精品解析：辽宁省沈阳市第一二六中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷

沈阳市第一二六中学教育集团2025—2026学年度上学期 九年级10月数学学科作业检查 检查时长：120分钟 作业满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 下表示用计算器探索函数时所得的数值： 则方程的一个解的取值范围为（ ） A. 0<x<0.25 B. 0.25<x<0.5 C. 0.5<x<0.75 D. 0.75<x<1 4. 下列命题中，属于真命题的是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 5. 菱形的边长是，一条对角线的长是，则菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，它们依次交直线m、n于点A、B、C和D、E、F，已知，，，那么等于（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 7. 某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与n的比值 0.85 0.9 0.93 0.9 0.89 0.9 0.91 0.91 0.92 0.92 A. 0.92 B. 0.905 C. 0.903 D. 0.9 8. 某厂家2024年1~5月份销售的电车数量如图所示．设从2月份到4月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，，E、F、G、H分别是的中点，则四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 10. 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图．可以得到大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，四边形和相似，已知，，，则____________． 12. 参加足球联赛的每两个队都进行2场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？设参加比赛的有x个队，根据题意，可列方程为________． 13. 如图，在矩形中，，，点E在边上，且，以点E为圆心，任意长为半径作弧，交直线于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作直线交直线于点F，则的长为__________． 14. 是关于的一元二次方程的一个根，则______． 15. 如图，在菱形中，，是对角线上的点，，连结，的延长线交于点，连结，且，则菱形的面积为______． 三、解答题（共8小题） 16. 按要求解一元二次方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 17. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）当取满足条件的最大整数值时，求方程的根． 18. “四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药和D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． （1）小强从这四张卡片中随机抽取一张恰好是“印刷术”的概率为 ． （2）小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率． 19. 已知，如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求四边形的面积． 20. 某商场将进货价为元的台灯以元的销售价出售，平均每月能销售出个．市场调研表明，当销售价每上涨元时，其销售量将减少个．若设每个台灯的销售价上涨元． （1）试用的代数式填空： ①涨价后，每个台灯的销售价格为　　元； ②涨价后每个台灯的利润为　　元； ③涨价后商场的台灯的平均每月的销售量为　　个； （2）商场要想使该台灯的销售利润平均每月达到元，有如下的方案，销售经理甲说，“在原销售价每个元的基础上再上涨元，可以完成任务．”销售经理乙说，“不用涨那么多，在原售价每个元的基础上再上涨元就可以了．”试判断甲和乙的说法是否正确，并说明说明理由． 21. 已知：如图，在中，，，．直线从点出发，以的速度向点方向运动，并始终与平行，与线段交于点．同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，设运动时间为（）． （1）当为何值时，四边形是矩形？ （2）用含有的代数式表示________； （3）当面积是的面积的倍时，求出的值． 22. 在综合实践课上，数学老师带领同学们探究了四边形中线段乘积的特殊性，探索过程如下： 【发现问题】老师首先用四边形中比较特殊的矩形给同学们做了示范，如图1所示． （1）在矩形中，为边上一点，连接，若，过作交于点，．同学们猜想是个定值．老师给予了肯定，请你帮助同学们完善证明过程． 证明：四边形是矩形，则， ______， ， ，， ， ， （______）， ， ， ． 【深入探究】同学们分组进行探究，组选用了菱形进行探究，如图2所示． （2）在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点． ①求证：； ②若时，求的值． 【拓展提升】组选用了平行四边形进行探究，如图3和备用图所示，但过程中出现了一些问题，请你试着帮助他们解决． （3）在平行四边形中，，，，点在边上，且，点为边上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出线段的长． 23. 对于平面直角坐标系中的点A和点P，若将点P绕点A逆时针旋转后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“逆垂点”，图1为点P关于点A的“逆垂点”Q的示意图． （1）已知点A的坐标为，点P关于点A的“逆垂点”为点Q，若点P的坐标为，则点Q的坐标为__________． （2）如图2，已知， 点C关于点A的“逆垂点”为点D，求点D的坐标（写过程） （3）如图3，已知点C的坐标为，点D在直线上，若点D关于点C的“逆垂点”在坐标轴上，则点D的坐标为__________． （4）如图4，已知图形G是端点为和的线段，图形H是以点O为中心，各边分别与坐标轴平行的边长为6的正方形，点M为图形G上的动点，点N为图形H上的动点，若存在点，使得点M关于点T的“逆垂点”恰为点N，直接写出t的取值范围为__________ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市第一二六中学教育集团2025—2026学年度上学期 九年级10月数学学科作业检查 检查时长：120分钟 作业满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的识别，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，形如的形式，由此判断即可． 【详解】解：A，是一元一次方程，不合题意； B，中，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，不合题意； C，是一元二次方程，符合题意； D，中，含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意； 故选C． 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例式的性质，正确用同一未知数表示各数是解题关键．直接利用比例的性质假设出未知数，进而得出答案． 【详解】解：∵， 故设，， ∴． 故选：B． 3. 下表示用计算器探索函数时所得的数值： 则方程的一个解的取值范围为（ ） A. 0<x<0.25 B. 0.25<x<0.5 C. 0.5<x<0.75 D. 0.75<x<1 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式找出对称轴，即可知何时y随x的增大而增大，本题易解． 【详解】∵二次函数中，a=1>0， ∴抛物线开口方向向上， ∵对称轴 ∴时y随x的增大而增大， ∵当x=0.5时，y=−0.25<0，当x=0.75时，y=1.31>0， ∴方程的一个正根：0.5<x<0.75， 故选C. 【点睛】解答此题的关键是求出对称轴,然后由图象解答,锻炼了学生数形结合的思想方法. 4. 下列命题中，属于真命题的是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理，菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定，分别根据菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：A．有一个角是直角的四边形是矩形，是假命题，有三个角是直角的四边形是矩形，故本选项不符合题意； B．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形，是假命题，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故本选项不符合题意； C．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形，是假命题，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故本选项不符合题意； D．对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 菱形的边长是，一条对角线的长是，则菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理．根据勾股定理求出菱形的另一条对角线的长度，即可求出菱形的面积． 【详解】解：如图，，， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 故选：D． 6. 如图，直线，它们依次交直线m、n于点A、B、C和D、E、F，已知，，，那么等于（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由题意根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求解即可． 【详解】∵， ∴，即 ∴解得， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，能正确根据平行线分线段成比例定理得出比例式是解答此题的关键． 7. 某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与n的比值 0.85 0.9 0.93 0.9 0.89 0.9 0.91 0.91 0.92 0.92 A. 0.92 B. 0.905 C. 0.903 D. 0.9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，根据表格中的数据，结合概率是频率的稳定值，且试验次数越多，越趋近稳定值，进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，该区初中生体质健康合格的概率约为； 故选：A． 8. 某厂家2024年1~5月份销售的电车数量如图所示．设从2月份到4月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设从2月份到4月份该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程． 【详解】解：设从2月份到4月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x， 根据题意可得方程：． 故选：B． 9. 如图，在四边形中，，E、F、G、H分别是的中点，则四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定及菱形的判定，掌握这些知识是解题的关键；由三角形中位线定理得四边形是平行四边形，再由，结合中位线定理得，从而得四边形是菱形． 【详解】解：∵E、F、G、H分别是的中点， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵，，， ∴， ∴四边形是菱形． 故选：B． 10. 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图．可以得到大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键． 根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案． 【详解】解∶方程，即的拼图如图所示 中间小正方形的边长为，其面积为9， 大正方形的面积∶， 其边长为7因此，D选项所表示的图形符合题意， 故选∶D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，四边形和相似，已知，，，则____________． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的性质，解题的关键是掌握相似图形对应角相等． 根据相似图形的性质得出，，即可解答． 【详解】解：∵四边形和相似， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：80． 12. 参加足球联赛的每两个队都进行2场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？设参加比赛的有x个队，根据题意，可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．利用比赛的总场数参赛队伍数参赛队伍数即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，，，点E在边上，且，以点E为圆心，任意长为半径作弧，交直线于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作直线交直线于点F，则的长为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的作法，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据尺规作图得出，根据条件证明，然后利用相似三角形的对应边成比例进行求解即可． 【详解】解：由作图可知， ∴， ． ，， ，． 在中，． ， ． ， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 14. 是关于的一元二次方程的一个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的定义，将代入方程，结合一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴，即， 解得：或2， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 15. 如图，在菱形中，，是对角线上的点，，连结，的延长线交于点，连结，且，则菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形的外角性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．正确作出辅助线构建直角三角形，结合勾股定理求出是解题的关键． 过点作于点，根据菱形的性质得出，，，根据相似三角形的判定和性质得出，，，根据全等三角形的判定和性质得出，根据相似三角形的判定和性质求出，得出，设，则，结合勾股定理求出，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴，， 又∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故． 过点作于点，如图： 设，则， 在中，， 在中，， 故， 解得； ∴， 故菱形的面积为． 故答案为：． 三、解答题（共8小题） 16. 按要求解一元二次方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据配方法解一元二次方程； （2）直接运用公式法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， 配方得：， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， 解得：． 17. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）当取满足条件的最大整数值时，求方程的根． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式并正确求解一元二次方程是解题的关键； （1）由题意得，解不等式即可； （2）根据（1）求得的k的范围可得到k的最大整数值，代入方程中并解方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得． 【小问2详解】 解：由，得满足条件的的最大整数值为3， 则原方程化为， ∴， 解得，． 18. “四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药和D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． （1）小强从这四张卡片中随机抽取一张恰好是“印刷术”的概率为 ． （2）小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可． （2）画树状图得出所有等可能的结果数和两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：∵有A指南针、B造纸术、C火药和D印刷术四张卡片， ∴小强从这四张卡片中随机抽取一张恰好是“印刷术”的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片恰好是“A．指南针”和“B．造纸术”的结果有2种， ∴两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率为． 19. 已知，如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，，， ， 四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质和菱形的判定，解题关键是熟练掌握菱形的判定方法，由矩形的性质得出． （1）根据，，即可证出四边形是平行四边形，由矩形的性质得出，即可得出结论； （2）利用先求出即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， 四边形是菱形， ， ． 20. 某商场将进货价为元的台灯以元的销售价出售，平均每月能销售出个．市场调研表明，当销售价每上涨元时，其销售量将减少个．若设每个台灯的销售价上涨元． （1）试用的代数式填空： ①涨价后，每个台灯的销售价格为　　元； ②涨价后每个台灯的利润为　　元； ③涨价后商场的台灯的平均每月的销售量为　　个； （2）商场要想使该台灯的销售利润平均每月达到元，有如下的方案，销售经理甲说，“在原销售价每个元的基础上再上涨元，可以完成任务．”销售经理乙说，“不用涨那么多，在原售价每个元的基础上再上涨元就可以了．”试判断甲和乙的说法是否正确，并说明说明理由． 【答案】（1）①；②；③ （2） 解：甲、乙的说法都是正确的，理由如下： 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 即商场要想使该台灯的销售利润平均每月达到元，在原销售价每个元的基础上再上涨元或元， ∴甲、乙的说法都是正确的． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）①根据每个台灯的销售价上涨元，列出代数式即可； ②根据某商场将进货价为元的台灯以元的销售价出售，每个台灯的销售价上涨元，列出代数式即可； ③根据当销售价每上涨元时，其销售量将减少个，列出代数式即可； （2）根据该台灯的销售利润平均每月达到元，列出一元二次方程，解方程，即可得出结论． 【小问1详解】 解：①涨价后，每个台灯的销售价格为元， 故答案为：； ②涨价后每个台灯的利润为元，即元， 故答案为：； ③涨价后商场的台灯的平均每月的销售量为个， 故答案为：； 【小问2详解】 略 21. 已知：如图，在中，，，．直线从点出发，以的速度向点方向运动，并始终与平行，与线段交于点．同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，设运动时间为（）． （1）当为何值时，四边形是矩形？ （2）用含有的代数式表示________； （3）当面积是的面积的倍时，求出的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和性质、一元二次方程的应用，相似三角形的性质与判定、三角形的面积、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建参数解决问题． （1）根据勾股定理可得的长，由，得出，进而可得可求的长，当时，四边形是矩形，列出方程即可解决问题； （2）根据（1）得出，则，即可表示出的长， （3）求出的面积，根据计算即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， ， ， ， ，， 当时，四边形是矩形， ， 解得：； 【小问2详解】 解：， ， 故答案为：． 【小问3详解】 解： ， ， 解得：． 22. 在综合实践课上，数学老师带领同学们探究了四边形中线段乘积的特殊性，探索过程如下： 【发现问题】老师首先用四边形中比较特殊的矩形给同学们做了示范，如图1所示． （1）在矩形中，为边上一点，连接，若，过作交于点，．同学们猜想是个定值．老师给予了肯定，请你帮助同学们完善证明过程． 证明：四边形是矩形，则， ______， ， ，， ， ， （______）， ， ， ． 【深入探究】同学们分组进行探究，组选用了菱形进行探究，如图2所示． （2）在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点． ①求证：； ②若时，求的值． 【拓展提升】组选用了平行四边形进行探究，如图3和备用图所示，但过程中出现了一些问题，请你试着帮助他们解决． （3）在平行四边形中，，，，点在边上，且，点为边上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）；； （2）①证明：∵在菱形中， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ②； （3）的长为3或4或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得出，进而证明，结合已知条件，即可证明；由①可得，根据，即可求解； （2）①根据菱形的性质得出，则，进而根据即可得证； ②根据结合已知条件得出，根据相似三角形的性质即可求解； （3）分三种情况讨论，①当点G在边上时；②当G点在边上时；③当G点在边上时． 【详解】（1）证明：四边形是矩形，则， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：90；． （2）①略 ②∵， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）①当点G在边上时，如图所示，延长交的延长线于点M，连接，过点E作于点H， ∵平行四边形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴2， ∴， 在中，， 则 ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，，， ∴， 解得：或， 即或， ②当G点在边上时，如图所示， 连接，延长交的延长线于点M，过点G作，则，四边形是平行四边形， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点E作于点H， 在中，， ∴，， ∴， 则 ， ∴， ∴，， ∵， 又， ∴ ∴， ∴， 即 ， 解得：，（舍去）， 即 ； ③当G点在边上时，如图所示， 过点B作于点T， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴G点不可能在边上， ④当G点在上时，，不符合相交，舍去， 综上所述，的长为3或4或 ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 23. 对于平面直角坐标系中的点A和点P，若将点P绕点A逆时针旋转后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“逆垂点”，图1为点P关于点A的“逆垂点”Q的示意图． （1）已知点A的坐标为，点P关于点A的“逆垂点”为点Q，若点P的坐标为，则点Q的坐标为__________． （2）如图2，已知， 点C关于点A的“逆垂点”为点D，求点D的坐标（写过程） （3）如图3，已知点C的坐标为，点D在直线上，若点D关于点C的“逆垂点”在坐标轴上，则点D的坐标为__________． （4）如图4，已知图形G是端点为和的线段，图形H是以点O为中心，各边分别与坐标轴平行的边长为6的正方形，点M为图形G上的动点，点N为图形H上的动点，若存在点，使得点M关于点T的“逆垂点”恰为点N，直接写出t的取值范围为__________ 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，即可求解； （2）过点A作轴于B ，过点D作轴于F，与延长线相交 于E，证明四边形是矩形，得出，，再证明，得出，，从而求得，，最后利用点D在第四象限，即可写出点D的坐标； （3）分点D关于点C的“逆垂点”在x轴或y轴上两种情况，分别求解即可； （4）分点落在正方形右边一条边、上边一条边两种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解： 的坐标为，即点是原点， 若点的坐标为，如图： ∴， 根据旋转的性质可得： ∴点， 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图2，过点A作轴于B ，过点D作轴于F，与延长线相交 于E， ∵， ∴，，， ∴ ∵轴于B ， 轴于F， ∴， ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， 由旋转可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵点D在第四象限， ∴． 【小问3详解】 解：当点D关于点C的“逆垂点”在x轴上时，如图， 则轴， ∵点C的坐标为， ∴点D的横坐标为1， 把代入，得， ∴点D的坐标为； 当点D关于点C的“逆垂点”在y轴上时，如图， 过点D作轴于E， 同理可得， ∴， 即点D的纵坐标为1，把代入，得， 解得， ∴， 综上，点的坐标为或． 【小问4详解】 解：设图形所在直线的解析式为， 把和代入，得 ，解得：， ∴图形所在直线的表达式为：， 设点，其中， （Ⅰ）当落在正方形的右边的一条边，且如图： 分别过点、作轴的垂线交于点、， 同理可证， ，即， ∴ ∵ ∴ 解得： 又∵， ∴ ∴ 解得：； ∴； （Ⅱ）当落在正方形的下边的一条边时，且，如图： 同理可得：， ∵， ∴， 解得：， ∵ ∴ 解得：， ∴； （Ⅲ）当落在正方形的上面的一条边时，且 如图， 同理可得：， ∵ ∴ ∴ ∵ ， ∴ ∴ 解得：， ∴， 综上，的取值范围为： 或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，图形的旋转、解不等式等，这种新定义类的题目，通常按照题设顺序逐次求解．其中（3）、（4），都要注意分类求解，避免遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $