第12章 二次根式（单元测试）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

第12章 《二次根式》（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）若成立，则x的值可以是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．3 4．（3分）下列二次根式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）把a根号外的因式移入根号内的结果是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）下列二次根式中，是同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 7．（3分）估计（2）的值应在（　　） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 8．（3分）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（　　） A．2b﹣2a+1 B．﹣2a﹣1 C．1 D．﹣2b﹣1 9．（3分）已知a+b＝﹣5，ab＝2，且a≠b，则的值是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）已知（m，n为两个连续奇数，0＜m＜n，q＝mn），则下列对p的表述中正确的是（　　） A．总是奇数 B．总是偶数 C．总是无理数 D．可能是有理数可能是无理数 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）计算：　　． 12．（3分）计算的结果是　　． 13．（3分）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是　　． 14．（3分）比较大小：　　（用＞，＜或＝填空）． 15．（3分）若x＝a，代数式的值为﹣1，则当x＝﹣a时，代数式的值为　　． 16．（3分）已知m是的小数部分，则的值为　　． 17．（3分）如果一个三角形的三条边长分别为，那么这个三角形的面积为　　． 18．（3分）若m满足关系式，则m＝　　． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19．（6分）计算： （1）； （2）； （3）． 20．（8分）已知：，分别求下列代数式的值： （1）a2b﹣ab2； （2）a2+ab+b2． 21．（8分）计算： （1）（3）×（32）； （2）（1）×（1）； （3）62x（x＞0）； （4）•（）÷3（x＞0，y＞0）． 22．（8分）高空抛物严重威胁着人们的头顶安全，即便是常见小物件，一旦从高空落下，其威力也惊人，而且落地用时很短，行人常常来不及避让．据研究，从高度为h（单位：m）的高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h满足关系式（不考虑风速的影响，g的值取10m/s2），已知小杰家所住楼层的高度是20m． （1）假如一个物品从小杰家抛出，求该物品落地的时间． （2）小华说他家所住楼层的高度是小杰家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小杰家抛出，从他家抛出的物品落地所需要的时间是从小杰家抛出的物品落地所需时间的2倍，小华的说法正确吗？请说明理由． 23．（8分）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用（1）来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： （1）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （2）已知：，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值． 24．（8分）观察下列等式： 1①； ②； ③； 回答下列问题： （1）　　； （2）　　；（n为正整数） （3）A题：利用上面所揭示的规律计算： ； B题：拓展升华：若x，求x2﹣xy+y2的值． 25．（10分）如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该如何计算它的面积呢？ 我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：（秦九韶公式）． 古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了如下公式：（海伦公式），其中.请使用这两个公式解决下面的问题： （1）如果一个三角形的三边长依次为，，那么它的面积为　　； （2）如图，在△ABC中，已知AB＝5，BC＝6，AC＝7． ①△ABC的面积为　　； ②作AD⊥BC于点D，求CD的长． （3）小明发现这两个公式本质上是一样的，请你说明理由． 26．（10分）材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设x+2＝t，则x＝t﹣2． ∴原式 ∴ ∴分式就拆分成一个整式（x﹣5）与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当a＞0，b＞0时，∵（）2+（）2＝（）2+2 ∴当，即a＝b时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： （1）参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； （2）已知分式的值为整数，求整数x的值； （3）当﹣1＜x＜1时，求代数式的最小值　　． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 《二次根式》（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：A、是二次根式，符合题意； B、无意义，不是二次根式，不合题意； C、的根指数是3，不是二次根式，不合题意； D、当a＜0时，无意义，不是二次根式，不合题意． 故选：A． 2．（3分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：根据最简二次根式定义逐项分析判断如下： A、中被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不合题意； B、中被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、中被开方数含有因数4，故不是最简二次根式，不合题意． 故选：C． 3．（3分）若成立，则x的值可以是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．3 【详解】解：∵若成立， ∴，解得：﹣1≤x＜2， ∴x的值可以是0． 故选：B． 4．（3分）下列二次根式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：2，故A错误； ，故B正确； 2，故C错误； 不能合并，故D错误． 故选：B． 5．（3分）把a根号外的因式移入根号内的结果是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：∵a＜0， ∴a． 故选：B． 6．（3分）下列二次根式中，是同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【详解】解：A、，，∴与是同类二次根式，故符合题意； B、ab，∴与不是同类二次根式，故不合题意； C、2a，∴与不是同类二次根式，故不合题意； D、，ab，∴与不是同类二次根式，故不合题意． 故选：A． 7．（3分）估计（2）的值应在（　　） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【详解】解：， ∵， ∴． 故选：B． 8．（3分）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（　　） A．2b﹣2a+1 B．﹣2a﹣1 C．1 D．﹣2b﹣1 【详解】解：由数轴可得：﹣1＜b＜0＜1＜a， ∴b﹣a＜0，b+1＞0， ∴原式＝a﹣b﹣a+b+1＝1． 故选：C． 9．（3分）已知a+b＝﹣5，ab＝2，且a≠b，则的值是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：∵a+b＝﹣5，ab＝2， ∴a＜0，b＜0， ∴． 故选：B． 10．（3分）已知（m，n为两个连续奇数，0＜m＜n，q＝mn），则下列对p的表述中正确的是（　　） A．总是奇数 B．总是偶数 C．总是无理数 D．可能是有理数可能是无理数 【详解】解：由条件可知：n＝m+2， ∴ ＝m+2+m+2026 ＝2m+2028， ∴p＝2m+2028为偶数． 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）计算：　　． 【详解】解：原式＝322． 故答案为：2． 12．（3分）计算的结果是　　． 【详解】解：． 故答案为：． 13．（3分）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是　　． 【详解】解：∵，且是整数， ∴正整数n的最小值为7． 故答案为：7． 14．（3分）比较大小：　　（用＞，＜或＝填空）． 【详解】解：∵， ， ， ∴． 故答案为：＜． 15．（3分）若x＝a，代数式的值为﹣1，则当x＝﹣a时，代数式的值为　　． 【详解】解：由条件可得：， ∴， ∴， ∴a+1＝0，n﹣2＝0， ∴a＝﹣1，n＝2， ∴当x＝﹣a时，． 故答案为：3． 16．（3分）已知m是的小数部分，则的值为　　． 【详解】解：∵m是的小数部分， ∴m2， 原式|m| ∵m2， ∴2，即m， ∴原式＝﹣（m）＝﹣m＝﹣（2）2＝4． 故答案为：4． 17．（3分）如果一个三角形的三条边长分别为，那么这个三角形的面积为　　． 【详解】解：在△ABC中，设AB，BC，CA， 如图，过A作AD⊥BC于点D，设BD＝x，AD＝h， ∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2， ∴13﹣x2＝10﹣（x）2，解得：x， ∴h， S△ABC5.5． 故答案为：5.5． 18．（3分）若m满足关系式，则m＝　　． 【详解】解：由题意可得：1﹣x﹣y≥0且x﹣1+y≥0， ∴x+y＝1，即x＝1﹣y， ∴0， ∴3x+5y﹣2﹣m＝0且2x+3y﹣m＝0， ∴3（1﹣y）+5y﹣2﹣m＝0且2（1﹣y）+3y﹣m＝0， ∴2y﹣m+1＝0且y+2﹣m＝0，解得：m＝3． 故答案为：3． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19．（6分）计算： （1）； （2）； （3）． 【详解】解：（1）6； （2） ； （3） ． 20．（8分）已知：，分别求下列代数式的值： （1）a2b﹣ab2； （2）a2+ab+b2． 【详解】解：（1）a2， b2， ∴a﹣b＝（2）﹣（2）＝22＝4， ab＝（2）×（2）＝3﹣4＝﹣1， ∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝﹣1×4＝﹣4； （2）a2+ab+b2＝a2﹣2ab+b2+3ab＝（a﹣b）2+3ab＝42+3×（﹣1）＝13． 21．（8分）计算： （1）（3）×（32）； （2）（1）×（1）； （3）62x（x＞0）； （4）•（）÷3（x＞0，y＞0）． 【详解】解：（1）（3）×（32） ＝329+6 ＝612﹣9+3 ＝921； （2） ＝321 ＝6﹣222； （3）62x ＝232 ＝3； （4）•（）÷3 3 ＝﹣xy2． 22．（8分）高空抛物严重威胁着人们的头顶安全，即便是常见小物件，一旦从高空落下，其威力也惊人，而且落地用时很短，行人常常来不及避让．据研究，从高度为h（单位：m）的高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h满足关系式（不考虑风速的影响，g的值取10m/s2），已知小杰家所住楼层的高度是20m． （1）假如一个物品从小杰家抛出，求该物品落地的时间． （2）小华说他家所住楼层的高度是小杰家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小杰家抛出，从他家抛出的物品落地所需要的时间是从小杰家抛出的物品落地所需时间的2倍，小华的说法正确吗？请说明理由． 【详解】解：（1）把g＝10m/s2，h＝20m，代入得：t2（s）， ∴该物品落地的时间为2s； （2）不正确，理由如下： ∵小华住的高度是小亮家的2倍， ∴h小华＝2×20＝40m． 把h小华的值代入公式中得：t小华2（s）， ∴22， 即从他家抛出的物品落地所需要的时间是从小杰家抛出的物品落地所需时间的倍，而不是2倍， ∴小华的说法不正确． 23．（8分）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用（1）来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： （1）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （2）已知：，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值． 【详解】解：（1）∵42＜17＜52， ∴45， ∴a4， ∵62＜39＜72， ∴67， ∴b＝6， ∴a+b4+62； （2）∵22＜5＜32， ∴23， ∴14＜1215， ∴x＝14，y2， ∴x﹣y＝14﹣（2）＝16． 24．（8分）观察下列等式： 1①； ②； ③； 回答下列问题： （1）　　； （2）　　；（n为正整数） （3）A题：利用上面所揭示的规律计算： ； B题：拓展升华：若x，求x2﹣xy+y2的值． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）A题：原式1... 1 ＝45﹣1 ＝44； B题：∵x，y， ∴x﹣y2，xy＝3﹣5＝﹣2， ∴x2﹣xy+y2 ＝（x﹣y）2+xy ＝（﹣2）2+（﹣2） ＝20﹣2 ＝18． 25．（10分）如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该如何计算它的面积呢？ 我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：（秦九韶公式）． 古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了如下公式：（海伦公式），其中.请使用这两个公式解决下面的问题： （1）如果一个三角形的三边长依次为，，那么它的面积为　　； （2）如图，在△ABC中，已知AB＝5，BC＝6，AC＝7． ①△ABC的面积为　　； ②作AD⊥BC于点D，求CD的长． （3）小明发现这两个公式本质上是一样的，请你说明理由． 【详解】解：（1）S2， ∴S， 故答案为：； （2）①∵AB＝5，BC＝6，AC＝7， ∴p＝9， ∴S△ABC6， 故答案为：6； ②∵S△ABC＝66AD， ∴AD＝2； （3）∵， ∴S2 [（b+a）2﹣c2][c2﹣（a﹣b）2] （b2+a2+2ab﹣c2）（﹣a2﹣b2+c2+2ab） [（2ab）2﹣（a2+b2﹣c2）2] [a2b2﹣（）2]， ∴这两个公式本质上是一样的． 26．（10分）材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设x+2＝t，则x＝t﹣2． ∴原式 ∴ ∴分式就拆分成一个整式（x﹣5）与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当a＞0，b＞0时，∵（）2+（）2＝（）2+2 ∴当，即a＝b时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： （1）参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； （2）已知分式的值为整数，求整数x的值； （3）当﹣1＜x＜1时，求代数式的最小值　　． 【详解】解：（1）设x+1＝t， ∴x＝t﹣1， ∴原式 ＝t1 ＝x+11 ＝x； （2）设2x+1＝t， ∴x（t﹣1）， ∴原式t3 ＝2x+13 ＝2x4， 当2x+1＝±1时，该分式的值为整数， ∵x是整数， ∴x＝0或﹣1； （3）由题意可得：x2+11， ∵x2+1（）2+2， ∴x2+11＝（）2+3， ∴当且仅当时，即x＝0，代数式的最小值为3， 故答案为：3． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$