第六章反比例函数作业2025-2026学年北师大版九年级数学上册

反比例习题 基础考点 一．反比例函数的定义 1．若函数y＝nx|n|﹣2是反比例函数，n的值是（　　） A．±1 B．1 C．﹣1 D．不能确定 二．待定系数法求反比例函数解析式 2．反比例函数的图象经过点P（3，﹣4），则这个反比例函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 三．反比例函数的图象 3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣kx+1与的大致图象可能为（　　） A． B． C． D． 4．在同一直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与的图象大致（　　） A． B． C． D． 四．反比例函数的性质 5．反比例函数y的图象在每一象限内y随x的增大而减小，那么m的值可以是（　　） A．﹣1 B．0 C．5 D．6 五．反比例函数图象上点的坐标特征 6．在函数（k＜0）的图象上有三点A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则下列各式中，正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2 7．如果x1＜0＜x2＜x3，点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），都在反比例函数的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1 8．在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，AC平行于x轴，点B，C的横坐标都是3，BC＝2，点D在AC上，且其横坐标为1，若反比例函数y（x＞0）的图象经过点B，D，则k的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D． 9．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过正方形对角线的交点E，若点A（2，0）、D（0，4），则k＝（　　） A．6 B．8 C．9 D．12 10．如图，已知B、A分别在反比例函数y，y上，当AO⊥BO时，BO：AO＝3：4，则k＝　 　 ． 六．反比例函数系数k的几何意义 11．如图，已知函数的图象经过直角三角形OAB的斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若A的坐标为（﹣10，8），则△BOC的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 12．如图，直线l与x轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点A和点B，点P是x轴上一个动点，则△APB的面积为（　　） A．8 B．6 C．4 D．3 13．如图，两个反比例函数y和y在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．无法计算 14．如图，平面直角坐标系中点A在x轴的负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C．若△OAB的面积为6，则k值为 　 　 . 15．如图，A，B是双曲线y（x＞0）上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值为 　 　 ． 16．如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y（x＜0）的图象上，顶点B、C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC，则k＝　 　 ． 17．如图，点A在反比例函数的图象上，点C在x轴正半轴上，直线AC交y轴于点B，若BC＝3AB，△AOC的面积为3，则k的值为 　 　 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（6，8），则点A的坐标是　 　 ． 七．反比例函数与一次函数的交点问题（共5小题） 19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y1＝x﹣2与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点B的坐标为（m，﹣5）． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P为反比例函数图象上任意一点，若S△POC＝3S△AOC，求点P的坐标； （3）直接写出不等式y1＜y2的解集． 20．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象相交于A（1，3），B（n，﹣1）两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出：当y1＜y2时，x的取值范围是 　 　 ； （3）过点B作直线OB，交反比例函数图象于点C，连结AC，则△ABC的面积为 　 　 ． 21．如图，直线AB与双曲线交于A（1，6），B（m，﹣2）两点，直线BO与双曲线在第一象限交于点C，连接AC． （1）求直线AB的解析式：y1＝kx+b与双曲线y2的解析式． （2）观察图象当y2≤y1时，请直接写出x的取值范围． （3）求△ABC的面积． 22．如图1，反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（1，3），点B（n，1），一次函数y＝kx+b（k≠0）与y轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接OA、OB，在x轴上是否存在一点D使△ACD的面积是△OAB面积的2倍，请求出点D的坐标； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE，把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 23．如图所示，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于第二、四象限的点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1），过A点作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4． （1）分别求出a和b的值； （2）结合图象直接写出mx+n中x的取值范围； （3）在y轴上取点P，使PB﹣PA取得最大值时，求出点P的坐标． 八．反比例函数的应用（共4小题） 24．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 　 　 mL． 25．某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中AB段是渐消毒阶段，BC段为深消毒阶段，CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）求降消毒阶段中y与x之间的函数关系式； （2）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 26．为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题： （1）写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？ （3）当每立方米空气中的含药量y达到0.6毫克消毒才有效，问消毒的有效时间为多少？ 27．制作一种产品，需先将材料加热达到800℃（加热期间可以进行加工），然后停止加热，经过一段时间的冷却，材料温度降为600℃．如图，加热时，温度y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；停止加热后，温度y（℃）与时间x（min）成反比例函数关系．已知该材料的初始温度是20℃． （1）求材料加热时和停止加热后y与x的函数关系式； （2）根据工艺要求，当材料温度高于480℃时，可以对材料进行加工，那么加工的时间有多长？ 综合难点 九．反比例函数综合题（共2小题） 28．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+6的图象与反比例函数的图象交于点A（3，a）和点B（14﹣2a，2），与y轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接AO、BO，求△AOB的面积； （3）点D在y轴上，且△ADC是直角三角形，求点D的坐标． 29．如图，直线y＝kx+2与双曲线相交于点A、B，已知点A的横坐标为1． （1）求直线y＝kx+2的解析式及点B的坐标； （2）在y轴上找一点P，使得三角形△BAP的周长最小，求此时点P的坐标； （3）以线段AB为斜边在直线AB的上方作等腰直角三角形ABC．求经过点C的双曲线的解析式． 一．反比例函数的定义 1．若函数y＝nx|n|﹣2是反比例函数，n的值是（　　） A．±1 B．1 C．﹣1 D．不能确定 【分析】根据反比例函数的定义求出n的值即可． 【解答】∵y＝nx|n|﹣2是反比例函数， ∴|n|﹣2＝﹣1， 解得n＝±1． 故选：A． 【点评】本题考查的是反比例函数的定义，熟知反比例函数的定义是解题的关键． 二．待定系数法求反比例函数解析式 2．反比例函数的图象经过点P（3，﹣4），则这个反比例函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【分析】把已知点的坐标代入函数解析式可求出k值，即得到反比例函数的解析式． 【解答】解：∵反比例函数的图象经过点P（3，﹣4）， ∴k＝﹣4×3＝﹣12， ∴反比例函数解析式为y． 故选：B． 【点评】本题主要考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k． 三．反比例函数的图象 3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣kx+1与的大致图象可能为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k＞0和k＜0两种情况讨论，当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案． 【解答】解：由题可知，分类讨论： 第一种情况：当k＞0时，y＝﹣kx+1与y轴的交点在正半轴，过第一、二、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限；A、B、C、D均不符合题意； 第二种情况：当k＜0时，y＝﹣kx+1与y轴的交点在正半轴，过第一、二、三象限，反比例函数的图象在第二四象限，D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限． 4．在同一直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与的图象大致（　　） A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数的图象与性质分析判断即可． 【解答】解：当k＞0时，一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的的图象在第一、三象限，选项中没有符合条件的图象； 当k＜0时，一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的的图象在第二、四象限，D选项的图象符合要求． 故选：D． 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，解题的关键是明确两函数图象的分布与其解析式对应系数的关系． 四．反比例函数的性质 5．反比例函数y的图象在每一象限内y随x的增大而减小，那么m的值可以是（　　） A．﹣1 B．0 C．5 D．6 【分析】根据反比例函数的性质解答即可． 【解答】解：∵反比例函数y的图象在每一象限内y随x的增大而减小， ∴m﹣5＞0，即m＞5． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 五．反比例函数图象上点的坐标特征 6．在函数（k＜0）的图象上有三点A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则下列各式中，正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2 【分析】首先确定该反比例函数的图象在第二、四象限，再根据x1＜x2＜0＜x3，得点A1（x1，y1），A2（x2，y2）在第二象限，点A3（x3，y3）在第四象限，则y1＞0，y2＞0，y3＜0，然后再根据反比例函数的性质即可得出答案． 【解答】解：∵函数，k＜0， ∴该反比例函数的图象在第二、四象限， ∵点A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）在该反比例函数的图象上，且x1＜x2＜0＜x3， ∴点点A1（x1，y1），A2（x2，y2）在第二象限，点A3（x3，y3）在第四象限， ∴y1＞0，y2＞0，y3＜0， 又∵该反比例函数在每一象限内，y随x的增大而增大， ∴y2＞y1＞y3． 故选：C． 【点评】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解决问题的关键． 7．如果x1＜0＜x2＜x3，点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），都在反比例函数的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1 【分析】根据反比例函数的性质进行判断即可． 【解答】解：在反比例函数中，﹣（k2+1）＜0，反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵x1＜0＜x2＜x3， ∴点A（x1，y1）在第二象限，y1＞0， 点B（x2，y2），C（x3，y3）分布在第四象限， ∵x2＜x3， ∴y2＜y3＜，0 ∴y2＜y3＜y1， 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，确定图象的分布是解答本题的关键． 8．在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，AC平行于x轴，点B，C的横坐标都是3，BC＝2，点D在AC上，且其横坐标为1，若反比例函数y（x＞0）的图象经过点B，D，则k的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【分析】先设B（3，a），则D（1，a+2），再根据反比例函数y（x＞0）的图象经过点B，D得出3a＝a+2，求出a的值，进而得出B点坐标，求出k的值即可． 【解答】解：∵点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，且BC＝2，点D在AC上，且横坐标为1， ∴设B（3，a），则D（1，a+2）， ∵反比例函数y（x＞0）的图象经过点B，D， ∴3a＝a+2，解得a＝1， ∴B（3，1）， ∴k＝3×1＝3． 故选：C． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过正方形对角线的交点E，若点A（2，0）、D（0，4），则k＝（　　） A．6 B．8 C．9 D．12 【分析】通过证得△AOD≌△BMA求出B的坐标，进而得到E点坐标，代入y，利用待定系数法求出k． 【解答】解：作BM⊥x轴于M， 由正方形的性质可知AD＝AB，∠BAD＝90°，BE＝DE， ∴∠ADO+∠DAO＝∠DAO+∠BAM， ∴∠ADO＝∠BAM， ∵∠AOD＝∠BMA＝90°， ∴△AOD≌△BMA（AAS）， ∴OA＝BM，OD＝AM， ∵点A（2，0）、D（0，4）， ∴OA＝2，OD＝4， ∴BM＝OA＝2，OM＝2+4＝6， ∴B（6，2）， ∵E是BD的中点， ∴E（3，3）， ∵反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过点E， ∴k＝3×3＝9． 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识，求出E点坐标是解题的关键． 10．如图，已知B、A分别在反比例函数y，y上，当AO⊥BO时，BO：AO＝3：4，则k＝　16　 ． 【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据三角形的相似即可求得k的值． 【解答】解：设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，）， 作BC⊥x轴于点C，作AD⊥x轴于点D， ∵∠AOB＝90°，∠BOC+∠OBC＝90°， ∴∠BOC+∠AOD＝90°， ∴∠BOC＝∠OAD， ∵∠BCO＝∠ODA＝90°，BO：AO＝3：4， ∴△BOC∽△OAD， ∴， 即， 解得，k＝16， 故答案为：16． 【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 六．反比例函数系数k的几何意义 11．如图，已知函数的图象经过直角三角形OAB的斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若A的坐标为（﹣10，8），则△BOC的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】根据中点求出点D坐标，得到反比例函数解析式，根据k值的几何意义解答即可． 【解答】解：由条件可知D（﹣5，4）， ∵点D在反比例函数图象上， ∴k＝﹣20， ∴反比例函数解析式为， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数系数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k值的几何意义是关键． 12．如图，直线l与x轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点A和点B，点P是x轴上一个动点，则△APB的面积为（　　） A．8 B．6 C．4 D．3 【分析】连接AO，BO，得出S△ABP＝S△ABO，进而根据反比例函数k的几何意义，即可求解． 【解答】解：如图所示，连接AO，BO， ∵AB∥x轴， ∴S△APB＝1+3＝4， 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k值几何意义是关键． 13．如图，两个反比例函数y和y在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．无法计算 【分析】根据反比例函数y（k≠0）系数k的几何意义得到S△POA4＝2，S△BOA2＝1，然后利用S△POB＝S△POA﹣S△BOA进行计算即可． 【解答】解：∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B， ∴S△POA4＝2，S△BOA2＝1， ∴S△POB＝2﹣1＝1． 故选：A． 【点评】本题考查了反比例函数y（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 14．如图，平面直角坐标系中点A在x轴的负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C．若△OAB的面积为6，则k值为 　﹣4　 . 【分析】设B坐标为（m，），根据△OAB的面积为6，求出点A坐标，再由中点坐标公式求出点C坐标，列出k．求出k值即可． 【解答】解：设B坐标为（m，）， ∵△OAB的面积为6， ∴，解得OA， ∴A（，0）， ∵点C是线段AB的中点， ∴C（，）， ∵点C在反比例函数图象上， ∴k． 解得：k＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键． 15．如图，A，B是双曲线y（x＞0）上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值为 　6　 ． 【分析】应用k的几何意义及中线的性质求解． 【解答】解：因为D为AC的中点，△AOD的面积为3， 所以△AOC的面积为6， 所以k＝12＝2m． 解得：m＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了反比例函数中k的几何意义，关键是利用△AOD的面积转化为三角形AOC的面积． 16．如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y（x＜0）的图象上，顶点B、C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC，则k＝　　 ． 【分析】作AE⊥x轴于E，由矩形的面积可以求得△AOC的面积是3，然后通过证得△OEA∽△AOC，求得S△OEA，最后通过反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值． 【解答】解：作AE⊥x轴于E， ∵矩形OABC的面积是6， ∴△AOC的面积是3， ∵∠AOC＝90°，cos∠OAC， ∴， ∵对角线AC∥x轴， ∴∠AOE＝∠OAC， ∵∠OEA＝∠AOC＝90°， ∴△OEA∽△AOC， ∴， ∴， ∴S△OEA， ∵S△OEA|k|，k＜0， ∴k． 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形，反比例函数系数k的几何意义，求得△AOE的面积是解题的关键． 17．如图，点A在反比例函数的图象上，点C在x轴正半轴上，直线AC交y轴于点B，若BC＝3AB，△AOC的面积为3，则k的值为 　﹣2　 ． 【分析】设点A坐标为（m，n），用含m代数式表示OC长度，再由三角形OAC面积得mn的值． 【解答】解：作AD⊥x轴于D， 设点A坐标为（m，n），则OD＝﹣m，AD＝n， ∵AD∥OB，BC＝3AB， ∴， ∴OC＝﹣3m， ∴S△AOCOC•yA（﹣3m）•n＝3， ∴k＝mn＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查反比例函数图象上的点的坐标与系数k的关系，解题关键是通过设参数表示出点A坐标，然后通过已知条件求出点A横纵坐标的积的关系． 18．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（6，8），则点A的坐标是　（8，4）　 ． 【分析】由点D的坐标为（6，8），可求得菱形OBCD的边长，又由点A是BD的中点，求得点A的坐标． 【解答】解：∵点D的坐标为（6，8）， ∴OD10， ∵四边形OBCD是菱形， ∴OB＝OD＝10， ∴点B的坐标为：（10，0）， ∵AB＝AD，即A是BD的中点， ∴点A的坐标为：（8，4）， 故答案为：（8，4）． 【点评】此题考查了菱形的性质、反比例函数的性质．此题利用了菱形的四条边都相等的性质求得边OB的长度是解题的难点． 八．反比例函数与一次函数的交点问题 19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y1＝x﹣2与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点B的坐标为（m，﹣5）． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P为反比例函数图象上任意一点，若S△POC＝3S△AOC，求点P的坐标； （3）直接写出不等式y1＜y2的解集． 【分析】（1）根据点B在直线AB上，得出m＝﹣3进而将点B坐标代入反比例函数解析式，待定系数法求解析式，即可； （2）将反比例函数解析式和一次函数解析式联立方程组得，，得出点A坐标为（5，3），根据S△POC＝3S△AOC，建立方程，求得点P纵坐标为9或﹣9，进而代入反比例函数，求得纵坐标，即可求解； （3）根据函数图象，即可求解． 【解答】解：（1）由条件可知点B坐标为（﹣3，﹣5）． 将点B坐标代入反比例函数解析式得，k＝（﹣3）×（﹣5）＝15， 所以反比例函数的解析式为． （2）将反比例函数解析式和一次函数解析式联立方程组得，， 解得或． 故点A坐标为（5，3）． 又S△POC＝3S△AOC，即， 所以|yp|＝9， 故点P纵坐标为9或﹣9． 将y＝9代入得，． 将y＝﹣9代入得，． 所以点P的坐标为或． （3）根据函数图象可知，不等式y1＜y2的解集为：x＜﹣3或0＜x＜5． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数综合；熟练掌握两个函数性质及数形结合方法是关键． 20．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象相交于A（1，3），B（n，﹣1）两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出：当y1＜y2时，x的取值范围是 　0＜x＜1或x＜﹣3　 ； （3）过点B作直线OB，交反比例函数图象于点C，连结AC，则△ABC的面积为 　8　 ． 【分析】（1）先将点A坐标代入反比例函数解析式，求出m，再求出点B坐标，最后用待定系数法求出一次函数解析式即可． （2）利用数形结合的数学思想即可解决问题． （3）连接AO，根据反比例函数与正比例函数的对称性，将△ABC的面积转化为△AOB面积的2倍即可解决问题． 【解答】解：（1）将点A坐标代入反比例函数解析式得， m＝1×3＝3， 所以反比例函数解析式为y． 将点B坐标代入反比例函数解析式得， n＝﹣3， 所以点B的坐标为（﹣3，﹣1）． 将A，B两点坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， 所以一次函数解析式为y＝x+2． （2）由函数图象可知， 当0＜x＜1或x＜﹣3时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即y1＜y2， 所以当y1＜y2，x的取值范围是：0＜x＜1或x＜﹣3． 故答案为：0＜x＜1或x＜﹣3； （3）连接AO，令直线AB与x轴的交点为M， 将y＝0代入y＝x+2得， x＝﹣2， 所以点M的坐标为（﹣2，0）， 所以S△AOB＝S△AOM+S△BOM． 因为正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形，且坐标原点是对称中心， 所以点B和点C关于点O成中心对称， 所以BO＝CO， 所以S△ABC＝2S△AOB＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键． 21．如图，直线AB与双曲线交于A（1，6），B（m，﹣2）两点，直线BO与双曲线在第一象限交于点C，连接AC． （1）求直线AB的解析式：y1＝kx+b与双曲线y2的解析式． （2）观察图象当y2≤y1时，请直接写出x的取值范围． （3）求△ABC的面积． 【分析】（1）根据点A的坐标可以求得双曲线的解析式，然后即可求得点B的坐标，再用待定系数法即可求得直线AB的解析式； （2）观察图象即可求解； （3）方法一：利用反比例函数的对称性求出点C的坐标，再用割补法即可求得△ABC的面积． 方法二：先求出直线BO的解析式，然后作AD⊥x轴交直线BO于点D，求出点D的坐标，由图可知，S△ABC＝S△ABD+S△ADC，代入数据计算即可． 【解答】解：（1）设双曲线的解析式为y2， ∵点A（1，6）在该双曲线上， ∴k＝1×6＝6， ∴双曲线的解析式为y2，∵B（m，﹣2）在双曲线上， ∴﹣2， 解得m＝﹣3， ∴B（﹣3，﹣2）， 设直线AB的函数解析式为y1＝ax+b， 把A、B的坐标代入得， 解得， 即直线AB的解析式为y1＝2x+4； （2）由图象可知，当y2≤y1时，x的取值范围是﹣3≤x＜0或x≥1． （3）方法一：作BG∥x轴，FG∥y轴，FG和BG交于点G，作BE∥y轴，FA∥x轴，BE和FA交于点E，如图所示， ∵点B（﹣3，﹣2），直线BO与双曲线在第一象限交于点C， ∴点C的坐标为（3，2）， ∵点A（1，6），B（﹣3，﹣2），C（3，2）， ∴EB＝8，BG＝6，CG＝4，CF＝4，AF＝2，AE＝4， ∴S△ABC＝S矩形EBGF﹣S△AEB﹣S△BGC﹣S△AFC ＝8×6 ＝16． 方法二：作AD⊥x轴交AO于点D，如图所示， 设直线BO的解析式为y＝mx， ∵点B（﹣3，﹣2）， ∴﹣2＝﹣3m， 解得m， ∴直线BO的解析式为yx， 当x＝1时，y， ∴点D的坐标为（1，）， ∴AD＝6， ∴S△ABC＝S△ABD+S△ADC（3+3）＝16． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系，三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 22．如图1，反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（1，3），点B（n，1），一次函数y＝kx+b（k≠0）与y轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接OA、OB，在x轴上是否存在一点D使△ACD的面积是△OAB面积的2倍，请求出点D的坐标； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE，把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）求得点C、E的坐标，然后根据S△AOB＝S△BOC﹣S△AOC求得△AOB的面积，由△ACD的面积是△OAB面积的2倍，即可得到S△CDE﹣SADE8，解得DE＝12，进一步求得点D的坐标； （3）过A点作x轴的平行线CD，作FC⊥CD于C，ED⊥CD于D，设E（a，）（a＞1），通过证得△ACF≌△EDA（AAS），得到F（2，4﹣a），代入y，即可求得a的值，从而求得点E的坐标． 【解答】解：（1）∵点A（1，3），点B（n，1）在反比例函数上， ∴m＝1×3＝n×1， ∴m＝3，n＝3， ∴反比例函数为y，点B（3，1）， 把A、B的坐标代入y＝kx+b得， 解得， ∴一次函数为：y＝﹣x+4； （2）令x＝0，则y＝﹣x+4＝4， ∴C（0，4）， ∴OC＝4， 令y＝0，则﹣x+4＝0，解得x＝4， ∴E（4，0）， ∴OE＝4， ∴S△AOB＝S△BOC﹣S△AOC4， ∵△ACD的面积是△OAB面积的2倍， ∴S△ACD＝8， ∴S△CDE﹣SADE8， ∴DE＝16， ∴D（﹣12，0）或（20，0）； （3）如图2，过A点作x轴的平行线CD，作FC⊥CD于C，ED⊥CD于D， 设E（a，）（a＞1）， ∵A（1，3）， ∴AD＝a﹣1，DE＝3， ∵把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点为F，恰好也落在这个反比例函数的图象上， ∴∠EAF＝90°，AE＝AF， ∴∠EAD+∠CAF＝90°， ∵∠EAD+∠AED＝90°， ∴∠CAF＝∠AED， 在△ACF和△EDA中， ， ∴△ACF≌△EDA（AAS）， ∴CF＝AD＝a﹣1，AC＝DE＝3， ∴F（2，4﹣a）， ∵F恰好也落在这个反比例函数的图象上， ∴（2）（4﹣a）＝3， 解得a＝6或a＝1（舍去）， ∴E（6，）． 【点评】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，反比例函数图象上点的坐标特征，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法． 23．如图所示，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于第二、四象限的点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1），过A点作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4． （1）分别求出a和b的值； （2）结合图象直接写出mx+n中x的取值范围； （3）在y轴上取点P，使PB﹣PA取得最大值时，求出点P的坐标． 【分析】（1）根据△AOC的面积为4和反比例函数图象的位置，可以确定k的值，进而确定反比例函数的关系式，代入可求出点A、B的坐标，求出a、b的值； （2）根据图象直接写出mx+n的解集； （3）求出点A（﹣2，4）关于y轴的对称点A′（2，4），根据题意直线A′B与y轴的交点即为所求的点P，求出直线A′B的关系式，进而求出与y轴的交点坐标即可． 【解答】解：（1）∵△AOC的面积为4， ∴|k|＝4， 解得，k＝﹣8，或k＝8（不符合题意舍去）， ∴反比例函数的关系式为y， 把点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1）代入y得， a＝4，b＝8； 答：a＝4，b＝8； （2）根据一次函数与反比例函数的图象可知，不等式mx+n的解集为x＜﹣2或0＜x＜8； （3）∵点A（﹣2，4）关于y轴的对称点A′（2，4）， 又B（8，﹣1），则直线A′B与y轴的交点即为所求的点P， 设直线A′B的关系式为y＝cx+d， 则有， 解得，， ∴直线A′B的关系式为yx， ∴直线yx与y轴的交点坐标为（0，）， 即点P的坐标为（0，）． 【点评】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，轴对称的性质和应用，把点的坐标代入是求函数关系式常用方法，作对称点是求线段和或差最小值的常用方法． 九．反比例函数的应用 24．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 　20　 mL． 【分析】设这个反比例函数的解析式为V，求得V，当p＝75kPa时，求得V80，当p＝100kPa时求得，V60于是得到结论． 【解答】解：设这个反比例函数的解析式为V， ∵V＝100ml时，p＝60kpa， ∴k＝pV＝100ml×60kpa＝6000， ∴V， 当p＝75kPa时，V80， 当p＝100kPa时，V60， ∴80﹣60＝20（mL）， ∴气体体积压缩了20mL， 故答案为：20． 【点评】本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意，得出反比例函数的解析式是解本题的关键． 25．某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中AB段是渐消毒阶段，BC段为深消毒阶段，CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）求降消毒阶段中y与x之间的函数关系式； （2）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）将x＝28代入中，求出y值，再与4比较即可求解． 【解答】解：（1）设y＝kx+b，将点B（10，3）、点C（30，6）代入得： ， 解得：， ∴； 设，将点C（30，6）代入得： ， 解得：a＝180， ∴； （2）当y＝4时4，x， 4，x＝45， 452828． ∴本次消毒有效． 【点评】本题主要考查了反比例函数，正比例函数，一次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出反比例函数，正比例函数，一次函数模型． 26．为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题： （1）写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？ （3）当每立方米空气中的含药量y达到0.6毫克消毒才有效，问消毒的有效时间为多少？ 【分析】（1）首先根据题意，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y（a为常数），将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式； （2）根据（1）中的关系式列不等式，进一步求解可得答案． （3）把y＝0.6代入两个函数求得x值相减即可求得有效时间． 【解答】解：（1）将点P（3，）代入函数关系式y， 解得a，有y， 将y＝1代入y，得t， 所以所求反比例函数关系式为y（t）， 再将（，1）代入y＝kt，得k， 所以所求正比例函数关系式为yt（0≤t）． （2）解不等式， 解得t＞6， 所以至少需要经过6小时后，学生才能进入教室． （3）把y＝0.6代入到y和yt， 解得：t和t ∴消毒的有效时间为：小时． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 27．制作一种产品，需先将材料加热达到800℃（加热期间可以进行加工），然后停止加热，经过一段时间的冷却，材料温度降为600℃．如图，加热时，温度y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；停止加热后，温度y（℃）与时间x（min）成反比例函数关系．已知该材料的初始温度是20℃． （1）求材料加热时和停止加热后y与x的函数关系式； （2）根据工艺要求，当材料温度高于480℃时，可以对材料进行加工，那么加工的时间有多长？ 【分析】（1）停止加热后，设，将（8，600）代入，求出k的值，即可反比例函数解析式，再求出当y＝800时，x＝6，从而得到B（6，800），加热时，设y＝ax+b，将（0，20），（6，800）代入y＝ax+b得，求出a、b的值即可； （2）在材料加热时，当y＝480时，解得：；在材料停止加热时，当y＝480时，，解得：x＝10，由此即可求解． 【解答】解：（1）停止加热后，设， 将（8，600）代入得：， ∴k＝4800， ∴停止加热后y与x的函数关系式为， 当y＝800时，， 解得：x＝6， ∴B（6，800）， 加热时，设y＝ax+b， 将（0，20），（6，800）代入y＝ax+b得，， 解得：， ∴加热时y与x的函数关系式为y＝130x+20； （2）在材料加热时，函数解析式为y＝130x+20，当y＝480时，130x+20＝480， 解得：， 材料停止加热时，函数解析式为，当y＝480时，， 解得：x＝10， ∵， ∴当材料温度高于480℃时，可以对材料进行加工，那么加工的时间为． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的性质，读懂函数图象是解此题的关键． 十．反比例函数综合题 28．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+6的图象与反比例函数的图象交于点A（3，a）和点B（14﹣2a，2），与y轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接AO、BO，求△AOB的面积； （3）点D在y轴上，且△ADC是直角三角形，求点D的坐标． 【分析】（1）点A（3，a）和点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，利用待定系数法即可求解； （2）先求出一次函数的解析式，分别就出A，B，C三点坐标，利用S△AOB＝S△BCO﹣S△ACO求解即可； （3）点A，C为两个定点，△ADC为直角三角形有两种情况，设D（0，y），分两种情况结合坐标与图形，勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）一次函数y＝kx+6的图象与反比例函数的图象交于点A（3，a）和点B（14﹣2a，2），将点A，点B的坐标分别代入反比例函数得： ， 解得：（经检验，是原分式方程组的根，且符合题意）， ∴反比例函数的解析式为； （2）如图，连接AO，BO， 由（1）得：A（3，4）， 将点A的坐标代入一次函数y＝kx+6得： 3k+4＝6， 解得：， ∴一次函数的解析式为， ∴C（0，6）， ∴OC＝6， ∵B（6，2）， ∴； （3）∵点A，C为两个定点， ∴△ADC为直角三角形有两种情况： ①∠ADC＝90°时，AD⊥y轴，此时点AD∥x轴， ∵A的坐标为（3，4）， ∴D的坐标为（0，4）； ②∠CAD＝90°时，此时直线AD与AB垂直，设D（0，y）， ∴CD＝6﹣y，，， 在直角三角形ACD中，由勾股定理得：CD2＝AC2+AD2， ∴（6﹣y）2＝13+y2﹣8y+25， 解得：， ∴， ∴点D的坐标为（0，4）或． 【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点，坐标与图形，待定系数法求反比例函数解析式，勾股定理，根据已知条件列出方程是解题关键． 29．如图，直线y＝kx+2与双曲线相交于点A、B，已知点A的横坐标为1． （1）求直线y＝kx+2的解析式及点B的坐标； （2）在y轴上找一点P，使得三角形△BAP的周长最小，求此时点P的坐标； （3）以线段AB为斜边在直线AB的上方作等腰直角三角形ABC．求经过点C的双曲线的解析式． 【分析】（1）将点A的横坐标代入双曲线的解析式中，求出点A的纵坐标，在将点A的坐标代入直线AB的解析式中，求出k，最后联立直线AB的解析式和双曲线的解析式，得出方程组求解，即可得出点B的坐标； （2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于P，则此时△BAP的周长最小，由点A（1，），得到A′（﹣1，），设直线A′B的解析式为y＝kx+b，解方程组得到直线A′B的解析式为yx，于是得到点P的坐标为（0，）； （3）过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两线相交于点F，过点C作CD⊥AF，交AF于D，过点C作CE⊥BF于E，得出∠DCE＝90°，进而判断出∠ACD＝∠BCE，即可利用AAS判断出△ACD≌△BCE，得出AD＝BE，CD＝CE，设点C（m，n），求出AD＝n，CD＝m﹣1，BE＝3﹣m，CE＝n，进而建立方程组求解得出点C的坐标，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵点A在双曲线y上，且点A的横坐标为1， ∴点A的纵坐标为， ∴点A（1，）， ∵点A（1，）在直线y＝kx+2上， ∴k+2， ∴k， ∴直线AB的解析式为yx+2， 联立直线AB和双曲线的解析式得， 解得（点A的纵横坐标）或， ∴B（3，）； （2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于P， 则此时△BAP的周长最小， ∵点A（1，）， ∴A′（﹣1，）， 设直线A′B的解析式为y＝kx+b， ∴，' 解得， ∴直线A′B的解析式为yx， 当x＝0时，y， ∴点P的坐标为（0，）； （3）如图，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两线相交于点F，过点C作CD⊥AF，交AF于D，过点C作CE⊥BF于E， ∴∠D＝∠F＝∠CEF＝∠CEB＝90°， ∴四边形CDFE是矩形， ∴∠DCE＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵以线段AB为斜边在直线AB的上方作等腰直角三角形ABC， ∴AC＝BC， ∴△ACD≌△BCE（AAS）， ∴AD＝BE，CD＝CE， 设点C（m，n）， ∵A（1，），B（3，）， ∴AD＝n，CD＝m﹣1，BE＝3﹣m，CE＝n， ∴， ∴， ∴C（，2）， 设过点C的双曲线的解析式为y， ∴k'＝25， ∴过点C的双曲线的解析式为y． 【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形求出点C的坐标是解本题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/9 10:24:50；用户：张思雨；邮箱：18366661343；学号：24445058 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