06 抽屉原理-小学数学思想方法导引课

抽屉原理 一、核心思想方法 抽屉原理是由德国数学家狄利克雷在19世纪首先明确提出并用以证明一些数论中的问题，因此该原理也被称为狄利克雷原理 。狄利克雷在研究数论问题时，发现了这样一种有趣且具有普遍意义的现象：把多于个的物体放到个抽屉里，那么至少有一个抽屉里的东西不少于两件。他将这种现象抽象概括为一个数学原理，并运用该原理解决了许多复杂的数学问题。随着数学知识的传播和发展，抽屉原理逐渐被引入到小学数学教育中，成为培养学生逻辑思维能力和解决实际问题能力的重要数学思想方法。 二、解决的痛点、难点问题 ① 抽象计数困惑：面对“至少有多少个会重复”的问题，学生难以通过直接计数解决，抽屉原理能快速确定存在性结论。 ② 逻辑推理薄弱：无法理解“为什么一定存在”的必然性，抽屉原理帮助建立“极端情况”的推理思维。 ③ 实际问题转化难：如投票、分配等实际场景，不知如何识别“物体”和“抽屉”，原理提供转化模型。 三、方法应用示例 例题1 基础应用（人教版六年级下册） 题目 把5个苹果放进4个抽屉里，至少有一个抽屉里放了几个苹果？ ▶步骤 ① 确定“物体”是5个苹果，“抽屉”是4个抽屉 ② 按最平均的方式放：每个抽屉先放1个，还剩1个 ③ 剩余的1个无论放进哪个抽屉，这个抽屉就有2个 ▶答案：至少有一个抽屉里放了2个苹果 例题2 数量计算（北师大版五年级上册） 题目 有13名同学，至少有几名同学在同一个月过生日？ ▶步骤 ① 确定“物体”是13名同学，“抽屉”是12个月份 ② 计算：，即平均每个月1名，还剩1名 ③ 剩余1名无论在哪个月，该月至少有名 ▶答案：至少有2名同学在同一个月过生日 例题3 颜色问题（苏教版四年级下册） 题目 一个袋子里有红、黄、蓝三种颜色的球各5个，至少要摸出几个球，才能保证有2个球颜色相同？ ▶步骤 ① 确定“物体”是摸出的球，“抽屉”是3种颜色 ② 考虑最不利情况：先摸出3个球，每种颜色各1个 ③ 再摸出1个球，无论什么颜色，一定有2个颜色相同，所以至少摸出个 ▶答案：4个 例题4 拓展应用（青岛版六年级上册） 题目 从1到10这10个自然数中，任意选出6个数，至少有2个数的差是5，为什么？ ▶步骤 ① 构造“抽屉”：把10个数按差为5分组，（1,6）、（2,7）、（3,8）、（4,9）、（5,10），共5个抽屉 ② “物体”是选出的6个数，放进5个抽屉 ③ 至少有一个抽屉里有2个数，这两个数的差就是5 ▶答案：因为任意6个数放进5个抽屉，至少有一个抽屉有2个数，差为5 四、练习题 ① 题目：把7本书放进3个抽屉，至少有一个抽屉里有几本书？ ② 题目：班上有30名同学，至少有几名同学在同一个星期过生日？（一年按52个星期算） ③ 题目：有红、黄、蓝、绿四种颜色的珠子，至少要摸出几个，才能保证有3个颜色相同？ ④ 题目：从1~15中选8个数，至少有2个数的和是16，为什么？ ⑤ 题目：5名同学投篮球，每人投10次，共投进41个，至少有1名同学投进了几个？ 【答案】 ① 详解：，平均每个抽屉2本，剩1本，所以至少有一个抽屉有本。 答案：3本 ② 详解：，至少有名？不，正确计算：，但更简单：最不利30名在不同星期，仍至少1名；若问“至少有几个星期有2名”，则30-52不够，这里按原题答1名。（实际考查基础） 答案：1名（注：若数字改为53名，则53÷52=1……1，答2名） ③ 详解：最不利每种颜色摸2个，共个，再摸1个，一定有3个相同，所以个。 答案：9个 ④ 详解：构造抽屉：（1,15）、（2,14）、（3,13）、（4,12）、（5,11）、（6,10）、（7,9）、（8），共8个抽屉。选8个数，每个抽屉选1个，其中（8）单独，其他7对选1个，若选8，则和16的对应数15未选；但实际8个数中，若不选8，则7个数来自7对，必有一对全选，和为16。综上，至少有2个数和为16。 答案：因为构造8个抽屉，选8个数至少有一对来自同一抽屉，和为16。 ⑤ 详解：，平均8个，剩1个，所以至少有1名投进个 答案：9个 五、学习总结 抽屉原理思想是小学数学中一种独特且实用的数学思维方法，它以简洁而深刻的逻辑揭示了数量分配中的必然规律。在运用抽屉原理解题时，关键在于准确识别“物体”和“抽屉”，并合理构造抽屉。通过分析物体和抽屉的数量关系，利用抽屉原理的基本表述，从最不利的情况出发进行思考，从而得出结论。通过学习和练习抽屉原理相关问题，我们不仅能提高逻辑推理能力和数学思维的严谨性，还能学会从整体和规律的角度看待问题。 学科网（北京）股份有限公司 $