专题01 直线和圆的方程全章14大重点题型归纳（必考70题专项训练）-2025-2026学年高二数学秋季讲义（人教A版选择性必修第一册）

专题01 直线和圆的方程全章14大重点题型归纳（必考70题专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 求直线的倾斜角与斜率 1．（25-26高二上·安徽亳州·阶段练习）直线的倾斜角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【解题思路】根据给定条件求出直线的斜率，再直接求出其倾斜角. 【解题思路】直线的斜率为， 令该直线倾斜角为，则有， 而，于是， 所以直线的倾斜角为. 故选：C. 2．（25-26高二上·安徽亳州·阶段练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用倾斜角的大小，结合正切函数的单调性可作出判断. 【解题思路】设直线，，的倾斜角分别为，，， 则根据图象可得：， 再由正切函数的单调性可知：， 即有， 故选：D. 3．（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）已知直线l的倾斜角，则直线l的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用直线斜率的定义结合正切函数的性质即可计算作答. 【解题思路】当直线l的倾斜角为时，直线l的斜率不存在； 当直线l的倾斜角时，直线l的斜率，因， 则当时，，即，当时，，即， 所以直线l的斜率的取值范围是. 故选：D. 4．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】设直线的倾斜角为，，由斜率与倾斜角关系得到不等式，再结合正切函数的图象性质即可得解. 【解题思路】设直线的倾斜角为，， 则，因为，所以， 如图，根据正切函数的图象性质，可得直线的倾斜角. 故答案为：. 5．（25-26高二上·广东广州·阶段练习）已知三点. (1)若过两点的直线的倾斜角为，求的值； (2)若三点共线，求出的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据斜率公式计算即可； （2）由三点共线，可得，再根据斜率公式即可得解. 【解题思路】（1）由题意，解得； （2）， 因为三点共线，所以， 即，解得. 题型2 直线与线段的相交关系求斜率范围 6．（25-26高二上·广东惠州·阶段练习）直线过点与以为端点的线段有公共点， 则直线倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解题思路】求出直线的倾斜角，直线的倾斜角，结合图形可得结果． 【解题思路】设直线的倾斜角为，， 则，从而， 设直线的倾斜角为，， 则，从而， 要使直线与线段有公共点， 结合图形可知，直线倾斜角的范围是：， 故选：A. 7．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【解题思路】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 8．（24-25高二上·江苏·阶段练习）设，若点在线段上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据直线的倾斜角和斜率的关系求式子的取值范围. 【解题思路】如图：    问题转化为过点的直线与线段有公共点时，直线斜率的取值范围. 因为，， 且当倾斜角是锐角时，，随着倾斜角的增大，斜率增大； 当倾斜角是钝角时，，随着倾斜角的增大，斜率增大. 所以斜率的取值范围是：或. 故选：C. 9．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，则直线的斜率的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】首先利用两点式斜率公式求出，，再结合图象即可求出直线的斜率的取值范围. 【解题思路】设点，依题意，． 因为直线与线段有交点，所以或， 由图可知直线的斜率的取值范围是． 故答案为：． 10．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)或斜率不存在 (2) 【解题思路】（1）结合题意由斜率的定义直接求解即可； （2）由斜率与倾斜角的关系求解即可； 【解题思路】（1）如图，由题意可知 ， 要使直线l与线段有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是或斜率不存在. （2）由题意可知，l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间. 又的倾斜角是，的倾斜角是， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 题型3 直线方程的求解 11．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）经过点，且倾斜角是的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用倾斜角先求斜率，根据直线的点斜式方程即可求解. 【解题思路】因为直线的倾斜角是，所以斜率， 又经过点，所以直线的方程是. 故选：B. 12．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解题思路】分别讨论截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，将点代入求解即可. 【解题思路】当直线在轴和轴上截距都为0时，设直线方程为，将点代入解得， 此时直线方程为， 当直线在轴和轴上截距相等且不为0时，设直线方程为，将点代入解得， 此时直线方程为， 所以满足题意的直线方程为或， 故选：B. 13．（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据恒过定点化简直线方程求出，再根据垂直关系求出所求直线的斜率，列点斜式方程化简即可. 【解题思路】由，得， 直线恒过点． 因为的斜率为， 所以所求直线的斜率为，其方程为，即， 故选：A． 14．（25-26高二上·福建龙岩·阶段练习）若直线过点，向量是直线的一个方向向量，则直线的方程为 . 【答案】 【解题思路】根据直线的一个方向向量可设直线的方程为，把点代入直线即可求出值，从而可得直线的方程. 【解题思路】直线的一个方向向量，则设直线的方程为， 把点代入方程求得， 所以直线的方程为。 故答案为：. 15．（25-26高二上·吉林延边·阶段练习）求满足下列条件的直线方程：（结果写成一般式）. (1)直线过点，且斜率为； (2)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (3)直线过点，且横截距为纵截距的两倍. 【答案】(1) (2) (3)或 【解题思路】（1）代入点斜式方程，可得直线方程，整理即可得答案. （2）直线方程为，分别令和，结合面积公式，求得b值，整理即可得答案. （3）分别讨论截距为0和不为0两种情况，求出直线方程，整理即可得答案. 【解题思路】（1）代入点斜式方程可得，整理得 （2）设直线方程为，令，解得， 令，解得， 所以，解得， 所以直线方程为，整理得 （3）当截距为0时，设直线方程为，代入点，解得， 所以方程为，整理得； 当截距不为0时，设直线方程为，代入点，解得， 所以方程为，整理得， 综上，直线方程为或. 题型4 根据两直线平行、垂直求参数 16．（25-26高二上·福建三明·阶段练习）已知直线：与：平行，则m的值是（   ） A． B．2或 C．6 D．或6 【答案】D 【解题思路】利用两直线平行列方程，再求解并验证得解. 【解题思路】由直线，得,解得或， 当时，直线：与直线：平行， 当时，直线：与直线：平行， 所以m的值是或6. 故选：D. 17．（25-26高二上·江苏徐州·阶段练习）若直线与互相垂直，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据两条直线垂直的条件直接可得. 【解题思路】因为直线与互相垂直， 所以，得. 故选：B. 18．（24-25高二上·吉林通化·阶段练习）“”是“直线和直线不重合而平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】利用平行的位置关系可列出系数满足的关系式，从而求解进行判断即可. 【解题思路】当时，直线和直线是不重合而平行关系，即满足充分性， 当直线和直线不重合而平行时， 有，解得，故满足必要性， 故选：C. 19．（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）已知直线：，直线：，若，则 ． 【答案】2 【解题思路】根据两直线垂直时斜率乘积为列方程，即可求解. 【解题思路】由于直线的斜率存在且不为零，且， 故直线的斜率也存在，且直线：， ，直线：，， ，即， 解得， 故答案为：2. 20．（2025高二·全国·专题练习）已知直线，，分别求满足下列条件的的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用一般式方程两条直线平行的条件可得答案； （2）利用一般式方程两条直线垂直的条件可得答案． 【解题思路】（1）因为，所以，解得， 所以当时，； （2）因为，所以，解得， 所以当时，． 题型5 直线的交点问题 21．（2025高二·全国·专题练习）直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】联立方程求解即可. 【解题思路】由方程组，得，即交点为． 故选：C． 22．（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出直线、的交点坐标，根据题意，设直线的方程为，将交点坐标代入直线的方程，求出实数的值，即可得出直线的方程. 【解题思路】联立直线、的方程，，解得， 故直线、的交点坐标为， 因为直线与直线平行，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，解得. 因此，直线的方程为. 故选：B. 23．（24-25高二上·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【解题思路】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应m值，进而验证是否满足题设，即可得答案. 【解题思路】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点， 若平行，则，即； 若平行，则，即无解； 若平行，则，即； 若三条直线交于一点，，可得或； 经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个. 故选：B. 24．（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）若三条直线，，不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 . 【答案】 【解题思路】分三种情况，三条直线交于同一点，与平行,与平行，分别求出的值，得到答案. 【解题思路】当三条直线，，交于同一点时，不能构成三角形， 联立，解得，将代入得，解得； 当与平行时，不能构成三角形，此时； 当与平行时，不能构成三角形，此时； 综上，实数所有可能的取值组成的集合为. 故答案为：. 25．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知三条直线，，. (1)当三条直线交于一点时，求实数的值； (2)三条直线有且只有两个交点，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）联立方程解得直线，的交点坐标为，把交点坐标为代入即可得解； （2）分析可知直线必与直线，其中之一平行，根据平行关系分析求解即可，注意检验. 【解题思路】（1）联立直线，的方程得，解得， 即直线，的交点坐标为， 把交点坐标代入得，解得. （2）因为直线与直线相交，当三条直线有且只有两个交点时， 所以直线必与直线，其中之一平行. 当时，，解得， 此时，符合题意； 当时，，解得； 此时，符合题意； 综上所述：实数的值为或. 题型6 距离公式的应用 26．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再代入点到直线距离公式即可. 【解题思路】易知直线的斜率为，又过点， 所以其方程为，即， 可得点到直线l的距离为. 故选：C. 27．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）若直线与直线平行，则两直线间距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据两直线平行的充要条件求出，再根据平行直线间的距离公式计算即可. 【解题思路】因为，所以，解得或， 经检验，当时两直线重合， 所以， 则，即， 所以两直线之间的距离为. 故选：A. 28．（25-26高二上·全国·单元测试）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解题思路】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合和两点间的距离公式进行求解． 【解题思路】由所求的式子的形式想到距离之差， ， 可转化成轴上一点到点的距离与到点的距离之差， 则（当且仅当三点共线时取等号）， 所以的最大值为． 故选：B. 29．（24-25高二上·重庆·期中）已知在直线上，则的最小值为 ． 【答案】3 【解题思路】根据，即表示直线上的点到原点距离，由点到直线的距离公式计算，即可得结果. 【解题思路】因为表示点到原点的距离，而点在直线上， 所以的最小值即为原点到直线的距离，. 所以的最小值为3. 故答案为：. 30．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【解题思路】（1）将直线的方程整理得，令，解出即可定点，由点到直线的距离公式即可求解； （2）由（1）可得直线过定点，设定点为，当时，点到直线的距离最大，且最大距离，由两点间的距离公式即可求最大距离，又由斜率公式即可求. 【解题思路】（1）将直线的方程整理得， 令，解得所以直线恒过点． 则定点到直线的距离为． （2）由（1）可得直线过定点，设定点为． 当时，点到直线的距离最大，且最大距离， 即点到直线的最大距离为． 此时，而直线的斜率， 所以，解得． 题型7 点、线间的对称问题 31．（24-25高二上·北京·期末）点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】使用待定系数法结合直线对称的几何关系求解即可. 【解题思路】设对称点的坐标为则解得： 故选：B. 32．（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求两直线的交点，再在直线取点，求点关于直线的对称点，依据两点，，可得所求直线的方程. 【解题思路】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B. 33．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，求出发光点关于直线的对称点，再借助光的反射定律求出反射光线所在直线的方程. 【解题思路】设点关于直线的对称点为，则，解得， 因此反射光线所在直线过点，方程为，即. 故选：A. 34．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 . 【答案】 【解题思路】求出点关于直线对称点的坐标，再利用两点间距离公式计算得解. 【解题思路】设点关于对称点，则，解得， 即，所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：.    35．（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）设出原点关于直线的对称点的坐标，利用的中点在直线上，以及直线与直线垂直列方程组，即可求解； （2）求出直线与直线的交点坐标，在直线上取一点，由（1）知关于直线的对称点为，利用直线方程的两点式求解即可； （3）在直线上任取两点，分别求出这两点关于点的对称点，再利用直线方程的两点式求解即可. 【解题思路】（1）设原点关于直线的对称点为， 则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得，即， 所以原点关于的对称点坐标为； （2）联立，解得，则点在所求直线上， 在直线上任取一点， 由（1）得关于的对称点坐标为， 所以点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于的对称直线方程为； （3）在直线上取两点，， 则，关于点的对称点分别为，. 因为点，在所求直线上， 所以由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于点的对称直线方程为. 题型8 圆的方程的求解 36．（25-26高二上·江西·阶段练习）以点为圆心且经过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据圆的标准方程，根据题意求出即可. 【解题思路】依题意得圆的半径， 则圆的标准方程为. 故选：D. 37．（25-26高二上·天津·阶段练习）经过三点，，的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设出圆的一般方程，根据点在圆上列出方程，解方程组，即可得答案. 【解题思路】设圆的一般方程为, 将，，代入方程得， 解得，满足， 故圆的方程为， 故选：A. 38．（25-26高二上·全国·课后作业）圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由圆的方程可求得圆心和半径，进而求得圆心关于原点对称的点的坐标，由此可得所求圆的圆心和半径，进而得到所求圆方程. 【解题思路】圆的圆心为，半径． 圆心关于原点的对称点为，即所求圆的圆心为，半径为5， 所以所求圆的方程为． 故选：B. 39．（25-26高二上·山东菏泽·阶段练习）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【解题思路】的中垂线必过圆心，所以首先求的中垂线，再求中垂线与直线的交点，交点就是圆心，最后圆心与点O的距离就是半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程． 【解题思路】原点和的中点坐标为， 线段的垂直平分线的斜率为， 所以，线段的垂直平分线的方程为：. 由 ，得圆心坐标C为， 所以，半径的平方. 因此，圆C的标准方程为. 故答案为：. 40．（25-26高二上·河南南阳·开学考试）根据下列条件，求圆的方程. (1)圆心是，且过点； (2)经过点，且以线段AB为直径的圆的方程； (3)已知的三个顶点为，求的外接圆方程. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）确定半径，可得圆的标准方程. （2）可直接写出圆的直径式方程，再化成标准方程即可. （3）用待定系数法可求圆的一般方程. 【解题思路】（1）所求圆的标准方程为：， 即. （2）所求圆的直径式方程为：， 即. （3）设所求圆的方程为. 由题意得：，解得. 所以所求圆的一般方程为. 题型9 直线与圆的位置关系 41．（25-26高二上·江西抚州·阶段练习）“”是“直线与圆相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据直线与圆相切求出，进而结合充分、必要条件的定义判断即可. 【解题思路】由圆，圆心为，半径为2， 由直线与圆相切， 则，解得， 所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件. 故选：A. 42．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，直线 ，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【解题思路】化简直线方程可得直线过定点，点在圆上，进而即得. 【解题思路】由可得， 直线的方程整理为， 则直线恒过点，又点在圆上， 故直线与圆相交或相切． 故选：D. 43．（25-26高二上·云南·阶段练习）已知直线与曲线有1个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将曲线进行化简，得曲线表示上半圆，直线恒过定点，利用直线与圆的位置关系，数形结合求解即可. 【解题思路】由可得，，所以曲线表示上半圆， 又由直线即，可得恒过定点， 记，则， 当直线与半圆相切时， 圆心到直线的距离为，解得，如下图，    由图可知，当或时，直线与曲线有1个公共点. 故选：B. 44．（24-25高二上·陕西榆林·期末）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】直线恒过点，曲线表示以为圆心，3为半径的右半圆，根据直线与圆的位置关系求解. 【解题思路】如图，直线恒过点， 曲线表示出以为圆心，3为半径的右半圆， 设直线与半圆相切于点，则，解得，所以， 因为，，所以， 因为直线与曲线恰有两个交点， 所以，所以. 故答案为：. 45．（24-25高二上·北京昌平·期末）已知圆. (1)过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的方程； (2)判断直线与圆的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)或. (2)直线与圆相交，理由见解析 【解题思路】（1）易知直线符合题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程，利用点线距公式和几何法求弦长建立关于的方程，解之即可求解； （2）法一：求出直线恒过定点，将定点代入圆的方程，结合点与圆的位置关系即可下结论； 法二：利用点线距公式，结合直线与圆的位置关系计算即可下结论. 【解题思路】（1）由圆可得，圆心，半径. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为. 圆心到直线的距离为， 此时，符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即. 圆心到直线的距离为. 因为，所以.所以. 解得.所以直线的方程为，即. 综上，所求直线的方程为或. （2）法一： 因为直线过定点， 又因为， 所以点在圆内. 所以直线与圆相交. 法二： 圆心到直线的距离， 因为，所以. 所以. 所以直线与圆相交. 题型10 圆的切线长及切线方程问题 46．（25-26高二上·江西·阶段练习）过点作圆：的切线，则的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，按直线的斜率是否存在分类，利用点到直线距离公式列式求解. 【解题思路】圆：的圆心，半径， 点到直线的距离为，则直线的方程可为； 当的斜率存在时，设的方程为，由直线与圆相切，得， 解得，则的方程为，即， 所以直线的方程为或. 故选：B. 47．（25-26高三上·山西长治·阶段练习）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】可知点在直线上，根据题意利用勾股定理求切线长，结合圆的性质求最小值. 【解题思路】圆的圆心为，半径， 点在直线上， 则圆心到直线的距离， 可知直线与圆相离， 设其中一个切点为A， 则切线长， 所以切线长的最小值为. 故选：C. 48．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆的圆心为，且经过点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意求得其中一个切点的坐标，并求出的斜率即可求解. 【解题思路】由题意，圆的半径为圆的标准方程为． 当斜率不存在时，过点的直线为，与圆相切于点． 由圆的切线的性质可知，， 直线AB的方程为，即． 故选：A. 49．（24-25高二上·广东茂名·期末）过点作圆的切线，则直线的方程为 .（写出一条方程即可） 【答案】或（写出一条即可） 【解题思路】设出直线方程，根据点到直线的距离等于半径即可求解. 【解题思路】由可知：直线一定有斜率， 故设：， 则，化简可得，故或， 当时，切线方程为，当时，切线方程为， 故切线方程为：或， 故答案为：或. 50．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形面积的最小值为，点的坐标为 【解题思路】（1）设圆心，根据题意列关于的方程，解方程，可求出圆的半径，进而可得出圆的标准方程； （2）推导出，可得出四边形面积，分析可知，当时，取最小值， 求出方程，联立、的方程，求点的坐标，并求出的值，由此可得出四边形面积的最小值. 【解题思路】（1）因为圆的圆心在直线上，设圆心为， 根据题意可得，即， 解得，故圆心为，该圆的半径为， 因此，圆的标准方程为. （2）因为、都与圆相切，由切线长定理可得， 又因为，， 则，且，， 所以，四边形面积， 当时，取最小值，则四边形面积最小， 因为直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即， 由得，即点的坐标为， 此时，则四边形面积的最小值为. 题型11 圆的弦长与中点弦问题 51．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，则（　　） A．2 B．2 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式求解即可. 【解题思路】设圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式得， 因为圆的半径为2，所以， 故选：B. 52．（25-26高三上·湖北·开学考试）已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（　　） A．2 B． C． D．2 【答案】D 【解题思路】根据直线方程确定其所过的定点，再判断定点与圆的位置关系，结合直线与圆相交弦长最小时定点与圆心所在直线与垂直，最后应用几何法求弦长. 【解题思路】由题设即， 令得，所以直线过定点， 而即， 所以，即定点在圆内，且圆心为，半径为3， 所以定点与圆心的距离， 要使最小，即定点与圆心所在直线与垂直，此时. 故选：D. 53．（24-25高二上·山东日照·期中）已知圆及直线，当直线与圆相交所得弦长最短时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】确定直线过圆内定点，由直线与过定点的半径垂直，求得直线斜率得直线方程． 【解题思路】圆标准方程是，圆心为，半径为2， 直线过定点，，在圆内部， 直线与圆相交所得弦长最短时，， ，所以， ∴的方程为，即， 故选：D． 54．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ． 【答案】或 【解题思路】根据圆的半径、弦长可求出圆心到弦的距离，再利用点到直线的距离公式即可求出直线的斜率，从而得到直线方程. 【解题思路】圆的圆心，半径，圆心到直线的距离为3， 此直线与圆相切，因此直线的斜率存在． 设直线的方程为，即， 由，得圆心到直线的距离， 于是，解得或，所以直线的方程为或． 故答案为：或． 55．（24-25高二上·浙江·期中）已知圆C：关于直线的对称圆的圆心为D，直线l过点． (1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程； (2)若直线l与圆D交于A，B两点，，求直线l的方程． 【答案】(1)或 (2)或 【解题思路】（1）分类讨论直线l的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离等于圆的半径计算即可； （2）由题意知直线l的斜率一定存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式和圆的半径计算即可. 【解题思路】（1）由题意可知圆C：，即， 则圆心坐标，半径， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为时，此时直线与圆相切，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设l直线的方程为，即， 则，解得，所以l的方程为：，即. 综上所述，直线l的方程为或. （2）由（1）知，圆的圆心坐标，半径， 设，因为圆关于直线的对称圆的圆心为， 所以，解得，圆的圆心为，半径为1， 则圆D的方程为， 当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与圆相离，不符合题意； 当直线斜率存在时，设直线l的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 因为直线l与圆D交于A，B两点，， 根据勾股定理可得， 即，解得或， 所以直线l的方程为或.    题型12 直线与圆有关的最值问题 56．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知动圆的半径为，其圆心到点的距离为2，点为圆上的一点，则点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】数形结合，利用点到直线的距离公式，可求点到直线距离的最大值. 【解题思路】如图： 点到直线的距离为：. 所以点到直线距离的最大值为：. 故选：D. 57．（24-25高二上·重庆·期中）圆，是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，，那么的最小值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【解题思路】的最小值满足四边形的面积最小，可转化为当最小时满足条件，根据点到直线的距离公式计算，求出，可计算结果. 【解题思路】圆的圆心，半径为， 如图所示： ， 当最小时四边形面积最小，因为，所以当四边形面积最小时最小， ， 所以只需直线上的动点到的距离最小即可，其最小值为圆心到直线的距离， 此时， . 故选：B. 58．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由圆的方程可确定圆心和半径，根据切线长与圆心到定点距离和半径之间关系，即切线长可知当时，最小，可确定四边形面积的最小值. 【解题思路】由圆的方程知：圆心，半径， 四边形的面积， 则当最小时，四边形的面积最小， 点到直线的距离， ， 此时. 故选：A. 59．（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）已知圆上有一动点，记点到直线的距离为，平面上有一定点，则的最小值为 . 【答案】 【解题思路】求出中点的轨迹，再结合图形找到线段和最小值的情况. 【解题思路】作出图形，分别取线段中点分别为， 因为，则，则， 则点的轨迹是以点为圆心，半径为1的圆， 其轨迹方程，半径， 则，设点到直线的距离为， 则，则的最小值为. 故答案为：. 60．（2025高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【解题思路】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值； （2）解法一，转化为直线与圆有公共点，解法二，利用三角换元求最值； （3）首先设，再转化为直线与圆有交点， 【解题思路】（1）圆心到直线的距离为． ∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为． （2）解法一 ：设，则直线与圆有公共点， ∴，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 解法二：设，则，其中， ∴得，即的最大值为，最小值为． （3）表示圆上的点与点连线的斜率为k， 设，即，直线与圆有交点， 设， 解得． 则，即的最大值为，最小值为． 题型13 两圆的公共弦问题 61．（25-26高二上·全国·单元测试）若圆，圆 的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】方法一：求得相交弦方程，由圆的圆心为，半径为2即可求解；方法二：联立两圆的方程把两点坐标求出来即可. 【解题思路】方法一  将两圆的方程作差，可得，即直线AB的方程为，圆的圆心为，半径为2， 则到直线的距离为，故． 方法二  联立解得或 所以． 故选：B. 62．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 【答案】B 【解题思路】利用圆的方程求得公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式，求得弦心距，根据弦长公式建立方程，求得参数，结合圆的方程成立条件检验，可得答案. 【解题思路】两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为， 由圆，则圆心，半径， 点到公共弦所在直线的距离， 公共弦长为，则，解得或， 由圆，整理可得， 则，所以或. 故选：B. 63．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）圆与圆交于两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由两圆方程相减即可求解； 【解题思路】①，②，. ②−①化简可得， 方程为， 故选：A． 64．（24-25高二上·全国·期末）圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【解题思路】求出两圆的公共弦方程，转化为直线与圆相交弦长问题，由垂径定理，在弦心距，半径，半弦长构成的直角三角形中求解即可． 【解题思路】圆①与圆②， ①－②得，即公共弦方程为， 又圆的半径为，圆心为， 圆心到直线距离， 所以公共弦长为. 故答案为：． 65．（24-25高二上·湖南岳阳·期末）已知圆，圆， (1)证明圆与圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)公共弦所在直线的方程为，公共弦的长为. 【解题思路】（1）依题意求得圆和圆的圆心和半径，进而根据圆心距和两圆半径的关系可证得结果； （2）将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，再利用垂径定理可求弦长. 【解题思路】（1）证明：由题得圆标准方程为， 故圆的圆心是，半径， 圆的标准方程为， 故圆的圆心是，半径． 所以与的距离为． 圆与圆的两半径之和，两半径长之差． 因为，即， 所以圆与圆相交. （2）将圆和圆的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为, 而，半径，该圆心到公共弦的距离， 故公共弦. 题型14 直线与圆有关的最值问题 66．（24-25高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解题思路】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程. 【解题思路】解：，圆心，半径， ，圆心，半径， 因为， 所以两圆相内切，公共切线只有一条， 因为圆心连线与切线相互垂直，， 所以切线斜率为， 由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即． 故选：A. 67．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知圆，圆，若圆与圆恰有三条公切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析可知，两圆外切，根据圆与圆的位置关系可得出关于的等式，解之即可. 【解题思路】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切，且， 由题意可得，即，解得. 故选：B. 68．（24-25高二上·山东聊城·期末）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由两圆的位置关系得出，进而联立两圆方程得出公切线方程. 【解题思路】圆：的圆心，圆：可化为 ，，则其圆心为，半径为， 因为圆与圆相内切，所以，即，故. 由，可得， 即与的公切线方程为. 故选：D. 69．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若圆与圆有且仅有三条公切线， ． 【答案】 【解题思路】根据条件直接求出两圆的圆心和半径，再利用两圆的位置关系，即可求解. 【解题思路】易知圆的圆心为，半径为， 由，得到， 则，即，圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆有且仅有三条公切线，所以圆与圆外切， 则，即，解得， 故答案为：. 70．（24-25高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 【答案】(1) (2)，． 【解题思路】（1）由两圆外切，得两圆圆心之间的距离等于两圆半径的和，从而求出的值； （2）由两圆内切，得到两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差，求解得出的值；由两圆心连线与两圆公切线垂直，根据已知两圆心连线的斜率求出两圆公切线的斜率，设出切线方程，再根据切线的性质求解未知量的值. 【解题思路】（1）由题意，圆：，可化为： 圆：，可化为：， 可得圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆相外切时，可得， 即， 解得， 所以时，两圆外切； （2）由（1）知，圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆内切时，可得， 即， 解得， 因为， 可得两圆公切线的斜率是， 设切线方程为，即 则圆心到切线的距离等于圆的半径， 即，解得， 当时，直线与圆：相交，舍去， 故所求公切线方程为 ，即． 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直线和圆的方程全章14大重点题型归纳（必考70题专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 求直线的倾斜角与斜率 1．（25-26高二上·安徽亳州·阶段练习）直线的倾斜角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 2．（25-26高二上·安徽亳州·阶段练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）已知直线l的倾斜角，则直线l的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是 . 5．（25-26高二上·广东广州·阶段练习）已知三点. (1)若过两点的直线的倾斜角为，求的值； (2)若三点共线，求出的值. 题型2 直线与线段的相交关系求斜率范围 6．（25-26高二上·广东惠州·阶段练习）直线过点与以为端点的线段有公共点， 则直线倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D．或 7．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·江苏·阶段练习）设，若点在线段上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，则直线的斜率的取值范围为 . 10．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 题型3 直线方程的求解 11．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）经过点，且倾斜角是的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 13．（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·福建龙岩·阶段练习）若直线过点，向量是直线的一个方向向量，则直线的方程为 . 15．（25-26高二上·吉林延边·阶段练习）求满足下列条件的直线方程：（结果写成一般式）. (1)直线过点，且斜率为； (2)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (3)直线过点，且横截距为纵截距的两倍. 题型4 根据两直线平行、垂直求参数 16．（25-26高二上·福建三明·阶段练习）已知直线：与：平行，则m的值是（   ） A． B．2或 C．6 D．或6 17．（25-26高二上·江苏徐州·阶段练习）若直线与互相垂直，则（    ） A．0 B． C． D． 18．（24-25高二上·吉林通化·阶段练习）“”是“直线和直线不重合而平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）已知直线：，直线：，若，则 ． 20．（2025高二·全国·专题练习）已知直线，，分别求满足下列条件的的值： (1)； (2)． 题型5 直线的交点问题 21．（2025高二·全国·专题练习）直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 24．（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）若三条直线，，不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 . 25．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知三条直线，，. (1)当三条直线交于一点时，求实数的值； (2)三条直线有且只有两个交点，求实数的值. 题型6 距离公式的应用 26．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）若直线与直线平行，则两直线间距离为（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高二上·全国·单元测试）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 29．（24-25高二上·重庆·期中）已知在直线上，则的最小值为 ． 30．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 题型7 点、线间的对称问题 31．（24-25高二上·北京·期末）点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 33．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 34．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 . 35．（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 题型8 圆的方程的求解 36．（25-26高二上·江西·阶段练习）以点为圆心且经过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 37．（25-26高二上·天津·阶段练习）经过三点，，的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 38．（25-26高二上·全国·课后作业）圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 39．（25-26高二上·山东菏泽·阶段练习）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的标准方程为 ． 40．（25-26高二上·河南南阳·开学考试）根据下列条件，求圆的方程. (1)圆心是，且过点； (2)经过点，且以线段AB为直径的圆的方程； (3)已知的三个顶点为，求的外接圆方程. 题型9 直线与圆的位置关系 41．（25-26高二上·江西抚州·阶段练习）“”是“直线与圆相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 42．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，直线 ，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 43．（25-26高二上·云南·阶段练习）已知直线与曲线有1个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 44．（24-25高二上·陕西榆林·期末）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是 ． 45．（24-25高二上·北京昌平·期末）已知圆. (1)过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的方程； (2)判断直线与圆的位置关系，并说明理由. 题型10 圆的切线长及切线方程问题 46．（25-26高二上·江西·阶段练习）过点作圆：的切线，则的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 47．（25-26高三上·山西长治·阶段练习）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 48．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆的圆心为，且经过点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 49．（24-25高二上·广东茂名·期末）过点作圆的切线，则直线的方程为 .（写出一条方程即可） 50．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标． 题型11 圆的弦长与中点弦问题 51．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，则（　　） A．2 B．2 C．2 D．3 52．（25-26高三上·湖北·开学考试）已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（　　） A．2 B． C． D．2 53．（24-25高二上·山东日照·期中）已知圆及直线，当直线与圆相交所得弦长最短时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 54．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ． 55．（24-25高二上·浙江·期中）已知圆C：关于直线的对称圆的圆心为D，直线l过点． (1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程； (2)若直线l与圆D交于A，B两点，，求直线l的方程． 题型12 直线与圆有关的最值问题 56．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知动圆的半径为，其圆心到点的距离为2，点为圆上的一点，则点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 57．（24-25高二上·重庆·期中）圆，是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，，那么的最小值是（   ） A． B． C． D．4 58．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 59．（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）已知圆上有一动点，记点到直线的距离为，平面上有一定点，则的最小值为 . 60．（2025高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 题型13 两圆的公共弦问题 61．（25-26高二上·全国·单元测试）若圆，圆 的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 62．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 63．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）圆与圆交于两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 64．（24-25高二上·全国·期末）圆与圆的公共弦长为 . 65．（24-25高二上·湖南岳阳·期末）已知圆，圆， (1)证明圆与圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 题型14 直线与圆有关的最值问题 66．（24-25高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 67．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知圆，圆，若圆与圆恰有三条公切线，则（    ） A． B． C． D． 68．（24-25高二上·山东聊城·期末）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 69．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若圆与圆有且仅有三条公切线， ． 70．（24-25高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $