精品解析：福建省永春第一中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

永春一中2025年10月高-一年月考数学科试卷 （2025.10） 考试时间长度：120分钟，总分：150分 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图示分析阴影部分与集合A,B的关系，再根据集合的运算可得结果. 【详解】由图可知，阴影部分包含于集合，与集合的交集为空集， 所以阴影部分表示的集合是集合与集合的交集. 因为全集，集合，所以或. 因为集合，所以. 故选：D. 2. 已知集合，，，则集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对集合C分析，当n为偶数时，它与集合A相等，所以集合A是集合C的真子集；又集合B和集合C相等，从而得出集合A、B、C的关系． 【详解】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C． 3. 某中学为丰富社团活动，对初一学生进行了关于是否愿意加入动漫社、志愿者社、篮球社的意向调查，要求每位学生至少选择一个社团．统计结果如下：有52人愿意加入动漫社，40人愿意加入志愿者社，35人愿意加入篮球社；同时愿意加入动漫社和志愿者社的有20人，同时愿意加入动漫社和篮球社的有14人，同时愿意加入志愿者社和篮球社的有11人；三个社团都愿意加入的有5人．则参与此次意向调查的初一学生总人数为（ ） A. 87 B. 90 C. 93 D. 96 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，用韦恩图表示集合，可求解. 【详解】根据题意，设参加动漫社的同学组成集合， 参加志愿者社的同学组成集合，参加篮球社的同学组成集合， 用韦恩图表示集合，可得下图： 所以此次意向调查的总人数为：人. 故选：A 4. 已知实数，满足，，则的最大值为（ ） A. 8 B. 9 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】令，表示出，然后由不等式性质得出结论． 【详解】解：令则， 则， 又，， 所以，，所以， 所以的最大值为16. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式的性质以及整体代入法，掌握不等式的性质是解题关键,基础题． 5. 若，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用重要不等式的合理变形可得，即可知A错误；由基本不等式和不等式性质即可计算B错误；由即可求得C正确；根据不等式中“1”的妙用即可得出，即D错误. 【详解】对于A，由可得， 又，所以，即， 当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B，由可得，即， 所以，当且仅当时等号成立，即B错误； 对于C，由可得， 所以可得，即，当且仅当时等号成立，即C正确； 对于D，易知，即； 当且仅当时等号成立，可得D错误； 故选：C 6. 若集合，集合，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合相等的概念以及集合中元素的互异性求解即可. 【详解】因为，根据题意得，故， 所以， 则当，解得， 当,时，，符合题意， 当时，此时，不满足集合互异性，故舍去. 所以. 故选：B. 7. 已知关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是（    ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先分二次项系数为正得到解集，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数为负得到解集，因为里面包含了正负两种情况，所以再次分类讨论，得到可能的解集中的三个整数元素，从而得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即或， 当时，， 不等式解集为， 由∵，∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 当时，， 不等式解集为， 由∵，∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：或. 故选：A 8. 已知，不等式对于一切实数恒成立，且，使得成立，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据条件对于一切实数不等式恒成立和使得方程成立结合二次不等式、二次方程、二次函数，可得，将化成，再结合基本不等式求解即可. 【详解】解：因为不等式对于一切实数恒成立， 所以， 又因为，使得成立， 所以，所以， 即， 所以， 当且仅当时取得最小值. 故选：D. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. “”的一个充分不必要条件可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】解分式不等式结合充分条件、必要条件的概念判定选项即可. 【详解】由，得， 根据充分不必要条件的定义可知AB符合题意. 故选：AB 10. 已知，（为常数，且），则的值可能为（　　） A. B. 2 C. 4 D. 36 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意分、两种情况讨论，结合恒成立问题可得，结合选项分析求解即可. 【详解】因为，， 当时，则，可得对任意恒成立， 若，可得，不合题意，故A错误； 当时，设函数，， 令，得，令，得（正根已舍去）， 作出这两个函数的图象，如图所示． 由题意可得，因为，则为正整数， 结合选项可知或，故B错误，CD正确； 故选：CD. 11. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 由所确定的实数集合为 B. 同时满足的整数解的集合为 C. 集合可以化简为 D. 中含有三个元素 【答案】BC 【解析】 【分析】利用绝对值的意义，去绝对值符号，即可判定A；解不等式得到x的取值范围，用列举法表示出整数解的集合即可判定B；由，，，用列举法可判定C；用试根的方式找出满足条件的元素可判断D. 【详解】解：对于选项A， 当都是正数时，原式 当都是负数时，原式 当两正一负时，原式 当两负一正时，原式故A错误； 对于选项B，由，得， 所以符合条件的整数解的集合为，故B正确； 对于选项C，由，，， 可以得到符合条件的数对有，，，故C正确； 对于选项D，当时，；当时， 当时，；当时，； 当时，；当时，， 所以集合A含有四个元素2，1，0，，故D错误. 故选：BC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 13. 若，则的最大值为___________． 【答案】81 【解析】 【分析】利用基本不等式，再解关于的一元二次不等式即可. 【详解】因为，所以， 即,解得， 即81，当且仅当时，等号成立． 故答案为： 14. 已知集合表示与的乘积，将放入如图所示的9个方格中，则方格中所有数之和的最大值为___________． 【答案】225 【解析】 【分析】根据表中数据可知所有数之和为，即可结合，借助二次函数的性质求解. 【详解】根据题意可得方格中所有数之和为， 且， 设，则， 则， 当时，取得最大值，最大值为225， 此时或． 故答案为：225 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由，可得，根据并集的运算即可求解； （2）由，得，对集合分是否为空集进行讨论，结合子集关系即可求解. 【小问1详解】 因为集合，所以， 又，集合，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 当，则，解得， 当，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是，即. 16. 已知命题，，设为假命题时实数的取值范围为集合． （1）求集合； （2）设非空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据判别式求解出为真命题时的范围，再根据补集思想求得结果； （2）分析条件得到⫋，列出不等式组求解出结果. 【小问1详解】 当为真命题时，即“，”为真命题， 所以，所以或， 所以若为假命题，则的范围是， 所以. 【小问2详解】 因为是的必要不充分条件，所以⫋， 因为时，若⫋，只需，解得， 经检验，和时满足条件， 综上所述，的取值范围是. 17. 为了持续推进“喜迎生物多样性，相约美丽春城”计划，在市中心广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米. （1）若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值； （2）若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 【答案】(1)10;(2)424 【解析】 【分析】(1)设草坪的宽为x米，长为y米，依题意列出不等式，求解即可； (2)表示，利用基本不等式，即得最小值. 【详解】设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为200平方米，得， (1)因为矩形草坪的长比宽至少多10米，所以， 所以，解得， 又，所以，所以宽的最大值为10米； (2)记整个绿化面积为S平方米，由题意得， ， 当且仅当米时，等号成立. 所以整个绿化面积的最小值为()平方米. 18. 定义运算：，其中为非零常数．已知，且关于的方程有两个不相等的实数根． （1）证明：为定值． （2）若，求的值． （3）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）证明：由题可知，则， 关于的方程即为，则， 所以，为定值. （2） （3）当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或或． 【解析】 【分析】（1）根据定义由可得，根据一元二次方程的根与系数关系可得，由此可得结论， （2）结合（1）由条件可得，再利用根与系数关系将变形为，由此可得结果， （3）结合定义原不等式可化为，，分，，，，五种情况解一元二次不等式可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）方程可化为， 由， 解得或. 由，得， 解得或. 因为或，所以. 【小问3详解】 由（1） 所以， 所以，且. 由（2）知或， 当时，，则该不等式的解集为或； 当时，，则该不等式的解集为； 当时，，则该不等式的解集为； 当时，，则该不等式的解集为； 当时，，则该不等式的解集为或或． 19. 设集合P是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合P的“差倍集”． （1）当时，写出集合P的差倍集； （2）设集合，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的k； （3）若P是由4个正整数构成的集合，求其差倍集中元素个数的最小值． 【答案】（1） （2）2或10 （3）4 【解析】 【分析】（1）根据差倍集的定义，列举所有满足条件的数对并计算结果，再利用集合中元素的互异性去重； （2）根据与1,4的大小关系分类讨论，计算所有可能的，通过“差倍集元素个数为2”建立方程，结合集合中元素的互异性筛选； （3）通过构造特殊集合使结果尽量重复，结合差倍集的定义证明最少元素个数. 【小问1详解】 根据差倍集的定义，， 当，时，； 当，时，； 当，时，. 由集合中元素的互异性，可得. 【小问2详解】 已知，由集合中元素的互异性可知，且. 当时，的可能取值为2或3. 当时，，，，，此时，满足差倍集中恰好有两个元素，故. 当时，，，，，则，不满足差倍集中恰好有两个元素，故. 当时，根据，，可得，，. 由于且，所以且，且. 因为差倍集中恰好有两个元素，所以分以下情况讨论： 若，此方程无解； 若，解得，此时，满足差倍集中恰好有两个元素，故. 综上，若其差倍集中恰好有两个元素，则的值为2或10. 【小问3详解】 设，，. 根据，，则，，，，，. 不妨设 ，则，，，，，，由集合中元素的互异性，可得，元素个数为4. 下证元素个数不少于4： 将，，，，，这6个值分别记为： ，，，，，. 从而有： ，即， ，即. 因此，即，，已经是严格递增的三个数，它们已经占用了3个不同的值，如果差倍集中只有3个元素，那么，，必须在中取值，且不能引入新的数. 先看： 若，则，即； 若，则，即，与假设矛盾，故不可能成立； 若，则，即，与假设，矛盾，故不可能成立. 因此的取值只能等于，此时. 再看： 若，则，即，与假设矛盾，故不可能成立； 若，则，即； 若，则，即，而在成立时，，由和可知，此时，与假设矛盾，故不可能成立. 因此的取值只能等于，此时，即. 再看，将代入，可得. 若，则，即，与假设矛盾，故不可能成立； 若，则，即，与假设矛盾，故不可能成立； 若，则，即，而在时，，与矛盾，故. 所以无论如何，都不能在中取值，即一定是不同于，，的第四个数. 因此差倍集中元素个数的最小值为4. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永春一中2025年10月高-一年月考数学科试卷 （2025.10） 考试时间长度：120分钟，总分：150分 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，，则集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 3. 某中学为丰富社团活动，对初一学生进行了关于是否愿意加入动漫社、志愿者社、篮球社的意向调查，要求每位学生至少选择一个社团．统计结果如下：有52人愿意加入动漫社，40人愿意加入志愿者社，35人愿意加入篮球社；同时愿意加入动漫社和志愿者社的有20人，同时愿意加入动漫社和篮球社的有14人，同时愿意加入志愿者社和篮球社的有11人；三个社团都愿意加入的有5人．则参与此次意向调查的初一学生总人数为（ ） A. 87 B. 90 C. 93 D. 96 4. 已知实数，满足，，则的最大值为（ ） A. 8 B. 9 C. 16 D. 18 5. 若，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 若集合，集合，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 已知关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是（    ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 已知，不等式对于一切实数恒成立，且，使得成立，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. “”的一个充分不必要条件可以是（　　） A. B. C. D. 10. 已知，（为常数，且），则的值可能为（　　） A. B. 2 C. 4 D. 36 11. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 由所确定的实数集合为 B. 同时满足的整数解的集合为 C. 集合可以化简为 D. 中含有三个元素 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为__________. 13. 若，则的最大值为___________． 14. 已知集合表示与的乘积，将放入如图所示的9个方格中，则方格中所有数之和的最大值为___________． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知命题，，设为假命题时实数的取值范围为集合． （1）求集合； （2）设非空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17. 为了持续推进“喜迎生物多样性，相约美丽春城”计划，在市中心广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米. （1）若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值； （2）若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 18. 定义运算：，其中为非零常数．已知，且关于的方程有两个不相等的实数根． （1）证明：为定值． （2）若，求的值． （3）求关于的不等式的解集． 19. 设集合P是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合P的“差倍集”． （1）当时，写出集合P的差倍集； （2）设集合，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的k； （3）若P是由4个正整数构成的集合，求其差倍集中元素个数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $