精品解析：广东省六校联盟2026届高三上学期第二次联考数学试题

广东省六校联盟2026届高三上学期第二次联考数学试题 命题：深圳实验学校 审题：惠州一中 （满.150分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据指数函数的单调性求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】， 所以. 故选：D. 2. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数图象平移法则求出解析式，再整理化简即可得解. 【详解】由题意，的图象向右平移个单位长度， 得到函数图像的，则D选项正确. 故选：D. 3. 若随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合正态分布的对称性可得答案. 【详解】因为随机变量服从正态分布，即， 所以. 故选：B. 4. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数、的单调性即可. 【详解】因函数为上的递增函数，则，即，则； 因函数为上的递增函数，则，即，则， 则. 故选： 5. 记等差数列的前项和为，若，，则的公差为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列前项和性质求得，进而可求解. 【详解】由，可得，即， 所以公差， 故选：A 6. 已知函数在处取得极大值，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据极值点求参数，再由所得参数验证在处是否取得极大值，即可得答案. 【详解】由题设，则，可得或， 当时， 当或时，则在和上递增， 当时，则在上递减， 此时在处取得极小值，不符； 当时， 当或时，则在和上递增， 当时，则在上递减， 此时在处取得极大值，符合； 综上，. 故选：C 7. 已知，，设甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先由甲推出，，则可得，利用基本不等式可证明，从而充分性成立；再通过举反例，说明必要性不成立即可. 【详解】由，，可得，则有，且 于是， 因，当且仅当，即时等号成立， 此时，即甲是乙的充分条件； 若取，则，而， 即甲不是乙的必要条件，故甲是乙的充分不必要条件. 故选：A. 8. 已知曲线在点处的切线与曲线恰有两个交点，若关于对称，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数几何意义可求得切线方程，利用对称性可知，，可知为一元二次方程的两个不等实根，解出方程的根后，代入直线与曲线相交的方程可化简整理求得结果. 【详解】，曲线在点处的切线斜率， 切线方程为：， 设， 则，，即， ，， ， 当，即时，切线方程为：，与有唯一交点，不合题意； 当时，由，知为一元二次方程的两个不等实根， ，又，； 不妨令， 代入得：， 设，则， ， ； 则当时，等号成立，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与曲线交点相关问题的求解，解题关键是根据韦达定理得到为一元二次方程的两个不等实根，进而用表示出方程的根，代入已知方程来进行求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知样本数据，，则（ ） A. 若样本数据的极差为，则样本数据的极差为 B. 若样本数据的平均值为，则样本数据的平均值为 C. 若样本数据的众数为，则样本数据的众数为 D. 若样本数据的方差为，则样本数据的方差为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据极差的定义即可判断A；根据平均数的性质即可判断B；根据众数的定义即可判断C；根据方差的性质即可判断D. 【详解】对于A，设样本数据中，最大值为，最小值为， 则， 由于在上单调递增， 故样本数据中，最大值为，最小值为， 故， 则样本数据的极差为，故A正确； 对于B，由平均数的性质可得样本数据的平均值为，故B错误； 对于C，根据众数的定义可得，样本数据的众数为，故C正确. 对于D，根据方差的性质，样本数据的方差为，故D错误； 故选：AC. 10. 设函数，则（ ） A. 为奇函数 B. C. 在区间单调递增 D. 在区间上的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由奇函数、偶函数的定义判断选项A，去掉绝对值，把函数写成分段函数，利用导数判断B、C、D. 【详解】函数的定义域是. 选项A：因为函数的定义域关于原点对称，且，所以函数是偶函数，所以选项A 错误； 选项B：函数. 当时，， 所以，所以 ，所以选项B 正确； 选项C：由选项B知，当时，， 所以. 所以函数在上单调递增，所以选项C 正确； 选项D：当时，，所以. 当时，，所以函数单调递增； 当时，，所以函数单调递减； 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为.所以选项D正确. 故选：BCD. 11. 已知某扑克牌置换游戏，规则为：从一副扑克牌中选出张，张，其中张和张装在不透明的袋中，剩余的张作为置换牌．现从袋中随机取出一张扑克牌，若取出，则把它放回袋中；若取出，则该扑克牌不再放回，并从置换牌中选择一张放入袋中．如此操作若干次，直到将袋中的全部置换为，则游戏结束．记事件“在操作次后，恰好将袋中的全部取完．”为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 在操作次后，袋中还有张的概率为 B. 在操作次后，袋中恰有张的概率为 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意先推断出前后两次操作各情况概率之间的关系，易判断选项和；引入事件“在操作次后，袋中只有一张”为，进而从一般性的情况去讨论第次，第次，第次时，和之间的关系，可推断出选项；最后以数列的角度去考察和的关系，进而求出其通项公式，再验证选项是否正确. 【详解】若操作前袋中还有两张，则经过一次操作后，袋中还有张的概率为，还有张的概率为. 若操作前袋中还有一张，则经过一次操作后，袋中还有张的概率为，还有张的概率为. 因此，在操作次后，袋中还有张的概率为，故错误. 在操作次后，袋中还有张的概率为，故正确. 记事件“在操作次后，袋中只有一张”为，且. 根据题意，经过操作次后，袋中的恰好取完的概率为，则. 而经过次操作后，袋中还有张的概率为， 故经过次操作后，袋中还有张的概率. 因此，经过次操作后，袋中的恰好取完的概率，故正确. 对数列有递推公式. 设该递推公式可化简为，解得. 所以，故数列是公比为的等比数列，其中. 因此，，即，则， 而，故正确. 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，常数项是__________． 【答案】15 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项公式，根据指数为可得结果. 【详解】的展开式的通项公式为， 由得，， ∴展开式中的常数项是. 故答案为：15. 13. 已知，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角关系“知一求二”可得，再利用倍角公式运算求解. 【详解】因为，则， 且，则，可得， 所以. 故答案为：. 14. 设函数，若在区间上恰有个零点，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先画出函数的图象为函数在上的图象不断向右、向下平移1个单位可得函数的图象，在区间上恰有个零点，即函数的图象与在区间上恰有个交点，即函数的图象与在区间上都有两个交点，所以只需函数的图象与在区间上有两个交点即可，利用导数的几何意义求解切线即可. 【详解】根据题意，函数 将函数在上的图象向右、向下平移1个单位可得函数在时的图象， 再向右、向下平移1个单位可得函数在时的图象， 继续向右、向下平移1个单位可得函数在时的图象 如图可得函数的图象， 令，即， 因为在区间上恰有个零点， 即函数的图象与在区间上恰有个交点， 即函数的图象与在区间上都有两个交点， 所以只需函数的图象与在区间上有两个交点即可， 当时，函数的图象与在区间上有1个交点 再求函数斜率为的切线， 导数为，令，得，则切点为， 代入，可得， 所以时，函数的图象与在区间上有两个交点， 这样函数的图象与在区间上恰有个交点. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的最大值为1. （1）求实数； （2）求使成立的的取值集合. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和差的余弦公式及辅助角公式对函数的解析式化简，根据函数的最大值为1，可求得实数； （2）由（1）得，解不等式，求得的范围，进而得到的取值集合. 【小问1详解】 由题得 ， 所以函数的最大值为，所以，即. 【小问2详解】 由（1）得， 当时，， 所以，所以. 16. 已知数列的前项和为，，且（）． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，当时，可得， 两式相减，求得，又由，得到数列为等比数列，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）知，求得，得到，结合裂项法求和，即可得到答案. 【小问1详解】 解：因为数列满足， 当时，可得， 两式相减，可得，所以，即， 又因为，可得，即， 所以，所以数列为以2为首项，3为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 解：由（1）知，所以， 可得， 则 . 17. 中国抗日战争胜利周年阅兵仪式既彰显了我国强大的军事实力，也显示我国强劲的军工制造能力．已知某国产军工零件成箱包装，每箱个，每一箱零件工厂在交付前要对其进行检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验的方式为：先从这箱零件中任取个作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有零件作检验．设每个零件为不合格品的概率均为，且各零件是否为不合格品相互独立． （1）求个零件中恰有个不合格品的概率； （2）现有一箱零件已经检验了个，并对不合格品做了更换．已知每个零件的检验费用为元，若剩余的零件中有不合格品进行了交付，则工厂要对每个不合格品支付元的赔偿费用．以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有零件作检验？请说明你的理由． 【答案】（1） （2）应对这箱余下的所有零件作检验，理由如下： 设为余下个零件中的不合格品的个数，则； ①若不对该箱余下的零件作检验，这一箱零件的检验费用与赔偿费用和记为，则， ； ②若对该箱余下的零件作检验，则这一箱零件所需的检验费用为元； ，应对这箱余下的所有零件作检验. 【解析】 【分析】（1）根据二项分布概率公式可直接求得结果； （2）根据二项分布期望公式和数学期望的性质可求得不对该箱余下的零件作检验所需花费的平均费用，与检验所有零件的花费作对比即可得到结论. 【小问1详解】 记事件：“个零件恰有个不合格品”， 则， 即个零件恰有个不合格品的概率为. 【小问2详解】 应对这箱余下的所有零件作检验，理由略. 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）对，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设，，若，求证：． 【答案】（1） 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间和上单调递增， 在区间上单调递减. （2） （3）证明： 由题意可得， 得，因此， 由，可得， 令，则，可得，则 要证，只需证，即证：当时，. 由（1）可知，时，在上是增函数， 故当时，，则当时，不等式恒成立， 故得证. 【解析】 【分析】（1）对函数求导得，根据方程的根的判别式和韦达定理分别讨论方程的解的情况，从而由导函数的符号确定函数的单调性； （2）方法一：由（1）中函数的单调性，可得时，满足，而当时，可得在区间上单调递减，则，使得，从而可得；方法二：端点效应，先取的分子为，根据的取值分成和两种情况，分别求导判断函数的单调性，验证是否恒成立。即可求得的取值范围. （3）先由推得，及，利用将其化成，分别求出，即得从而将待证结论转化成证明当时，，借助于（1）的结论即可证得. 【小问1详解】 函数的定义域为， 求导得：， 令， ① 当时，即，有，即在上单调递增； ② 当时，即，方程两根分别为． 当时，因，即， 则，即在上单调递增； 当时，易得，且， 此时，当时，， 即在区间上单调递增； 当时，， 即在区间上单调递减． 综上所述：当时，在区间上单调递增； 当时，在区间和上单调递增， 在区间上单调递减. 【小问2详解】 方法一：直接研究函数单调性 由（1）可知，当时，在区间上单调递增，则，符合题意； 当时，由可得 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故，使得，不符合题意. 综上所述，可得； 方法二：端点效应 令 求导得，， ① 当时，， 令，则， 设， 因，则，即在区间上单调递增，则 即，则在区间上单调递增，故，从而，则成立； ② 当时，， 设， 则当时，，当时，， 即（即）在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因，当时， 则在区间上单调递减，故，从而， 这与已知条件矛盾，故. 【小问3详解】 略. 19. 杨辉三角是由组合数构成的三角形数表，其第行的第个数可以表示为组合数，该数表有很多性质，如第行的所有数之和为. 现构造如图所示的三角形数表，中的第行的第个数为排列数，其中，且． （1）求的值. （2）记的第行所有数的和为． （i）若，使得数列满足：，，则称为级凸数列.判断数列是否为级凸数列？若是，请求出的最小值；否则请说明理由. （ii）当时，证明：． 【答案】（1） （2）（i）是，的最小值为3； （ii）证明：，当时，， ， 当时， ， 当时，； ，， ，且， ， 由基本不等式可知， ，， 当时， ， 当时，， 当时，. 【解析】 【分析】（1）利用排列数公式化简即可； （2）（i）先化简得出，假设为级凸数列，得出，构造函数，，并研究其单调性，即可求证，再检验时即可； （ii）由（i）结合放缩可得当时，，即可化简得出，进而得出；利用基本不等式化简得，即可得出， 利用累加法即可求证. 【小问1详解】 【小问2详解】 （i）当时， ，则， 假设为级凸数列，则，且， 则，则， 整理得， 令，且， 二次函数的对称轴为，且， 在区间上单调递增， 当时，有， ， 当时，有，即， 为3级凸数列， 当时，，且，, 不是2级凸数列， 综上所述，可知为级凸数列，且的最小值为3; （ii）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省六校联盟2026届高三上学期第二次联考数学试题 命题：深圳实验学校 审题：惠州一中 （满.150分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则 （ ） A. B. C. D. 2. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 若随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 记等差数列的前项和为，若，，则的公差为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在处取得极大值，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知，，设甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知曲线在点处的切线与曲线恰有两个交点，若关于对称，则实数（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知样本数据，，则（ ） A. 若样本数据的极差为，则样本数据的极差为 B. 若样本数据的平均值为，则样本数据的平均值为 C. 若样本数据的众数为，则样本数据的众数为 D. 若样本数据的方差为，则样本数据的方差为 10. 设函数，则（ ） A. 为奇函数 B. C. 在区间单调递增 D. 在区间上的最大值为 11. 已知某扑克牌置换游戏，规则为：从一副扑克牌中选出张，张，其中张和张装在不透明的袋中，剩余的张作为置换牌．现从袋中随机取出一张扑克牌，若取出，则把它放回袋中；若取出，则该扑克牌不再放回，并从置换牌中选择一张放入袋中．如此操作若干次，直到将袋中的全部置换为，则游戏结束．记事件“在操作次后，恰好将袋中的全部取完．”为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 在操作次后，袋中还有张的概率为 B. 在操作次后，袋中恰有张的概率为 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，常数项是__________． 13. 已知，且，则__________． 14. 设函数，若在区间上恰有个零点，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的最大值为1. （1）求实数； （2）求使成立的的取值集合. 16. 已知数列的前项和为，，且（）． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 中国抗日战争胜利周年阅兵仪式既彰显了我国强大的军事实力，也显示我国强劲的军工制造能力．已知某国产军工零件成箱包装，每箱个，每一箱零件工厂在交付前要对其进行检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验的方式为：先从这箱零件中任取个作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有零件作检验．设每个零件为不合格品的概率均为，且各零件是否为不合格品相互独立． （1）求个零件中恰有个不合格品的概率； （2）现有一箱零件已经检验了个，并对不合格品做了更换．已知每个零件的检验费用为元，若剩余的零件中有不合格品进行了交付，则工厂要对每个不合格品支付元的赔偿费用．以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有零件作检验？请说明你的理由． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）对，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设，，若，求证：． 19. 杨辉三角是由组合数构成的三角形数表，其第行的第个数可以表示为组合数，该数表有很多性质，如第行的所有数之和为. 现构造如图所示的三角形数表，中的第行的第个数为排列数，其中，且． （1）求的值. （2）记的第行所有数的和为． （i）若，使得数列满足：，，则称为级凸数列.判断数列是否为级凸数列？若是，请求出的最小值；否则请说明理由. （ii）当时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $