于等于0） 3.. 注：（）2与的区别 ：（）2隐含a≥0的条件，结果为a；中a可正可负，结果为 当一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它本身，记为； 当一个数为负数时，它的平方的算术平方根等于它的相反数，记为. 注意（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（）， 如（）. （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；=，=（）. 8． （2025春•沙坪坝区校级期中）已知一个三角形的三边长分别为3、a、6，化简：　 　 ． 9．（2025春•西城区校级期中）在学习了二次根式一章后，老师给甲同学出了这样一道思考题： 求的值． 甲同学认真分析了式子的结构，做出如下解答： 设，两边平方得： ． 即， x2＝10，∴． ∵，∴． 请你参考上述方法，求的值． 10．（2025春•浦北县期中）阅读材料：形如式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有． 例如：化简． 解：． 由于4+3＝7，4×3＝12，即，， 所以． 请根据以上材料解答下列问题： （1）化简：①； ②； （2） 计算：． 11．（2025春•永吉县期末）先阅读理解，再回答问题： ①∵，12，∴的整数部分为1． ②∵，23，∴的整数部分为2． ③∵，34，∴的整数部分为3． … （1）填空：的整数部分是 　 　 ； （2）a，b分别是4的整数部分和小数部分； ①分别写出a、b的值； ②求5ab﹣b2的值． 12．（2025春•郧阳区期末）规律探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题：；是△OA1A2的面积）； ；是△OA2A3的面积）； ；是△OA3A4的面积）； … （1）推算出 　 　 ，S5＝ 　 　 ； （2）用含有n（n为正整数）的等式Sn＝ 　 　 ； （3）求出的值． 13．（2025春•磁县期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为正整数），则有， ∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值； （3）化简：． 14．（2025春•黄石月考）（1）当2≤a≤5时，化简；　 　 ； （2）若，求a的值； （3）已知实数a，b满足，求a2+b2的最大值． 二次根式性质与数轴 1．（2025春•湖北期中）若实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．2﹣a B．a+b﹣2 C．2﹣a﹣b D．a﹣2 2．（2025春•璧山区校级期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 　 　 ． 3．（2025春•花山区校级期中）（1）通过计算下列各式的值探究问题 　 　 ； 　 　 ； 　 　 ． 综上，对于任意有理数a， 　 　 ． （2）应用（1）所得的结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应化简： 化简：|a+b|． 与关系的综合应用 解题技巧：此类题型，需要关注2点：1）被开放数大于等于0；2）分母不能为0. 【例】）把x根号外的因式移到根号内，得（　　） A． B． C． D． 变式1．化简二次根式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 1．（2025春•利津县月考）化简二次根式的结果是 　 　 ． 2.（2024秋•东坡区期末）把根号外的因式移入根号内，其结果为 　 　 ． 最简二次根式与同类二次根式 （1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；如； （2）被开方数中不含有分母；如 （3）分母中不含有根号.如== 注：分母中的被开方数去掉后，要注意分子二次根式是否还能被开方。如=== 2） 分母含有二次根式化简为最简二次根式步骤： ①分母、分子同乘（分母的二次根式）；②分母去掉二次根式，并观察分子的形式，看能否在开方；③化简为最简二次根式 3）几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式。 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 1.（2025•新华区校级三模）若，其中为最简二次根式，A为有理数，n＝　 　 ． 2.（2025春•龙口市校级期中）已知A＝2，B，C，其中A，B都是最简二次根式，且A+B＝C，分别求出a和x的值． 3．（2025春•莱阳市期末）已知，，，A，B为最简二次根式，且A+B＝C，求代数式的值． 利用最简二次根式（同类二次根式）求参数值 1（2025春•安远县校级月考）若最简二次根式与能合并，则x＝　 　 ． 2（2025春•仙游县月考）如果最简根式与能够进行合并，则a﹣b＝　 　 ． 3（2025春•集宁区校级月考）若与都是最简二次根式，并且是同类二次根式，则m+n＝　 　 ． 4．（2025春•乐陵市校级月考）如最简二次根式与能进行合并，且a≤x≤2a，化简：| 　 　 ． 二次根式的乘除 二次根式的乘法法则 1）二次根式乘法法则：=（a≥0，b≥0） 扩展：=（a≥0，b≥0，c≥0） 2)积的算术平方根：=（a≥0，b≥0） 积的算术平方根是二次根式乘法的逆运算，常用在化简当中。如：==3 注：若a≤0且b≤0，则=。 二次根式的除法 1) 二次根式的除法法则： 注：①的前提条件是a≥0，b＞0；②当存在带分数时，应先化成假分数，再进行计算。 2)商的算术平方根：（a≥0，b＞0）。商的算术平方根是二次根式除法的逆运算，常用在化简当中。 注：若a≤0且b＜0，则。 1．（2025春•商南县期末）设a，b，请用含有a、b的式子表示　 　 ． 2．（2025春•武陟县期中）化简：　 　 ． 3.（2025春•白云区校级期中）化简的结果是 　 　 ． 4．（2025春•颍上县期末）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如： 等． 【猜想】（1）　 　 ，并证明你的猜想； 【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，n≥2）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），则a+b的值为　 　 ． 5．（2025春•襄城县期末）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简：， 解：隐含条件1﹣2x≥0，解得：． ∴1﹣x＞0， ∴原式＝（1﹣2x）﹣（1﹣x）＝1﹣2x﹣1+x＝﹣x． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，隐含的条件是：x　 　 ． （2）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （3） 已知a，b，c为△ABC的三边长．化简：． 6．（2024春•丰台区校级期中）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息成为显性条件；而有的信息不太明显需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 【阅读理解】 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：（）2﹣|1﹣x| 解：隐含条件1﹣3x≥0，解得：x ∴1﹣x＞0 ∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x） ＝1﹣3x﹣1+x ＝﹣2x 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：（）2； 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|b﹣a|． 分母有理化的应用 把分母中的根号化去，叫做分母有理化.分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号. 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式. 在二次根式的运算过程中，最后结果一般要求分母中不含二次根式，把分母中的根号去掉的过程称为分母有理化。常见的分母有理化的形式有两种： （1） （2） 熟记一些常见的有理化因式： 的有理化因式是； 的有理化因式是； 的有理化因式是； 的有理化因式是； 【例1】（1）的有理化因式是___________． （2）的一个有理化因式是__________． （3）写出2﹣3的一个有理化因式：_____． 【例2】（1）分母有理化后得__________． （2）化简：______． （3）分母有理化：. 举一反三 1.+的一个有理化因式是_______. 2.的有理化因式是__________． 3.分母有理化：_________． 1．（2024秋•武冈市期末）阅读下列解题过程：2； 22； 请解答下列问题： （1）观察上面解题过程，计算； （2）请直接写出的结果．（n≥1） （3）利用上面的解法，请化简：． 2．（2025春•芜湖校级期末）数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是数学老师选出的两道题和她自己编写的一道题，先阅读，再回答问题． （1）小青编的题： 观察下列等式： ； ． 直接写出以下算式的结果：　 　 ． （2）小明编的题： 由二次根式的乘法可知： ．．； 再根据平方根的定义可知．．． 直接写出以下算式的结果：　 　 ． （4） 数学老师编的题：根据你的发现，完成以下计算：（）． 3．（2024春•高港区校级月考）（1）若x、y都是实数，且，求x+3y的平方根； （2）已知，求2x2+2y2﹣xy的值． 二次根式的加减运算 1）二次根式的加减：先将二次根式化简为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行相加减 分析：①在进行二次根式加减运算时，要化简为最简二次根式 ②类似于同类项合并。二次根式加减运算也是合并同类最简二次根式 ③不是同类二次根式不能合并 用公式表示为：． 注：+是可以合并的，因为不是最简二次根式，化简为二次根式为2，所以+=+= 二次根式的混合运算 顺序;先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的. （1）型，运用分配律化简. （2）型，可类比多项式乘多项式进行计算，即 （3） （4） （5） 利用二次根式性质求代数式的值 1．（2025春•秀洲区校级月考）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为：，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答；因为（）×（）＝（）2﹣（）2＝18﹣x﹣11+x＝7，又因为，所以． （1）已知：，则x的值是　 　 ； （2）计算： 　 　 ． 2（2025春•衡南县月考）若，则m2﹣2m﹣2014＝　 　 ． 3（2025春•凉州区校级期末）已知，则代数式的值为 　 　 ． 4．（2025春•霍邱县期中）小芳在解决问题：已知a，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的： a2，∴a＝2， ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： （1）计算：． （2）若a． ①求4a2﹣8a﹣1的值； ②求3a3﹣12a2+9a﹣12的值． 5．（2025春•海淀区校级期中）已知，分别求下列代数式的值： （1）a2b+ab2； （2）a2+3ab+b2． 6．（2025春•日喀则市期末）已知，，求下列各式的值： （1）x2﹣y2； （2）xy． 7．（2025春•湖北期中）问题：已知，求2a2﹣8a+1的值． 小明是这样分析与解答的： ∵ ∴， ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3 ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题： （1）　 　 ； （2）计算：； （3）若，求a3﹣3a2+2a的值． 8．（2025春•日照校级期中）已知a2，b2，求下列代数式的值： （1）ab2+ba2； （2）a2﹣2ab+b2； （3）a2﹣b2． 9．（2025春•西藏期末）已知a＝3+2，b＝3﹣2，分别求下列代数式的值： （1）a2﹣b2； （2）a2﹣3ab+b2． 10（2025秋•市中区校级月考）若，求a2﹣4a+4的值为　 　 二次根式的应用 1．（2025春•海淀区校级期中）如图将边长分别为1和2的两个正方形剪拼成一个较大的正方形，则大正方形的边长是 　 　 ． 2（2025•湖南模拟）魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到了“不加借算”开平方的方法：．当a取正整数且|r|最小时，用“不加借算”的方法计算约为　 　 ，用“不加借算”的方法计算面积为的等边三角形区域的边长约为　 　 m．（精确到0.01） 3．（2025春•日照校级期中）【阅读下列材料】： 若a＞0，b＞0，则，，∴．（注：）∵0，a+b﹣20，∴a+b≥2．“a+b≥2”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当a＝b时，取等号．） 【例】：若a＞0，b＞0，ab＝16，求a+b的最小值． 解：∵a＞0，b＞0，ab＝16，∴a+b﹣20， ∴a+b≥28． ∴a＝b＝4时，a+b的最小值为8． 【解决问题】 （1）用篱笆围成一个面积为100m2的长方形菜园（一面靠墙，墙足够长），当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； （2）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOD、△BOC的面积分别为2和3，求四边形ABCD面积的最小值． 4．（2025春•信阳月考）【阅读材料】我们在学习二次根式的时候会发现：利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方公式． 例如：． 【问题解决】 （1）已知，a为整数，则a的值为　 　 ； （2）化简：； （3）已知，a和b均为整数，则a，b的值为　 　 ． 5．（2025秋•市中区校级月考）我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：，∴的算术平方根是．你看明白了吗？请根据上面的方法化简：（直接写出结果，结果化成最简）． （1）　 　 ； （2）　 　 ； （3）在Rt△ABC中，，那么BC边的长为多少？ 6．（2025春•曲靖期末）已知实数a、b满足，， （1）求a2+b2的值； （2）试比较的值与3的大小． 二次根式比较大小的三种方法 二次根式的估值 一般步骤：1）先对二次根式进行平方，如； 2）找出与平方后所得数相邻的两个完全平方数，如4<6<9； 3）对这两个完全平方数开方，如，； 4）这个二次根式的值在这两个相邻整数之间，如。 类型一、直接平方法比较大小 方法指引：先将两个根式各自平方，然后比较平方后的大小，再判断原数的大小 对于两个正的二次根式，把根号前的系数平方后放进根号里去，比较被开方数的大小。 例．比较的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 类型二、分母有理化（分子有理化）比较大小 方法指引：先将分式里分子中的根号化去后，再把结果进行比较，便可以判断原来的根式的大小． 例1．已知，，则a与b的大小关系是（ ）． A． B． C． D．无法确定 例2.设，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】比较大小：___ 【变式训练2】比较大小：________. 【变式训练3】比较大小：﹣__﹣ ． 类型三、做差法或作商法比较大小 方法指引：求差与0作比较。 方法指引：求商与1作比较。 例．设A＝，B＝，则A、B中数值较小的是_____． 【变式训练1】比较大小_____． 【变式训练2】若，，，则a，b，c的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【变式训练3】比较与的大小． 利用倒数比较法 方法指引：先比较倒数的大小，再比较原数的大小 例设a＝－，b＝2－，c＝－2，试比较a，b，c的大小． 混合运算 1．（2025春•宜昌期中）计算： （1）； （2）． 2．（2025春•齐河县期中）化简计算： （1）3； （2）； （3）； （4）． 3．（2025•朝阳区校级开学）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 4．（2025春•西城区校级期中）计算： （1）； （2）． 5．（2025春•德阳期末）计算： （1）． （2）． 6．（2025春•杭州校级期中）计算： （1）； （2）． 7．（2025春•西城区校级期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 8．（2025秋•市中区校级月考）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5） ． 9．（2025春•滨城区期末）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 10．（2025•铁东区校级开学）计算： （1）； （2） ． 参考答案与试题解析 一．选择题（共1小题） 题号 7 答案 A 一．二次根式有意义的条件（共6小题） 1．（2025•番禺区三模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是　x≥0且x≠4　 ． 【答案】x≥0且x≠4． 【解答】解：由条件可知， 解得， ∴实数x的取值范围是x≥0且x≠4． 2．（2025•太和县三模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　x　 ． 【答案】x． 【解答】解：由题可知， ﹣2x﹣1＞0， 解得x． 故答案为：x． 3．（2025春•日照校级期中）如果有意义，那么字母x的取值范围是　x≥1且x≠2　 ． 【答案】x≥1且x≠2． 【解答】解：由二次根式的被开方数是非负数、分母不为零得：x﹣1≥0且2﹣x≠0， 解得：x≥1且x≠2， 故答案为：x≥1且x≠2． 4．（2025•连云港校级二模）已知，则3x+y的值为 　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【解答】解：由题意得， 解得：x＝﹣3， 则y＝7， ∴3x+y＝3×（﹣3）+7＝﹣2． 故答案为：﹣2． 5．（2025•安州区开学）（1）若x、y都是实数，且满足y1，试化简代数式：|x﹣1|． （2）设a、b、c为△ABC的三边，化简：． 【答案】（1）﹣1； （2）4c． 【解答】解：（1）因为x、y都是实数，且满足y1， 则， 所以x， 则y＞1． 所以|x﹣1| ＝|x﹣1|﹣|x﹣1| ＝﹣1． （2）因为a、b、c为△ABC的三边， 所以a+b+c＞0，b+c＞a，a+c＞b，a+b＞c， 所以 ＝|a+b+c|+|a﹣（b+c）|+|b﹣（a+c）|﹣|c﹣（a+b）| ＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c+c﹣a﹣b ＝4c． 6．（2025春•寻乌县期末）（1）【问题情景】请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求x、y的值． 解：由已知得：，解得x＝　2024　 ，y＝　2025　 ； （2）【尝试应用】若x，y为实数，且，则　1　 ； （3）【拓展创新】已知，求（m+n）2的值． 【答案】（1）2024；2025； （2）1； （3）49． 【解答】解：（1）由被开方数的非负性质可求得x＝2024，y＝2025； 故答案为：2024；2025； （2）由题意得， 解得x＝3， ∴y＞2， ∴； 故答案为：1； （3）由题意得， 解得mn＝10， ∴m+n＝7， ∴（m+n）2＝72＝49． 二．二次根式的性质与化简（共12小题） 7．（2025春•湖北期中）若实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．2﹣a B．a+b﹣2 C．2﹣a﹣b D．a﹣2 【答案】A 【解答】解：由图可知：a＜﹣1＜b＜2， ∴a﹣b＜0，2﹣b＞0， ∴原式＝|a﹣b|+|2﹣b| ＝b﹣a+2﹣b ＝2﹣a． 故选：A． 8．（2025春•沙坪坝区校级期中）已知一个三角形的三边长分别为3、a、6，化简：　2a﹣14　 ． 【答案】2a﹣14． 【解答】解：∵三角形的三边长分别为3、a、6， ∴6﹣3＜a＜6+3，即3＜a＜9， ∴2﹣a＜0，a﹣12＜0， ∴ ＝|2﹣a|﹣|a﹣12| ＝﹣（2﹣a）﹣[﹣（a﹣12）] ＝﹣（2﹣a）+（a﹣12） ＝﹣2+a+a﹣12 ＝2a﹣14， 故答案为：2a﹣14． 9．（2025春•璧山区校级期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 　b　 ． 【答案】b． 【解答】解：由数轴可知，a＜0，b＞0，|a|＞|b|， 原式 ＝|a|﹣|a+b| ＝﹣a﹣[﹣（a+b）] ＝﹣a+a+b ＝b， 故答案为：b． 10．（2025春•利津县月考）化简二次根式的结果是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：由题可知， 0， ∴a＜0， ∴． 故答案为：． 11．（2024秋•东坡区期末）把根号外的因式移入根号内，其结果为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵有意义， ∴x﹣1＜0， ∴x＜1， ∴（x﹣1）（x﹣1）． 故答案为：． 12．（2025春•西城区校级期中）在学习了二次根式一章后，老师给甲同学出了这样一道思考题： 求的值． 甲同学认真分析了式子的结构，做出如下解答： 设，两边平方得： ． 即， x2＝10， ∴． ∵， ∴． 请你参考上述方法，求的值． 【答案】． 【解答】解：设，两边平方得： ， 即， x2＝14， ∴， ∵， ∴． 13．（2025春•花山区校级期中）（1）通过计算下列各式的值探究问题 　4　 ； 　0　 ； 　1　 ． 综上，对于任意有理数a， 　|a|　 ． （2）应用（1）所得的结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应化简： 化简：|a+b|． 【答案】（1）4；0；1； （2）﹣a﹣3b． 【解答】解：（1）4；0；1； 综上，对于任意有理数a，|a|． 故答案为：4；0；1； （2）由数轴知，﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，a﹣b＜0，a+b＜0， ∴原式＝﹣a﹣b﹣（b﹣a）+（﹣a﹣b） ＝﹣a﹣b﹣b+a﹣a﹣b ＝﹣a﹣3b． 14．（2025春•浦北县期中）阅读材料：形如式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有． 例如：化简． 解：． 由于4+3＝7，4×3＝12，即，， 所以． 请根据以上材料解答下列问题： （1）化简：①； ②； （2）计算：． 【答案】（1）①； ②； （2）1． 【解答】解：（1）①∵3+1＝4，3×1＝3，即，， ∴； ②∵15+4＝19，15×4＝60，即，， ∴； （2）原式 ＝1． 15．（2025春•永吉县期末）先阅读理解，再回答问题： ①∵，12，∴的整数部分为1． ②∵，23，∴的整数部分为2． ③∵，34，∴的整数部分为3． … （1）填空：的整数部分是 　n　 ； （2）a，b分别是4的整数部分和小数部分； ①分别写出a、b的值； ②求5ab﹣b2的值． 【答案】（1）n；（2）①a＝1，b＝3；②． 【解答】解：（1）由题意，∵n2＜n（n+1）＜（n+1）2， ∴nn+1． ∴的整数部分是n． 故答案为：n． （2）①由题意，∵23， ∴﹣32． ∴1＜42． ∴4的整数部分为a＝1，4的小数部分为b＝3． ②由题意，将a＝1，b＝3代入5ab﹣b2得， 原式＝5×1×（3）﹣（3）2 ＝15﹣5（9﹣66） ＝15﹣59+66 ． 16．（2025春•郧阳区期末）规律探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题：；是△OA1A2的面积）； ；是△OA2A3的面积）； ；是△OA3A4的面积）； … （1）推算出 　6　 ，S5＝ 　　 ； （2）用含有n（n为正整数）的等式Sn＝ 　　 ； （3）求出的值． 【答案】（1）6，； （2）； （3）18． 【解答】解：（1）∵；是△OA1A2的面积）， ；是△OA2A3的面积）， ；是△OA3A4的面积）， …， ∴（Sn﹣1是△OAnAn+1 的面积）， ∴， 故答案为：6，； （2）∵；是△OA1A2的面积）， ；是△OA2A3的面积）， ；是△OA3A4的面积）， …， ∴， 故答案为：； （3）由（1）可知：，...，， ∴的 ... ... ... ... ... ＝2×（﹣1+10） ＝2×9 ＝18． 17．（2025春•磁县期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为正整数），则有， ∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　m2+6n2　 ，b＝　2mn　 ； （2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值； （3）化简：． 【答案】（1）m2+6n2，2mn； （2）a＝13或7； （3）． 【解答】解：（1）∵，， ∴a＝m2+6n2，b＝2mn． 故答案为m2+6n2，2mn； （2）∵，， ∴a＝m2+3n2，mn＝2， ∵m、n均为正整数， ∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1， ∴a＝13或7； （3）， 则原式 ． 18．（2025春•黄石月考）（1）当2≤a≤5时，化简；　3　 ； （2）若，求a的值； （3）已知实数a，b满足，求a2+b2的最大值． 【答案】（1）3； （2）a的值为﹣2或6； （3）25． 【解答】解：（1）由条件可知， 故答案为：3． （2）由可得，|a+1|+|a﹣5|＝8， 当a＜﹣1时，﹣（a+1）﹣（a﹣5）＝8， 解得a＝﹣2； 当﹣1≤a≤5时，a+1﹣（a﹣5）＝8，不成立； 当a＞5时，a+1+（a﹣5）＝8， 解得a＝6； ∴a的值为﹣2或6． （3）由条件可知|a﹣1|+|a+4|+|b+3|+|b﹣1|＝9， 又∵|a﹣1|+|a+4|≥5，当且仅当﹣4≤a≤1时取等号， |b+3|+|b﹣1|≥4，当且仅当﹣3≤b≤1时取等号， ∴|a﹣1|+|a+4|＝5，﹣4≤a≤1， 且|b+3|+|b﹣1|＝4，﹣3≤b≤1， ∴当a＝﹣4，b＝﹣3时，a2+b2取最大值为（﹣4）2+（﹣3）2＝25． 三．最简二次根式（共3小题） 19．（2025•新华区校级三模）若，其中为最简二次根式，A为有理数，n＝　3　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：A2， 则当n＝3时，A为有理数， 故答案为：3． 20．（2025春•龙口市校级期中）已知A＝2，B，C，其中A，B都是最简二次根式，且A+B＝C，分别求出a和x的值． 【答案】a＝2，x＝8． 【解答】解：∵A，B都是最简二次根式，且A和B是同类二次根式， ∴a+3＝3a﹣1， 解得：a＝2， ∴A＝2，B， ∴A+B＝3， ∵A+B＝C， ∴3， ∴5（x+1）＝45， ∴x＝8． 21．（2025春•莱阳市期末）已知，，，A，B为最简二次根式，且A+B＝C，求代数式的值． 【答案】3． 【解答】解：已知，，，A，B为最简二次根式，且A+B＝C， 则3x﹣1＝x+3， 解得：x＝2， 那么A，B＝3， 则A+B＝4， 那么7x+6y＝80， 即14+6y＝80， 解得：y＝11， 原式3． 四．二次根式的乘除法（共6小题） 22．（2025春•商南县期末）设a，b，请用含有a、b的式子表示　3ab　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵3，a，b， ∴3ab． 23．（2025春•武陟县期中）化简：　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：根据二次根式有意义的条件得x+2≥0， ∴x+5＞0， ∴， 故答案为：3． 24．（2025春•白云区校级期中）化简的结果是 　﹣2x　 ． 【答案】﹣2x． 【解答】解：∵， ∴﹣x≥0， ∴x≤0， ∴ ＝﹣x+（﹣x） ＝﹣2x， 故答案为：﹣2x． 25．（2025春•颍上县期末）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如： 等． 【猜想】（1）　　 ，并证明你的猜想； 【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，n≥2）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），则a+b的值为　71　 ． 【答案】【猜想】（1），证明见解析；【推理证明】（2）见解析；【创新应用】（3）71． 【解答】解：（1），证明如下， ， 故答案为：； （2），证明如下， ； （3）由条件可知a＝8，b＝a2﹣1， ∴b＝82﹣1＝63， ∴a+b＝8+63＝71， 故答案为：71． 26．（2025春•襄城县期末）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简：， 解：隐含条件1﹣2x≥0，解得：． ∴1﹣x＞0， ∴原式＝（1﹣2x）﹣（1﹣x）＝1﹣2x﹣1+x＝﹣x． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，隐含的条件是：x　≤1　 ． （2）按照上面的解法，试化简． 【类比迁移】 （3）已知a，b，c为△ABC的三边长．化简：． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）隐含条件1﹣x≥0，解得：x≤1， 故答案为：≤1； （2）由（1）可知：x≤1， ∴x﹣2＜0， （）2 ＝2﹣x﹣（1﹣x） ＝2﹣x﹣1+x ＝1； （3）∵a，b，c为△ABC的三边长， ∴a+b＞c，a+c＞b， ∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0， ∴ ＝a+b﹣c+a+c﹣b ＝2a． 27．（2024春•丰台区校级期中）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息成为显性条件；而有的信息不太明显需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 【阅读理解】 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：（）2﹣|1﹣x| 解：隐含条件1﹣3x≥0，解得：x ∴1﹣x＞0 ∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x） ＝1﹣3x﹣1+x ＝﹣2x 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：（）2； 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|b﹣a|． 【答案】（1）1； （2）﹣a﹣2b． 【解答】解：启发应用 （1）隐含条件2﹣x≥0， 解得：x≤2， 所以（）2 ＝3﹣x﹣（2﹣x） ＝3﹣x﹣2+x ＝1； 类比迁移 （2）从数轴可知：a＜0＜b，|a|＞|b|， 所以|b﹣a| ＝﹣a﹣（a+b）﹣（b﹣a） ＝﹣a﹣a﹣b﹣b+a ＝﹣a﹣2b． 五．分母有理化（共3小题） 28．（2024秋•武冈市期末）阅读下列解题过程：2； 22； 请解答下列问题： （1）观察上面解题过程，计算； （2）请直接写出的结果．（n≥1） （3）利用上面的解法，请化简：． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式； （2）归纳总结得：（n≥1）； （3）原式110﹣1＝9． 29．（2025春•芜湖校级期末）数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是数学老师选出的两道题和她自己编写的一道题，先阅读，再回答问题． （1）小青编的题： 观察下列等式： ； ． 直接写出以下算式的结果：　　 ． （2）小明编的题： 由二次根式的乘法可知： ．．； 再根据平方根的定义可知．．． 直接写出以下算式的结果：　　 ． （3）数学老师编的题：根据你的发现，完成以下计算：（）． 【答案】（1）； （2）； （3）10． 【解答】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）原式 ＝11﹣1 ＝10． 30．（2024春•高港区校级月考）（1）若x、y都是实数，且，求x+3y的平方根； （2）已知，求2x2+2y2﹣xy的值． 【答案】（1）（2）387． 【解答】解：（1）根据题意，得x﹣3≥0，3﹣x≥0， 得x﹣3＝0， 解得x＝3， 故y＝8， 故x+3y的平方根为； （2）根据题意，得， ， 故x+y＝﹣14，xy＝1， 故2x2+2y2﹣xy ＝2（x2+y2）﹣xy ＝2[（x+y）2﹣2xy]﹣xy ＝2（x+y）2﹣5xy ＝2×（﹣14）2﹣5 ＝387． 六．同类二次根式（共4小题） 31．（2025春•安远县校级月考）若最简二次根式与能合并，则x＝　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：若最简二次根式与能合并， 则2x+1＝3x﹣5， 解得x＝6， 故答案为：6． 32．（2025春•仙游县月考）如果最简根式与能够进行合并，则a﹣b＝　0　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：因为最简根式与能够进行合并， 可得：， 解得：， 所以a﹣b＝2﹣2＝0， 故答案为：0． 33．（2025春•集宁区校级月考）若与都是最简二次根式，并且是同类二次根式，则m+n＝　5　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵与都是最简二次根式，并且是同类二次根式， ∴m＝2，n﹣1＝2， 解得m＝2，n＝3， ∴m+n＝2+3＝5， 故答案为5． 34．（2025春•乐陵市校级月考）如最简二次根式与能进行合并，且a≤x≤2a，化简：| 　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：∵最简二次根式与能进行合并， ∴4a﹣5＝13﹣2a， 解得a＝3， ∵a≤x≤2a， ∴3≤x≤6， ∴x﹣2＞0且x﹣6≤0， ∴． 故答案为：4． 七．二次根式的化简求值（共10小题） 35．（2025春•秀洲区校级月考）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为：，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答；因为（）×（）＝（）2﹣（）2＝18﹣x﹣11+x＝7，又因为，所以． （1）已知：，则x的值是　﹣5　 ； （2）计算：　　 ． 【答案】（1）﹣5； （2）． 【解答】解：（1）（）（）＝20﹣x﹣4+x＝16， ∵8， ∴2， ∴210， ∴5， 解得x＝﹣5； 经检验，x＝﹣5是方程的解， ∴x＝﹣5， 故答案为：﹣5； （2） ， 故答案为：． 36．（2025春•衡南县月考）若，则m2﹣2m﹣2014＝　10　 ． 【答案】10 【解答】解：∵ ， ∴， ∴（m﹣1）2＝2025， ∴m2﹣2m+1＝2025， ∴m2﹣2m＝2024， ∴m2﹣2m﹣2014 ＝2024﹣2014 ＝10． 故答案为：10． 37．（2025春•凉州区校级期末）已知，则代数式的值为 　11　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解： ＝（a+b）（a﹣b）+2b+9 （a﹣b）+2b+9 2b+9 （a+b）+9 9 ＝11． 故答案为：11． 38．（2025春•霍邱县期中）小芳在解决问题：已知a，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的： a2，∴a＝2， ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： （1）计算：． （2）若a． ①求4a2﹣8a﹣1的值； ②求3a3﹣12a2+9a﹣12的值． 【答案】（1）﹣1； （2）①3； ②﹣18． 【解答】解：（1） 1... ＝﹣1； （2）①∵， ∴4a2﹣8a﹣1＝4a2﹣8a+4﹣4﹣1 ＝4（a2﹣2a+1）﹣5 ＝4（a﹣1）2﹣5 ＝4×（1﹣1）2﹣5 ＝4×2﹣5 ＝3， ∴4a2﹣8a﹣1的值为3； ②3a3﹣12a2+9a﹣12 ＝（3a3+9a）﹣（12a2+12） ＝3a（a2+3）﹣12（a2+1） ＝3×（1）（6+2）﹣12×（4+2） ＝﹣18， ∴3a3﹣12a2+9a﹣12的值为﹣18． 39．（2025春•海淀区校级期中）已知，分别求下列代数式的值： （1）a2b+ab2； （2）a2+3ab+b2． 【答案】（1）42； （2）43． 【解答】解：（1）由条件可得a2b+ab2 ＝ab（a+b） ＝6×7 ＝42； （2）原式＝a2+2ab+b2+ab ＝（a+b）2+ab ＝62+（9﹣2） ＝62+7 ＝43． 40．（2025春•日喀则市期末）已知，，求下列各式的值： （1）x2﹣y2； （2）xy． 【答案】（1） （2）4． 【解答】解：（1）∵，， ∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） ； （2）∵，， ∴xy ＝9﹣5 ＝4． 41．（2025春•湖北期中）问题：已知，求2a2﹣8a+1的值． 小明是这样分析与解答的： ∵ ∴， ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3 ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题： （1）　　 ； （2）计算：； （3）若，求a3﹣3a2+2a的值． 【答案】（1）； （2）22； （3）． 【解答】解：（1）由题意， ； 故答案为：； （2）原式 ＝22； （3）由题意，∵， ∴． ∴（a﹣1）2＝2， ∴a2﹣2a+1＝2， ∴a2﹣2a＝1， ∴a3﹣3a2+2a ＝a（a2﹣3a+2） ＝a（a2﹣2a﹣a+2） ＝a（1﹣a+2） ＝a（3﹣a） ＝﹣a2+3a ＝﹣（a2﹣2a）+a ＝﹣1+a ． 42．（2025春•日照校级期中）已知a2，b2，求下列代数式的值： （1）ab2+ba2； （2）a2﹣2ab+b2； （3）a2﹣b2． 【答案】（1）6； （2）16； （3）8． 【解答】解：∵a2，b2， ∴ab＝（2）（2）＝7﹣4＝3， a+b22＝2， a﹣b＝（2）﹣（2）＝4， （1）ab2+ba2＝ab（b+a）＝6； （2）a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝16； （3）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝8． 43．（2025春•西藏期末）已知a＝3+2，b＝3﹣2，分别求下列代数式的值： （1）a2﹣b2； （2）a2﹣3ab+b2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵a＝3+2，b＝3﹣2， ∴a+b＝（3+2）+（3﹣2）＝6，a﹣b＝（3+2）﹣（3﹣2）＝4， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6×424； （2）a2﹣3ab+b2 ＝（a﹣b）2﹣ab ＝（3+23+2）2﹣（3+2）（3﹣2） ﹣＝32﹣1 ＝31． 44．（2025秋•市中区校级月考）若，求a2﹣4a+4的值为　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：∵2， ∴原式＝（a﹣2）2 ＝（2﹣2）2 ＝5． 故答案为：5． 八．二次根式的应用（共3小题） 45．（2025春•海淀区校级期中）如图将边长分别为1和2的两个正方形剪拼成一个较大的正方形，则大正方形的边长是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意，∵小正方形边长分别为1和2， ∴拼成的大正方形的面积为12+22＝5， ∴拼成的大正方形的边长为． 故答案为：． 46．（2025•湖南模拟）魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到了“不加借算”开平方的方法：．当a取正整数且|r|最小时，用“不加借算”的方法计算约为　5.1　 ，用“不加借算”的方法计算面积为的等边三角形区域的边长约为　35.10　 m．（精确到0.01） 【答案】5.1；35.10． 【解答】解：由题意得： ； 如图，△ABC是等边三角形，过点A作AD⊥BC于点D， 设AB＝BC＝AC＝a， ∴， ∴， ∴， 由条件可得a2＝1232， ∴； 故答案为5.1；35.10． 47．（2025春•日照校级期中）【阅读下列材料】： 若a＞0，b＞0，则，，∴．（注：）∵0，a+b﹣20，∴a+b≥2．“a+b≥2”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当a＝b时，取等号．） 【例】：若a＞0，b＞0，ab＝16，求a+b的最小值． 解：∵a＞0，b＞0，ab＝16，∴a+b﹣20， ∴a+b≥28． ∴a＝b＝4时，a+b的最小值为8． 【解决问题】 （1）用篱笆围成一个面积为100m2的长方形菜园（一面靠墙，墙足够长），当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； （2）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOD、△BOC的面积分别为2和3，求四边形ABCD面积的最小值． 【答案】（1）这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； （2）． 【解答】解：（1）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为y米， 则xy＝100， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ， ∵当且仅当时，的值最小，最小值为， ∴或（舍去）， ∴这个长方形的两边分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； （2）设S△AOB的面积为a， 由条件可知2：a＝S△COD：3， ∴， ∴四边形ABCD的面积：， ∵a＞0， ∴当，即时，四边形ABCD的面积的最小值为：． 九．二次根式的混合运算（共13小题） 48．（2025春•信阳月考）【阅读材料】我们在学习二次根式的时候会发现：利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方公式． 例如：． 【问题解决】 （1）已知，a为整数，则a的值为　1　 ； （2）化简：； （3）已知，a和b均为整数，则a，b的值为　a＝2，b＝10或a＝10，b＝2　 ． 【答案】（1）1； （2）1； （3）a＝2，b＝10或a＝10，b＝2． 【解答】解：（1）， ∵， ∴a＝1， 故答案为：1； （2） ＝1； （3）， ∴a＝2，b＝10或a＝10，b＝2． 故答案为：a＝2，b＝10或a＝10，b＝2． 49．（2025秋•市中区校级月考）我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：，∴的算术平方根是．你看明白了吗？请根据上面的方法化简：（直接写出结果，结果化成最简）． （1）　1　 ； （2）　4　 ； （3）在Rt△ABC中，，那么BC边的长为多少？ 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解答】解：（1）原式 ， 故答案为：； （2）原式 ， 故答案为：； （3）根据题意，得 ． 50．（2025春•曲靖期末）已知实数a、b满足，， （1）求a2+b2的值； （2）试比较的值与3的大小． 【答案】（1）16； （2）． 【解答】解：（1）∵，， 原式＝（a+b）2﹣2ab ＝20﹣4 ＝16； （2）由条件可知，， ∴， ∵32＝9＜10， ∴， 即． 51．（2025春•宜昌期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）1． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ＝3﹣2 ＝1． 52．（2025春•齐河县期中）化简计算： （1）3； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）﹣2； （4）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ＝﹣2； （4）原式 ． 53．（2025•朝阳区校级开学）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）2； （4）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ＝1+2﹣1 ＝2； （4）原式 ． 54．（2025春•西城区校级期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2； （2）． 【解答】解：（1） ＝2； （2） ． 55．（2025春•德阳期末）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）0； （2）． 【解答】解：（1）原式 ＝1﹣1﹣2+2 ＝0； （2）原式 ． 56．（2025春•杭州校级期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2） ． 57．（2025春•西城区校级期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）1； （3）2； （4）． 【解答】解：（1）原式 ； （2） ＝3﹣4+2 ＝1； （3） ＝9﹣5﹣2 ＝2； （4） ． 58．（2025秋•市中区校级月考）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【答案】（1）； （2）； （3）20； （4）； （5）． 【解答】解：（1）原式； （2）原式 ； （3）原式； （4）原式 ； （5）原式 ． 59．（2025春•滨城区期末）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 60．（2025•铁东区校级开学）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）4； （2）． 【解答】解：（1）原式＝9﹣4﹣3+2 ＝4； （2）原式 ． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/13 13:52:22；用户：咚咚；邮箱：18012460991；学号：459 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $