山西省太原市小店区山西大学附属中学2025-2026学年上学期第一次月考九年级数学试题

山大附中 2025~2026 学年第一学期初三 10 月巩固数学试题 一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分） 1. 将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是( ) A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为( ) A. -4 B. -1 C. 1 D. 4 3. 下列表格是关于代数式在取部分值时的对应情况. 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 请根据表格判断，关于方程的一个正根的范围是( ) A. B. C. D. 4. 如图，菱形的面积为 10，点，，，分别为，，，的中点，则四边形的面积为( ) A. B. 5 C. 4 D. 8 5. 如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为( ) A. B. C. D. 6. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，徐明家有一个菱形中国结装饰，简化如图，在菱形 中，测得 ，，直线 交两对边于点 ，，则线段 的长为( ) A. B. C. D. 7. 如图，在矩形 中，，，点 是线段 上一个动点，连接 并延长，交 延长线于点 ，以点 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 ，当点 为 中点时， 的长度为( ) A. B. C. D. 8. 如图，在对边平行的木板上有两点 ， 及线段 的中点 ，以下操作和判断不正确的是( ) A. 过点 作任意直线（除直线 ）交纸条两边于点 ，，得到平行四边形 B. 过点 作 的垂线 交纸条两边于点 ，，得到菱形 C. 分别过点 ， 作对边的垂线，交对边于点 ，，得到矩形 D. 在点 ， 所在边的对边分别取 ， 两点，使得 ，得到平行四边形 9. 如图，边长为10cm的正方形纸片ABCD，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形，再沿着虚线折起，可以得到一个长方体盒子，点A，B，C，D正好重合于上底面一点，且此长方体盒子的表面积为36cm²，其中AE = BF。若设AE的长为x cm，则下列方程正确的是( ) A. B. C. D. 10. 如图，在矩形ABCD中，AB = 13，AD = 24，P是边AD上一点（不与点A，D重合），连接PB，先将△ABP沿直线BP翻折，点A的对应点为E。若点B关于直线PE的对称点F恰好落在CD边上，连接PF，EF，则AP的长为( ) A. B. 8 C. D. 7 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 下表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是______。 x …… -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …… …… 12 6 2 0 0 2 6 12 …… 12. 如图所示的是木制活动衣帽架，由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节B，O间的距离。若菱形边长AB = 16cm，调节B，O间的距离到48cm，则______°。 13. 新定义运算：，例如，则方程的解为______. 14. 如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点，。若正方形的边长为 2，则重叠部分四边形的面积为______. 15. 如图 1，中，，，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图 2 的菱形（不重叠、无缝隙），若，则的长为______. 三、解答题（本题共 7 小题，共 55 分） 16. （本题共两个小题，每小题 4 分，共 8 分）用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）. 17.（8 分）如图，在四边形 中，，且 ，连接对角线 ，已知 。 （1）实践与操作：利用尺规作线段 的垂直平分线，交 于点 ，交 于点 。（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）猜想与证明：连接 ，判断四边形 的形状，并说明理由。 18. (6 分) 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广. 如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）. 求这个茶园的长和宽. 19.（6 分）如图，在 Rt△ABC 中，，两锐角的平分线 AD，BE 相交于点 O，于点 F，于点 G，求证：四边形 OGCF 是正方形. 20.（10 分）2025 年 9 月 21 日早晨 7:30，太原国际马拉松赛于五一广场前正式启幕．来自全球的跑者齐聚汾河两岸，以奔跑的姿态穿越这座历史悠久而又充满现代活力的城市．据统计，全程马拉松比赛的报名选手从 2023 年的 7500 人增加到 2025 年的 14700 人． （1）求全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率； （2）某直播间以本次比赛的完赛包为参考，在比赛结束前以每套 224 元的原价，打包售卖运动能量包，平均每日卖出 30 套．比赛结束后，该直播间进行降价促销，平均每套每降低 8 元，每日可多卖出 5 套，每日最多可打包 70 套，已知平均每日收到货款为 10920 元，则每套降价多少元？ 21. (6 分) 阅读与思考 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法。首先构造了如图 1 所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得原方程的正数解为。 任务：(1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程解法的正确构图是________（从序号①②③中选择）； (2)请你通过上述问题的学习，在图 2 的网格中设计正确的构图，用几何法求得方程的正数解为________； (3)一般地对于形如的一元二次方程可以构造图 3 来解，已知图 3 由 4 个相同矩形构成，这 4 个矩形的总面积为 20，中间围成的正方形边长为。那么______，______，______。 22. (11 分) 综合与探究 问题背景: 如图, 在菱形 中, , 是一条对角线, 点 为直线 上一个动点, 将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 , 连接 , 点 是 中点, 连接 , . 【初步探究】 (1) 如图 1, 当点 在线段 的中垂线上, 则 ______. 【深入分析】 (2) 如图 2, 若点 与点 重合, 连接 交 于点 , 连接 , 请判断四边形 的形状, 并说明理由. 【拓展延伸】 (3) 若点 在点 右侧, 如图 3, 连接 , 若 , , 请直接写出 的长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 山大附中 2025~2026 学年第一学期初三 10 月巩固数学——答案 一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分） 1. 将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是() A. B. C. D. 【答案】：D 2. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为() A. -4 B. -1 C. 1 D. 4 【答案】：C 3. 下列表格是关于代数式在取部分值时的对应情况. 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 请根据表格判断，关于方程的一个正根的范围是() A. B. C. D. 【答案】：B 4. 如图，菱形的面积为 10，点，，，分别为，，，的中点，则四边形的面积为() A. B. 5 C. 4 D. 8 【答案】：B 5. 如图，在正方形 中， 平分 交 于点 ，点 是边 上一点，连接 ，若 ，则 的度数为() A. B. C. D. 【答案】: C 6. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，徐明家有一个菱形中国结装饰，简化如图，在菱形 中，测得 ，，直线 交两对边于点 ，，则线段 的长为() A. B. C. D. 【答案】: C 7. 如图，在矩形 中，，，点 是线段 上一个动点，连接 并延长，交 延长线于点 ，以点 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 ，当点 为 中点时， 的长度为() A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】: B 8. 如图，在对边平行的木板上有两点 ， 及线段 的中点 ，以下操作和判断不正确的是() A. 过点 作任意直线（除直线 ）交纸条两边于点 ，，得到平行四边形 B. 过点 作 的垂线 交纸条两边于点 ，，得到菱形 C. 分别过点 ， 作对边的垂线，交对边于点 ，，得到矩形 D. 在点 ， 所在边的对边分别取 ， 两点，使得 ，得到平行四边形 【答案】：D 9. 如图，边长为 的正方形纸片 ，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形．再沿着虚线折起，可以得到一个长方体盒子，点 ，，， 正好重合于上底面一点，且此长方体盒子的表面积为 ，其中 ．若设 的长为 ，则下列方程正确的是() A. B. C. D. 【答案】：A 10. 如图，在矩形 中，，， 是边 上一点（不与点 ， 重合），连接 ，先将 沿直线 翻折，点 的对应点为 ．若点 关于直线 的对称点 恰好落在 边上，连接 ，，则 的长为() A. B. 8 C. D. 7 【答案】：C 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 下表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是______. …… …… …… …… 【答案】：， 12. 如图所示的是木制活动衣帽架，由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节，间的距离. 若菱形边长，调节，间的距离到，则______°. 【答案】：60 13. 新定义运算：，例如，则方程的解为______. 【答案】： 14. 如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点，. 若正方形的边长为 2，则重叠部分四边形的面积为______. 【答案】： 15. 如图 1，△ABC 中，∠BCA = 90°，AB = 10，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图 2 的菱形 PQMN（不重叠、无缝隙），若 NH - PG = 2，则 QH 的长为______. 【答案】： 【解析】： ∵ 四边形 PQMN 是菱形， ∴ PN = MN = PQ = QM， ∴ CD = BE = AE = ，CF = BF = PG，QH = DE，HM = AD， ∵ ∠ACB = 90°， ∴ ， ∵ AB = 10，AC = NH = 2 + PG = 2 + CF， ∴ ， ∴ CF = 4（负值舍去）， ∴ BC = 8，AC = 6， 过 C 作 CN ⊥ AB 于 N， ∵ ， ∴ ， ∴ ，， ∴ ， ∴ . 三、解答题（本题共7小题，共55分） 16.（本题共两个小题，每小题4分，共8分）用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）. 解： 解： 或 ， ， 17.（8分）如图，在四边形中，，且，连接对角线，已知. （1）实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，交于点，交于点．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）猜想与证明：连接，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】 （1）如图所示，直线即为所求． （2）解：四边形是菱形． 理由：由（1）可知点为中点， ， ， 在中，，为边上中线， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形． 18．（6 分）某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽． 【答案】 解：设这个茶园的宽为米，则长为米，根据题意可得： ， 整理得： 解得：，， 由题意知：， 解得：， 所以取 8， 此时，， 答：这个茶园的长为 12 米，宽为 8 米． 19.（6 分）如图，在 Rt△ABC 中，，两锐角的平分线 AD，BE 相交于点 O，于点 F，于点 G，求证：四边形 OGCF 是正方形. 【答案】: 证明：如图，作于 H 点， 于点 F，于点 G， . ， 四边形 OGCF 是矩形. 平分， . 平分， ， ， 矩形 OGCF 是正方形. 20.（10 分）2025 年 9 月 21 日早晨 7:30，太原国际马拉松赛于五一广场前正式启幕. 来自全球的跑者齐聚汾河两岸，以奔跑的姿态穿越这座历史悠久而又充满现代活力的城市. 据统计，全程马拉松比赛的报名选手从 2023 年的 7500 人增加到 2025 年的 14700 人. （1）求全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率； （2）某直播间以本次比赛的完赛包为参考，在比赛结束前以每套 224 元的原价，打包售卖运动能量包，平均每日卖出 30 套. 比赛结束后，该直播间进行降价促销，平均每套每降低 8 元，每日可多卖出 5 套，每日最多可打包 70 套，已知平均每日收到货款为 10920 元，则每套降价多少元？ 【答案】: （1）解：设全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率为，根据题意可得： ， 解得：，（舍） 答：全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率为40%. （2）解：设每套降价个8元，则平均每日可卖出套，根据题意可得： ， 整理得： 解得：，， 由题意知：， 解得：， 所以取7， 此时，， 答：每套降价56元. 21.（6分）阅读与思考 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法. 首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得原方程的正数解为. 任务：（1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程解法的正确构图是______（从序号①②③中选择）； （2）请你通过上述问题的学习，在图 2 的网格中设计正确的构图，用几何法求得方程的正数解为________； （3）一般地对于形如的一元二次方程可以构造图 3 来解，已知图 3 由 4 个相同矩形构成，这 4 个矩形的总面积为 20，中间围成的正方形边长为．那么______，______，______． 【答案】 （1）②； （2）； （3），5， 22. (11 分) 综合与探究 问题背景: 如图, 在菱形 中, , 是一条对角线, 点 为直线 上一个动点,将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ,连接 ,点 是 中点,连接 , . 【初步探究】 (1) 如图 1, 当点 在线段 的中垂线上, 则 ______. 【深入分析】 (2) 如图 2, 若点 与点 重合, 连接 交 于点 , 连接 , 请判断四边形 的形状, 并说明理由. 【拓展延伸】 (3) 若点 在点 右侧, 如图 3, 连接 , 若 , , 请直接写出 的长. 【答案】 (1) . (2) 解: 四边形 是矩形. 理由: 由旋转可得, , , 在菱形 中，，，， ，， 为等边三角形， ，， 点 是 中点， ， 又 ，，， ， ， ， 又 ， ， ， ，， 四边形 是平行四边形， 又 ， ， 平行四边形 为矩形． （3）解： 的长为 或 ． 解析：①当 时，如右图， ， ， 点 为 的中点， 为 的中位线， 点 为 中点， ， ， ， ∴. ①当时，如右图， 取中点为，连接， ∵点为中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 设，则，，， ∵为中点， ∴ 即， 解得：， ∴. 综上所述，的长为或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $