专题15 综合与实践--最短路径问题【考点梳理+重点题型+中考真题】 2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

专题15 最短路径问题 （重难点题型专训） 【知识考点 最短路径问题】 【解题知识必备】 日常生活中经常会遇到最短路径问题，从数学的角度看，这类问题抽象为几何问题后，常常是求线段和的最小值问题。在前面的学习中，我们知道，“两点之间线段最短”、“垂线段最短”等。现在，利用轴对称的概念和性质获得解决最短路径问题的答案。 1.牧民饮马问题 （1）“两定一动”模型1（两点在河的异侧）：牧民从A地出发，到一条笔直的河边M处饮马，然后趟过小河到地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短? 方法：如右下图，连接AB，与直线L交于点M，在M处饮马距离最短，最短距离为线段AB的长。 （2）“两定一动”模型2（两点在河的同侧）：牧民从A地出发，到一条笔直的河边M处饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短? 方法：如右下图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’，与直线L的交点即为所求的饮马点，最短距离为线段AB’的长。 （3）“一定（区间）两动”模型3：牧民从p地出发，先到草地边M处牧马，再到河边N处饮马，最后回到p处。牧民怎样走可使所走的路径最短? 方法：如右下图，作点p关于直线l1的对称点p’，作点p关于直线l2的对称点p,,,连接p’p,,，分别与直线l1, l2交于M，N点。M，N点即为所求的牧马点和饮马点，最短距离为线段p’p,,的长。 （4）“两定（区间）两动”模型4：牧民从p地出发，先到草地边M处牧马，再到河边N处饮马，最后回到Q处。牧民怎样走可使所走的路径最短? 方法：如右下图，作点p关于直线l1的对称点p’，作点Q关于直线l2的对称点Q’,连接p’Q’，分别与直线l1, l2交于M，N点。M，N点即为所求的牧马点和饮马点，最短距离为线段p’Q’的长。 2造桥选址问题 （5）“两定两动”模型5（两点在河的异侧）：A、B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短? 方法：如右下图，可以把河的两岸看成两条平行线m//n，由于河宽MN固定，过A点作AA’垂直于河岸m，并使AA’= MN（平移），连接A’B 交河岸n于N点，过N点作MN垂直于河岸m交河岸m于M点，连接AM,MN，NB。M，N点即为所求的造桥点，可使从A到B的路径AMNB为最短。 ( A ) ( M ) A ( N ) B• 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”等性质模型求最值 【题型02】 利用“两定一动”模型求最值 【题型03】 利用“一定两动”模型求最值 【题型04】 利用“一定（区间）两动”模型求最值 【题型05】 利用“两定（区间）一动”模型求最值 【题型06】 利用“两定（区间）两动”模型求最值 【题型07】 利用模型解决造桥选址（平移）问题 【特训08】 综合提升 【特训09】 直通中考真题 【题型01】 利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”等性质模型求最值 【例1】（2023-2024七年级·甘肃兰州·期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判． 情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由． 【变式1-1】（2024-2025七年级下·全国·专题练习）如图，小明乘坐地铁2号线回家，小明家位于点P处，附近有A、B、C、D四个地铁出口，每个地铁出口都能沿着直线回家，小明从 地铁出口下车回家的路径最短． 【变式1-2】（2023-2024八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，要在公路旁修建一个货物中转站，分别向两个开发区运货．（分别在图上找出点，并保留作图痕迹，写出相应的文字说明．） (1)若要求货站到两个开发区的距离相等，那么货站应建在那里？ (2)若要求货站到两个开发区的距离和最小，那么货站应建在那里？ 【变式1-3】（2024-2025八年级上·辽宁大连·期中）【课题回顾】 在学习《13．4课题学习最短路径问题》时，根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”探究了“将军饮马”和“造桥选址”两个问题，并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题． 【问题探究】 如图，在等边中，点为中点，点，分别为，上的点，，，点是线段上的动点，连接，，求的最小值． （1）小明提出的探究思路如下：如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，根据“两点之间，线段最短”，可知此时的值最小． ①请你运用小明的探究思路，证明此时的值最小； ②求的最小值． 【类比探究】 （2）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴正半轴上一点，连接，，点为中点，平分交边于点，点为边上的一个动点．若点在线段上，连接，，当的值最小时，请直接写出点的坐标______． 【题型02】 利用“两定一动”模型求最值 【例2】（2023-2024八年级上·湖南株洲·阶段练习）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦是用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如下图，作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 【变式2-1】（2024-2025八年级上·云南昆明·期中）昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024-2025八年级上·广东东莞·期末）如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点 处．（填图中的字母） 【变式2-3】（2024-2025八年级上·辽宁·期中）阅读材料： 如图1，“智慧小组”在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． “智慧小组”的作法是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中的证明； (2)如图4，在等边中，是中点，是的平分线，是上的动点．若，则的最小值是________； (3)如图5，在中，，，，，平分，分别在，上取点，，连接，，则的最小值是________． 【题型03】 利用“一定两动”模型求最值 【例3】（2024-2025八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，． （1）求的长； （2）点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点在线段上，当的值最小时，求的值． 【变式3-1】（2024-2025八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【变式3-2】（2024-2025七年级下·江苏泰州·期末）在中，，，，，垂直平分，点是上一动点，过作，垂足为点，连接，则的最小值为 ． 【变式3-3】（2024-2025八年级上·辽宁营口·期中）如图，在四边形中，，，点，分别是线段上的动点．当的周长最小时，则的度数为多少度？ 【题型04】 利用“一定（区间）两动”模型求最值 【例4】（2023-2024八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024-2025八年级上·河南周口·期末）如图，已知，是内部的一点，且，，分别是，上的动点，则的周长最小值等于（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024-2025七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，中，分别是边上的动点，则的和的最小值是 ． 【变式4-3】（2024-2025七年级下·福建漳州·阶段练习）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． （1）如图．直线是一条输气管道，，是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供生站，向两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（ ） A. B.C.  D. （2）如图，草地边缘与小河河岸在点处形成夹角，牧马人从地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由． 【题型05】 利用“两定（区间）一动”模型求值 【例5】（2024-2025八年级上·广东广州·期末）唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（ ） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式5-1】（2024-2025七年级下·吉林长春·期末）图①，在四边形中，，，点E、F分别是、上的动点．如图②， 作点A关于、的对称点N、M，连结，交于点E，交于点F，连结、，所得的的周长最小，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024-2025七年级下·江苏苏州·期中）【提出问题】如图1，已知在直线l同侧有两点A、B，请在直线l上找一点C，使得最小． 【分析问题】如图2，作B关于直线的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是所求的点． 因为直线l是点B，的对称轴，点C在l上，由此可得． 所以 ． 以上问题的解决过程中运用的数学基本事实是 ． 【解决问题】如图3，在四边形中，，在边，上分别确定点P，点Q，使得周长最小． （1）尺规作图：作出（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若，求的度数． 【变式5-3】（2022-2023八年级上·陕西延安·期末）问题提出 某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点P，使得的值最小． 解法：如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． (1)如图2，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为______． 问题解决 (2)如图，草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知，请在图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 【题型06】 利用“两定（区间）两动”模型求值 【例6】（2024-2025八年级上·湖北鄂州·期末）如图，，点M、N分别是边上的定点，P、Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2023-2024八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，，点，分别是边，上的定点，点，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则与的数量关系为 ． 【变式6-2】（2024-2025八年级上·山西大同·阶段练习）马仑草原坐落于山西省宁武县境内管涔山之巅，最高海拔2712米．当你身临其境地站在马仑草原上与芦芽山遥遥相望的时候，你一定会惊叹于大自然的神奇壮美．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 【变式6-3】（2023-2024八年级上·全国·专题练习）将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）；队伍长为，沿河排开（从点到点）；将军从马棚M出发到达队头，从至检阅队伍后再赶到校场．问：在什么位置列队（即选择点和），可以使得将军走的总路程最短？ 【题型07】 利用模型解决造桥选址（平移）问题 【例7】（2024-2025八年级上·天津南开·期末）直线表示一条河的两岸，且，若村庄P和村庄Q在这条河的两岸．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路径最短，即最小．则下列图中满足条件的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024-2025八年级上·河南驻马店·阶段练习）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄和李庄的群众出行到河岸．张庄和李庄位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄和李庄到河岸的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在，之间距离 m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 【变式7-2】（2023-2024八年级上·全国·单元测试）如图所示，在，两村之间有两条河，且每条河的宽度相同，从村往村，要经过两座桥，．现在要设计一条道路，并在两条河上分别架这两座垂直于河岸的大桥，问：如何设计这两座桥，的位置，使由村到村的路程最短？（要求在图上标出道路和大桥的位置） 【变式7-3】（2024-2025七年级下·天津河西·期中）（1）如图①，、两点在直线的两侧，请你在直线上找到点，使得的长度最小，简述画法，并说明理由； （2）如图②，、两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．） 将这个实际问题抽象出来，即：如图③，直线，点、分别位于直线、的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小．在图③中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． （3）如图④，在（II）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图④中画出两座桥的位置，并简要说明这四个点的位置是如何找到的（不要求证明）． 【特训09】 综合提升 1.．（2024-2025七年级下·四川成都·期末）如图，在等边中，点D，E分别是边的中点，点F是边上一动点，连接．当取得最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 2.（2023-2024八年级上·河北石家庄·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为8，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3.（2024-2025八年级上·广东珠海·期末）如图，在中，于点，于点，，，若点，分别是线段，上的动点，则的最小值与线段（   ）的长度相等． A． B． C． D． 4．（2024-2025八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，连接、，则的周长的最小值为（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 5.（2024-2025八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．13 C．10 D．14 6．（2024-2025八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 7．（2024-2025八年级上·辽宁大连·期末）如图，在等边中，D为中点，点P，Q分别为上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为 ． 8．（2024-2025八年级上·福建南平·期中）如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点，使的值最小，则的最小值为 ． 9．（2023-2024八年级上·湖北荆州·期中）如图，等边三角形的边长是6，高是，E是的中点，P是上一动点，连接，，则的最小值是 ． 10．（2024-2025八年级上·河南商丘·期末）如图，在等边中，D为中点，点P，Q分别为，上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为 ． 11．（2024-2025八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，是边上的中线． （1）若，则的度数是 ．（用含的式子表示） （2）若是线段上的一个动点，为线段上的一个动点，则的最小值是 ． 12.（2023-2024八年级上·北京海淀·开学考试）已知，点P在的内部，，上有一点M，上有一点N，当的周长取最小值时， ，的周长为 ． 13．（2022-2023八年级上·全国·单元测试）如图，点是四边形内一点，分别在边、上作出点，点，使的值最小，保留作图痕迹，不写作法． 14．（2024-2025八年级上·重庆南岸·期中）已知如图所示，，在网格中按要求画图： (1)画出关于y轴对称的； (2)计算的面积； (3)若点P为y轴上一动点，使得的值最小，请在图中标出P点的位置，并写明做法． 15．（2024-2025八年级上·河北石家庄·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的（点，，分别为点A，B，C的对应点）； (2)的面积为 ； (3)若D为l上的动点，则 （填“”“ ”或“”）； (4)在直线l上找一点P，使得的长最小． 16．（2024-2025七年级下·全国·单元测试）按照下列要求作图．（保留作图痕迹） (1)【“两定一动”型（同侧）】如图，已知点，在直线同侧，在直线上求作一点，使最短； (2)【“一定两动”型】如图，内有一点，分别在，边上各取一点，使的周长最小； (3)【“两定两动”型（异侧）】如图，，是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短；（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直） (4)【“两定两动”型（同侧）】如图，的长度为定值，在直线上分别取点，，使，连接，，当最小时，求点，的位置． 17.（2024-2025八年级上·贵州遵义·期中）已知，是，两个城镇和一条河流． (1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）． (2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）． 18．（2023-2024八年级·广东深圳·期末）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 19.（2024-2025八年级上·广西来宾·期中）如图，某城镇要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区，区提供牛奶． (1)任务一：利用尺规作图，在图1中确定街道上牛奶站所建的位置，使区，区到它的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)任务二：为了配送到区和区的距离之和最短，那么牛奶站在街道上的哪个位置？ 小明同学将利用所学的知识巧妙地解决了这个问题．如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 请你阅读下列解题的过程，并完成填空： 证明：如图2，在直线上另取任一点，连结，，， 直线是点，的对称轴，点，在上， __________，__________， __________． 在中， ， ． ，即最小． (3)任务三：如图3，有两条公路和经过村庄，它们的夹角，现要在距离村庄500米的种植园处新建如图所示的三条小路，，，使三条小路刚好围成一个三角形，求周长的最小值． 20．（2022-2023七年级下·四川成都·期末）已知线段，点C是平面内一动点，且，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，交于点E．    (1)如图1，若． ①求的度数； ②如图2，作的角平分线交于F，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，当最长时，求的长． 【特训10】 直通中考真题 1．（2024·贵州遵义·中考真题）如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）． A．50° B．60° C．70° D．80° 2．（2023·山东济宁·中考真题）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（   ） A．（0，0） B．（0，1） C．（0，2） D．（0，3） 3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ． 4．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 最短路径问题 （重难点题型专训） 【知识考点 最短路径问题】 【解题知识必备】 日常生活中经常会遇到最短路径问题，从数学的角度看，这类问题抽象为几何问题后，常常是求线段和的最小值问题。在前面的学习中，我们知道，“两点之间线段最短”、“垂线段最短”等。现在，利用轴对称的概念和性质获得解决最短路径问题的答案。 1.牧民饮马问题 （1）“两定一动”模型1（两点在河的异侧）：牧民从A地出发，到一条笔直的河边M处饮马，然后趟过小河到地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短? 方法：如右下图，连接AB，与直线L交于点M，在M处饮马距离最短，最短距离为线段AB的长。 （2）“两定一动”模型2（两点在河的同侧）：牧民从A地出发，到一条笔直的河边M处饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短? 方法：如右下图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’，与直线L的交点即为所求的饮马点，最短距离为线段AB’的长。 （3）“一定（区间）两动”模型3：牧民从p地出发，先到草地边M处牧马，再到河边N处饮马，最后回到p处。牧民怎样走可使所走的路径最短? 方法：如右下图，作点p关于直线l1的对称点p’，作点p关于直线l2的对称点p,,,连接p’p,,，分别与直线l1, l2交于M，N点。M，N点即为所求的牧马点和饮马点，最短距离为线段p’p,,的长。 （4）“两定（区间）两动”模型4：牧民从p地出发，先到草地边M处牧马，再到河边N处饮马，最后回到Q处。牧民怎样走可使所走的路径最短? 方法：如右下图，作点p关于直线l1的对称点p’，作点Q关于直线l2的对称点Q’,连接p’Q’，分别与直线l1, l2交于M，N点。M，N点即为所求的牧马点和饮马点，最短距离为线段p’Q’的长。 2造桥选址问题 （5）“两定两动”模型5（两点在河的异侧）：A、B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短? 方法：如右下图，可以把河的两岸看成两条平行线m//n，由于河宽MN固定，过A点作AA’垂直于河岸m，并使AA’= MN（平移），连接A’B 交河岸n于N点，过N点作MN垂直于河岸m交河岸m于M点，连接AM,MN，NB。M，N点即为所求的造桥点，可使从A到B的路径AMNB为最短。 ( A ) ( M ) A ( N ) B• 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”等性质模型求最值 【题型02】 利用“两定一动”模型求最值 【题型03】 利用“一定两动”模型求最值 【题型04】 利用“一定（区间）两动”模型求最值 【题型05】 利用“两定（区间）一动”模型求最值 【题型06】 利用“两定（区间）两动”模型求最值 【题型07】 利用模型解决造桥选址（平移）问题 【特训08】 综合提升 【特训09】 直通中考真题 【题型01】 利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”等性质模型求最值 【例1】（2023-2024七年级·甘肃兰州·期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判． 情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由． 【答案】情景一：原因是两点之间线段最短；情景二：图见解析，理由是两点之间线段最短 【分析】本题考查数学定理的实际应用． 本题两个情景均可用“两点之间线段最短”这一定理解答． 【解答】解：情景一：从教室到图书馆,总有少数同学不走人行道而横穿草坪,根据两点之间线段最短可知可少走几步路. 情景二：连接线段与的交点为P，如下图所示，理由是两点之间线段最短． ． 【变式1-1】（2024-2025七年级下·全国·专题练习）如图，小明乘坐地铁2号线回家，小明家位于点P处，附近有A、B、C、D四个地铁出口，每个地铁出口都能沿着直线回家，小明从 地铁出口下车回家的路径最短． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径问题，线段、、、中哪一条最短，根据“垂线段最短”的性质，可得最短． 【解答】解：根据“垂线段最短”的性质，可得最短， 故答案为：B． 【变式1-2】（2023-2024八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，要在公路旁修建一个货物中转站，分别向两个开发区运货．（分别在图上找出点，并保留作图痕迹，写出相应的文字说明．） (1)若要求货站到两个开发区的距离相等，那么货站应建在那里？ (2)若要求货站到两个开发区的距离和最小，那么货站应建在那里？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称和垂直平分线的应用和作图，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）作的垂直平分线与的交点即为货站的位置，可得货站到两个开发区的距离相等． （2）作点的对称点，连接，根据两点之间线段最短，可得货站到两个开发区的距离和最小． 【解答】（1）解：要使货站到两个开发区的距离相等，可连接，线段中垂线与的交点即为货站的位置，如图： （2）解：由于两点之间线段最短，所以过点作关于对称，连接，与的交点即为货栈站的位置，如图： 【变式1-3】（2024-2025八年级上·辽宁大连·期中）【课题回顾】 在学习《13．4课题学习最短路径问题》时，根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”探究了“将军饮马”和“造桥选址”两个问题，并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题． 【问题探究】 如图，在等边中，点为中点，点，分别为，上的点，，，点是线段上的动点，连接，，求的最小值． （1）小明提出的探究思路如下：如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，根据“两点之间，线段最短”，可知此时的值最小． ①请你运用小明的探究思路，证明此时的值最小； ②求的最小值． 【类比探究】 （2）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴正半轴上一点，连接，，点为中点，平分交边于点，点为边上的一个动点．若点在线段上，连接，，当的值最小时，请直接写出点的坐标______． 【答案】（1）①证明见解析；②最小值为；（） 【分析】（1）①在上另取一点，作点关于直线的对称点为，在上，点，在上，连接，，，则，，在中，根据三角形的三边关系即可得证；②先证，，再证 是等边三角形，利用等边三角形的性质即可得解； （2）作点关于的对称点，由平分知点在上，连接，由两点之间线段最短及垂线段最短得当、、三点共线，且时，最小，证和都是等腰直角三角形，得，再证，得，进而求得，从而得，即可得解． 【解答】解：（1）①证明∶∵是等边三角形， ∴， ∵点为中点， ∴垂直平分， 如图，在上另取一点，作点关于直线的对称点为，在上，点，在上，连接，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴即是的最小值； ②解∶∵是等边三角形，点为中点， ∴，，． ∵，， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为； （2）作点关于的对称点，由平分知点在上，连接，由两点之间线段最短及垂线段最短得当、、三点共线，且时，最小， ∴，， ∴， 由题意可得， ∵平分 ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了垂线段最短，两点之间，线段最短，坐标与图形，轴对称的性质，30度直角三角形的性质，等边对等角，角平分线的定义，熟练掌握两点之间，线段最短，坐标与图形，轴对称的性质，30度直角三角形的性质是解题的关键． 【题型02】 利用“两定一动”模型求最值 【例2】（2023-2024八年级上·湖南株洲·阶段练习）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦是用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如下图，作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 【答案】见解析 【分析】略 【解答】证明：如下图，在直线l上另取任一点，连接，，， ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴=． 在中，∵， ∴即最小． 【点评】本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在与l的交点上，即A、C、三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 【变式2-1】（2024-2025八年级上·云南昆明·期中）昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最短路径，先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，此时，满足A、B两小区到学校的距离之和最小，即可作答． 【解答】解：∵要使A、B两小区到学校的距离之和最小， ∴先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，学校C的位置如图所示： ∴此时， 故选：C． 【变式2-2】（2024-2025八年级上·广东东莞·期末）如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点 处．（填图中的字母） 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，掌握轴对称的性质并正确作图是解题的关键．根据轴对称的性质作图即可求解． 【解答】解：如图：作点B关于直线a的对称点N，连接，则交直线a于点C， 由对称性可得，， ， 当三点共线时，最短， 点P的位置应选在点C处． 故答案为：C． 【变式2-3】（2024-2025八年级上·辽宁·期中）阅读材料： 如图1，“智慧小组”在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． “智慧小组”的作法是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中的证明； (2)如图4，在等边中，是中点，是的平分线，是上的动点．若，则的最小值是________； (3)如图5，在中，，，，，平分，分别在，上取点，，连接，，则的最小值是________． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3) 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）由题意知，是等边的对称轴，如图1，作关于的对称点，连接，，则的最小值是，然后求解作答即可； （3）由题意知，是的对称轴，如图2，作关于的对称点，连接，作于，由题意知，当三点共线时，，当重合时，的值最小，为，根据，即，计算求解，然后作答即可． 【解答】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； （2）解：∵等边，是的平分线， ∴是等边的对称轴， 如图1，作关于的对称点，连接，， ∴为的中点，为的平分线， ∴， 由题意知，的最小值是， 故答案为：4； （3）解：∵平分， ∴是的对称轴， 如图2，作关于的对称点，连接，作于， 由题意知，当三点共线时，， 当重合时，的值最小，为， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点评】本题考查了轴对称的性质，三角形三边关系，角平分线的性质，等边三角形的性质，垂线段最短等知识．熟练掌握轴对称的性质，三角形三边关系，角平分线的性质，等边三角形的性质，垂线段最短是解题的关键． 【题型03】 利用“一定两动”模型求最值 【例3】（2024-2025八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，． （1）求的长； （2）点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点在线段上，当的值最小时，求的值． 【答案】（1）8；（2） 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质解决最短路径问题是解答的关键． （1）证明是等边三角形即可求解； （2）作点E关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得，，则当三点共线且时，最小，即此时最小，利用等边三角形的性质得到，进而利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【解答】解：（1）解：∵在中，，， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：如图所示，作点E关于的对称点，连接， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴当三点共线且时，最小，即此时最小， ∵， ∴三点共线， ∵在等边三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3-1】（2024-2025八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．作点关于的对称点，作于M，交于P，此时，根据垂线段最短，的最小值等于垂线段的长，利用含角的直角三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图所示，作点关于的对称点，作于M，交于P，，此时最小， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式3-2】（2024-2025七年级下·江苏泰州·期末）在中，，，，，垂直平分，点是上一动点，过作，垂足为点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、三角形的高，利用垂直平分线的性质转化是解题的关键．连接，根据垂直平分线的性质得到，则有，分析可知当三点共线时，有最小值，最小值为的长，此时是的高，再利用等面积法即可求解． 【解答】解：如图，连接， ∵垂直平分，点是上一动点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵，三点共线， ∴此时是的高， ∴ ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式3-3】（2024-2025八年级上·辽宁营口·期中）如图，在四边形中，，，点，分别是线段上的动点．当的周长最小时，则的度数为多少度？ 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称——最短路径问题，三角形外角性质以及垂直平分线的性质，熟练掌握最短路径问题是解题的关键．要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，即可得出，进而得出，即可得到答案． 【解答】解：作出关于和的对称点，连接，交于点，交于点，则即为的周长最小值，作延长线， ， ， ， 由折叠可知：， ，， ， ． 【题型04】 利用“一定（区间）两动”模型求最值 【例4】（2023-2024八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点C关于的对称点E，关于的对称点F，则，，可得，即可得当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长，根据四边形中，，得，根据三角形内角和定理得，根据等边对等角得，，即可得，根据三角形内角和定理即可得． 【解答】解：如图所示，作点C关于的对称点E，关于的对称点F， 则，， ∴， ∴当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长， ∵四边形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查了轴对称—最短路线问题，三角形内角和定理，等边对等角，解题的关键是理解题意，利用对称性构造最短路径． 【变式4-1】（2024-2025八年级上·河南周口·期末）如图，已知，是内部的一点，且，，分别是，上的动点，则的周长最小值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称最短路径问题，涉及垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键； 作点关于、的对称点，分别作点关于的对称点，关于的对称点；连接， ，，根据题意求得的度数，进而证明是等边三角形，从而求解； 【解答】解：作点关于、的对称点，分别作点关于的对称点，关于的对称点；连接， ，， 根据轴对称的性质可知: ，， 此时的周长； 即当、为上述所作的交点时, 的周长取得最小值，最小值为的长度； 因为点与关于对称，点与关于对称，所以是的垂直平分线，是的垂直平分线； 根据轴对称的性质可知：，， 已知，则； 由轴对称的性质可知：， 在中，，， 所以是等边三角形； 根据等边三角形的性质，三边相等，所以，即周长的最小值为； 故选：A 【变式4-2】（2024-2025七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，中，分别是边上的动点，则的和的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题． 如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【解答】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ，，，， ， ，，， ， 、、共线， ， ， 当、、、共线时，且时，的值最小， 最小值为， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【变式4-3】（2024-2025七年级下·福建漳州·阶段练习）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． （1）如图．直线是一条输气管道，，是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供生站，向两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（ ） A. B.C.  D. （2）如图，草地边缘与小河河岸在点处形成夹角，牧马人从地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由． 【答案】（1）；（2）最短路径如图，理由见详解 【分析】本题主要考查了轴对称的最短路线问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）作点关于直线的对称点，连接，根据轴对称和垂直平分线的性质可得正确选项． （2）作点关于直线和的对称点和，连接和，连接，分别交直线和于点和，连接和，根据轴对称和垂直平分线的性质可得最短路径． 【解答】解：（1）解：∵作点关于直线的对称点，连接，故直线是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴铺设管道最短的是选项， 故选：． （2）解：作点关于直线和的对称点和，连接和，连接，分别交直线和于点和，连接和，如图： 根据对称的性质可得直线和分别是和的垂直平分线， ∴， ∴ ， 根据两点之间线段最短，即可得出路径最短为． 【题型05】 利用“两定（区间）一动”模型求值 【例5】（2024-2025八年级上·广东广州·期末）唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（ ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】此题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定和性质等知识．作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则，得到的周长，此时的周长最小值为的长，再证明是等边三角形，得到即可． 【解答】解：作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则， ∴的周长， ∴此时的周长最小值为的长， 则：， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的周长最小值为， 故选：A． 【变式5-1】（2024-2025七年级下·吉林长春·期末）图①，在四边形中，，，点E、F分别是、上的动点．如图②， 作点A关于、的对称点N、M，连结，交于点E，交于点F，连结、，所得的的周长最小，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质、等边对等角、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理，先由题意可得，由轴对称的性质结合等边对等角可得，，由三角形外角的定义及性质结合三角形内角和定理可得，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【解答】解：∵在四边形中，，， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得：，， ∴，， ∵，，， ∴， 由可得：， 故选：A． 【变式5-2】（2024-2025七年级下·江苏苏州·期中）【提出问题】如图1，已知在直线l同侧有两点A、B，请在直线l上找一点C，使得最小． 【分析问题】如图2，作B关于直线的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是所求的点． 因为直线l是点B，的对称轴，点C在l上，由此可得． 所以 ． 以上问题的解决过程中运用的数学基本事实是 ． 【解决问题】如图3，在四边形中，，在边，上分别确定点P，点Q，使得周长最小． （1）尺规作图：作出（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若，求的度数． 【答案】，，两点之间线段最短；（1）见解析；（2）80° 【分析】[分析问题]利用轴对称的性质，两点之间线段最短解决问题； [解决问题]①作点D关于的对称点，关于的对称点，连接分别交于点P，交于点Q，连接，即可； ②求出可得结论． 【解答】解：[分析问题]：如图2中，作B关于直线的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是所求的点． 因为直线l是点B，的对称轴，点C在l上，由此可得． 所以． 上问题的解决过程中运用的数学基本事实是：两点之间线段最短； [解决问题]：①如图3中，即为所求； 根据轴对称可知：，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小； ②∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，轴对称最短问题，角的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式5-3】（2022-2023八年级上·陕西延安·期末）问题提出 某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点P，使得的值最小． 解法：如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． (1)如图2，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为______． 问题解决 (2)如图，草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知，请在图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 【答案】(1)； (2)整个过程所行的路程为． 【分析】（1）如图，连接，由题意可知，当时取得最小值，结合等边三角形性质可求得； （2）分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求最短路径，结合题意易证为等边三角形，从而求解． 【解答】（1）解：如图，由题意可知： 点B关于直线的对称点为， 连接，设与直线的交点为P， 则， 即当时取得最小值， 是等边三角形， ， 故答案为：； （2）分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求的最短路径． 由题意，得， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ∴整个过程所行的路程为． 【点评】本题考查了最短路径的实际应用；解题的关键是正确作图，正确找到对称点及最短路径线段． 【题型06】 利用“两定（区间）两动”模型求值 【例6】（2024-2025八年级上·湖北鄂州·期末）如图，，点M、N分别是边上的定点，P、Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用轴对称求最短路径问题，三角形外角的性质，正确作出图形是解题的关键． 作点M关于的对称点，点N关于的对称点，连接交、于P、Q，此时，最小，根据轴对称的性质可得出，，从面可求得，，代入即可求解． 【解答】解：作点M关于的对称点，点N关于的对称点，连接交、于P、Q，此时，最小， 由轴对称的性质得：，， ∴， ∵， ， ∴， 故选：B． 【变式6-1】（2023-2024八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，，点，分别是边，上的定点，点，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则与的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称—最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小，易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【解答】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小， ，， ， ， 故答案为：． 【变式6-2】（2024-2025八年级上·山西大同·阶段练习）马仑草原坐落于山西省宁武县境内管涔山之巅，最高海拔2712米．当你身临其境地站在马仑草原上与芦芽山遥遥相望的时候，你一定会惊叹于大自然的神奇壮美．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 【答案】详见分析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，轴对称-最短路线问题等知识点，作出点A的关于草地的对称点，点B的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地点C，交河边于点D，连接，，则是最短路线．能正确画图和根据画图条件进行推理是解此题的关键． 【解答】解：如图，作出点A的关于草地的对称点，点B的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地点C，交河边于点D，连接，， ∴，， ∴， 根据“两点之间，线段最短”知，此时是最短为， ∴所走路线即为． 【变式6-3】（2023-2024八年级上·全国·专题练习）将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）；队伍长为，沿河排开（从点到点）；将军从马棚M出发到达队头，从至检阅队伍后再赶到校场．问：在什么位置列队（即选择点和），可以使得将军走的总路程最短？ 【答案】见分析 【分析】的值最小，其中是定值，问题转化为最小，先作，使得，再作对称点，连接对称点和即可求解． 解：如图，作，使得，作点关于的对称点，连接交于点，在上截取，连接，线路时，的值最小， 【点评】本题考查了轴对称—最短路径问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【题型07】 利用模型解决造桥选址（平移）问题 【例7】（2024-2025八年级上·天津南开·期末）直线表示一条河的两岸，且，若村庄P和村庄Q在这条河的两岸．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路径最短，即最小．则下列图中满足条件的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移﹣最短路径问题，掌握转化思想是解题的关键．先根据平移的性质，把问题转化为最短路径问题，再轴对称的性质作图． 【解答】解：∵， ∴先把和点P向上平移，使与重合，点P平移到，再连接交于点F， 再反方向平移回原来位置即可， 故选：A． 【变式7-1】（2024-2025八年级上·河南驻马店·阶段练习）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄和李庄的群众出行到河岸．张庄和李庄位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄和李庄到河岸的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在，之间距离 m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 【答案】 【分析】此题主要考查了最短路线问题，作点关于直线的对称点，连接交于点，此时点到与的距离和最短，正确作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决本题的解题关键． 【解答】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， ， ，此时点到与的距离和最小， 过作，延长与交于点， ， ，，且， ， ， ， 点与点的距离是， 故答案为：． 【变式7-2】（2023-2024八年级上·全国·单元测试）如图所示，在，两村之间有两条河，且每条河的宽度相同，从村往村，要经过两座桥，．现在要设计一条道路，并在两条河上分别架这两座垂直于河岸的大桥，问：如何设计这两座桥，的位置，使由村到村的路程最短？（要求在图上标出道路和大桥的位置） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了最短路径问题，平移的性质，如图所示，分别过点P和点Q作的垂线，垂足分别为A、B，在上截取等于河宽，在上截取等于河宽，连接交于E、M，分别过点E、M作的垂线，垂足分别为F、N，则，即为所求． 【解答】解：如图所示，分别过点P和点Q作的垂线，垂足分别为A、B，在上截取等于河宽，在上截取等于河宽，连接交于E、M，分别过点E、M作的垂线，垂足分别为F、N，则，即为所求； 易证明的长即为最短路径长． 【变式7-3】（2024-2025七年级下·天津河西·期中）（1）如图①，、两点在直线的两侧，请你在直线上找到点，使得的长度最小，简述画法，并说明理由； （2）如图②，、两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．） 将这个实际问题抽象出来，即：如图③，直线，点、分别位于直线、的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小．在图③中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． （3）如图④，在（II）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图④中画出两座桥的位置，并简要说明这四个点的位置是如何找到的（不要求证明）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查轴对称作图，线段的性质，熟练掌握轴对称的性质，两点之间线段最短，是解题的关键： （1）根据两点之间线段最短，直接连接，与的交点即为点； （2）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求． （3）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 【解答】解：（I）如图，连接，与交于点，点即为所求； 理由：两点之间，线段最短． （II）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求． （Ⅲ）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 【特训09】 综合提升 1.．（2024-2025七年级下·四川成都·期末）如图，在等边中，点D，E分别是边的中点，点F是边上一动点，连接．当取得最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点H，连接，过点D作于点I，交的延长线于点G，连接，证明点G是点D关于的对称点，当F与H重合时，取得最小值，此时，解答即可． 本题考查了等边三角形的判定和性质，将军饮马河原理的应用，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【解答】解：如图，取的中点H，连接，过点D作于点I，交的延长线于点G，连接， ∵等边， ∴， 点D，E分别是边的中点，的中点H， ∴， ∴都是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴点G是点D关于的对称点， ∴当F与H重合时，取得最小值，此时， 故选：C． 2.（2023-2024八年级上·河北石家庄·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为8，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了最短路线问题，角平分线的性质，垂线段最短定理．过点作，垂足为点，交于点，过点作，垂足为点，根据“垂线段最短”，即可得为的值最小，再利用面积公式求出的值，即可得出答案，解题关键是利用垂线段最短解决最值问题． 【解答】解：如图，过点作，垂足为点，交于点，过点作，垂足为点， 平分， ， ， 当点与点重合时，的值最小，等于的值， ，的面积为8， ， ， 的最小值为4， 故选：B． 3.（2024-2025八年级上·广东珠海·期末）如图，在中，于点，于点，，，若点，分别是线段，上的动点，则的最小值与线段（   ）的长度相等． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题、等边三角形的判定与性质，理解转化思想和等边三角形的性质是解答本题的关键． 在上取点，使得，根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据等边三角形的性质求解即可． 【解答】解：在上取点，使得，过作于， ， 垂直平分， ，， ，即的最小值为的长， 当时，最小，过作于， ，， 为等边三角形， 于点，于， ， 故选：B． 4．（2024-2025八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，连接、，则的周长的最小值为（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】B 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，涉及到线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出周长的最小值为是解题的关键． 连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【解答】解：连接，， ∵直线垂直平分线段， ∴， ∵点D为边的中点，， ∴， ∴周长， ∴周长的最小值为， ∵，点D为边的中点， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴周长的最小值为， 故选：B． 5.（2024-2025八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．13 C．10 D．14 【答案】A 【分析】连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【解答】解：连接，， 直线垂直平分线段， ， 点为边的中点，， ， 周长， 周长的最小值为， ，点为边的中点， ， ，， ， 解得， 周长的最小值为， 故选：A． 【点评】本题考查轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出周长的最小值为是解题的关键． 6．（2024-2025八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．作点关于的对称点，作于M，交于P，此时，根据垂线段最短，的最小值等于垂线段的长，利用含角的直角三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图所示，作点关于的对称点，作于M，交于P，，此时最小， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7．（2024-2025八年级上·辽宁大连·期末）如图，在等边中，D为中点，点P，Q分别为上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的判定与性质， 作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小，最小值，求出即可，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 【解答】解：∵是等边三角形， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴， 如图，作点Q关于的对称点，连接，则， 当点P，E，共线时，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 8．（2024-2025八年级上·福建南平·期中）如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点，使的值最小，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，判断出是解本题的关键． 先作出点C关于的对称点，判断出，进而判断出，再构造出直角三角形，利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：如图，延长至，使， ∵， ∴点与点C关于对称， 连接交于，此时最小， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点B作交的延长线于E， 则（平行线间的距离处处相等）， 在中，， ∴， 即的值最小值为6， 故答案为：6． 9．（2023-2024八年级上·湖北荆州·期中）如图，等边三角形的边长是6，高是，E是的中点，P是上一动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称称最短路线问题，等边三角形的性质“三线合一”，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键． 要求的最小值，需考虑通过作辅助线转化的值，从而找出其最小值求解． 【解答】∵是等边三角形，是边的中线， ∴垂直平分， ∴点C与点关于对称，连接交于，则此时，的值最小，且等于的长， ∵点是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 10．（2024-2025八年级上·河南商丘·期末）如图，在等边中，D为中点，点P，Q分别为，上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为 ． 【答案】11 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，等边三角形的判定与性质．作点Q关于的对称点，连接，则，则，可得当点P，E，三点共线时，取得最小值，最小值为的长，从而得到的最小值为的长，再证明为等边三角形，即可求解． 【解答】解：∵等边中，D为中点， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，作点Q关于的对称点，连接，则，则， 当点P，E，三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 即的最小值为11． 故答案为：11 11．（2024-2025八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，是边上的中线． （1）若，则的度数是 ．（用含的式子表示） （2）若是线段上的一个动点，为线段上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的三线合一得出，，再根据三角形内角和即可得出答案； （2）连接，过点作交与点，根据等腰三角形的性质可得出的最小值是的长，再根据三角形面积公式即可得出答案． 【解答】解：（1） ，是表上的中线， ，平分， ，， ， ； （2）连接，过点作交与点， 所在直线是等腰三角形的对称轴， ， ， 的最小值是的长， ， ， 的最小值是， 故答案为：，． 12.（2023-2024八年级上·北京海淀·开学考试）已知，点P在的内部，，上有一点M，上有一点N，当的周长取最小值时， ，的周长为 ． 【答案】 /120度 4 【分析】作P关于直线的对称点，作P关于直线的对称点，连接，交于M，交于N，则此时的周长最小，连接，，和分别与和交于C，D，根据对称的性质得到，，，，，可证明是等边三角形，得到，继而推出的周长为，利用四边形内角和求出，利用三角形内角和求出，根据等边对等角求出，再利用角的和差求出结果． 【解答】解：如图，作P关于直线的对称点，作P关于直线的对称点，连接，交于M，交于N，则此时的周长最小，连接，，和分别与和交于C，D， ∵P关于直线的对称点，P关于直线的对称点， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，   ∴的最小周长为， ∵，， ∴，， 在四边形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，4． 【点评】本题考查了轴对称—最短路线问题，对称的性质，等边对等角，等边三角形的性质和判定的应用，三角形内角和，关键是找出符合条件的M、N点的位置，题目比较好，但有一定的难度． 13．（2022-2023八年级上·全国·单元测试）如图，点是四边形内一点，分别在边、上作出点，点，使的值最小，保留作图痕迹，不写作法． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查轴对称最短路线问题，熟练掌握两点之间线段最短是解题的关键．分别做出点关于的对称点，根据两点之间线段最短画图即可． 【解答】解：分别做出点关于的对称点，连接，交于点，交于点，则点即为所求点． 14．（2024-2025八年级上·重庆南岸·期中）已知如图所示，，在网格中按要求画图： (1)画出关于y轴对称的； (2)计算的面积； (3)若点P为y轴上一动点，使得的值最小，请在图中标出P点的位置，并写明做法． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)见解析 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、轴对称—最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案； （2）利用网格计算三角形面积即可； （3）根据轴对称的性质作图即可． 【解答】（1）解：如图所示：即为所求； （2）根据题意得：的面积为 （3）由（1）得点C与点关于y轴对称， ∴连接与y轴交于点P即为所求， 如图所示，点P即为所求． 15．（2024-2025八年级上·河北石家庄·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的（点，，分别为点A，B，C的对应点）； (2)的面积为 ； (3)若D为l上的动点，则 （填“”“ ”或“”）； (4)在直线l上找一点P，使得的长最小． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)见解析 【分析】本题考查作图—轴对称变换、轴对称—最短路线问题，割补法求图形面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）根据题意可得． （4）如图，连接，交直线l于点P，连接，此时，为最小值，则点P即为所求． 【解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：的面积为． 故答案为：； （3）解：∵点A与点关于直线l对称，D为l上的动点， ∴； 故答案为：； （4）解：如图，连接，交直线l于点P，连接，此时，为最小值，则点P即为所求． 16．（2024-2025七年级下·全国·单元测试）按照下列要求作图．（保留作图痕迹） (1)【“两定一动”型（同侧）】如图，已知点，在直线同侧，在直线上求作一点，使最短； (2)【“一定两动”型】如图，内有一点，分别在，边上各取一点，使的周长最小； (3)【“两定两动”型（异侧）】如图，，是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短；（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直） (4)【“两定两动”型（同侧）】如图，的长度为定值，在直线上分别取点，，使，连接，，当最小时，求点，的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称性质、最短路径问题； （1）作点 关于的对称点，连接，交与点，则点即为所求； （2）点即为所求分别作点关于射线，的对称点，，连接分别交，于点，此时的周长，为最小． （3）过作河的垂线，要使最短，直线，，连接即可得出，作出即可． （4）过作使得，作点关于的对称点，连接与的交点即为，过作交为，点，即为所求． 【解答】（1）解：点位置如图①②所示．（任选一种即可） （2）如图③所示，点即为所求分别作点关于射线，的对称点，，连接分别交，于点，此时的周长，为最小． （3）如图④，即为所求的桥． 根据垂线段最短，得出是河的宽时，最短，即直线a（或直线b）， 只要最短就行， 即过B作河岸b的垂线，垂足为H，在直线上取点，使等于河宽．连接交河的a边岸于M，作垂直于河岸交b边的岸于N点，所以，即为所求的桥． （4）解：过A作使得，作点C关于l的对称点D，连接与l的交点即为F，过A作交l为E，点E，F即为所求．点，的位置如图⑤所示． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点C关于l的对称点D， ∴，， ∴，， ∵为定值， ∴要求的最小值，只需求， ∴点B、F、D共线时，最小． 17.（2024-2025八年级上·贵州遵义·期中）已知，是，两个城镇和一条河流． (1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）． (2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质、平移的性质、最短路径问题，根据轴对称和平移的性质正确作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据平移的性质作图即可． 【解答】（1）解：如图1，作关于河边（直线）的对称点，连接交直线于点，连接， 由轴对称的性质得， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， ∴如图所示，点的位置即为所求； （2）解：设河流宽度（直线与直线之间的距离）为， 将点向下平移至，连接交直线于点，作直线交直线于点，连接，如图2： 则， 由平移的性质得，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即铺设管道的总长最小， ∴如图所示，点的位置即为所求． 18．（2023-2024八年级·广东深圳·期末）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【答案】【数学建模】， ① ，；【问题拓展】见解析【迁移应用】米 【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法． 【数学建模】由垂直平分线的性质得，由两点之间线段最短得； 【问题拓展】解过作垂直于河岸，使得，连接交另一河岸于，过 作垂直河岸于，即为所求； 【解答】，①，； 解：【问题拓展】桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短； 19.（2024-2025八年级上·广西来宾·期中）如图，某城镇要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区，区提供牛奶． (1)任务一：利用尺规作图，在图1中确定街道上牛奶站所建的位置，使区，区到它的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)任务二：为了配送到区和区的距离之和最短，那么牛奶站在街道上的哪个位置？ 小明同学将利用所学的知识巧妙地解决了这个问题．如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是所求的位置． 请你阅读下列解题的过程，并完成填空： 证明：如图2，在直线上另取任一点，连结，，， 直线是点，的对称轴，点，在上， __________，__________， __________． 在中， ， ． ，即最小． (3)任务三：如图3，有两条公路和经过村庄，它们的夹角，现要在距离村庄500米的种植园处新建如图所示的三条小路，，，使三条小路刚好围成一个三角形，求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)500米 【分析】本题考查轴对称，最短路径问题，等边三角形的判定与性质，文字量多，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意利用垂直平分线的性质，连接，作的垂直平分线即可； （2）根据最短最短路径问题，结合对称的性质，填空即可； （3）分别作点关于，的对称点、，连接，分别交，于点M、N，此时的周长最小，其最小值等于的长，证明是等边三角形，即可得解． 【解答】（1）解：如图1所示，牛奶站应建在点处． （2）证明：如图2，在直线上另取任一点，连结，，， 直线是点，的对称轴，点，在上， ，， ． 在中， ， ． ，即最小； （3）解：如图3所示，分别作点关于，的对称点、，连接， 分别交，于点M、N，此时的周长最小，其最小值等于的长． 由对称的性质可得米，，， ， 是等边三角形， 米 米． 20．（2022-2023七年级下·四川成都·期末）已知线段，点C是平面内一动点，且，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，交于点E．    (1)如图1，若． ①求的度数； ②如图2，作的角平分线交于F，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，当最长时，求的长． 【答案】(1)①；②；理由见解析 (2)4 【分析】（1）①由题意得是等边三角形，继而得，再得； ②在线段上截取，证明，再利用角平分线定义得，继而得到，即可得到本题答案； （2）过作，且使，所以点是定点，的长度是定长，证明，继而得到当最长时，，，三点在同一条直线上，继而得到本题答案． 【解答】（1）解：①，， 是等边三角形， ，， ， ， 由题意，得， ， ， ， ②；理由如下： 在线段上截取，如图2， ， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ； （2）解：如图3，过作，且使，所以点是定点，的长度是定长． ， ， ， 在和中， ， ， ， 而， 当最长时，，，三点在同一条直线上，如图4， ，， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查等边三角形判定及性质，三角形内角和定理，全等三角形性质及判定，最短路径问题，角平分线定义等．正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【特训10】 直通中考真题 1．（2024·贵州遵义·中考真题）如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）． A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】D 【分析】要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出点A关于BC和CD的对称点分别为点G和点H，即可得出，，根据的内角和为，可得出；再根据四边形的内角和为可知，，即，建立方程组，可得到的度数，即可得出答案． 【解答】解：作点A关于直线BC和直线CD的对称点G和H，连接GH，交BC、CD于点E、F，连接AE、AF，则此时△AEF的周长最小， ∵四边形的内角和为， ∴， 即①， 由作图可知：，， ∵的内角和为， ∴②， 方程①和②联立方程组， 解得． 故选：D． 【点评】本题考查轴对称变换、最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的内角和定理、四边形的内角和及垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E、F的位置是解题关键． 2．（2023·山东济宁·中考真题）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（   ） A．（0，0） B．（0，1） C．（0，2） D．（0，3） 【答案】D 【分析】略 【解答】解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′， 此时△ABC的周长最小， ∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0）， ∴B′点坐标为：（-3，0），则OB′=3， 过点A作AE垂直x轴，则AE=4，OE=1， 则B′E=4，即B′E=AE， ∴∠EB′A=∠B′AE， ∵C′O∥AE， ∴∠B′C′O=∠B′AE， ∴∠B′C′O=∠EB′A， ∴B′O=C′O=3， ∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小． 故选D． 3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解． 【解答】解：作关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，连接， 关于对称， ∴， 同理，，， ，， 是等腰三角形． ， 故答案为：． 4．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 【解答】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，， ∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴， ∴在中， ， 故答案为：5 学科网（北京）股份有限公司 $