专题02 基本不等式中必考八大最值问题（专项训练）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

专题02 基本不等式中必考八大最值问题（专项训练） 【人教A版】 【题型1 直接法求最值】 2 【题型2 配凑法求最值】 4 【题型3 巧用“1”的代换求最值】 6 【题型4 消元法求最值】 9 【题型5 基本不等式求积的最大值】 11 【题型6 基本不等式求和的最小值】 13 【题型7 二次与二次（或一次）的商式的最值】 15 【题型8 条件等式求最值】 18 知识点1 基本不等式 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 (a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，，即只能有a2＋b2>2ab，. 2. 基本不等式的常见变形 (1). (2). 知识点2 利用基本不等式求最值 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 2．常见的求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成立； (3)模型三：，当且仅当时等号成立； (4)模型四：，当且仅当时等号成立. 3．利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【题型1 直接法求最值】 1．（25-26高一上·陕西汉中·阶段练习）若，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【解题思路】利用基本不等式，即可求得答案. 【解答过程】由题意知，则， 当且仅当，结合，即得时取等号， 故的最小值为4， 故选：A. 2．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）函数的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用基本不等式直接求解. 【解答过程】， 由基本不等式有，当且仅当即时，等号成立， 所以函数的最大值为. 故选：B. 3．（25-26高一上·山东临沂·阶段练习）若，则的最小值为（    ） A．13 B．26 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【解答过程】由，得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 4．（25-26高一上·福建莆田·阶段练习）若，则的最小值为 . 【答案】 【解题思路】根据基本不等式，计算即可得答案. 【解答过程】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故答案为：. 5．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各题的最值． (1)已知，求的最小值； (2)设，求函数的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，利用基本不等式，直接求解，即可得到答案； （2）根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【解答过程】（1）解：由，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为. （2）解：由，可得， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. 【题型2 配凑法求最值】 6．（25-26高一上·四川成都·阶段练习）若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将所求变形为，再根据基本不等式即可得解. 【解答过程】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 7．（25-26高一上·江苏宿迁·阶段练习）设实数满足，函数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据基本不等式成立的条件，用配凑法可解. 【解答过程】因为，所以， 所以, 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值为. 故选：A. 8．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【解答过程】因为，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最大值为. 故选：C. 9．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 【答案】 【解题思路】先拼凑再应用基本不等式计算求解. 【解答过程】因为，则， 当且仅当，即时，的最小值为． 故答案为：． 10．（25-26高一上·全国·课后作业）求下列各式的最值 (1)已知，求的最大值. (2)当时，求的最大值； 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）由，结合基本不等式求解即可； （2）由，结合基本不等式求解即可 【解答过程】（1）因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. （2）因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为. 【题型3 巧用“1”的代换求最值】 11．（25-26高一上·吉林长春·阶段练习）若，，且，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【解题思路】根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案. 【解答过程】因为，，， 所以， 所以 ，当且仅当，即时取等号. 联立，解得,即时取等号， 所以的最小值为2. 故选：B. 12．（2025·广东梅州·模拟预测）已知，且，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解题思路】将已知等式变形为，然后使用常数代换法，结合基本不等式可得. 【解答过程】由得，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故选：D. 13．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【解题思路】变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解答过程】正数满足，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 14．（25-26高一上·辽宁大连·阶段练习）若正实数、满足，则的最小值为 . 【答案】 【解题思路】利用条件将原式变形为，再利用乘“1”法求解最值. 【解答过程】因为， 所以，又， 所以， 由可得，故， 由于，当且仅当，即时取到等号， 故， 因此最小值为， 故答案为：. 15．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知正实数满足：. (1)求的最大值； (2)求的最小值； 【答案】(1) (2)25 【解题思路】（1）直接利用基本不等式即可求得答案； （2）利用“1”的巧用，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【解答过程】（1）因为正实数满足：，故， 所以，当且仅当时取等号， 故的最大值为； （2）正实数满足：， 则， 当且仅当，结合，即时取等号， 故的最小值为25. 【题型4 消元法求最值】 16．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【解题思路】由题意得，代入得，再由均值不等式即可求解. 【解答过程】由有：， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 17．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，，，则的最小值为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【解题思路】根据题设得到且，代入目标式并应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【解答过程】 由题设，又，，故，则， 所以，当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：D. 18．（24-25高一上·江苏无锡·期中）设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【解题思路】将代入后剩下关于的二元等式，经齐次化处理后使用基本不等式在时最大值时，将代入原式可得，代入，得到二次函数利用配方法即可求得其最大值. 【解答过程】 ， ，又均为正实数， （当且仅当时取"=")， ，此时. ， ，当且仅当时取得"="，满足题意. 的最大值为. 故选：D. 19．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，为正实数，且满足，则的最小值是 . 【答案】 【解题思路】首先根据题意得到，从而得到，再利用基本不等式求解即可. 【解答过程】 因为，，为正实数，， 所以. 则， 当且仅当，时取等号，所以的最小值是. 故答案为：. 20．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，，． (1)求的最小值和的最小值； (2)求的最小值． 【答案】(1)的最小值为，的最小值为 (2) 【解题思路】（1）依题意可得，利用消元法及基本不等式计算可得； （2）结合（1）可得，再利用基本不等式计算可得. 【解答过程】（1）因为，，， 所以，所以，解得， 所以，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为； 又，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. （2）因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 【题型5 基本不等式求积的最大值】 21．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由应用基本不等式求最大值，进而确定取值条件即可得. 【解答过程】因为，所以， 当且仅当，，即时等号成立. 故选：C. 22．（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题设可得，再应用基本不等式求目标式的最大值. 【解答过程】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为. 故选：B. 23．（24-25高一上·河北邯郸·期中）若正数满足：，则当取最大值时的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解题思路】根据基本不等式求解积的最值. 【解答过程】根据基本不等式，解得，所以，所以， 当且仅当时等号成立，此时的值为1. 故选：C. 24．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）设，，若，则的最大值为 . 【答案】16 【解题思路】由基本不等式求积的最大值. 【解答过程】， 由基本不等式可知， 当且仅当时等号成立，即的最大值为. 故答案为：16. 25．（24-25高一·全国·课后作业）已知，求： (1)的最大值； (2)的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】利用基本不等式计算即可. 【解答过程】（1）， ∴， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为； （2）， ∴， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 【题型6 基本不等式求和的最小值】 26．（25-26高一上·甘肃定西·阶段练习）若，且满足，则的最小值是（    ） A．6 B．18 C． D．9 【答案】C 【解题思路】由题设条件可得，利用“乘1法”与基本不等式求最小值. 【解答过程】由， 则 . 当且仅当时取等号，即，再结合， 可得，时取等号. 故选：C. 27．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意可得，利用基本不等式求解即可. 【解答过程】因为，且，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 28．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）已知实数满足，且，求的最小值为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】D 【解题思路】由可得：，代入，得，令 ，再利用基本不等式可求最小值. 【解答过程】由方程 ，可得： ， 代入所求表达式得： ， 令，则： ， 由，所以， 因为，所以，所以 . 由基本不等式得： ， 当且仅当“”，即“”，即时取等号. 所以最小值为 8. 故选：D. 29．（25-26高一上·河北保定·阶段练习）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【解答过程】由，且，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 30．（25-26高一上·辽宁大连·阶段练习）已知正数，满足. (1)求的最小值，并求此时，的值； (2)求的最小值，并求此时，的值. 【答案】(1)，，最小值为. (2)，18 【解题思路】（1）利用常值代换法和基本不等式即可求出最小值； （2）将已知式分解因式为，利用常数分离法将所求式化成，再运用基本不等式即可求得最小值. 【解答过程】（1）因为，，且，则，     所以，     当且仅当，即，即，时等号成立，     故的最小值为. （2）因为，，且，所以，     可得且,则, 所以， 当且仅当，即时等号成立，     故的最小值为18. 【题型7 二次与二次（或一次）的商式的最值】 31．（25-26高一上·江西·阶段练习）已知，则的最大值是（    ） A． B． C．5 D．8 【答案】A 【解题思路】化简变形利用基本不等式计算即可． 【解答过程】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A. 32．（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【解答过程】 ，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 33．（24-25高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【解答过程】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 34．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 【答案】4 【解题思路】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【解答过程】当时，， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4. 35．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）将函数解析式化为，利用基本不等式可求得该函数的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值； （3）由已知条件可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，解之即可. 【解答过程】（1）当时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最大值为. （2）当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. （3）因为，且，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为恒成立，则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 【题型8 条件等式求最值】 36．（25-26高一上·江苏常州·阶段练习）已知均为正实数，，则的最小值是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解题思路】根据题意，将看作一个整体，变形后结合基本不等式的计算，即可得到结果. 【解答过程】因为，即， 设，则，且， 则 ， 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：B. 37．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【解题思路】法一：由得，可得，进而结合基本不等式求解即可； 法二：由得，由，进而结合基本不等式求解即可. 【解答过程】已知，且， 法一：由得， 则 ， 当且仅当时取等号，则的最小值为； 法二：由得， 则， 当且仅当，即，时取等号， 则的最小值为． 故选：B. 38．（24-25高二下·河北保定·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】化简式子，然后使用基本不等式计算. 【解答过程】由，且， 所以， ， 当且仅当，即，时取等号， 所以，所以的最小值为. 故选：D. 39．（25-26高一上·江苏南通·阶段练习）若，，，则的最小值为 . 【答案】9 【解题思路】根据已知等式可得，代入所求式子结合基本不等式即可得最值. 【解答过程】因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 40．（24-25高一上·四川巴中·期中）已知 (1)求ab的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用基本不等式得到关于的不等式，整体换元解不等式得范围，再分析等号取到条件即可； （2）将条件等式转化为积为定值的形式，再结合整体元，利用基本不等式求解最值可得. 【解答过程】（1）由， 可得，当且仅当时等号成立. 令，则，即， 解得，又，则. 则， 当且仅当时等号成立. 故的最大值为. （2）由， 得，且， 则 . 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 基本不等式中必考八大最值问题（专项训练） 【人教A版】 【题型1 直接法求最值】 2 【题型2 配凑法求最值】 3 【题型3 巧用“1”的代换求最值】 4 【题型4 消元法求最值】 4 【题型5 基本不等式求积的最大值】 5 【题型6 基本不等式求和的最小值】 5 【题型7 二次与二次（或一次）的商式的最值】 6 【题型8 条件等式求最值】 7 知识点1 基本不等式 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 (a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，，即只能有a2＋b2>2ab，. 2. 基本不等式的常见变形 (1). (2). 知识点2 利用基本不等式求最值 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 2．常见的求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成立； (3)模型三：，当且仅当时等号成立； (4)模型四：，当且仅当时等号成立. 3．利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【题型1 直接法求最值】 1．（25-26高一上·陕西汉中·阶段练习）若，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）函数的最大值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·山东临沂·阶段练习）若，则的最小值为（    ） A．13 B．26 C． D． 4．（25-26高一上·福建莆田·阶段练习）若，则的最小值为 . 5．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各题的最值． (1)已知，求的最小值； (2)设，求函数的最大值． 【题型2 配凑法求最值】 6．（25-26高一上·四川成都·阶段练习）若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 7．（25-26高一上·江苏宿迁·阶段练习）设实数满足，函数的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 10．（25-26高一上·全国·课后作业）求下列各式的最值 (1)已知，求的最大值. (2)当时，求的最大值； 【题型3 巧用“1”的代换求最值】 11．（25-26高一上·吉林长春·阶段练习）若，，且，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 12．（2025·广东梅州·模拟预测）已知，且，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 13．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 14．（25-26高一上·辽宁大连·阶段练习）若正实数、满足，则的最小值为 . 15．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知正实数满足：. (1)求的最大值； (2)求的最小值； 【题型4 消元法求最值】 16．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 17．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，，，则的最小值为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 18．（24-25高一上·江苏无锡·期中）设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 19．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，为正实数，且满足，则的最小值是 . 20．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，，． (1)求的最小值和的最小值； (2)求的最小值． 【题型5 基本不等式求积的最大值】 21．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 22．（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高一上·河北邯郸·期中）若正数满足：，则当取最大值时的值为（    ） A． B． C．1 D． 24．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）设，，若，则的最大值为 . 25．（24-25高一·全国·课后作业）已知，求： (1)的最大值； (2)的最大值． 【题型6 基本不等式求和的最小值】 26．（25-26高一上·甘肃定西·阶段练习）若，且满足，则的最小值是（    ） A．6 B．18 C． D．9 27．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）已知实数满足，且，求的最小值为（    ） A． B． C．6 D．8 29．（25-26高一上·河北保定·阶段练习）已知，且，则的最小值为 ． 30．（25-26高一上·辽宁大连·阶段练习）已知正数，满足. (1)求的最小值，并求此时，的值； (2)求的最小值，并求此时，的值. 【题型7 二次与二次（或一次）的商式的最值】 31．（25-26高一上·江西·阶段练习）已知，则的最大值是（    ） A． B． C．5 D．8 32．（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 35．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【题型8 条件等式求最值】 36．（25-26高一上·江苏常州·阶段练习）已知均为正实数，，则的最小值是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 37．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 38．（24-25高二下·河北保定·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 39．（25-26高一上·江苏南通·阶段练习）若，，，则的最小值为 . 40．（24-25高一上·四川巴中·期中）已知 (1)求ab的最大值； (2)求的最小值． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $