精品解析：辽宁锦州市第八初级中学2026-2027学年上学期八年数学 10月 学情自测

八年数学试卷 数学考试时间共90分钟 试卷满分：100分 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效 一、选择题（本题包括10道小题，每题2分，共20分） 1. 在下列各数，，，，，，，，，（相邻两个1之间有1个0）中，是无理数的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先化简含乘方、开方的数，再判断无理数的个数，即可求解． 【详解】解：，，． ，，，为整数，是有理数．是有限小数，是有理数． 、（相邻两个之间有个）是无限循环小数，是有理数． 是无限不循环小数，是无理数． 是无理数． 是开方开不尽的数，是无理数． 综上，无理数共个． 2. 若13，12，a为勾股数，则a的值为（ ） A. 7 B. 5 C. 6 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵13，12，a为勾股数， ∴a为正整数，满足勾股定理， 当13为斜边长时，则， ∴，解得：； 当a为斜边长时，则， ∵313不是完全平方数， ∴不符合题意，舍去． 3. 根据下列表述，能确定具体位置的是（ ） A. 万达影城1号厅6排 B. 辽宁省锦州市 C. 北纬，东经 D. 南偏西 【答案】C 【解析】 【分析】判断能否确定具体位置的核心是是否具备两个独立的定位数据． 【详解】解：A选项：仅给出万达影城1号厅6排，缺少座位号，无法确定具体位置， B选项：仅给出辽宁省锦州市，范围过大，无法确定具体位置， C选项：给出北纬、东经两个独立定位数据，可唯一确定具体位置， D选项：仅给出南偏西方向，缺少距离，无法确定具体位置． 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：A．不是同类二次根式，不能进行加减计算，故A错误； B．，故B错误； C．，故C错误； D．，故D正确； 故选：D 5. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，，则d为（ ） A. 9 B. 11 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】连接，利用勾股定理建立之间的等量关系，求解即可. 【详解】解：连接，由题意得，，，， ， 在中，，在中，， ，即， ，， ， . 6. 在一个大正方形上，按如图的方式粘贴面积分别为12，10的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算的运用，先由题中正方形的面积得到各个正方形的边长，再表示出两个空白图形的长与宽即可得到空白部分的面积为，运用二次根式混合运算法则计算即可得到答案．熟记二次根式性质、二次根式乘法及加减运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 面积为10的正方形边长为、面积为12的正方形边长为、面积为3的正方形边长为， 空白的长为，宽为；空白的长为，宽为； 空白部分的面积为， 故选：A． 7. 如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，于点B，且，连接，在上截取，以A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴的关系，勾股定理，熟练掌握勾股定理，实数与数轴的关系是解题的关键，根据勾股定理可求得的长，再根据题意得到，从而得到答案． 【详解】解：由题可得：，，， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点E表示的实数是， 故选：A． 8. 如图，点、、、在网格中小正方形的顶点处，与相交于点，小正方形的边长为1，则的长等于（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据勾股定理计算AD的长，再根据△AOB∽△DOC，对应边成比例，从而求出AO的长． 【详解】解： AD=，AB=2，CD=3， ∵AB∥DC， ∴△AOB∽△DOC， ∴， ∴设AO=2x，则OD=3x， ∵AO+OD=AD， ∴2x+3x=5． 解得：x=1， ∴AO=2， 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理和相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 9. 如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从顶点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至顶点停止，则彩条的长度最短为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，长方体侧面展开图，两点之间，线段最短等知识．根据题意画出长方体侧面展开图，作点关于的对称点，连接，交于，连接，则，得到彩条最短长度为．根据勾股定理求出的长即可得答案． 【详解】解：如图， 长方形为长方体侧面展开图，则，， 作点关于的对称点，连接，交于，连接，则，， ∴彩条最短长度为， 在中，． 故选：C． 10. 如图，，，，．则_____°． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理、全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造直角三角形，结合全等三角形转化角的关系是解题的关键． 过点作，垂足为，，在和中，以为桥利用勾股定理列方程得，即可得，由得，由，可证，可得，由即可得． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∴，，， ∴， 设，则， ∴ ， 解得，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ，，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 二、填空题（本题包括5道小题，每题2分，共10分） 11. 若x和y互为相反数，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】由和互为相反数得，利用立方根的性质即可求出结果． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴， ∴， ∵ 对于任意实数，都有， ∴， ∴原式． 12. 若为正整数，且满足，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先估算出的取值范围，进而得到的取值范围，结合条件即可求出的值． 【详解】解：， ， 不等式两边同进减去2，得， 为正整数，且满足， ． 13. 已知，，，比较x、y的大小________． 【答案】 【解析】 【分析】对，分别取倒数，分母有理化后比较倒数的大小，利用正数的倒数越大原数越小的规律比较大小. 【详解】解：∵ ，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， 即 ， ∵ 正数中，倒数越大，原数越小， ∴ . 14. 对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，如，，．现对82进行如下操作：，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对2500只需进行________次操作后变为1． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目给定的操作规则，逐步对进行操作，直到得到结果，统计操作次数即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，对任意正整数，每次操作得到，其中表示不大于的最大整数，逐步操作如下： 第次操作：； 第次操作：； 第次操作：； 第次操作：； 操作次后得到，因此操作次数为． 15. 如图，在中，，，．将分别沿，折叠，使点A，C都与点B重合，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠计算可得，设，则，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：，  ， 由折叠得，，，，，  ∴， 设，则， 在中，，  ， 解得，  ． 三、解答题（本大题共8小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 17. 已知最简二次根式与可以合并，若，化简：． 【答案】 【解析】 【分析】先利用最简二次根式与可以合并得出被开方数相同，继而求出a，再根据x的范围和完全平方公式化简即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴， 解得：， 当，即时，， ∴ ． 18. 按要求作图 （1）如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上． ①在图中画出与关于直线l成轴对称的； ②在直线l上画出一点P，使得的周长最小，最小周长为 ； ③的面积为 ； （2）如图2，在网格中画出一个面积为10的正方形． 【答案】（1）①如图，即为所求；②如图，点即为所求；；；③； （2） 【解析】 【分析】（1）①分别作出A、B、C关于直线的对称点，顺次连接得到对称三角形；②周长，为定长，作关于直线对称点，连接交得到，利用勾股定理求线段，算出最小周长；③使用矩形割补法，包围三角形的矩形减去周围直角三角形面积； （2）面积为10，边长，由构造斜边绘制正方形． 【小问1详解】 解：①作图：略； ②作图：略；的周长，线段长度固定，只需最小化． 作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，点即为所求． 由轴对称性质，， ． 根据两点之间线段最短，当、P、C三点共线时，取得最小值，最小值等于线段的长． 网格中由勾股定理得： ， ． 周长最小值． ③ ； 【小问2详解】 解：正方形面积等于10，则正方形边长为． ， ∴在网格中取直角边分别为和的直角三角形斜边作为正方形的边长，依次画出四条边，即得到面积为10的正方形． 作图：略． 19. 如图，在中，，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈，回到点B后停止，速度为，设运动时间为秒，若是以为腰的等腰三角形，求的值． 【答案】、、 【解析】 【分析】本题按照点 分别落在 、、 三条边上进行分类讨论，以 为腰分、两种等腰情况，结合勾股定理、三角形面积公式表示线段长度，建立关于时间 的方程求解，舍去三点共线不能构成三角形的情况，最终得到 的三个解． 【详解】解：设点 沿 运动． 由勾股定理得：， “以 为腰”说明等腰三角形中有： ． 分位置讨论： （1） 点 在线段 上， ∵ ， ∴ ，只能是 ． 此时运动路程为 ， ∴． （2）点 在线段 上, 若： ∵ ， ∴ , 运动路程为, ∴． 若： 过点作于点． ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， 、都在线段上，， ， ， 又∵， ∴， ， ， ， 在范围内，符合题意． （3）点 P 在线段 上， 此时 三点共线，不能构成三角形，舍去． 综上：、、． 20. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降． （1）如图1，物体C静止在直轨道上，滑块B与物体C的水平距离为．绳子的总长度为（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）．求物体C到定滑轮A的垂直距离的长； （2）如图2，在图1的基础上滑块B向左滑动，若物体C升高（即），求滑块B向左滑动的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）识别直角三角形，利用绳子总长建立两条绳长的数量关系，设未知数，用勾股定理列方程求解竖直距离； （2）定滑轮离地高度恒定，结合物体上升高度求出滑轮与物体间绳段长度，得到滑块侧斜绳长，再次使用勾股定理求出新水平距离，作差得到滑块滑动距离． 【小问1详解】 解：由题意可知，，即为直角三角形，． 已知滑块与物体的水平距离，绳子总长度为，因此斜段绳长满足． 设，则． 在中，由勾股定理可得： 代入数值： 解得：． ． 【小问2详解】 解：由题意得，点D是定滑轮A在地面轨道上的垂足， 由（1）可知定滑轮距离地面的竖直高度，该高度始终不变，， ∴定滑轮到物体的剩余绳长为：． 由于绳子总长度保持不变， ∴滑块一侧的斜段绳长． 在中，， ∴． ∵， ∴滑块向左滑动的距离：． 21. 在数学中，我们经常遇到形如的二次根式，为了简化计算，可以通过“有理化”将其转化为更简单的形式．例如： ，这种方法称为“分母有理化”．类似的，我们也可以对分子进行有理化． 问题： （1）将下列根式进行分母有理化，并化简： （2）定义一种新运算“”：当时，；当时， 已知：，， ①求的值； ②若，求的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合计算，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意求解即可； （2）①根据新定义可得，，而，据此代值计算即可；②设，则可推出，即；再根据题意可得，则，即． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：①∵，， ∴， ， ∴ ； ②设， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． （1）把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．用含a、b、c的式子分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理．上述图形的面积满足的关系式为 ，经化简，可得到勾股定理． （2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图，在图2上画出点P所在位置，并求出此时的距离． （3）借助上面的思考过程与几何模型，代数式的最小值为 ． 【答案】（1） （2） 16千米 （3）20 【解析】 【分析】（1）根据可得四边形为直角梯形，则，根据，可得，则，由，可得，，进而可得，再根据可得，据此即可得出答案； （2）连接，过点作于点，根据，可得四边形是矩形，进而可得千米，千米，于是可得千米，然后利用勾股定理即可求得、两个村庄之间的距离； （3）根据轴对称—最短路线的求法即可求出：先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则就是代数式的最小值；然后利用轴对称的性质、矩形的判定与性质及勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：依题意得：，，，， ， ， 四边形为直角梯形， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 整理，得：； 【小问2详解】 解：由题意可知，点在的垂直平分线上， 连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求，图见答案， 设千米，则千米， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：， 即：千米； 【小问3详解】 解：如图，， 先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设， 则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 23. 定义：如图，点、把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． 【初步感知】 （1）已知点、是线段的勾股分割点，，，若，，则__________． 【深入探究】 （2）如图，在等腰直角中，，，，为线段上两点，满足，求证：点，是线段的勾股分割点． 【拓展延伸】 （3）如图，在等腰直角中，，，若点在线段上，点在线段的延长线上，满足，，请求出的长． 【答案】 （1）13 （2）证明：， ， 又， ， 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可知： ，，，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点，是线段的勾股分割点； （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股分割点的定义可知，以，，为边的三角形是一个直角三角形，且是斜边，，是直角边，于是直接利用勾股定理即可得解； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，首先可证明是直角三角形，然后利用可证得，于是可得，在中利用勾股定理即可得出结论； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，首先可证明是直角三角形，然后利用可证得，于是可得，在中利用勾股定理可得到一个关于的一元一次方程，解之，即可得出答案． 【详解】解：（1）以，，为边的三角形是一个直角三角形，且，， 是斜边，，是直角边， ， 故答案为：； （2）略． （3）， ， 又， ， ， 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可知： ，，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 即：， 解得：， 的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等边对等角，三角形的内角和定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用邻补角互补求角度，解一元一次方程等知识点，读懂题意，利用旋转将分散的条件集中到一个三角形中是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年数学试卷 数学考试时间共90分钟 试卷满分：100分 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效 一、选择题（本题包括10道小题，每题2分，共20分） 1. 在下列各数，，，，，，，，，（相邻两个1之间有1个0）中，是无理数的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 若13，12，a为勾股数，则a的值为（ ） A. 7 B. 5 C. 6 D. 2 3. 根据下列表述，能确定具体位置的是（ ） A. 万达影城1号厅6排 B. 辽宁省锦州市 C. 北纬，东经 D. 南偏西 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，，则d为（ ） A. 9 B. 11 C. 12 D. 15 6. 在一个大正方形上，按如图的方式粘贴面积分别为12，10的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8 7. 如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，于点B，且，连接，在上截取，以A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点、、、在网格中小正方形的顶点处，与相交于点，小正方形的边长为1，则的长等于（ ） A. 2 B. C. D. 9. 如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从顶点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至顶点停止，则彩条的长度最短为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，，，．则_____°． A. B. C. D. 二、填空题（本题包括5道小题，每题2分，共10分） 11. 若x和y互为相反数，则______________． 12. 若为正整数，且满足，则的值为______． 13. 已知，，，比较x、y的大小________． 14. 对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，如，，．现对82进行如下操作：，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对2500只需进行________次操作后变为1． 15. 如图，在中，，，．将分别沿，折叠，使点A，C都与点B重合，若，则________． 三、解答题（本大题共8小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 已知最简二次根式与可以合并，若，化简：． 18. 按要求作图 （1）如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上． ①在图中画出与关于直线l成轴对称的； ②在直线l上画出一点P，使得的周长最小，最小周长为 ； ③的面积为 ； （2）如图2，在网格中画出一个面积为10的正方形． 19. 如图，在中，，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈，回到点B后停止，速度为，设运动时间为秒，若是以为腰的等腰三角形，求的值． 20. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降． （1）如图1，物体C静止在直轨道上，滑块B与物体C的水平距离为．绳子的总长度为（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）．求物体C到定滑轮A的垂直距离的长； （2）如图2，在图1的基础上滑块B向左滑动，若物体C升高（即），求滑块B向左滑动的距离． 21. 在数学中，我们经常遇到形如的二次根式，为了简化计算，可以通过“有理化”将其转化为更简单的形式．例如： ，这种方法称为“分母有理化”．类似的，我们也可以对分子进行有理化． 问题： （1）将下列根式进行分母有理化，并化简： （2）定义一种新运算“”：当时，；当时， 已知：，， ①求的值； ②若，求的值． 22. 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． （1）把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．用含a、b、c的式子分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理．上述图形的面积满足的关系式为 ，经化简，可得到勾股定理． （2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图，在图2上画出点P所在位置，并求出此时的距离． （3）借助上面的思考过程与几何模型，代数式的最小值为 ． 23. 定义：如图，点、把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． 【初步感知】 （1）已知点、是线段的勾股分割点，，，若，，则__________． 【深入探究】 （2）如图，在等腰直角中，，，，为线段上两点，满足，求证：点，是线段的勾股分割点． 【拓展延伸】 （3）如图，在等腰直角中，，，若点在线段上，点在线段的延长线上，满足，，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $