精品解析：重庆市凤鸣 山中学2025-2026学年九年级上学期数学月考试卷

重庆市凤鸣山中学教共体2025-2026学年度上期 初2023级数学阶段性消化作业（一） 考试说明： 1．时间：120分钟；2．总分：150分；3．页数：8页 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 4的相反数是（　　） A. 4 B. ﹣4 C. D. - 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答． 所以4的相反数-4． 故选B． 考点：相反数． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法运算法则，底数不变，指数相加，计算即可得出答案 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法运算法则是解此题的关键 3. 下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．是中心对称图形，符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 故选C． 4. 如图，AB//CD，∠A=50°，则∠1的度数是（） A. 40° B. 50° C. 130° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出∠2＝∠A，即可解答. 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠2＝∠A＝50°， ∴∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣50°＝130°， 故选C． 【点睛】此题考查平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题关键. 5. 已知一次函数的随的增大而增大，则下列结论中一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，对于一次函数，当时，y随x的增大而增大是解题的关键． 直接根据一次函数的增减性即可解答． 【详解】解：∵一次函数的随的增大而增大， ∴． 故选B． 6. 如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则四边形的周长与四边形的周长之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了位似的概念、位似多边形的性质等知识点，掌握位似多边形的周长的比等于相似比是解题的关键．先根据题意求出两个相似多边形的相似比，再根据相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形与四边形位似，位似中心为点O，， ∴，即四边形与四边形位似比为， ∴． 故选：C． 7. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】A 【解析】 【分析】先进行二次根式的混合运算，然后再估算出的值即可解答． 【详解】解： ∵ ∴ ∴ ∴估计的值应在3和4之间 故选：A 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，准确熟练地掌握二次根式的混合运算是解题的关键． 8. 如图，在中，点D，E分别是边， 的中点，点F是线段上的一点，连接， ，，且，，则EF的长是（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线等于的一半，相减即可求得的长． 【详解】解：∵点分别是边的中点，， ∴， ∵，且， 又∵点是边的中点， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质，熟悉以上性质是解题的关键． 9. 如图，四边形为正方形，点在边上，且，点在边上，且．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明，设，则，根据相似三角形的性质求得，进而根据正切的定义，，即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形，． ∴，， ∴， ∴ ∵，，则， 设，则， ∴ 解得：或 ∵， ∴， ∴, 故选：C． 【点睛】本题考查了求正切，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 10. 已知整式，其中是正整数，，，，，是自然数，若，．下列说法：若，，则满足条件的整式有且仅有个；若，则满足条件的整式中有个五次四项式；若，则满足条件的整式共有个．其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式的有关概念，根据，进行逐一判断即可，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：∵是正整数，，，，，是自然数，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴只有个，为，故正确； 当，则， ∵要满足五次四项式， ∴，，，，中有两个为，其余为， ∴，，，，，，共个，故正确； ∵，， ∴， ∵，且为自然数， ∴，解得：， ∴，， ∴当，，，，，中有一个为，其余为，满足条件的整式有个； 当，，，，，中有一个为，其余为，满足条件的整式有个； 当，，，，，中有一个为，其余为，满足条件的整式有个； ∴满足条件的整式共有个，故正确； 综上可知：正确的个数是个， 故选：． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先运用零次幂、负整数次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 如图，在中，，，，则的长为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了利用正弦函数求线段长，掌握正弦的定义是解题的关键． 根据三角函数正弦函数的定义列方程求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，即，解得：． 故答案为5． 13. 在数学活动课上，小南利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点处的镜子中看到教学楼的顶部时，测得小南的眼睛与地面的距离，同时测得，，则教学楼高度_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形的判定和性质列出比例式，即可求解． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴， 即， 解得， 则教学楼高度， 故答案为：． 14. 从背面完全相同，正面分别标有数的四张卡片中任取一张，将该卡片上的数记为，则使关于的方程有整数解且使关于的一元二次方程有正数解的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式的应用、分式方程、一元二次方程解等知识点．掌握分式方程的解法是解题的关键． 先求得使关于x的方程有整数解，且使关于x的一元二次方程有正数解时的情况，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当，即时原分式无解， ∴使关于x的方程有整数解的：，1，2； ∵， ∴，解得：， ∵关于x的一元二次方程x2+mx=0有正数解， ∴或， ∴使关于x的方程有整数解，且使关于x的一元二次方程有正数解的只有， ∴使关于x的一元二次方程有正数解的概率为：． 故答案为：． 15. 如图，在直角中，，，为边的中点，点是延长线上一点，把沿翻折，点落在处，与交于点，连接，若，则___________（用的代数式表示）；若，则___________． 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形是解题的关键． 如图：连接，延长交于点L，假设与交于点N，先证明，再根据三角形外角的性质结合已知条件即可求得；设，则，如图：过作于T，易证可得，即，设，则，运用勾股定理列方程可得、；如图：过D作于M，则，，易证可得，进而得到；再运用三角函数求得，进而得到，运用勾股定理可得，如图：过D作于G，则四边形是矩形，，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接，延长交于点L，假设与交于点N， ∵为边的中点， ∴， ∵把沿翻折，点落在处，与交于点，连接， ∴，，， ∴，即点H在以为圆心、以为直径的圆上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即． ∵， ∴设，则， 如图：过作于T， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：或0（不合题意舍弃）， ∴， ∴， 如图：过D作于M，则， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：或0（舍弃）， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴，， ∴， 如图：过D作于G，则四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为，6． 16. 如果一个各数位上的数字均不为的四位自然数，满足，则称这个四位数为“倍差等和数”．例如：四位数，，，是“倍差等和数”；又如：四位数，，不是“倍差等和数”．最小的“倍差等和数”为_____；若“倍差等和数”能被整除，令，且为整数，则满足条件的数的最大值为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题是新定义型，主要考查整式的加减的应用，不等式性质，难度大，理解新定义， 当“倍差等和数”为最小时，从最高数位为1开始，依次增大，逐步分析讨论即可的结论；若为整数，根据已知条件分析讨论即可得到答案．根据题意找出数量关系，分析讨论确定、、、的值是解决问题的关键． 【详解】解：①当“倍差等和数”为最小时， 若最高位上，则时，，不符合各数位上的数字均不为的四位自然数要求； 若最高位上，设，由，由可知，此情况不成立； 若最高位上，设，则， 在，且“倍差等和数”为最小时，取，，则此时的四位数为； ②为整数， 或2或3或4或6或12， ， ， 为奇数， ①当时，，， ，，解得，不是自然数，不合题意舍去； ②当时，，， ，，解得，不是自然数，不合题意舍去， ③当时，，或，， 当，时，，，解得，不合题意舍去； 当，时，，，解得，不是自然数，不合题意舍去； ④当时，若，， ，，解得，不是自然数，不合题意舍去； ⑤时，，或，， 当，时，，，解得，不是自然数，不合题意舍去； 当，时，，，解得， 能被整除，，， 能被整除， 求满足条件的数的最大值， ，则， 此时的数为； ⑥当时，，或，， 当，时，，，解得，不是自然数，不合题意舍去； 当，时，，，解得， 能被整除，，， 能被整除， 求满足条件的数的最大值， ，则， 此时的数为； ， 满足条件的数的最大值为， 故答案为：；． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组，并求出符合条件的所有整数解． 【答案】不等式组的解集是，整数解是，0，1 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式组、在数轴上表示解集、不等式组的整数解等知识点，掌握解不等式的方法是解题的关键． 先分别求出两个不等式的解集，然后在数轴上表示，即可得到不等式组的解集，最后根据数轴确定不等式组的整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 在同一条数轴上表示不等式①与②的解集如图所示： 所以该不等式组的解集是， 它的整数解是，0，1． 18. 在学习了平行四边形的相关知识后，小渝进行了更深入的研究，他发现，作平行四边形的一组对角的角平分线，与平行四边形两边相交的两点和这组对角的顶点构成的四边形是平行四边形，可利用平行四边形的判定方法得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在平行四边形中，平分交于点E．用尺规作的角平分线交点F（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：平行四边形中，平分交于点E，平分交于点F． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ，∴． ∵平分，∴， 同理可得：， ∴ ， ∴，∴ ． ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果四边形是矩形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论： ． 【答案】（1） 如图，用尺规作的角平分线交点；     （2）；；；作矩形的一组对角的角平分线，与矩形两边相交的两点和这组对角的顶点构成的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】（1）按照要求作出图形即可； （2）由平行四边形的性质可得，，由两直线平行内错角相等可得，由平分可得，同理可得，于是可得，进而可得，由同位角相等两直线平行可得，由平行四边形的判定可得结论；进一步思考，如果四边形是矩形，同法可证，于是可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了作角平分线（尺规作图），平行四边形的判定与性质，两直线平行内错角相等，角平分线的有关计算，同位角相等两直线平行等知识点，熟练掌握作角平分线（尺规作图）的方法以及平行四边形的判定与性质是解题的关键． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 19. 化简（1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式及多项式乘以多项式去括号后，合并同类项即可； （2）先通分括号里面的，在根据分式的除法法则计算即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 【点睛】本题考查的是整式的混合运算及分式的混合运算，掌握各运算的法则是关键． 20. 风中教共体举行以抗战胜利80周年为主题的知识竞答活动．现从教共体七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞答成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于90分（成绩得分用表示，共分为五组：；；；；），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞答成绩为： 92，94，94，94，95，95，97，97，97，98， 99，99，99，100，100，100，100，100，100，100． 八年级20名学生的竞答成绩在等级的数据是：97，97，98，98，98，98．根据以上信息，解答下列问题： 七、八年级抽取的学生竞答成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 七年级 八年级 99 （1）上述表中___________；___________；___________． （2）根据以上数据，你认为教共体七、八年级中哪个年级学生掌握知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）教共体七年级有1300名学生、八年级有1600名学生参加了此次知识竞答活动，估计教共体七、八年级学生参加此次竞答活动成绩高于96分的学生人数共有多少人？ 【答案】（1）30；100； （2）解：七年级学生掌握知识较好，理由如下：因为七年级学生竞答成绩的众数100大于八年级学生竞答成绩的众数99，所以七年级学生掌握知识较好 （3）估计教共体七、八年级学生参加此次竞答活动成绩高于96分的学生人数共有2030人 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图及中位数、众数、平均数、用样本估计整体等知识点，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键． （1）根据表格及求某项目所占的百分比，众数、中位数的定义求解即可； （2）根据平均分、中位数及众数分析即可解答； （3）先分别求出七、八年级学生参加此次竞答活动成绩高于96分学生数，然后相加即可解答． 【小问1详解】 解：八年级B组所占百分比为，则； 根据20名学生竞答成绩可知：100出现次数最多，则， 八年级掌握知识竞答中A组：（人）， ∴八年级的中位数为第10、11个同学掌握礼仪知识竞答的平均数， 即B组第2、3个同学成绩的平均数， 故答案为：30；100；． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：七年级人数：（人） 八年级人数：（人） 七、八年级总人数：（人） 答：估计教共体七、八年级学生参加此次竞答活动成绩高于96分的学生人数共有2030人． 21. 春节，是中国传统节日之一，春节有诸多民俗，如喝腊八粥、贴春联、拜年等．某工厂负责制作春节礼品“团圆”套装，已知4个A产品和1个B产品配成一套．该工厂有12名工人参与制作“团圆”套装，每名工人每天能够制作20个A产品或者7个B产品．小沙一月份在该工厂购买了一些“团圆”套装奖励给员工，共花了3000元． （1）若工厂每天生产的A、B产品恰好配套，应分别安排多少名工人制作A、B产品？ （2）该工厂二月份将“团圆”套装的售价提高了，小沙又花3000元购买了一些“团圆”套装，发现比上次恰好少买了20套，求一月份每套“团圆”套装的售价是多少元？ 【答案】（1）安排7名工人制作A产品，5名工人制作B产品 （2）25元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的实际应用． （1）根据“4个A产品和1个B产品配成一套”列方程求解； （2）根据“花3000元购买了一些团圆套装，发现比上次恰好少买了20套”列方程求解． 【小问1详解】 解：设应安排x名工人制作A产品， 根据题意，得． 解得：， ， 答：应安排7名工人制作A产品，5名工人制作B产品； 【小问2详解】 解：设一月份每套“团圆”套装的售价是y元， 根据题意，得， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意． 答：一月份每套“团圆”套装的售价是25元． 22. 如图，在中，，，动点从点出发，以2个单位/秒沿折线方向运动，运动到点停止运动，时间为于点，设的长为． （1）求关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，如果与该函数图象有两个不同的交点，请写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 函数图象如图所示： 由图可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、求函数解析式等知识，掌握数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． （1）先求得，再分当时，P在上运动；当时，P在上运动，两种情况，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）根据（1）中解析式描点画图即可，再根据图象写出可性质即可； （3）根据（2）中图象即可解答． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴， 如图，当时，P在上运动，则， ∵， ∴，即． 如图，当时，P在上运动，则， ∴，即． 综上， y关于t的函数表达式为． 【小问2详解】 解：由（1）知，该函数图象经过点，，，， 【小问3详解】 解：由必过， 如图：当过时，，解得：；当过时，，解得：， 所以如果与该函数图象有两个不同的交点，的取值范围． 23. 为加强凤中教共体教师联合教研，促进教育优质均衡发展，张老师和王老师从各自学校出发前往总校参加数学联合教研活动，经勘测，如图，公交站点在张老师学校点的正北方200米处，王老师学校点在点的正东方600米处，点在点的东北方向，点在点的正东方，总校点在点的正北方，点在点的北偏东方向（参考数据：， （1）求的长度；（结果精确到1米） （2）张老师的路线是从点步行至点再乘坐公交车前往点，假设张老师步行的平均速度为80米/分，公交车匀速行驶且速度为250米/分，公交车行驶途中，上下客合计耗时2分钟（张老师上车和下车时间忽略不计），王老师全程步行，他从点经过点买水（买水时间忽略不计）再前往点，假设王老师步行平均速度为100米/分，请问张老师和王老师谁先到达总校点呢？说明理由． 【答案】（1）的长度为283米 （2）解：王老师先到总校点，理由： ， 米， 点在点的北偏东方向， ， （米），（米）， 张老师花费时间 王老师花费时间（分） 王老师花费时间更少 答：王老师先到总校点． 【解析】 【分析】本题主要考查了方位角、等腰直角三角形、解直角三角形、勾股定理等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键， （1）如图：过点作交于点，由题意得：米，米，易得是等腰直角三角形，则米，再利用勾股定理求解即可； （2）由题意可得米，再求得，然后解直角三角形可得（米）、（米）；再根据时间、路程、速度的关系求得张老师、王老师所用的时间，然后再比较即可解答． 【小问1详解】 解：如图：过点作交于点，    由题意得：米，米， ， 是等腰直角三角形， 米， （米）． 答：的长度为283米． 【小问2详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，，经过两点的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，经过两点的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，已知点的坐标为． （1）求直线的解析式及点的坐标； （2）点在直线上方，且在第一象限内的反比例函数的图象上，连接、且，点为直线上一动点．连接，求的最小值； （3）在（2）的条件下，若反比例函数的函数图像上有一动点，当时，直接写出所有满足条件的点的坐标．并写出求解点坐标的一种过程． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，涉及解直角三角形，公式法求解一元二次方程等知识点． （1）先确定出点A，C坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，再用待定系数法求出反比例函数解析式，联立求出点E坐标； （2）作轴交于点，延长交轴于点，作轴于点，设，则，先由建立方程求解，求出点坐标，而，则，当且仅当共线时，且重合，原式取最小值，最小值为； （3）设，当点在直线下方反比例函数图象上时，过点作轴的平行线，过点作平行线的垂线，垂足为点，证明，则，列方程求解；当点在直线上方反比例函数图象上时， 过点作轴平行线，过点作于点，求得，则，再列方程求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为①， ∵点在反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为②， 联立①②解得，或， ∵点E在第一象限内， ∴； 【小问2详解】 解：作轴交于点，延长交轴于点，作轴于点， ∵，， ∴同上可求直线的解析式为， 设，则 （舍） ， ∵ 当且仅当共线时，且重合，原式取最小值，最小值为； 【小问3详解】 解：由（2）知当时，则，即， 设， 当点在直线下方反比例函数图象上时， 过点作轴的平行线，过点作平行线的垂线，垂足为点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ 整理得， 解得或（舍）， ∴； 当点在直线上方反比例函数图象上时， 过点作轴平行线，过点作于点， 同上可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得，， 解得或（舍）， ∴， 综上：或． 25. 在中，，，绕点C顺时针旋转角度α（）得到． （1）如图1，若，连接交于点E，若，求的长； （2）如图2，若，平分交于点F，连接，过点C作，在射线上取点G使得，连接，请用等式表示线段、、之间的数量关系并证明； （3）如图3，若，点P是线段上一动点，将绕点P逆时针旋转得到，连接，M为的中点，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1）； （2） 证明：连接，与交于点O，如图2， 由旋转可得，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴G、B、D三点共线，且是等腰直角三角形， ∴， ∴， 整理得； （3）8． 【解析】 【分析】（1）根据旋转可得，即可得到，据此求解即可； （2）连接，与交于点O，根据角平分线可得，进而得到，，得到，，可得，即可推出和是等腰直角三角形，据此求解即可； （3）如图，过P作交于H，交于O，过Q作交于G，延长交于N，延长至E，使，过A作交于F，根据一线三垂直模型可证明，得，，设,则， ，得到四边形是矩形，四边形是正方形，再说明M与O重合，，最后根据，得到当A、N、E三点共线时取得最小值，得到，解得，最后根据计算即可． 【小问1详解】 解：由旋转可得，， ∴，， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图3，过P作交于H，交于O，过Q作交于G，延长交于N，延长至E，使，过A作交于F， ∵将绕点P逆时针旋转90°得到， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， 设， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴点B在上，，, ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴O为的中点， ∵M为的中点， ∴M与O重合，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当A、N、E三点共线时取得最小值，此时， ∴, ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，轴对称与最小值，勾股定理，30°直角三角形的性质，涉及知识点比较多，难度比较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市凤鸣山中学教共体2025-2026学年度上期 初2023级数学阶段性消化作业（一） 考试说明： 1．时间：120分钟；2．总分：150分；3．页数：8页 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 4的相反数是（　　） A. 4 B. ﹣4 C. D. - 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，AB//CD，∠A=50°，则∠1的度数是（） A. 40° B. 50° C. 130° D. 150° 5. 已知一次函数的随的增大而增大，则下列结论中一定正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则四边形的周长与四边形的周长之比是（ ） A. B. C. D. 7. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 8. 如图，在中，点D，E分别是边， 的中点，点F是线段上的一点，连接， ，，且，，则EF的长是（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 9. 如图，四边形为正方形，点在边上，且，点在边上，且．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中是正整数，，，，，是自然数，若，．下列说法：若，，则满足条件的整式有且仅有个；若，则满足条件的整式中有个五次四项式；若，则满足条件的整式共有个．其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算的结果是___________． 12. 如图，在中，，，，则的长为___________． 13. 在数学活动课上，小南利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点处的镜子中看到教学楼的顶部时，测得小南的眼睛与地面的距离，同时测得，，则教学楼高度_____． 14. 从背面完全相同，正面分别标有数的四张卡片中任取一张，将该卡片上的数记为，则使关于的方程有整数解且使关于的一元二次方程有正数解的概率为___________． 15. 如图，在直角中，，，为边的中点，点是延长线上一点，把沿翻折，点落在处，与交于点，连接，若，则___________（用的代数式表示）；若，则___________． 16. 如果一个各数位上的数字均不为的四位自然数，满足，则称这个四位数为“倍差等和数”．例如：四位数，，，是“倍差等和数”；又如：四位数，，不是“倍差等和数”．最小的“倍差等和数”为_____；若“倍差等和数”能被整除，令，且为整数，则满足条件的数的最大值为_________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组，并求出符合条件的所有整数解． 18. 在学习了平行四边形的相关知识后，小渝进行了更深入的研究，他发现，作平行四边形的一组对角的角平分线，与平行四边形两边相交的两点和这组对角的顶点构成的四边形是平行四边形，可利用平行四边形的判定方法得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在平行四边形中，平分交于点E．用尺规作的角平分线交点F（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：平行四边形中，平分交于点E，平分交于点F． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ，∴． ∵平分，∴， 同理可得：， ∴ ， ∴，∴ ． ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果四边形是矩形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论： ． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 19. 化简（1） （2） 20. 风中教共体举行以抗战胜利80周年为主题的知识竞答活动．现从教共体七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞答成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于90分（成绩得分用表示，共分为五组：；；；；），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞答成绩为： 92，94，94，94，95，95，97，97，97，98， 99，99，99，100，100，100，100，100，100，100． 八年级20名学生的竞答成绩在等级的数据是：97，97，98，98，98，98．根据以上信息，解答下列问题： 七、八年级抽取的学生竞答成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 七年级 八年级 99 （1）上述表中___________；___________；___________． （2）根据以上数据，你认为教共体七、八年级中哪个年级学生掌握知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）教共体七年级有1300名学生、八年级有1600名学生参加了此次知识竞答活动，估计教共体七、八年级学生参加此次竞答活动成绩高于96分的学生人数共有多少人？ 21. 春节，是中国传统节日之一，春节有诸多民俗，如喝腊八粥、贴春联、拜年等．某工厂负责制作春节礼品“团圆”套装，已知4个A产品和1个B产品配成一套．该工厂有12名工人参与制作“团圆”套装，每名工人每天能够制作20个A产品或者7个B产品．小沙一月份在该工厂购买了一些“团圆”套装奖励给员工，共花了3000元． （1）若工厂每天生产的A、B产品恰好配套，应分别安排多少名工人制作A、B产品？ （2）该工厂二月份将“团圆”套装的售价提高了，小沙又花3000元购买了一些“团圆”套装，发现比上次恰好少买了20套，求一月份每套“团圆”套装的售价是多少元？ 22. 如图，在中，，，动点从点出发，以2个单位/秒沿折线方向运动，运动到点停止运动，时间为于点，设的长为． （1）求关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，如果与该函数图象有两个不同的交点，请写出的取值范围． 23. 为加强凤中教共体教师联合教研，促进教育优质均衡发展，张老师和王老师从各自学校出发前往总校参加数学联合教研活动，经勘测，如图，公交站点在张老师学校点的正北方200米处，王老师学校点在点的正东方600米处，点在点的东北方向，点在点的正东方，总校点在点的正北方，点在点的北偏东方向（参考数据：， （1）求的长度；（结果精确到1米） （2）张老师的路线是从点步行至点再乘坐公交车前往点，假设张老师步行的平均速度为80米/分，公交车匀速行驶且速度为250米/分，公交车行驶途中，上下客合计耗时2分钟（张老师上车和下车时间忽略不计），王老师全程步行，他从点经过点买水（买水时间忽略不计）再前往点，假设王老师步行平均速度为100米/分，请问张老师和王老师谁先到达总校点呢？说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，，经过两点的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，经过两点的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，已知点的坐标为． （1）求直线的解析式及点的坐标； （2）点在直线上方，且在第一象限内的反比例函数的图象上，连接、且，点为直线上一动点．连接，求的最小值； （3）在（2）的条件下，若反比例函数的函数图像上有一动点，当时，直接写出所有满足条件的点的坐标．并写出求解点坐标的一种过程． 25. 在中，，，绕点C顺时针旋转角度α（）得到． （1）如图1，若，连接交于点E，若，求的长； （2）如图2，若，平分交于点F，连接，过点C作，在射线上取点G使得，连接，请用等式表示线段、、之间的数量关系并证明； （3）如图3，若，点P是线段上一动点，将绕点P逆时针旋转得到，连接，M为的中点，当取得最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $