精品解析：天津市 武清区雍阳中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

武清区雍阳中学2025－2026学年度九年级第一学期第一次数学阶段检测 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3、、 5 B. C. 3、 、 D. 3、、 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的一般形式，所以此题可根据二次函数的一般形式“形如”进行求解即可． 【详解】解∶ 二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是3、 、 ， 故选∶C． 2. 下列方程：①，②，③，④，⑤中是一元二次方程的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：①是分式方程，故①不是一元二次方程； ②中含有两个未知数，故②不是一元二次方程； ③符合一元二次方程的定义，故③是一元二次方程； ④，当时，方程化为，不含二次项，故④不是一元二次方程； ⑤将整理得：，不含二次项，故⑤不是一元二次方程． 综上，只有③是一元二次方程． 故选：A． 3. 抛物线，，共有的性质是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是轴 C. 顶点坐标都是 D. 在对称轴的右侧随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】分别写出三个函数的性质，即可求解． 【详解】解：，开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0,0），在对称轴的右侧随的增大而增大；，开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为（0,0），在对称轴的右侧随的增大而减小；，开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0,1），在对称轴的右侧随的增大而增大． 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键． 4. 对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标是；④时，随的增大而减小．其中正确结论的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据解析式可得抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，则在对称轴右侧，随的增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：抛物线解析式为， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，故①正确，②③错误， ∴当时，随的增大而减小，故④正确， ∴正确的有2个， 故选：B． 5. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（　　） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义，正确将原式变形为是解题的关键． 根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，，再把原式变形为，由此代值计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， 故选：A． 6. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，设每个支干长出的小分支数目为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．根据题意主干，支干和小分支的总数是157，列出方程即可． 【详解】解：每个支干长出x个小分支，根据题意得： ， 故选：A． 7. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．通分：，根据一元二次方程根与系数的关系：，可得出答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， 则＝＝． 故选：D． 8. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．本题还考查了一元二次方程的定义，容易忽视二次项系数不为0这一隐含条件．据此可得且，进而求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 9. 若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握当抛物线开口方向向上时，离对称轴越远，函数值越大成为解题的关键． 先确定抛物线的对称轴，再确定抛物线开口向上，此时离对称轴越远，函数值越大，据此即可解答． 【详解】解：∵, ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点离对称轴最远，点在对称轴上， ∴． 故选：B． 10. 如图，二次函数与一次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一次函数的增减性和一次函数与y轴的交点可判断A和B；由一次函数图象和二次函数的图象相比较可判断C和D． 【详解】解：A、由直线的增减性可知，由直线与y轴的交点可知，即，矛盾，故本选项错误； B、由直线的增减性可知，由直线与y轴的交点可知，即，矛盾，故本选项错误； C、由抛物线的对称轴可知，，即，由直线可知，，，矛盾，故本选项错误； D、由抛物线可知，，即，由直线可知，，，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及一次函数的性质，熟练掌握函数的性质是解答本题的关键． 11. 如图，在长70m，宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分），要使观赏路面积占总面积的．则路宽xm应满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，空白部分的面积占到总面积的，列出方程即可． 【详解】解：设路宽为xm，由题意，得： ， 即：； 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．正确的识图，列出一元二次方程，是解题的关键． 12. 已知二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）． ①二次函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上 ②当x＜2时，y随x的增大而增大，则m=2 ③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】①由顶点坐标（m，-m+1），可得x=m，y=-m+1，即可证明顶点在直线y=-x+1上； ②根据二次函数的性质，当时，y随x的增大而增大，可知； ③由，根据已知可以判断，即可判断． 【详解】解：①证明： 图象的顶点为（m，-m+1），设顶点坐标为（x，y），则x=m，y=-m+1， ∴y=-x+1，即顶点始终在直线y=-x+1上， ①正确； ②，对称轴， 当时，y随x的增大而增大， 时，y随x的增大而增大， ， ②不正确； ③ 与点 在函数图象上， ， ， ， ∵x1＜x2，x1+x2＞2m， ， ， ∴， ③不正确． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数图像和性质，函数值大小比较等，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系及做差法比较大小． 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 一元二次方程的根是________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先把方程化为，再解两个一次方程即可，掌握因式分解的方法解一元二次方程的解本题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：，； 故答案为：， 14. 函数是二次函数，则m的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据二次函数的定义列式计算，得到答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得：． 则m的值为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟记定义是解题的关键． 15. 某人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x个人，则可得到方程________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．根据题意可得， 每轮传染中平均一个人传染了个人， 经过一轮传染之后有x+1人感染流感，两轮感染之后的人数为49人，依此列出一元二次方程即可. 【详解】解： 设每一轮传染中平均每人传染了x个人，，依题可得： . 故答案为. 16. 一条抛物线形状与形状相同，顶点为，则抛物线解析式为___________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握二次函数图象的变换规律是解题的关键． 根据两抛物线形状相同，可得的值，再由顶点坐标即可求出抛物线的解析式． 【详解】解：所求抛物线形状与形状相同， 设所求抛物线的解析式为，其中． 顶点为， 当时，所求抛物线的解析式为； 当时，所求抛物线的解析式为． 故答案为：或． 17. 已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （1）当时，函数的最大值是 __； （2）若函数的最大值为，则h的值是 ___． 【答案】 ①. 0 ②. 6或1##1或6 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； （1）根据顶点式可直接得出答案； （2）根据函数的最大值为分情况讨论：若，则当时，y最大；若，则当时，y最大；若，则最大值为0，与题意不符；根据最大值为分别求解即可． 【详解】解：（1）当时，二次函数为， ∴当时，函数有最大值为0， 故答案为：0； （2）∵二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为， ∴若，则当时，y最大，即， 解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即， 解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 综上，h的值是6或1． 故答案为：6或1． 18. 如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为便于进出，开了3道宽为1米的门．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，则S与x的之间的函数表达式为 __；自变量x的取值范围为 __． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意表示出长方形的长进而得出函数关系，进而结合a的最大值得出x的取值范围． 【详解】解：设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米， 则S与x的之间的函数表达式为：； 由题意可得：， 解得：． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，解决本题的关键是正确表示出长方形的长． 三、解答题（本大题共7小题，共66分） 19. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： 移项得：， 配方得：， 合并得：， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 20. 某商厦十月份的销售额为160万元，商厦从十一月份起加强管理，改善管理，使销售额逐步上升，十二月份的销售额达到了万元，求这两个月的平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这两个月的平均增长率为，利用十二月份的销售额十月份的销售额平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这两个月的平均增长率为， 根据题意，得 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这两个月的平均增长率为． 21. 已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，是以为斜边的直角三角形； 【答案】（1） 证明：， ； ∴无论为何值，方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，勾股定理： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据勾股定理结合根与系数的关系进行求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意，得：， ∵是以为斜边的直角三角形， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）； ． 22. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场每件降价4元，问商场每天可盈利多少元． （2）若商场平均每天要盈利1200元，且让顾客尽可能多得实惠，每件衬衫应降价多少元． 【答案】（1）1008元；（2）20元 【解析】 【分析】（1）根据“每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件”解答； （2）设每件衬衫应降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件，根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【详解】解：（1）因为每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件， ∴若商场每件降价4元，商场平均每天可多售出2×4=8（件）， ∴每天共盈利（8+20）×（40-4）=1008（元）， 答：若商场每件降价4元，问商场每天可盈利1008元； （2）设每件衬衫应降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件， 根据题意得：（40-x）（20+2x）=1200， 整理得：x2-30x+200=0， 解得：x1=10，x2=20． ∵要扩大销售量，减少库存， ∴x=20． 答：每件衬衫应降价20元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23. 如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式和点C的坐标； （2）若P是抛物线对称轴上的一个动点，当周长最小时，求点P的坐标． 【答案】（1），点C的坐标为 （2）点P的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，利用一次函数解决线段和最值问题，解题的关键是掌握以上函数的性质． （1）利用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据轴对称的性质确定点的位置，然后利用待定系数法求出直线的解析式，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴假设抛物线解析式为， 将代入解析式得，， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴点C的坐标为； 【小问2详解】 解： ∵为定值， ∴当最小时，的周长最小， 根据抛物线的对称性可得，点和点关于对称轴对称， 如图所示，连接，交对称轴于一点，此时，值最小， 假设直线的解析式为， 由（1）得点C的坐标为，，代入解析式得， ， 解得， ∴， 当时，， ∴点P的坐标为． 24. 已知二次函数的图象为抛物线C． （1）抛物线C顶点坐标为　　； （2）将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，请判断抛物线是否经过点，并说明理由； （3）当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 【答案】（1） （2）抛物线不经过点 （3）当时，二次函数的函数值y的取值范围为 【解析】 【分析】（1）根据抛物线解析式的顶点式可求得抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式，然后把P的坐标代入检验即可； （3）根据二次函数的性质可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线C的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 故答案为：； 【小问2详解】 解∶ ∵将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线， ∴：， 把代入得，， ∴抛物线不经过点； 【小问3详解】 解：∵， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 当时，； 当时，； ∴当时，二次函数的函数值y的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，平移的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 25. 一次函数的图象与二次函数的图象交于点和，与轴交于点． （1）求和的值； （2）当，时，求的面积． （3）在（2）的条件下若直线下方的抛物线上有一动点，请直接写出当的面积取最大值时点的坐标． 【答案】（1）， （2）3 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由点的坐标先求出的值，从而得到点的坐标即可求解； （2）由题意可得一次函数的解析式，可以先求出点的坐标，然后由即可求解； （3）过点作平行于轴的直线交于点，设，，先求出，然后根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与二次函数的图象交于点和， 把点代入中，解得， 二次函数解析式为． 把代入中，解得， ，； 【小问2详解】 解：当，时，一次函数解析式为， 一次函数的图象与轴交于点， 令，解得， ， ． 【小问3详解】 解：点在直线下方的抛物线上， 设点， 过点作平行于轴的直线交于点，此时， ． ． ，开口向下， 当时，的面积取最大值， 此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武清区雍阳中学2025－2026学年度九年级第一学期第一次数学阶段检测 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3、、 5 B. C. 3、 、 D. 3、、 2. 下列方程：①，②，③，④，⑤中是一元二次方程的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 抛物线，，共有的性质是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是轴 C. 顶点坐标都是 D. 在对称轴的右侧随的增大而增大 4. 对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标是；④时，随的增大而减小．其中正确结论的个数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（　　） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 6. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，设每个支干长出的小分支数目为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 8. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数与一次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在长70m，宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分），要使观赏路面积占总面积的．则路宽xm应满足的方程是（ ） A. B. C. D. 12. 已知二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）． ①二次函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上 ②当x＜2时，y随x的增大而增大，则m=2 ③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 一元二次方程的根是________． 14. 函数是二次函数，则m的值为_______． 15. 某人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x个人，则可得到方程________． 16. 一条抛物线形状与形状相同，顶点为，则抛物线解析式为___________ 17. 已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （1）当时，函数的最大值是 __； （2）若函数的最大值为，则h的值是 ___． 18. 如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为便于进出，开了3道宽为1米的门．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，则S与x的之间的函数表达式为 __；自变量x的取值范围为 __． 三、解答题（本大题共7小题，共66分） 19. 解下列方程： （1） （2） 20. 某商厦十月份的销售额为160万元，商厦从十一月份起加强管理，改善管理，使销售额逐步上升，十二月份的销售额达到了万元，求这两个月的平均增长率． 21. 已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，是以为斜边的直角三角形； 22. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场每件降价4元，问商场每天可盈利多少元． （2）若商场平均每天要盈利1200元，且让顾客尽可能多得实惠，每件衬衫应降价多少元． 23. 如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式和点C的坐标； （2）若P是抛物线对称轴上的一个动点，当周长最小时，求点P的坐标． 24. 已知二次函数的图象为抛物线C． （1）抛物线C顶点坐标为　　； （2）将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，请判断抛物线是否经过点，并说明理由； （3）当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 25. 一次函数的图象与二次函数的图象交于点和，与轴交于点． （1）求和的值； （2）当，时，求的面积． （3）在（2）的条件下若直线下方的抛物线上有一动点，请直接写出当的面积取最大值时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $