精品解析：海南省嘉积中学2025-2026学年高二上学期第一次大练习数学试题

2025-2026学年度第一学期高中教学第一次大课堂练习 高二数学科试题 （时间：120分钟 满分：150分） 欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩! 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和II号），两个点数之和小于6的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数（其中a实数，i为虚数单位），若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，为空间中不重合的平面，m，n为空间中不重合的直线，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 5. 正四棱台上底面边长为4，下底面边长为6，侧棱长为，则该四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 一个圆锥的侧面展开图的圆心角为，它的表面积为，则它的底面积为． A. B. C. D. 7. 盒子中有四个小球，分别写有“知”“行”“合”“一”四个字，从盒子中有放回抽取小球，直到取到“知”“行”二字就停止.用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率：利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“知”“行”“合”“一”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 323 231 320 032 132 031 123 330 110 321 120 122 321 221 230 132 322 130 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知，，且与相互独立，则下列各式正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知平行六面体中，，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则平面 C. 若为正方体，为中点，则到直线的距离为2 D. 若为正方体，到平面的距离为 11. 下列说法正确是（ ） A. 数组1，3，5，7，9，11，13的方差小于数组1，4，6，7，8，10，13的方差 B. 已知一个样本容量为7的样本，它的平均数为5，现加入三个新数据3，5，7，则新样本的平均数为5 C. 若复数满足，则最小值为1 D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知，，若，则________. 13. 如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱.若，，，，则二面角的平面角大小为________. 14. 三棱锥底面边长均为3，侧棱，且平面，则该三棱锥外接球的体积为________. 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙两人参加面试，每人需回答2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是0.7，乙答对每道题目的概率都是0.6，不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响 （1）求甲只答对第二题的概率； （2）求甲乙两人答对题目数之和为1的概率. 16. 将一次考试所有学生的成绩，做成的频率分布直方图如图所示，第一组成绩在，第二组成绩在，第三组成绩在，第四组成绩在第五组成绩在 （1）求图中值，估计本次考试成绩的平均分； （2）老师准备将在本次考试中成绩排名在前的同学定为优秀，发奖鼓励，估计此次考试成绩优胜的分数线； （3）若本次考试共20人参加，现计划从分数低于70分的同学中随机抽取2人谈心，求2人分数都在的概率. 17. 如图，四棱锥的底面是正方形，，侧面是等边三角形，平面平面，在线段上. （1）若为的中点，求证：平面. （2）求侧面与底面所成二面角的余弦值 （3）若与所成角的正弦值为，求 18. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，点是上的动点 （1）求角大小 （2）若是角平分线，，，求的长度 （3）若，点满足，，求的面积； 19. 在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用（其中）表示，给定一个点和一个方向，我们可以确定一条直线，例如：已知点在直线l上，是直线l的一个方向向量，则直线l上任意一点满足，化简得直线l的方程为．而在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都可以表示成（其中，且），类似的，在空间中，给定一个点和一个平面的法向量也可以确定一个平面． （1）若点，求平面的方程； （2）求证：是平面的一个法向量； （3）已知某平行六面体，平面的方程为，平面经过点，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高中教学第一次大课堂练习 高二数学科试题 （时间：120分钟 满分：150分） 欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩! 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的减法坐标运算，即可由模长公式求解. 【详解】由已知，故， 故选：C 2. 掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和II号），两个点数之和小于6的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和II号）共有36种情况， 两个点数之和小于6的情况有共有10种情况， 故概率为， 故选:D 3. 已知复数（其中a为实数，i为虚数单位），若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的模求得，再应用复数的除法求复数即可. 【详解】由题设，即， 所以. 故选：C 4. 已知，，为空间中不重合的平面，m，n为空间中不重合的直线，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】ACD可举出反例；B选项，由线面垂直和线面平行的性质和判定得到B正确. 【详解】A选项，若，，则或，所以A选项错误； B选项，若，则在内存在直线，使得， 又，，故，则，所以B选项正确． C选项，若，，则与可以成任意角，所以C选项错误； D选项，若，，，则或m与n异面，所以D选项错误. 故选：B． 5. 正四棱台上底面边长为4，下底面边长为6，侧棱长为，则该四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先求出棱台的高，然后利用棱台体积公式求解即可. 【详解】如图所示，正四棱台，且，连接， 过作于；过作于， 由题意可得， 由正四棱台可得，则， 又，在中，得， 所以正四棱台的高，正四棱台上下底面积分别为16和36， 所以正四棱台的体积. 故选：C. 6. 一个圆锥的侧面展开图的圆心角为，它的表面积为，则它的底面积为． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】考查圆锥的表面积的计算公式、圆锥的侧面展开图的性质；因为圆锥的展开图是扇形，所以扇形的弧长就是圆锥的底面周长，设母线长为，底面半径为，则，所以选A; 7. 盒子中有四个小球，分别写有“知”“行”“合”“一”四个字，从盒子中有放回抽取小球，直到取到“知”“行”二字就停止.用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率：利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“知”“行”“合”“一”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 323 231 320 032 132 031 123 330 110 321 120 122 321 221 230 132 322 130 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】由于0，1代表“知”“行”，恰好第三次就停止的情况有：031，110，120，130 共有4种情况，故概率为， 故选：D 8. 若函数在区间上单调递减，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先由题意，求出函数的单调递减区间，再由题中条件，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】由题意，令，则， 即函数的单调递减区间为， 因为函数在区间上单调递减， 所以，解得，所以，. 故选：D. 【点睛】本题主要考查由正弦型函数的单调性求参数，熟记正弦函数单调性即可，属于常考题型. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知，，且与相互独立，则下列各式正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据相互独立事件，对立事件和概率加法公式逐一计算判断即可. 【详解】对于A，因为事件与相互独立，所以，故A正确； 对于B，，故B正确. 对于C，因为，， 所以，， 因为事件与相互独立，所以因为事件与相互独立， 所以，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：AB. 10. 已知平行六面体中，，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则平面 C. 若为正方体，为中点，则到直线的距离为2 D. 若为正方体，到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】平行六面体的性质，根据向量的模的求法及线线垂直的向量判定方法判断选项A,B；根据正方体的性质，利用等体积法求点到直线的距离，利用等体积法求点到平面的距离，从而可判断选项C,D. 【详解】选项A：若，，， 因为，所以， 所以 所以，所以选项A正确； 选项B：因为，. 所以， 所以， 所以与不垂直，所以与平面不垂直，所以选项B错误； 选项C：若为正方体，为中点， 则，， ， 所以，所以， 设到直线的距离为，所以选项C正确； 选项D：若为正方体，则是正三角形，其边长为， 所以其面积为. 设到平面的距离为，则由可得：. 所以，即到平面距离为，所以选项D正确. 故选：ACD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 数组1，3，5，7，9，11，13的方差小于数组1，4，6，7，8，10，13的方差 B. 已知一个样本容量为7的样本，它的平均数为5，现加入三个新数据3，5，7，则新样本的平均数为5 C. 若复数满足，则最小值为1 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】比较两组数据的离散程度判断选项A，根据平均数的性质判断选项B，根据复数的几何意义判断选项C ，直接计算判断选项D. 【详解】选项A：数组1，3，5，7，9，11，13的平均数是， 数组1，4，6，7，8，10，13的平均数是， 两组数据的平均数相同，4，6，8，10明显比3，5，9，11更靠近7，即更集中， 所以第二组数据的方差较小，错误； 选项B：旧样本的平均数为5，三个新数据3，5，7的平均数也是5， 所以新样本的平均数是，正确； 选项C：因为复数满足，即， 即复数在复面内对应的点到点的距离为1. 如图，当点与点重合时，的值最小，最小值为，正确； 选项D：，正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知，，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量共线的坐标表示，由对应分量成比例即可求解. 【详解】，，且，故， 因此， 所以， 故， 故答案为： 13. 如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱.若，，，，则二面角的平面角大小为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据式子，根据空间向量数量积的运算律以及模长公式可求的长，即可得解. 【详解】由条件知，，， 所以 ，所以, 故， 由于，故， 因此二面角的平面角大小与相等，故其大小为， 故答案为： 14. 三棱锥底面边长均为3，侧棱，且平面，则该三棱锥外接球的体积为________. 【答案】## 【解析】 【分析】将三棱锥转化为正三棱柱，根据题意结合正三棱柱的性质求外接球的半径，进而可求外接球的体积. 【详解】将三棱锥转化为正三棱柱， 可知三棱锥的外接球即为正三棱柱的外接球， 设的外接圆圆心为，半径为， 则，可得， 设三棱锥的外接球球心为，连接，， 则，因为，解得， 所以该三棱锥外接球的半径长为2，所以该三棱锥外接球的体积. 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙两人参加面试，每人需回答2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是0.7，乙答对每道题目的概率都是0.6，不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响 （1）求甲只答对第二题的概率； （2）求甲乙两人答对题目数之和为1的概率. 【答案】（1）0.21 （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解， （2）根据相互独立事件以及互斥事件的概率性质即可求解. 【小问1详解】 设 “甲只答对第二题”，则, 【小问2详解】 记 “甲只答对一道题”， “乙只答对一道题”， “甲两道题都答错”， “乙两道题都答错”， 故,, ,, 记 “甲乙两人答对题目数之和为1”， 由于事件相互独立，事件相互独立， 则 16. 将一次考试所有学生的成绩，做成的频率分布直方图如图所示，第一组成绩在，第二组成绩在，第三组成绩在，第四组成绩在第五组成绩在 （1）求图中值，估计本次考试成绩的平均分； （2）老师准备将在本次考试中成绩排名在前的同学定为优秀，发奖鼓励，估计此次考试成绩优胜的分数线； （3）若本次考试共20人参加，现计划从分数低于70分的同学中随机抽取2人谈心，求2人分数都在的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的面积之和为1即可求得，利用频率分布直方图平均分的计算方法可求得平均分的估计值； （2）根据频率分布直方图的百分位数的求法即可求解； （3）先求得和低于70分的人数，利用枚举法求得总的取法，及2人分数都在的取法，利用古典概型概率公式即可求解. 【小问1详解】 由题意得，解得； 本次成绩平均分估计值为； 【小问2详解】 老师准备将在本次考试中成绩排名在前的同学，定为成绩优秀，故求第分位数的分数即可， ， 故分位数在内，故第分位数的分数为分， 故此次考试成绩优秀的分数线为分. 【小问3详解】 低于70分的同学的频率为，所以低于70分的同学应抽取人， 其中成绩在的人数为人， 记这5人为，其中为成绩在的两位同学， 从中任取两人有共10种取法， 其中2人分数都在的取法有1种， 所以2人分数都在的概率为. 17. 如图，四棱锥的底面是正方形，，侧面是等边三角形，平面平面，在线段上. （1）若为的中点，求证：平面. （2）求侧面与底面所成二面角的余弦值 （3）若与所成角的正弦值为，求 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，可得，可证结论； （2）取的中点，的中点，连接，可证，，，以为坐标原点，以所以直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和底面的一个法向量，利用向量法可求得侧面与底面所成二面角的余弦值； （3）设，求得平面的一个法向量，利用向量法可得，求解即可. 【小问1详解】 连接交于，连接， 因为四边形是正方形，所以是的中点， 又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 取的中点，的中点，连接， 因为三角形是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 又平面，所以， 又因为四边形是正方形，所以， 以为坐标原点，以所以直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又是平面的一个法向量， 所以， 所以侧面与底面所成二面角的余弦值为. 【小问3详解】 设，由（2）可得， 所以， 所以， 又， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又因为，与所成角的正弦值为 所以， 所以，所以， 所以，解得， 所以. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，点是上的动点 （1）求角的大小 （2）若是的角平分线，，，求的长度 （3）若，点满足，，求的面积； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可求得，可求解； （2）由题意可得，计算可求解； （3）由已知可得，平方可得，又由余弦定理可得，计算可得的面积. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 所以，所以， 所以，因为，所以， 所以，又，； 【小问2详解】 若是的角平分线，又， 所以， 所以，又，， 所以，解得； 【小问3详解】 因为，所以， 所以， 所以， 所以，所以， 由余弦定理可得，又， 所以，解得， 所以， 所以的面积为. 19. 在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用（其中）表示，给定一个点和一个方向，我们可以确定一条直线，例如：已知点在直线l上，是直线l的一个方向向量，则直线l上任意一点满足，化简得直线l的方程为．而在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都可以表示成（其中，且），类似的，在空间中，给定一个点和一个平面的法向量也可以确定一个平面． （1）若点，求平面的方程； （2）求证：是平面的一个法向量； （3）已知某平行六面体，平面的方程为，平面经过点，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）通过平面方程的新概念求平面的方程； （2）通过平面方程的新概念求平面的法向量与点到平面的距离； （3）通过平面方程的新概念求的方向向量，再根据平面求平面的法向量，再求平面与平面的夹角的余弦值． 【小问1详解】 ， 设是平面的一个法向量， 则令，得，所以． 设点是平面内任意一点，由，得， 所以平面的方程为． 【小问2详解】 记平面的方程为， 在平面上任取一条直线，直线上任取两点， 则有 因为， 所以． 所以，即垂直于平面上任意一条直线， 所以是平面的一个法向量． 【小问3详解】 ， 设为平面的一个法向量，则令，得， 所以． 因为平面的方程为，所以由（2）知平面的一个法向量为， 设直线的一个方向向量为，则 令，得，所以． 因为平面，所以平面的一个法向量与直线的方向向量垂直， 所以，解得，所以． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $