精品解析：湖南省祁阳市第一中学2025-2026学年高一上学期第一次段考数学试题

2025年下期祁阳一中高一第一次段考考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 集合U、M、N、P如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 5. 若不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分或4分. 9. 下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ） A. B. ，2x＋1为奇数 C. 所有菱形的四条边都相等 D. 是无理数 10. 若x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，若，则实数的可能取值为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为____________ 13. 已知，，，则的最小值为________. 14. 设集合、是实数集的子集，，，，则________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求与； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知命题p：，，命题p为真命题时实数a的取值集合为A． （1）求集合A； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 17. 设函数. （1）若对于一切实数恒成立，求的取值范围； （2）解不等式. 18. 某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供万元的创业补助．某企业拟定在申请得到万元创业补助后，将产量增加到万件，同时企业生产万件产品需要投入的成本为万元，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．（注：收益＝销售金额＋创业补助－成本） （1）求该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式； （2）当创业补助为多少万元时，该企业所获收益最大？ 19. 已知实数集，定义． （1）若，求； （2）若，求集合A； （3）若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期祁阳一中高一第一次段考考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，又， 所以. 故选：C 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由特称命题否定定义可得答案. 【详解】由题可得命题“”的否定是“”. 故选：D 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用绝对值的定义及充分条件必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意可知，， 或，即不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 集合U、M、N、P如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据阴影部分在内部排除C,D,再分别分析A,B即可. 【详解】由图,阴影部分在内部,排除C,D,对A, 为中除阴影的部分,B满足条件. 故选B. 【点睛】由图判断集合关系时可先根据选项先主观判断是交集还是并集,排除选项后继续分析剩余的选项即可. 5. 若不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得为方程的根，且，进而结合韦达定理求得，进而求解不等式即可. 【详解】由题意，为方程的根，且， 则，即， 则不等式，即为， 则，即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：C 6. 已知命题为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过和两类情况讨论即可. 【详解】当时，恒成立，符合题意 当时，需满足 解得：， 综上， 故选：D 7. 若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】令，解得或.对两个根进行分类讨论，即，，三种情况，求出解集后，再让解集中含有两个整数，即可得到答案； 【详解】令，解得或. 当，即时，不等式的解集为，则，解得； 当，即时，不等式无解， 所以不符合题意； 当，即时，不等式的解集为，则，解得. 综上，的取值范围是或. 故选：D 8. 设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，将转化为双变量的式子，再根据基本不等式求得的最大值，并结合取等条件转化，利用函数求得其最值. 【详解】根据题意，正实数，，满足，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，则此时， 当取得最大值时，， 分析可得，当时，即时，取得最大值2． 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分或4分. 9. 下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ） A. B. ，2x＋1为奇数 C. 所有菱形的四条边都相等 D. 是无理数 【答案】AC 【解析】 【分析】利用全称量词命题的定义，结合真假判断逐项分析即可. 【详解】对于A，，恒成立，该命题是全称量词命题，且是真命题，A是； 对于B，该命题是存在量词命题，不是全称量词命题，B不是； 对于C，该命题是全称量词命题，且是真命题，C是； 对于D，该命题不是全称量词命题，D不是. 故选：AC 10. 若x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 11. 已知函数，若，则实数的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】分、、三种情况讨论，验证能否成立，即可得出合适的选项. 【详解】当时，，，，不合乎题意； 当时，，，，不合乎题意； 当时，，，，合乎题意. 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为____________ 【答案】 【解析】 【分析】要使函数有意义，只要即可． 【详解】要使函数有意义， 须满足， 解得且， 故函数的定义域为． 故答案为：． 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，属基础题，若函数解析式为偶次根式，被开方数大于等于0；若解析式为分式，分母不为0． 13. 已知，，，则的最小值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】将所求式子化简整理为，利用基本不等式可求得结果. 【详解】 （当且仅当，即，时取等号）， 的最小值为. 故答案为：. 14. 设集合、是实数集的子集，，，，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据条件可得，结合的意义，可得集合. 【详解】因为集合、是实数集的子集，若,则，，但不满足，所以. 因为,所以，所以有. 又因为表示集合的元素去掉集合中的元素，表示A集合和B集合中的所有元素，所以把中的元素去掉中元素，即为所求的集合，所以.故答案为. 【点睛】本题主要考查集合的运算，根据集合的运算性质可求也可借助数轴或者韦恩图求解，侧重考查逻辑推理的核心素养. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求与； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再根据交集、并集、补集的定义即可求解； （2）先求出集合，再根据包含关系求解即可. 【小问1详解】 当时，， 则，， 则. 【小问2详解】 由，， 则，解得， 则实数的取值范围为. 16. 已知命题p：，，命题p为真命题时实数a的取值集合为A． （1）求集合A； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由一元二次方程有实数解，即判别式不小于0可得结果； （2）将是的必要不充分条件化为是的真子集后，列式可求出结果． 【详解】（1）由命题为真命题，得，得 ∴． （2）∵是的必要不充分条件，∴是的真子集． ∴（等号不能同时成立）， 解得. 17. 设函数. （1）若对于一切实数恒成立，求的取值范围； （2）解不等式. 【答案】（1） （2）若，则解集为；若，此时不等式无解；若，则解集为 【解析】 【分析】（1）分成二次项系数为0和不为0两种情况，当二次项系数不为0时满足开口向下且； （2）因式分解后对参数分类讨论即可. 【小问1详解】 ①若，此时恒成立； ②若，要使得恒成立，则，解得， 所以； 【小问2详解】 ，即， 即， 若，则解集为； 若，此时不等式无解； 若，则解集为 18. 某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供万元的创业补助．某企业拟定在申请得到万元创业补助后，将产量增加到万件，同时企业生产万件产品需要投入的成本为万元，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．（注：收益＝销售金额＋创业补助－成本） （1）求该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式； （2）当创业补助为多少万元时，该企业所获收益最大？ 【答案】（1）， （2）7万元 【解析】 【分析】（1）由题意计算销售金额、成本，从而可得该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式； （2）由（1）得，,，利用基本不等式和对勾函数的性质，即可得出答案． 【小问1详解】 依据题意可知，销售金额万元，创业补助万元，成本为万元， 所以收益，． 【小问2详解】 由（1）可知，， 其中，当且仅当，即时，取等号． 所以， 所以当时，该企业所获收益最大，最大值为74万元． 19. 已知实数集，定义． （1）若，求； （2）若，求集合A； （3）若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 【答案】（1） （2）或者. （3）13 【解析】 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可； （2）根据可得，然后分中4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负进行讨论即可； （3）分 中没有负数和中至少有一个负数两种情况进行讨论即可求解. 【小问1详解】 ; 【小问2详解】 首先，； 其次中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负. 记，不妨设或者-- ①当时，， 相乘可知，从而， 从而，所以； ②当时，与上面类似的方法可以得到 进而，从而 所以或者. 【小问3详解】 估值+构造 需要分类讨论中非负元素个数. 先证明．考虑到将中的所有元素均变为原来的相反数时， 集合不变，故不妨设中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论： 情况一： 中没有负数． 不妨设，则 上式从小到大共有1+7+6=14个数，它们都是的元素，这表明 情况二： 中至少有一个负数． 设 是中的全部负元素，是中的全部非负元素. 不妨设 其中为正整数，． 于是有 以上是中的个非正数元素：另外，注意到 它们是中的5个正数．这表明 综上可知，总有- 另一方面，当时，中恰有13个元素. 综上所述，中元素个数的最小值为13. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $