江苏省南京市联合体2025－2026学年上学期八年级数学学科素养练习

2025一2026学年初二年级数学学科素养练习 (时间：100分钟总分：100分) 一、单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是(). A.2,2,3B.5,6,11 C.3,4,8 D.10,5,5 2.若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是() A.70° B.45 C.35° D.50° 3.如图，AC,BD交于点E,AE=CE,添加以下四个条件中的一个，其中不能使△ABE2△CDE的条件是() A.BE=DE B.AB∥CD C.∠A=∠C D.AB=CD 4.如图，△ABC≌△CDE,若∠D=35°，∠ACB=45°，则∠DCE的度数为() A.90° B.100° C.110° D.120° D 莫斯科 B A 雅典。一带一路不意图北京 (第3题) (第4题) (第5题) 5.第三届“一带一路”国际合作高峰论坛于2023年10月17日至18日在北京举行.“一带一路”正在成为惠及各 国人民的“发展带“幸福路”，如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓， 使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在() A.三边垂直平分线的交点B.三边中线的交点C.三条角平分线的交点D.三边上高的交点 6.下列各式中，正确的是() A.V(-2)2=-2B.(←V3)2=9 C.√9=±3 D.±√9=±3 7.如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=() A.30° B.45° C.60° D.1359 B M (第7题) (第8题) 8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=1,M为边BC上的点，连接AM,如果将△ABM沿直线AM翻折 后，点B恰好落在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是() A子 B. c. D.2 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9.81的平方根是 ； 27= 10.一个等腰三角形的两边长分别是4cn和8cm,则它的周长是 试卷第1页，共4页 11.如图，用尺规作∠A'OB=∠AOB的依据是 B G (第11题) (第12题) （第14题) (第15题) 12.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5cm,△ABD的周长为20cm,则△ABC的周长为 cm 13.若直角三角形斜边上的高和中线长分别是5cm,6cm,则它的面积是一cm2. 14.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,ED∥BC,若AB=4,AD=2,则△AED的周长是 15.如图，Rt△ABC2Rt△DEF,已知∠ABC=∠DEF=90°，若BE=6,EF=7,CG=2,则图中阴影部分 的面积为 16.王同学用10块高度都是2c的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一 个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90),点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间 的距离为 cm. D (第16题) (第17题) (第18题) 17.如图，△ABC中，AB=AC=13,BC=10,AD是BC边上的中线，AD=12,F是AD上的动点，E是AC边上 的动点，则CF+EF的最小值为 I8.如图，在等边△ABC中，点E在线段AB的延长线上，点D在直线BC上，且ED=EC.若△ABC的边长为 1,AE=3,则CD= 三、解答题（本大题共8小题，共64分） 19.(7分)已知：如图，AD=BC,CA⊥AB,AC⊥CD.求证：AD∥BC. D 20.(7分)如图所示，∠A=∠D,∠B=∠DEF,BE=CF,求证：AB=DE. 试卷第2页，共4页 21.(7分)如图，AC,BD是四边形ABCD的对角线，且AC,BD相交于点O.求证：AB+CD<AC+BD. D ○ 22.(8分)如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点. (1)若AB=8,AC-10,求四边形AEDF的周长； (2)EF与AD有怎样的位置关系？证明你的结论. 23.(8分)如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C,∠BAC的平分线AD交BC于点D,过B作BF⊥AD,垂足为F, 延长BF交AC于点E. (I)求证：△ABE为等腰三角形； (2)已知AC=16,BD=3,求AB的长. 24.(8分)如上图，在△ABC中，AB>AC. (I)尺规作图：作∠BAC的角平分线，在角平分线上确定点D,使得DB=DC;(不写作法，保留痕迹) B (2)在(1)的条件下，若∠BAC=90°，AB=7,AC=5,记点D到直线AB的距离为d,d=:(直 接写出结果) 试卷第3页，共4页 25.(9分)(1)求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 己知：如图1， 求证： 证明： B B (图1) (图2) (2)如图2，己知三角形衣架ABC中，AB=AC=20cm,∠ABC=15°，则△ABC的面积为 26.(10分) 【模型感知】 (1)如图①，△ABD和△AEC都是等边三角形，求证：BE=DC; 【模型应用】 (2)己知∠ABC=60°，点F在直线BC上，以AF为边在直线BC上方作等边三角形AFE,过点E作ED LAB 于点D.如图②，若点F在点B右侧，求证：AB+BF=2BD. D 图① B F 图② 试卷第4页，共4页《2025一2026学年初二年级数学学科素养练习》参考答案 题号 1 2 4 5 6 ⊙ 答案 D B 0 A 1.A 【分析】本题考查三角形三边的关系. 根据三角形三边之间的关系，对各选项进行分析判断即可， 【详解】解：A.2,2,3,最长的边为3,2+2=4>3，能组成三角形，符合题意： B.5,6,11,最长的边为11,5+6=11，不能组成三角形，不符合题意： C.3,4,8,最长的边为8,3+4=7<8，不能组成三角形，不符合题意； D.10,5,5,最长的边为10,5+5=10，不能组成三角形，不符合题意. 故选：A. 2.C 【分析】先判断出110°的内角是这个等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的定义求解即 可得 【详解】解：：等腰三角形有一个内角为110°， ·这个等腰三角形的底角是180°-110° 2 35°， 故选：C. 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三 角形的两个底角相等， 3.D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理 分别分析即可 【详解】解：A、可利用SAS证明△ABE2△CDE,故此选项不合题意： B、由AB∥CD可得∠A=∠C,可利用ASA证明△ABE≌△CDB,故此选项不合题意； C、可利用ASA证明△ABE≌△CDE,故此选项不合题意： D、不可利用SSA证明△ABE≌△CDE,故此选项符合题意： 故选：D 4.B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先由全等三角形对应角相 答案第1页，共15页 等得到∠CED=∠ACB=45°，再根据三角形内角和定理可得答案. 【详解】解：，△ABC2△CDE,∠ACB=45°， ∴.∠CED=∠ACB=45°， ,∠D=35°， .∠DCE=180°-∠CED-∠D=35°=100°， 故选：B. 5.A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质即可得出答案. 【详解】根据线段垂直平分线的性质可知，三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等， 所以中转仓的位置应选在三边垂直平分线的交点， 故选：A. 6.D 【详解】试题分析：A.原式月-2=2，错误： B.原式=3，错误： C.原式=3，错误； D.原式=±3，正确. 故选D, 考点：1.立方根：2.平方根；3.算术平方根， 7.B 【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE,根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB, 再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2 【详解】 ,在△ABC和△DBE中 「AB=BD {∠A=∠D, AC-ED .∴.△ABC≌△DBE(SAS), 答案第2页，共15页 .∠3=∠ACB, ,∠ACB+∠1=90°， .∠1+∠3=90° ,∠2=45° .∠1+∠3-∠2=90°.45-45°， 故选B, 【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角 相等. 8.A 【分析】本题考查了折叠的性质、角平分线的性质定理、三角形面积公式，作ME⊥AC于E, MF⊥AB于F,由折叠的性质可得：∠BAM=∠CAM=45°，AB=AB'=1,再由角平分线 的性质定理可得ME=MF,再结合面积公式计算即可得解， 【详解】解：如图：作ME⊥AC于E,MF⊥AB于F, B ,在Rt△ABC中，∠BAC=90°， .由折叠的性质可得：∠BAM=∠CAM=45°，AB=AB=1, ,ME⊥AC,MF⊥AB, .ME=MF, ,将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处， .CB'=AB'=1, .AC=2, Sao-404C=3k2=1, 1 Γ2 S=S+8=B+4C=+3, x1xMB+2XMB-1 2 .ME=2 1 故选：A. 答案第3页，共15页 9.±9 -3 10.20cm 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况.已知没有 明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三 角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键.题目给出等腰三角形有两边长为4Cm和 8c,而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能 否组成三角形 【详解】解：①8cm为腰，4cm为底，此时周长为8+8+4=20(cm); ②8cm为底，4cm为腰， ,4+4=8, ∴.两边之和等于第三边无法构成三角形，故舍去 综上所述：它的周长是20Cm 故答案为：20cm. 11.全等三角形的对应角相等 【分析】此题考查了全等三角形的判定，尺规作一个角等于已知角，熟练掌握全等三角形的 判定方法是解本题的关键。 利用全等三角形的判定方法判断即可. 【详解】解：由作法得：OD=OD,OC=OC,CD=CD, ∴.ACOD2△AC'OD(SSS), ∴.∠A'OB'=∠AOB(全等三角形的对应角相等). 故答案为：全等三角形的对应角相等. 12.30 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和定义，根据线段垂直平分线的性质和定义 得到AD=CD,AC=2CE=I0cm,再由三角形周长公式推出AB+BC=20cm,据此可得答 案 【详解】解：，DE是边AC的垂直平分线，AE=5cm, .AD=CD,AC=2CE =10cm, .'△ABD的周长为20cm, .'AB+AD+BD=20cm, 答案第4页，共15页 .AB+CD+BD=20cm,BAB+BC=20cm, ∴.VABC的周长=AB+BC+AC=30cm, 故答案为：30 13.30 【分析】本题考查了直角三角形的性质和面积求法，解题关键是根据斜边中线求出斜边长： 根据斜边中线等于斜边一半求出斜边长，再利用面积公式求解即可. 【详解】解：，直角三角形斜边上的中线是6cm, ∴.直角三角形斜边长是6×2=12(cm), .直角三角形斜边上的高是5cm, .三角形的面积为x12x5=30(cm), 2 故答案为：30. 14.6 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，由角平分线的定义可得 ∠ABD=∠CBD,由平行线的性质可得∠EDB=∠CBD,从而得到∠EDB=∠EBD,推出 DE=BE,再由△AED的周长=AD+AE+DE=AD+AE+BE=AD+AB,即可得到答案， 熟练掌握以上知识点并灵活应用是解此题的关键。 【详解】解：：BD平分∠ABC, ∠ABD=∠CBD, :ED∥BC, .·.∠EDB=∠CBD, ∴.∠EDB=∠EBD, .DE=BE, AB=4,AD=2, ∴.△AED的周长=AD+AE+DE=AD+AE+BE=AD+AB=2+4=6, 故答案为：6. 15.36 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由△DEF≌△ABC得SDgr=S4Bc,则阴影部分的面 积=梯形BEFG的面积，再根据梯形的面积公式即可得到答案. 【详解】解：，△DEF2△ABC,EF=7, 答案第5页，共15页 :'EF=BC=7,S.DER =S.ABC, .S.ABC-S.DRG =S.DEF -S.DBG .S四边形4CgD=S梯形0， CG=2, BG=BC-CG=7-2=5, 48a=SBG+BF)-BE-号5+7k6=36。 故答案为：36 16.20 【分析】根据题意可得AC=BC,∠ACB=90°，AD⊥DE,BELDE,进而得到∠ADC= ∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC,再证明△ADC≌△CEB即可， 利用全等三角形的性质进行解答 【详解】解：由题意得：AC=BC,∠ACB=90°，AD LDE,BELDE, ∴.∠ADC=∠CEB=90°， '.∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°， ∠BCE=∠DAC, 「∠ADC=∠CEB 在△ADC和△CEB中， ∠DAC=∠BCE, AC=BC '.△ADC≌△CEB(AAS): 由题意得：AD=EC=6cm,DC=BE=14cm, .'DE=DC+CE=20(cm), 答：两堵木墙之间的距离为20cm 故答案是：20. 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件. 答案第6页，共15页 【分析】作E关于AD的对称点M,连接CM交AD于F,连接EF,过C作CNLAB于N, 根据三线合一定理求出BD的长和ADLBC,根据勾股定理求出AD,根据三角形面积公式 求出C,根据对称性质求出CP+F=CN根据垂线段最短得出C叶0，即可符出 120 答案。 【详解】解：过C作CNLAB于N,CN交AD于F,作N关于AD的对称点E,此时CF+ EF最短， ,AB=AC,AD是△ABC的中线， AD⊥BC, E点在AC上， 即CF+EF的最小值为CN的长度， ∴SABC=-5×BCAD=号AB×CN, ∴CW= BC×AD_10×12_120 AB 13131 即CT+BF的最小值是120 13 故答案为： 120 13 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是掌握等腰三角形的轴对称性，点到直线 上格点的距离，垂线段最短，是解题的关键， 18.4 【分析】过点E作EF⊥CD于点F,根据等边三角形的性质及线段的和差推出BE=2, ∠ABC=60°，根据直角三角形的性质得出∠BEF=30°，根据含30°角的直角三角形的性质 推出BF=BB=1,根据等腰三角形的性质及线段的和差求解即可. 此题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟记含30°角的直角三角形的性质是解题的关键. 【详解】解：过点E作EF⊥CD于点F, 答案第7页，共15页 ,VABC是等边三角形，边长为1，AE=3, BE=AE-AB=2,∠ABC=60°， EF LCD, ∴∠EFB=90°， ∴.∠BEF=90°-60°=30°， BF-8E=1. .CF=BF+BC=2, ,ED=EC,EF⊥CD, .DF=CF=2, .CD=DF+CF=4. 故答案为：4. 19.证明见解析 【详解】，CA LAB,AC⊥CD, ∴.∠BAC=∠DCA=90° 在Rt△ABC和Rt△CDA中， 「AD=BC AC=CA .∴.Rt△ABC≌Rt△CDA(HL) ∴.∠ACB=∠CAD, AD∥BC. 20.见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明BC=EF,再证明 △ABC≌ADEF(AAS),即可证明AB=DE· 【详解】证明：，BE=CF, ∴BE+CE=CF+CE,即BC=EF, 答案第8页，共15页 又，∠A=∠D,B=∠DEF, .△ABC≌△DEF(AAS), .AB=DE. 21.(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)在△ABO和△COD中，利用三角形三边关系即可求证结论. (2)由(1)得，AB+CD<AC+BD,在△AOD和△COB中，利用三角形三边关系可得 AD+BC<AC+BD,利用等量关系即可求证结论. 【详解】(1)证明：，在△ABO和△COD中，AO+BO>AB,CO+DO>DC, ∴.AO+CO+BO+DO>AB+DC,即AB+CD<AC+BD. (2)由(1)得，AB+CD<AC+BD, 同理可得，AD+BC<AC+BD, .AB+BC+CD+AD<2(AC+BD), 即AC+BD(4B+BC+CD+AD, 【点睛】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键. 22.(1)18 (2)EF垂直AD,证明见解析 【分析】本题考查直角三角形斜边上中线的性质，以及中垂线的性质，熟练掌握这些性质是 解题关键， (1)由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DE,DF的长，进而可以求出周 长； (2)根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上证明即可. 【详解】(1)解：：AD是△ABC的高， △ABD和△ACD均为直角三角形， 又：E、F分别是AB、AC的中点 D2=AB=4C=方10=5，Dr=AR=54B=8=4 21 2 .四边形AEDF的周长为AE+DE+DF+AF=5+5+4+4=18 (2)结论：EF垂直AD,证明如下： 答案第9页，共15页 由(1)可知DE=AE,DF=AF, .E、F在AD的垂直平分线上， .EF垂直AD 23.(1)见解析： (2)13 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和， 等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键； (1)由垂直的定义得到∠AFE=∠AFB=90°，由角平分线的定义得到∠EAF=∠BAF,根 据三角形的内角和得到∠AEF=∠ABF,得到AE=AB,于是得到结论； (2)连接DE,根据等腰三角形的性质得到AD垂直平分BE,得到BD=ED,由等腰三角 形的性质得到∠DEF=∠DBF,等量代换得到∠AED=∠ABD,于是得到结论. 【详解】(1)证明：，BE L AD, .∠AFE=∠AFB=90°， 又AD平分∠BAC, ∠EAF=∠BAF, 又：在△AEF和△ABF中 ∠AFE+∠EAF+∠AEF=180°，∠AFB+∠BAF+∠ABF=180° ∠AEF=∠ABF, .:AF=AB, △ABE为等腰三角形： (2)解：连接DE, QAE=AB,AD平分∠BAC, B D AD垂直平分BE, .BD=ED, ∴.∠DEF=∠DBF, ·.∠AEF=∠ABF, .∠AED=∠ABD, 答案第10页，共15页