精品解析：福建省宁德市福鼎市第四中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

福鼎四中2025-2026学年第一学期高一月考 数 学 试 题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题，，则命题的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知全集，集合，，那么阴影部分表示集合为（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子中最小值为2的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 5. 某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（ ） A. 27 B. 23 C. 25 D. 29 6. 已知集合，，，则M、N、P的关系满足（ ） A. B. C. D. 7. 已知为实数，使“”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A B. C. D. 8. 将一根铁丝切割成三段，做成一个面积为、形状为直角三角形的工艺品框架，在下列4种长度的铁丝中，选用最合适（够用且浪费最少）的是（ ）（注：） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列判断中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 11. 已知实数x，y满足，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若，则实数的值为______． 13. 已知三个不等式：①，②，③，用其中两个作为条件，剩下一个作为结论，则可组成______个真命题． 14. 已知非空实数集满足：任意，均有，则中所有元素之积的所有可能值为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15. 已知集合． （1）若中有两个元素，求实数的取值集合； （2）若中只有一个元素，写出实数的取值集合B的所有子集． 16. 已知集合，集合． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围． 17. 设全集，集合，集合，，． （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，p与q同时成立”是假命题，求实数取值范围． 18. 已知正实数满足． （1）求的最小值及此时的值； （2）求的最大值及此时的值； （3）求的最小值及此时的值． 19. 数学的应用渗透于日常生活的各个角落，学习数学不仅仅是掌握计算技巧，更重要的是培养思维及应用意识，请你用所学知识解决以下问题： （1）某种物品每天价格都不一样，同学甲需两次购买该物品，可以用两种不同策略，策略一是每次购买这种物品的数量一定；策略二是每次购买这种物品所花的钱数一定．哪种购买方式比较经济？请说明理由． （2）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：．请利用该不等式模型证明： 已知是三角形的三边，必有：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福鼎四中2025-2026学年第一学期高一月考 数 学 试 题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题，，则命题的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结论． 【详解】命题，，为全称量词命题， 则该命题的否定为：，. 故选：C． 2. 已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦恩图知阴影部分为，结合集合交补运算求集合即可. 【详解】由题图，阴影部分为，而或，且， 所以. 故选：D 3. 下列式子中最小值为2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用配方法判断A的真假；利用换元法结合对勾函数的单调性，判断BD的真假；举例判断C的真假. 【详解】对A：因为，当时取等号，故A正确； 对B：设，则，根据对勾函数的单调性，函数在上单调递增， 所以，故的最小值不是2，故B错误； 对C：当时，，所以的最小值不是2，故C错误； 对D：因为，故恒成立，故的最小值不是2，故D错误. 故选：A 4. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】因为，为正实数，且，所以, 当且仅当时取等号. 故选：C 5. 某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（ ） A. 27 B. 23 C. 25 D. 29 【答案】A 【解析】 【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题. 【详解】作出韦恩图，如图所示， 可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人， 同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为. 故选：A. 6. 已知集合，，，则M、N、P的关系满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，将集合中元素化为统一形式，进而判断各选项.. 【详解】依题意，， ，则， ，则， 所以的关系满足. 故选：A 7. 已知为实数，使“”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题成立求出实数的取值范围，再利用充分、必要条件的判断可得出合适的选项. 【详解】由， 对，成立，所以. 因为“”是“”的必要不充分条件， “”是“”的充要条件； “”是“”的充分不必要条件； “”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：A 8. 将一根铁丝切割成三段，做成一个面积为、形状为直角三角形的工艺品框架，在下列4种长度的铁丝中，选用最合适（够用且浪费最少）的是（ ）（注：） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直角三角形的两条直角边为，从而得到周长为，再利用均值不等式即可得解. 【详解】由题意，设直角三角形的两条直角边为， 则，则， 此时三角形框架的周长， 当且仅当时，等号成立， 由于，所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列判断中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据常见数集符号概念以及集合的描述法逐项判断即可. 【详解】A选项，由于，，故A选项错误；B选项，符合有理数的定义，B选项正确； C选项，其中的范围为，C选项正确； D选项，不等式即，无解，故D选项正确； 故选：BCD. 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断BD的真假，举反例说明AC的真假. 详解】对A：若，，则满足，，但此时，故A错误； 对B：由，知，在两边同乘以，不等号方向不变，得，故B正确； 对C：对，当时，，故C错误； 对D：因为，，则，所以，故D正确. 故选：BD 11. 已知实数x，y满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐项判断. 【详解】因为，，所以，故A正确； 因为，，所以，故B正确； 因为，，所以，故C错误； 因为，又，所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若，则实数的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，分类讨论，即可求得结果. 【详解】当，即时，集合，不满足互异性，故舍去； 当，即（舍）或，此时，集合满足题意. 综上所述，实数的值为. 故答案：. 13. 已知三个不等式：①，②，③，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成______个真命题． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意，结合不等式性质分别判断①、②、③作为结论的命题的真假性即可. 【详解】由不等式性质，得；； ．故可组成3个真命题． 故答案为：3. 14. 已知非空实数集满足：任意，均有，则中所有元素之积的所有可能值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】分析集合中可能的元素组成，再求它们的积. 【详解】若，则，所以，所以. 因为方程，均无解，所以集合不可能只含有1个元素， 所以集合中含有元素的个数为3的倍数. 由，所以若集合中含有3的奇数倍个数的元素时，所有元素的积为； 当若集合中含有3的偶数倍个数的元素时，所有元素的积为. 综上可知，中所有元素之积的所有可能值为：. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15. 已知集合． （1）若中有两个元素，求实数的取值集合； （2）若中只有一个元素，写出实数的取值集合B的所有子集． 【答案】（1）或或； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不同的解的问题直接可得； （2）根据方程有一个解进行分类讨论可得实数的取值，再列所有子集. 【小问1详解】 由中有两个元素，得方程有两个不同的解， 所以，，解得或且. 故实数的取值集合为或或. 【小问2详解】 由中只有一个元素，得方程有一个解. 当时，方程有一个解； 当时，，解得或 所以实数的取值集合， 故集合B的所有子集有：，，，，，，，. 16. 已知集合，集合． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；或； （2）或. 【解析】 【分析】（1）直接根据集合的交集和并集的定义计算可得； （2）将条件转化为集合A包含于集合B的补集，再依据包含关系可得. 【小问1详解】 由，得，或. 所以，如图： 或，如图： 【小问2详解】 由，得，且. 当时，即，得，，满足； 当时，，由，如图： 或 所以或，解得或. 综上可得，实数的取值范围或. 17. 设全集，集合，集合，，． （1）若是充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，p与q同时成立”是假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得，根据包含关系，列出不等式组，即可得答案. （2）由题意得，分别讨论和两种情况，列出不等式组，综合即可得答案. 【小问1详解】 因为是的充分不必要条件， 所以， 所以或，解得， 所以实数的取值范围为 【小问2详解】 因为命题“，p与q同时成立”是假命题， 所以命题的否定为：“，p与q不同时成立”为真命题， 所以， 当时，，解得，满足题意， 当时，或， 解得， 综上，实数的取值范围为 18. 已知正实数满足． （1）求的最小值及此时的值； （2）求的最大值及此时的值； （3）求的最小值及此时的值． 【答案】（1），此时 （2）的最大值是，此时 （3）的最小值是3，此时 【解析】 【分析】（1）对已知等式两边平方结合基本不等式即可求解； （2）利用基本不等式推论即可求解； （3）将所求式子变形为，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由基本不等式有， 所以，等号成立当且仅当满足题意； 【小问2详解】 由基本不等式推论有，等号成立当且仅当， 所以的最大值是； 【小问3详解】 一方面，另一方面，所以， 从而，等号成立当且仅当， 所以的最小值是3. 19. 数学的应用渗透于日常生活的各个角落，学习数学不仅仅是掌握计算技巧，更重要的是培养思维及应用意识，请你用所学知识解决以下问题： （1）某种物品每天价格都不一样，同学甲需两次购买该物品，可以用两种不同策略，策略一是每次购买这种物品的数量一定；策略二是每次购买这种物品所花的钱数一定．哪种购买方式比较经济？请说明理由． （2）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：．请利用该不等式模型证明： 已知是三角形的三边，必有：． 【答案】（1）策略二比较经济，理由见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分别表示出两次购物的平均价格，利用作差法比较其大小，即可得出结论. （2）利用“糖水不等式”证明即可. 【小问1详解】 设两次购买的单价分别为，，由题意，且. 策略一：设每次买的数量均为，则两次购买物品的平均价格为：； 策略二：设每次花的钱数为，则两次购买物品的平均价格为：. 因为， 因为，且，所以，即. 所以策略一购买物品的平均价格要高，故选择策略二比较经济. 【小问2详解】 因为是三角形三边，所以，，， 根据“糖水不等式”可得： ，同理，， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $