第二章 分式与分式方程课件 2025-2026学年 鲁教版（五四制）八年级数学上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了分式的概念、有意义条件、值为0的条件及实际应用，通过方法指导提炼核心规律，典例示范结合中考真题，跟踪训练即时巩固，构建“概念-条件-应用”的完整知识网络。 其特色在于采用“典例引领-分层训练-易错突破”模式，基础题夯实分式识别等概念，综合题（如分式不等式阅读理解）培养推理意识，生活情境题（如广播操排数）发展模型意识，助力学生分层提升，教师可精准把握学情，高效开展复习教学。

第二章 分式与分式方程 第3课时 分式方程的应用（2） 1 01 典例示范 【例】 （泰安中考）中国是最早发现并利用茶的国家,形成了具有独 特魅力的茶文化.2020年5月21日以“茶和世界 共品共享”为主题的第一 届国际茶日在中国召开.某茶店用4 000元购进了 种茶叶若干盒,用 8 400元购进了种茶叶若干盒,所购种茶叶比种茶叶多10盒,且 种 茶叶每盒进价是 种茶叶每盒进价的1.4倍. （1）, 两种茶叶每盒进价分别为多少元？ 1 2 3 4 5 6 7 2 [答案] 设种茶叶每盒进价为元,则种茶叶每盒进价为 元,依题 意,得 , 解得 . 经检验, 是原方程的解,且符合题意. . 答：种茶叶每盒进价为200元, 种茶叶每盒进价为280元. 1 2 3 4 5 6 7 3 （2）第一次所购茶叶全部售完后,第二次购进, 两种茶叶共100盒 （进价不变）,种茶叶的售价是每盒300元, 种茶叶的售价是每盒400 元.两种茶叶各售出一半后,为庆祝国际茶日,两种茶叶均打七折销售,全 部售出后,第二次所购茶叶的利润为5 800元（不考虑其他因素）,求本 次购进, 两种茶叶各多少盒？ 【解答】 1 2 3 4 5 6 7 4 [答案] 设第二次购进种茶叶盒,则购进种茶叶 盒,依题 意,得 ,解得 . . 答：第二次购进种茶叶40盒, 种茶叶60盒. 1 2 3 4 5 6 7 5 销售问题中的常用公式有: （1）利润 售价-进价; （2）利润率 ; （3）售价标价 ; （4）售价进价利润率 . 02 分层训练 知识点 销售问题 1.（宜宾中考）学校为了丰富学生知识,需要购买一批图书,其中科普类 图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元,已知学校用 15 000元购买科普类图书的本数与用12 000元购买文学类图书的本数 相等.设文学类图书平均每本 元,则列方程正确的是( ) 1 2 3 4 5 6 7 7 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 2.某校为进一步开展“阳光体育”活动,购买了一批篮球和足球.已知购买 足球数量是购买篮球数量的2倍,购买足球用了4 000元,购买篮球用了 2 800元,篮球单价比足球贵16元.若可列方程 表示题 中的等量关系,则方程中 表示的是( ) D A. 足球的单价 B. 篮球的单价 C. 足球的数量 D. 篮球的数量 1 2 3 4 5 6 7 9 3.某学校花2 000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要.随着各种 抗病毒物资供应更充足,消毒液每瓶下降了2元,学校又购买了一批消毒 液,花1 600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等,求第一批购进 的消毒液的单价. 解：设第一批购进的消毒液的单价为 元,根据题意,得 ,解得 . 经检验, 是原方程的根,且符合题意. 答：第一批购进的消毒液的单价为10元. 1 2 3 4 5 6 7 10 4.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱, 倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意为：现请人 代买一批椽,这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的运费是3文,那么少 拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6 210文能买 多少株椽？设这批椽的数量为 株,则符合题意的方程是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 11 5.（青岛中考）某校组织学生进行劳动实践活动，用1 000元购进甲种 劳动工具，用2 400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲 种的2倍，但单价贵了4元.设甲种劳动工具的单价为元，则 满足的分 式方程为 ________________. 1 2 3 4 5 6 7 12 6.（泰安中考）某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚 恤衫,甲种款 型共用了7 800元,乙种款型共用了6 400元,甲种款型的件数是乙种款型 件数的1.5倍,甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元. （1）甲、乙两种款型的 恤衫各购进多少件? 解：设乙种款型的恤衫购进件,则甲种款型的恤衫购进 件. 依题意,得 ,解得 . 经检验是原方程的解. . 答：甲种款型的恤衫购进60件,乙种款型的 恤衫购进40件. 1 2 3 4 5 6 7 13 （2）商店进价提高 标价销售,销售一段时间后,甲款型全部售完,乙 款型剩余一半,商店决定对乙款型按标价的五折降价销售,很快全部售完, 求售完这批 恤衫商店共获利多少元？ 解：（元）, （元）, （元）. 答：售完这批 恤衫商店共获利5 960元. 1 2 3 4 5 6 7 14 7.（泰安中考）文美书店决定用不多于20 000元购进甲、乙两种图书 共1 200本进行销售.甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元,甲 种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍.若用1 680元在文美书 店可购买甲种图书的本数比用1 400元购买乙种图书的本数少10本. （1）甲、乙两种图书的售价分别为每本多少元？ 1 2 3 4 5 6 7 15 解：设乙种图书售价每本元,则甲种图书售价为每本 元.由题意,得 ,解得 . 经检验, 是原方程的解. . 答：甲种图书售价每本28元,乙种图书售价每本20元. 1 2 3 4 5 6 7 16 （2）书店为了让利读者,决定甲种图书售价每本降低3元,乙种图书售价 每本降低2元,问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图 书全部销售完） 1 2 3 4 5 6 7 17 解：设甲种图书进货本,总利润 元,则 ,解得 . 随的增大而增大, 当最大时 最大. 当本时, 最大. 此时,乙种图书进货本数为 （本）. 答：甲种图书进货533本,乙种图书进货667本时利润最大. 1 2 3 4 5 6 7 18 $第二章 分式与分式方程 3 分式的加减法 第3课时 分式的混合运算 1 01 典例示范 【例】 先化简:,然后求当 时代数式的值. 【解答】 解：原式 . 当时,原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 分式的混合运算: （1）按分式的运算顺序进行计算,但恰当地使用运算律会使运算 更简便; （2）要随时注意分子、分母可进行因式分解的式子,以便约分或 通分,可避免运算繁琐; （3）结果要化成最简分式. 【跟踪训练】 （青岛中考）计算： . 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4 02 分层训练 知识点1 分式的混合运算 1.化简 的结果是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5 2.计算: ( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6 3.（苏州中考）计算 的结果是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 4.（沈阳中考）化简: ___. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 5.计算: （1） ; 解：原式 . （2） . 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 知识点2 分式的化简与求值 6.先化简,再求值:,其中 . 解：原式 . 当时,原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 易错点 误用分配律 7.化简： ____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 8.（泰安岱岳区期末）如果,那么代数式 的值是___. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.先化简,再求值: （1）,其中 ; 解：原式 . , 原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 （2）（菏泽中考）,其中满足 . 解：原式 . , 原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 10.（烟台中考）先化简，再求值：，其中 是 使不等式 成立的正整数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 解：原式 . 由，得 . 是使不等式成立的正整数，且，2，3， . 原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11.【注重学习过程】观察以下等式： 第1个等式： ； 第2个等式： ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 第3个等式： ； 第4个等式： ； 第5个等式： ； …… 根据以上规律,解决下列问题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 18 （1）写出第6个等式：________________； （2）写出你猜想的第个等式：___________________为正整数 ,并 证明. 证明： 左边 右边, 原等式成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 19 利用整体代入法求值 1.已知,则 的值为___. 1 1 2 3 4 5 20 2.若,均不为0,则 的值为___. 5 1 2 3 4 5 21 3.已知,则式子 的值为__. 1 2 3 4 5 22 4.（济宁中考）已知,则分式 的值是 __. 1 2 3 4 5 23 5.已知实数满足 ,求下列各式的值: （1） ; 解:由变形,得 . （2） ; 解:, . 1 2 3 4 5 24 （3） ; 解: . （4） ; 解: . 1 2 3 4 5 （5） . 解: . 1 2 3 4 5 26 $第二章 分式与分式方程 3 分式的加减法 第1课时 同分母分式的加减法 1 01 典例示范 【例】 计算: （1） ____; （2） _______. （1）同分母分式相加减,分母不变,分子相加减; （2）“分子相加减”指将各个分式的“分子的整体”相加减,即分子 是多项式时,应先用括号括起来,尤其是分子相减时,括号不能漏. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 【跟踪训练】 计算: （1） ______; （2） ___. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 02 分层训练 知识点1 同分母分式的加减法 1.（台州中考）计算 的结果为( ) A A. 1 B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 2.（天津中考）计算 的结果为( ) C A. 1 B. 3 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 3.计算: （1） ; 解：原式 . （2） . 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 4.（鄂州中考）先化简,再求值：,其中 . 解：原式 . 当时,原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 知识点2 分母互为相反数的分式加减法 5.（沈阳中考）计算 的结果是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 6.（淄博中考）化简 的结果是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 7.计算: （1） ; 解：原式 . （2）（无锡中考） . 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 易错点 忽视分数线的括号作用而出错 8.计算: . 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 9.（河北中考）若 ,则________中的数是( ) B A. B. C. D. 任意实数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 10.（淄博中考）化简 的结果为( ) B A. B. C. D. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 11.计算: （1） ; 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2） . 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 12.先化简,再求值: （1）,其中 ; 解：原式 . 当时, . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 16 （2）（长春中考）,其中 . 解：原式 . 当时,原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 17 13.当,且时,求代数式 的值. 解：原式 . 因为,且,所以 . 所以原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 18 $第二章 分式与分式方程 1 认识分式 第2课时 分式的基本性质及约分 1 01 典例示范 【例】（1） （泰安期末）分式 可变形为( ) D A. B. C. D. （2）约分: ___; ____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 （1）分式变形前后的值要相等; （2）约分时,若分子分母都是单项式,则先确定分子、分母的公因式,再 约分;若分子或分母中有多项式,则先因式分解,再确定公因式,然后约分. 【跟踪训练】 将下列各式约分的结果填在横线上. （1） _____; （2） ___; （3） ______; （4） ____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 02 分层训练 知识点1 分式的基本性质 1.使得等式成立的 的取值范围为( ) D A. B. C. 或 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 2.下列各式中,与分式 相等的是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 知识点2 约分 3.下列约分正确的是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 4.计算 的结果是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 5.化简下列分式: （1） ; 解：原式 （2） ; 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 （3） ; 解：原式 . （4） . 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 知识点3 最简分式 6.（泰安泰山区期中）下列分式中,属于最简分式的是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11 7.不改变分式的值,使下列分式的分子和分母都不含负号: （1） ; 解： . （2） . 解： . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 8.下列等式:;;;; ; 中,一定成立的有( ) C A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13 9.（泰安肥城市期末）将分式中的, 都扩大为原来的2倍,则该分 式的值( ) D A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 不变 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14 10.（本课时变式）（泰安泰山区期末）若, 的值均扩大为原来的3 倍,则下列分式的值保持不变的是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15 11.计算 的结果为( ) A A. 1 B. C. D. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 12.（淄博中考）计算 的结果是________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.已知,则 的取值范围是______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 14.【整体思想】已知,则分式 的值为___. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19 15.先约分,再求值: （1）,其中 ; 解：原式 . 当时,原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 （2）,其中, . 解：原式 . 当, 时, 原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.【阅读理解问题】小学里,把分子比分母小的数叫做真分数.类似地, 我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式,反之,称为假分式. 对于任何一个假分式,都可以化成整式与真分式的和的形式.如： . （1）下列分式中,属于真分式的是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 22 （2）将假分式 化成整式与真分式的和的形式； 解： . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 23 （3）若的值是整数,求整数 的值. 解：由（2）得 . 的值为整数,且 为整数, 或1或或4或 或2. 或0或或3或 或1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 24 $第二章 分式与分式方程 回顾与思考（二） 分式与分式方程 1 01 山东考点针对练 考点1 分式及分式方程的有关概念 1.（淄博淄川区期中）下列式子：,,, ,其中分式有( ) C A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 2.下列方程不是分式方程的是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3 3.若分式的值为0,则 的取值为( ) B A. B. C. 2 D. 的值不存在 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4 4.（1）（淄博中考）若分式有意义,则 的取值范围是______； （2）当______时,分式 的值为零. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5 考点2 分式的基本性质 5.（泰安新泰市期末）下列各式从左到右的变形中,正确的是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6 6.（泰安新泰市期中）若把分式中的,都缩小为原来的 ,则分式 的值( ) A A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的6倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7 7.（东营广饶县期末）对和 进行通分,需确定的最简公分母 是_______________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8 考点3 分式的运算 8.计算 的结果是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9 9.计算： （1） ； 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10 （2） . 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11 10.（泰安泰山区期末）先化简,然后从2,0, 三个数中选一个你喜欢的数代入求值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12 解：原式 . 当 或0时,原分式无意义, . 当时,原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13 考点4 解分式方程 11.（泰安泰山区期中）解分式方程： ,去分母,得( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14 12.（东营模拟）若关于的分式方程无解,则实数 ______. 3或7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15 13.解方程: . 解：方程两边同乘 ,得 . 解得 . 检验：当时, . 是原方程的解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16 考点5 分式方程的应用 14.（淄博中考）为扎实推进“五育”并举工作,加强劳动教育,某校投入2 万元购进了一批劳动工具.开展课后服务后,学生的劳动实践需求明显增 强,需再次采购一批相同的劳动工具,已知采购数量与第一次相同,但采 购单价比第一次降低10元,总费用降低了.设第二次采购单价为 元, 则下列方程中正确的是( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 15.（威海中考）某自动化车间计划生产480个零件,当生产任务完成一 半时,停止生产进行自动化程序软件升级,用时20分钟,恢复生产后工作 效率比原来提高了 ,结果完成任务时比原计划提前了40分钟,求软件升 级后每小时生产多少个零件？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 19 解：设软件升级前每小时生产 个零件,则软件升级后每小时生产 个零件,根据题意,得 . 解得 . 经检验, 是原方程的解,且符合题意. . 答：软件升级后每小时生产80个零件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 20 16.（烟台中考）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶. 《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题 浅显有趣.某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的 ，用600 元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本. （1）求两种图书的单价分别为多少元？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 21 解：设《周髀算经》的单价是元，则《孙子算经》的单价是 元.根 据题意，得 ，解得 . 经检验， 是原方程的解，且符合题意. . 答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 22 （2）为筹备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共 80本，且购买《周髀算经》的数量不少于《孙子算经》数量的一半.由 于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分 别购买多少本时总费用最少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 23 解：设购买本《孙子算经》，则购买 本《周髀算经》.根据 题意，得 ，解得 . 设购买这两种图书共花费 元，则 . ，随 的增大而减小. 又，且 为正整数， 当时，取最小值，此时 . 答：当购买53本《孙子算经》、27本《周髀算经》时，总费用最少. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 24 02 核心素养提升练 17.【阅读理解问题】符号“ ”称为二阶行列式,规定它的运算法则 为.根据上述规定,中 的值为___. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 25 $第二章 分式与分式方程 第4课时 分式方程的应用（3） 1 01 典例示范 【例】 （淄博中考）某内陆城市为了落实国家“一带一路”倡议,促进 经济发展,增强对外贸易的竞争力,把距离港口 的普通公路升级 成了同等长度的高速公路,结果汽车行驶的平均速度比原来提高了 , 行驶时间缩短了 ,求汽车原来的平均速度. 1 2 3 4 5 6 7 8 2 【解答】 [答案] 设汽车原来的平均速度是 ,根据题意,得 , 解得 . 经检验, 是原方程的解. 答：汽车原来的平均速度是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 3 行程问题中的常用公式有: （1）路程 速度×时间; （2）相遇: ; （3）追击: ; （4）航行问题中:;（其中为船速, , , 为顺水、逆水和水流的速度）. 02 分层训练 知识点 行程问题 1.（泰安泰山区期中）为了践行“绿色生活”的理念,甲、乙两人每天骑 自行车出行,甲匀速骑行40千米的时间与乙匀速骑行35千米的时间相同. 已知甲每小时比乙多骑行2千米,设甲每小时骑行 千米,根据题意列出 的方程正确的是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 5 2.（泰安岱岳区期末）,两地相距.甲、乙两辆汽车同时从 地出发去 地,已知甲车的速度是乙车速度的1.2倍,结果甲车比乙车提前 20分钟到达,则甲车的速度是_____ . 1 2 3 4 5 6 7 8 6 3.（威海中考）某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动.纪念馆距 学校，一部分学生乘坐大型客车先行，出发 后，另一部 分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达.已知小型客车的速度是大型 客车速度的1.2倍，求大型客车的速度. 1 2 3 4 5 6 7 8 7 解：设大型客车的速度为，则小型客车的速度为 . 根据题意,得 , 解得 . 经检验， 是原方程的解，且符合题意. 答：大型客车的速度是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 8 4.潍坊到济南的距离约为 ,小刘开着小轿车,小张开着大货车,都 从潍坊去济南,小刘比小张晚出发 ,最后两车同时到达济南,已知小轿 车的速度是大货车速度的1.5倍. （1）求小轿车和大货车的速度各是多少？（列方程解答） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解：设大货车的速度为,则小轿车的速度为 .依题意, 得 . 解得 . 经检验, 是原方程的解. 则 . 答：大货车的速度为,小轿车的速度为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 10 （2）当小刘出发时,求小张离济南还有多远？ 解： . 答：当小刘出发时,小张离济南还有 . 1 2 3 4 5 6 7 8 11 5.一辆汽车开往距离出发地 的目的地,出发后第一小时按原计划 的速度匀速行驶,一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶,结果比原计划 提前到达目的地.原计划的行驶速度是____ . 60 1 2 3 4 5 6 7 8 12 6.七年级（3）班开展 “诵读经典,光亮人生”读书 活动,小智和小慧同学读了 同一本360页的名著,根据下 解：设小慧每天读这本名著的页数是 页,依题意,得 ,解得 . 经检验, 是原方程的解,且符合题意. 答：小慧每天读这本名著的页数是30页. 面两个人的对话,求小慧每天读这本名著的页数. 1 2 3 4 5 6 7 8 13 7.（百色中考）某班级组织学生乘大巴前往“研学旅行”基地开展爱国 教育活动,基地离学校有90千米,队伍8：00从学校出发.苏老师因有事情, 8：30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶,追上大巴后继续前行,结 果比队伍提前15分钟到达基地.问： （1）大巴与小车的平均速度各是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 14 解：设大巴的平均速度为千米/时,则小车的平均速度为 千米/时. 根据题意,得 ,解得 . 经检验, 是原方程的解. 所以 . 答：大巴的平均速度为40千米/时,小车的平均速度为60千米/时. 1 2 3 4 5 6 7 8 15 （2）苏老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？ 解：设苏老师赶上大巴的地点到基地的路程有 千米,根据题意,得 . 解得 . 答：苏老师追上大巴的地点到基地的路程有30千米. 1 2 3 4 5 6 7 8 16 8.又到了脐橙丰收的季节，某校周六、周日分别从甲班与乙班各选出 20位同学去帮助某果园的果农采摘脐橙,任务都是完成 脐橙的采 摘、运送、包装三项工作.已知每个同学每小时完成同项工作的工作量 一样,且知每人每小时可采摘 . （1）周六时甲班将工作做如下分配:6人采摘,8人运送,6人包装,发现刚 好各项工作完成的时间相等,那么问每人每小时运送、包装各多少千克? 1 2 3 4 5 6 7 8 17 解：设采摘了 小时,根据题意,得 ,解得 . 故每人每小时包装 , 每人每小时运送 , 答：每人每小时包装、运送 . 1 2 3 4 5 6 7 8 18 （2）得知相关信息后,周日乙班将分配方案调整如下:20人一起完成采 摘任务后,然后自由分成两组,第一组运送,第二组包装,发现当第一组完 成任务时,第二组在相等的时间内还有 的脐橙没有包装,于是第一 组同学马上帮助第二组同学进行包装直至完成任务,试问自由分成的两 组各有多少人？ 1 2 3 4 5 6 7 8 19 解：设负责运送的人数为人,则包装的人数为 人,根据题意,得 ,解得 . 经检验, 是原方程的根. 所以 . 答：自由分成的两组中,第一组有12人,第二组有8人. 1 2 3 4 5 6 7 8 20 $第二章 分式与分式方程 2 分式的乘除法 第1课时 分式的乘除法（1） 1 01 典例示范 【例】 计算: （1） ; [答案] 原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 （2） . 【解答】 [答案] 原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 （1）先确定符号,确定的方法是:同号得正,异号得负; （2）把除法转化为乘法,然后分子、分母分别相乘; （3）运算顺序:先算乘方,再算乘除. 【跟踪训练】 计算: . 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 02 分层训练 知识点1 分子和分母是单项式的分式相乘 1.计算 的结果是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 2.（上海中考）计算: ____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 3.计算: （1） ; 解：原式 . （2） . 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 知识点2 分式的乘方 4.计算 的结果是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 5.与 相等的式子是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 6.计算: （1） ; 解：原式 . （2） ; 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 （3） ; 解：原式 . （4） . 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 知识点3 分式的除法 7.计算 的结果是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 8.计算 的结果是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 9.计算: （1） ; 解：原式 . （2） ; 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 （3） . 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易错点 对运算顺序不熟悉而致错 10.（淄博临淄区期中） 的计算结果是( ) C A. B. 1 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 11.下列计算中正确的是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 12.计算 的结果是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 19 13.现有甲、乙两个圆,甲圆的半径为,乙圆的半径为 ,则甲圆 的面积是乙圆面积的( ) B A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 14.计算: （1） ; 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21 （2） . 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.给定一列分式：,,,,…（其中 ）,用任意一个分式做 除法,去除它后面一个分式得到的结果是_ ____,根据你发现的规律,试写 出第6个分式：_ _____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 23 $第二章 分式与分式方程 2 分式的乘除法 第2课时 分式的乘除法（2） 1 01 典例示范 【例】 先化简后求值: ,选择一个适当的数代入求 值. 【解答】 [答案] 原式 . 当时,原式 . （答案不唯一,的值不能取和 .） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 （1）分子、分母能分解因式的要先分解因式,然后再约分; （2）自选数的代入求值问题,不能忽视分母和除式不为零的条件. 【跟踪训练】 计算： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 02 分层训练 知识点1 分子或分母是多项式的分式相乘 1.计算 的结果为( ) A A. B. C. D. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 2.（沈阳中考）计算: ____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 3.计算: （1） ; 解：原式 . （2） . 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 知识点2 分子或分母是多项式的分式相除 4.（随州中考）计算 的结果为( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 5.（新疆中考）化简: ____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 6.计算: （1） ; 解：原式 . （2） ; 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 （3） ; 解：原式 . （4） . 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 7.若,则 中应填( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 8.（河北中考）老师设计了接力游戏,用合作的方式完成分式化简,规则 是：每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下 一人,最后完成化简.过程如图所示： 接力中,自己负责的一步出现错误的是( ) D A. 只有乙 B. 甲和丁 C. 乙和丙 D. 乙和丁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 9.【整体思想】如果代数式,那么 的值 为___. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 10.如果,那么代数式 的值是__. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.计算: . 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 12.先化简,再求值:,其中 . 解：原式 . 当时,原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 13.已知,求 的值. 解：原式 . 当时, . 原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 14.有甲、乙两筐水果,甲筐水果重千克,乙筐水果重 千 克（其中 ）,售完后,两筐水果都卖了50元. （1）哪筐水果的单价低？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 19 解：甲筐水果的单价为 元, 乙筐水果的单价为 元. , . . . 答：乙筐水果的单价低. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 20 （2）两筐水果中,高的单价是低的单价的多少倍？ 解： . 答：高的单价是低的单价的 倍. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 21 $第二章 分式与分式方程 3 分式的加减法 第2课时 异分母分式的加减法 1 01 典例示范 【例】 （陕西中考）化简: . 【解答】 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 异分母分式加减的两个步骤: （1）通分:各分式的分子、分母分别乘各分式的最简公分母,转化 为同分母分式相加减; （2）按同分母分式的加减法法则进行运算. 【跟踪训练】 计算： . 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4 02 分层训练 知识点1 分式的通分 1.分式与 的最简公分母是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5 2.分式和 的最简公分母是_________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6 3.通分:, . 解：最简公分母是 . , . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 知识点2 异分母分式的加减法 4.化简 ,可得( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 5.计算: ____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 6.计算: （1） ; 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 （2） . 解：原式 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 知识点3 分式加减法的应用 7.（教材P33例4变式）国庆节期间,几名大学生包租了一辆车准备从市 区到郊外游览,租金为300元,出发时,又增加了两名学生,总人数达到 名. （1）原来平均每名学生需分摊车费____元,现在平均每名学生需分摊 车费______元; （2）开始包车的几名学生平均每人可比原来少分摊多少钱？ 解：由题意,得 . 答：开始包车的几名学生平均每人可比原来少分摊 元钱. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 易错点 分式的运算时错乘最简公分母 8.下面是小明化简分式的过程,请仔细阅读,并解答所提出的问题. …………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 小明的解法从第____步开始出现错误,正确的化简结果是____. 二 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 9.（泰安期末）计算 的正确结果是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 10.（泰安新泰市期末）已知,其中是一个含 的代数 式. （1）求 化简后的结果； 解：根据题意,得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 （2）当满足不等式组且为整数时,求 的值. 解：解不等式组得 . 为整数,或 . 由,得到 , 则当时, . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 11.【数学文化】《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发,从特 殊到一般,由简单到复杂,从部分到整体,由低维到高维,知识与方法上的 类比是探索发展的重要途径,是打开思想阀门，发现新问题、新结论的 重要方法. 例:已知,求 的值. 解：, . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 原式 波利亚在《怎样解题》中指出：当你找到第一个藤菇或作出第一个发 现后,再四处看看,他们总是成群生长. 请类比以上方法解答：已知,求 的值. 解：, . 原式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $第二章 分式与分式方程 4 分式方程 第1课时 分式方程及其解法 1 01 典例示范 【例】 解方程: （1） ; [答案] 方程两边同乘 ,得 . 解得 . 检验：当时, . 是原方程的解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 （2） . 【解答】 [答案] 方程两边同乘 ,得 . 解得 . 检验：当时, . 是原方程的增根,应舍去. 原方程无解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 解分式方程的三个步骤: （1）去分母,即在方程两边同乘以最简公分母,把分式方程化为整 式方程; （2）解这个整式方程; （3）验根:（方法一）把求得的未知数的值代入原方程,看此未知 数的值是否适合原方程;（方法二）把求得的未知数的值代入最简公分 母,看最简公分母是否为0. 【跟踪训练】 解方程: . 解：方程两边同乘,得 . 解得 . 检验：当时, . 原分式方程的解是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 02 分层训练 知识点1 分式方程的概念 1.下列方程是分式方程的是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 2.（淄博中考）已知是方程的解，那么实数 的值 为( ) B A. B. 2 C. D. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 知识点2 分式方程的解法 3.（淄博中考）解分式方程 时,去分母变形正确的是 ( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 4.（哈尔滨中考）分式方程 的解为( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 5.解关于的方程产生增根,则常数 的值等于( ) C A. 2 B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 6.解方程: （1） ; 解：方程两边同乘 ,得 . 解得 . 检验：当时, . 原方程的解是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 （2） . 解：方程两边同乘,得 . 解得 . 检验：当时, . 原方程的解是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 易错点1 去分母时，常数项漏乘最简公分母而出错 7.解方程： . 解：方程两边同乘 ,得 . 解得 . 检验：当时, . 原方程的解是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 易错点2 考虑不全面致错 8.（泰安泰山区期中）若关于的分式方程的解为非负数,则 的取值范围是( ) C A. B. C. 且 D. 且 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 9.（泰安中考）分式与的和为4,则 的值为___. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.若关于的方程无解,则 的值是______. 1或2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 11.（枣庄中考）对于实数,,定义一种新运算“ ”： ,这 里等式右边是实数运算.例如： .则方程 的解是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 12.解下列方程： （1） ; 解：方程两边同乘 ,得 . 解得 . 检验：当时, . 原分式方程的解为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 （2） . 解：方程两边同乘 ,得 . 解得 . 检验：当时, . 是原分式方程的增根,应舍去. 原分式方程无解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 19 13.如图,点,在数轴上,它们所对应的数分别是和,且点, 到原 点的距离相等,求 的值. 解：由题意,得.解得 . 经检验, 是原方程的解. . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 20 14.解方程： ①的解为 ___; ②的解为 ___; ③的解为 ___; ④的解为 ___; …… 0 1 2 3 （1）请根据发现的规律直接写出第⑤、第⑥个方程及它们的解; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 21 解：第⑤个方程为,解为 ; 第⑥个方程为,解为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 22 （2）请你用一个含正整数 的式子表示上述规律,并求出它的解. 解：根据题意,得 , 去分母,得 . 解得 . 经检验, 是原方程的解. 原方程的解为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 23 $第二章 分式与分式方程 1 认识分式 第1课时 认识分式 1 01 典例示范 【例】（1） （泰安泰山区期中）若代数式有意义,则实数 的取值 范围是( ) D A. B. C. D. （2）（雅安中考）分式,则 的值是( ) A A. 1 B. C. D. 0 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 （1）分式有意义的条件是:分母不为0; （2）分式值为0的条件是:分子为0,且分母不为0. 【跟踪训练1】 （淄博张店区期中）若分式有意义,则 的取值范围 为( ) A A. B. C. D. 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 【跟踪训练2】 （泰安泰山区期中）当___时,分式 的值为0. 3 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 02 分层训练 知识点1 分式的概念 1.下列式子中,是分式的是( ) C A. B. C. D. 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 2.学校举行广播操比赛,共有名学生参加,准备每一排站 名学生,结果 最后一排少1名学生,则排数为( ) A A. B. C. D. 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 知识点2 分式有意义的条件 3.（威海乳山市期末）若分式有意义,则 的取值范围是( ) D A. B. C. 且 D. 且 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 4.若分式无意义,则 的值为( ) C A. 1 B. C. 1或 D. 任意数 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 知识点3 分式的值 5.（金华中考）分式的值是零,则 的值为( ) D A. 2 B. 5 C. D. 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 6.已知,,则 的值是( ) D A. B. C. 2 D. 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 7.（镇江中考）当___时,分式 的值为0. 5 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 易错点 考虑不周全而出错 8.（淄博中考）若分式的值为0,则 的值是( ) A A. 1 B. C. D. 2 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 9.（东营广饶县期末）在式子,,,,,, 中,分式的个 数是( ) B A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 10.已知分式的值为0,那么 的值是( ) B A. B. C. 1 D. 1或 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 11.某牧场储存饲料吨,计划每天消耗 吨,现增加牛的数量,每天多消耗 饲料 吨,则现在每天消耗饲料_______吨,储存的饲料现在可用_____天, 前面两个式子中是分式的是_____. 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.（岳阳中考）观察下列一组数:,1,,,, ,它们是按一定规律排 列的,那么这组数的第个数是_____为正整数 . 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 13.（教材P22习题 变式）求下列分式的值: （1）,其中 ; 解：因为 , 所以原式 . （2）,其中, . 解：因为, , 所以原式 . 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 14.（教材P22习题变式）当时,分式无意义,则当 时, 求分式 的值. 解：因为当时,分式 的值不存在, 所以 . 所以 . 把,代入,得 . 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 19 15.【阅读理解问题】自学下面材料后,解答问题. 分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.如, 等.那 么如何求出它们的解集呢？ 根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除,同号得正,异号得负. 其字母表达式为： 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 （1）若,,则;若,,则 ; （2）若,,则；若,,则 . 反之：①若,则或 ②若 ,则_ _______或________. 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21 根据上述规律,求不等式 的解集. 解:由题中规律可知或 或 . 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 22 $第二章 分式与分式方程 第2课时 分式方程的应用（1） 1 01 典例示范 【例】 某装修工程由甲、乙两人可以合作完成,若甲、乙两人合作4天 后,再由乙单独做12天可以完成.已知乙单独完成的天数是甲单独完成天 数的2倍,求甲、乙两人单独完成这项工程各需多少天. 1 2 3 4 5 6 7 8 2 【解答】 [答案] 设甲单独完成这项工程需天,则乙单独完成需 天,根据题意, 得 ,解得 . 经检验, 是原方程的根. 则 . 答：甲单独完成这项工程需12天,乙单独完成需24天. 1 2 3 4 5 6 7 8 3 工程问题中,通常把工作总量看作单位“1”,每一部分的工作量 工 作效率×工作时间,常用的等量关系有: （1）每人完成的工作量之和 总工作量; （2）各阶段完成的工作量之和 . 02 分层训练 知识点 工程类问题 1.（淄博中考）为贯彻落实习近平总书记关于黄河流域生态保护和高 质量发展的重要讲话精神，某学校组织初一、初二两个年级学生到黄 河岸边开展植树造林活动.已知初一植树900棵与初二植树1 200棵所用 的时间相同，两个年级平均每小时共植树350棵.求初一年级平均每小 时植树多少棵？设初一年级平均每小时植树 棵，则下面所列方程中 正确的是( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 5 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 6 2.“绿水青山就是金山银山.”某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任 务,为了迎接雨季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 ,结果提前30天完成了这一任务.设实际工作时每天绿化的面积为 万平方米,则下面所列方程中正确的是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 7 3.一项工程,甲、乙两公司合作,12天可以完成,如果甲、乙两公司单独完 成此项工程,乙公司所用时间是甲公司的1.5倍,求甲、乙两公司单独完 成这项工程各需多少天. 解：设甲公司单独完成此工程需要 天,则乙公司单独完成此项工程需 要 天.依题意,得 ,解得 . 经检验,是原方程的根.则 . 答：甲、乙两公司单独完成此工程各需要20天、30天. 1 2 3 4 5 6 7 8 8 4.（广州中考）甲、乙两个工程队均参与某筑路工程,先由甲队筑路60 千米,再由乙队完成剩下的筑路工程.已知乙队筑路总千米数是甲队筑路 总千米数的 倍,甲队比乙队多筑路20天. （1）求乙队筑路的总千米数; 解： （千米）. 答：乙队筑路的总千米数为80千米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2）若甲、乙两队平均每天筑路千米数之比为 ,求乙队平均每天筑 路多少千米. 解：设甲队平均每天筑路千米,则乙队平均每天筑路 千米.依题意, 得 ,解得 . 经检验,是原方程的解.则 . 答：乙队平均每天筑路0.8千米. 1 2 3 4 5 6 7 8 10 5.某市开发区在一项工程招标时,接到甲、乙两个工程队的投标书,工程 领导小组根据甲、乙两队的投标书测算,可有三种施工方案:①甲队单 独完成这项工程,刚好如期完工;②乙队单独完成此项工程要比规定工 期多用5天;③ ,剩下的工程由乙队单独做,也正好如期完工.某同学设 规定的工期为天,根据题意列出了方程: ,则方案③中被墨水 污染的部分应该是( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 11 A. 甲先做了4天 B. 甲、乙合作做了4天 C. 甲先做了工程的 D. 甲、乙合作做了工程的 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 12 6.某市为了构建城市立体交通网络,决定修建一条轻轨铁路,为使工程提 前半年完成,需将工作效率提高 ,则原计划完成这项工程需要_____ ___个月( ) A A. 30 B. 25 C. 36 D. 24 1 2 3 4 5 6 7 8 13 7.在某县美化城市工程招投标中,有甲、乙两个工程队投标.经测算：甲 队单独完成这项工程需要30天；若由甲队先做10天,剩下的工程由甲、 乙两队合作12天可完成.问： （1）乙队单独完成这项工程需要多少天？ 解：设乙队单独完成这项工程需要 天.依题意,得 , 解得 . 经检验, 的原方程的解. 答：乙队单独完成这项工程需要45天. 1 2 3 4 5 6 7 8 14 （2）甲队施工一天需付工程款3.5万元,乙队施工一天需付工程款2万元, 该工程计划用时不超过35天,在不超过计划天数的前提下,由甲队先单独 施工若干天,剩下的工程由乙队单独完成,那么安排甲队单独施工多少天 工程款最省？最省的工程款是多少万元？ 1 2 3 4 5 6 7 8 15 解：设甲队完成这项工程需天,总工程款为 万元，则乙还需要单独施 工 天. 由题意,得 , 解得 . . 当时, . 答：安排甲队单独施工20天工程款最省,最省的工程款是100万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 16 8.为了充分利用雨水资源,幸福村的小明家和相邻的爷爷家采取了修建 蓄水池、屋顶收集雨水的做法.已知小明和爷爷家的屋顶收集雨水的面 积、蓄水池的容积和蓄水池已有水量如下表: 1 2 3 4 5 6 7 8 17 小明家 爷爷家 屋顶收集雨水面积/ 160 120 蓄水池容积/ 50 13 蓄水池已有水量/ 34 11.5 气象预报即将会下雨,为了收集尽可能多的雨水,下雨前需从爷爷家的蓄 水池中抽取多少立方米的水注入小明家的蓄水池？ 1 2 3 4 5 6 7 8 18 解:设下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取 的水注入小明家的蓄水池. 依题意,得 , 解得 . 经检验, 是原方程的解. 答：下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取 的水注入小明家的蓄水池. 1 2 3 4 5 6 7 8 19 $