精品解析：福建省龙岩市第一中学2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试卷

龙岩一中2026届商三上学期第二次月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出集合B再求出交集. 【详解】， ∴，则， 故选A． 【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题. 2. 设为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取特殊值可求得A、B、C错误，由作差法可得D正确. 【详解】由可知，不妨取， 对于A，，所以A错误， 对于C，，可得C错误； 对于B，当时，不成立，即B错误； 对于D，，即可得，即D正确. 故选：D 3. 已知命题，是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分离参数得时，有解，结合基本不等式求得即可. 【详解】已知命题，是假命题， 则命题：，是真命题， 即当时，有解， 所以，当且仅当时，， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先根据对数函数的单调性解不等式然后进行判断. 【详解】的解集是，反之不成立. 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B 5. 已知的图象如图，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象确定函数的定义域，奇偶性，以及函数值的大小即可求解. 【详解】由函数的图象可知函数的定义域为， 而选项B，的定义域为，由此即可排除选项； 函数图象关于原点对称，即为奇函数， 而选项A, ， ， 所以为偶函数，由此可排除选项A； 根据图象可知，而选项D, ， , 由此可排除D，选项C满足图象特征. 故选：C. 6. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数极值点的定义，结合二次函数的性质、数形结合思想、转化法进行求解即可. 【详解】由， 当时，函数单调递增，在时，该函数单调递减， 所以当时，函数有最大值，且， 所以当时，有两个不同的极值点，等价于直线与函数有两个不同的交点，如图， 所以，即. 故选：B 7. 已知函数的定义域为，值域为，若，函数为偶函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用恒等式可推导，得出周期性，再由偶函数可得函数的图象是关于直线对称的，再利用赋值思想即可求值. 【详解】因为的值域为， 所以可由得：， 则有， 所以函数是一个以4为周期的函数，则有， 又因为函数为偶函数，所以， 则函数的图象是关于直线对称的，即， 又因为周期性可知，所以， 又由可得：，所以， 因为的值域为，所以，即， 故选：B 8. 设.当时，恒有，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先对不等式合理变形，结合导数求出在处等号成立，进而求出的取值，最后得到即可. 【详解】因为， 所以， 则恒成立， 即，恒成立， 可得恒成立，且， 令， 而，， 令，则， 可得在上单调递增， 令，，令，， 可得在上单调递减，在上单调递增， 故，即在处等号成立， 得到是和的公切线， 而，， 则，， 得到，故A正确. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 有以下判断，其中是正确判断的有（ ） A. 与表示同一函数 B. 当时，函数单调递增 C. 函数在定义域上是增函数 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用相同函数的意义判断A；利用函数单调性定义推理判断B；通过反例可判断C；求出函数值判断D作答. 【详解】对于A，函数的定义域为，的定义域为R，则函数与不是同一函数，A错误； 对于B，任取，则， 由，得，即有，即，则函数在上单调递增，B正确； 对于C，函数的定义域为，，所以函数在定义域上不是增函数，C错误； 对于D，，则，所以，D正确. 故选：BD 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得，再根据对数的运算性质结合基本不等式逐一判断即可. 【详解】因为， 所以，则， 对于A，，故A正确； 对于B，， 当且仅当时取等号， 又，所以，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以，当且仅当时取等号， 又，所以，故C错误； 对于D，， 因为， 所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 有极大值为 B. 对于恒成立，则实数a的取值范围是 C. 当时，过原点与曲线相切的直线有2条 D. 若关于x的方程有两个不等实根，则实数a的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出极大值判断A；探讨最小值并建立不等式求出a的范围判断B；求出过原点的曲线切线方程，再确定方程解的个数判断C；变形给定等式并构造函数，探讨函数性质求出实数a的范围判断D． 【详解】对于A，，，求导得，当时，， 当时，，函数在处取得极大值为，A正确； 对于B，，当时，，当时，， 函数在递减，在上递增，， 由对于恒成立，得，解得，B正确； 对于C，，函数定义域为，求导得， 设切点坐标为，则在处，的切线方程为： ，则， 化简得，当时，，此方程无解； 当时，，此方程无解；当时，，满足要求， 因此方程只有这1个解，即过原点有且仅有一条直线与相切，C错误； 对于D，由关于的方程有两个实根，得有两个不等实根， 整理得，则，即， 令函数，则即为， 函数在R上单调递增，则，即， 由A选项知，，函数在上单调递增，在上单调递减， ，当时，函数取值集合为，而， 因此在的取值集合为； 当时，令，， 函数在上单调递减，，则， 当时，，显然函数在取值集合为， 因此函数在的取值集合为，则有两个根， 必有，解得，所以a的取值范围为，D正确． 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：解决过某点的函数的切线问题，先设出切点坐标，求导并求出切线方程，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，求的最小值________. 【答案】3 【解析】 【分析】将变形为，展开，利用基本不等式解之． 【详解】解：已知，，， 则， 当且仅当时等号成立； 故答案为3 【点睛】本题考查了利用基本不等式求代数式的最值；关键是变形为能够利用基本不等式的形式． 13. 定义在上的函数满足，，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 设，利用导数和题设条件求得在上单调递增，求得不等式的解集，即可得到答案. 【详解】设，可得， 因为，所以， 故函数在上单调递增， 又由，可得，所以的解集为， 即的解集为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了导数的四则运算的应用，其中解答中构造新函数，将不等式转化为，结合函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 14. 已知函数，函数有四个零点，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为与有四个不同的交点的问题；画出图象后可知，当与在和上分别相切时，两切线斜率之间的范围即为所求的范围，利用导数几何意义和二次函数的知识分别求解出两条切线斜率，从而得到所求范围. 【详解】解：有四个零点等价于与有四个不同的交点 当时，， 当时，；当时， 即在上单调递减，在上单调递增 当时，，此时 由此可得图象如下图所示： 恒过，由图象可知，直线位于图中阴影部分时，有四个不同交点 即临界状态为与两段图象分别相切 当与相切时，可得： 当与相切时 设切点坐标为，则 又恒过，则 即，解得： 由图象可知： 【点睛】本题考查利用函数零点个数求解参数范围的问题、零点问题转化为曲线与直线的交点问题、利用导函数研究函数的最值问题，是偏难题. 四、解答题：本题共5小题，共73分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知， （1）化简 （2）若，求的值 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）由（1）可得的值，然后利用同角三角函数的基本关系将目标式转化为用表示，再代入的值计算即可. 【小问1详解】 由题意得. 【小问2详解】 由题意得，则， . 16. 已知函数 （1）讨论的单调性. （2）若在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1） 当时，在上单调递增，不存在单调递减区间； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2） 【解析】 【分析】（1）分、和三种情况讨论即可求解； （2）由题意，总有，分离参数即可求解. 【小问1详解】 ，， 当，即时，恒成立， 所以此时在上单调递增，不存在单调递减区间； 当时，恒成立， 所以此时在上单调递增，不存在单调递减区间； 当时，令或， 令， 所以此时在上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增，不存在单调递减区间； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 由题意，总有， 即，总有， 即，总有， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 所以， 所以实数的取值范围为. 17. 如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 取中点，连接， 因为，所以， 为的中点，所以为的中位线，所以， 又，所以四边形为平行四边形，有， 又因为平面平面，则， 由于平面，所以平面， 又因为，所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据中位线的性质得到，然后得到四边形为平行四边形，根据直棱柱的性质得到，最后利用线面垂直的判定定理证明； （2）解法一：利用余弦定理得到，然后建系，利用空间向量的方法求线面角； 解法二：根据线面角的定义得到即为直线与平面所成角，然后求线面角； 解法三：利用等体积的思路得到点到平面的距离，然后求线面角. 【小问1详解】 取中点，连接， 因为，所以， 为的中点，所以为的中位线，所以， 又，所以四边形为平行四边形，有， 又因为平面平面，则， 由于平面，所以平面， 又因为，所以平面． 【小问2详解】 解法一：由（1）可知：两两垂直，如图，以为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 在中，由余弦定理可得：，则， 于是， 则， 设平面， 于是，即， 令，则， 设直线与平面所成角为， 那么， 即直线与平面所成角的正弦值为． 解法二：在中，由余弦定理可得：，则， 如图，连接，由（1），平面平面，则， 又因为，四边形为正方形，为的中点，， 由于平面，则平面， 如图，记，过点作，连接， 由于平面平面，则， 又因为平面，则平面， 所以即为直线与平面所成角，由于， 则， 由于，则为的三等分点，则， 于是， 即直线与平面所成角的正弦值为． 解法三：设直线与平面所成角为，点到平面的距离为，则， 在中，，则， 过作交的延长线于，易得， 且易证平面， 由于，则， 在中，，且， 又，则． 【点睛】 18. 人工智能（ArtificialIntelligence），英文缩写为AI.是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究､开发用于模拟､延伸和扩展人的智能的理论､方法､技术及应用系统的一门新的技术科学.如今利用“人工智能”的场景屡见不鲜，从帮助记忆单词､解答难题､到人机比赛，它的身影无处不在.小明和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则为：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利，且比赛结束），已知小明第一局获胜的概率为.从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局. （1）在小明以获得比赛胜利的条件下，求在第二局比赛中小明获胜的概率； （2）记整场比赛小明的获胜局数为，求的分布列和期望. 【答案】（1） （2）分布列： 0 1 2 期望为 【解析】 【分析】（1）设出事件，利用条件概率的公式可得答案； （2）求出的取值，分别求解对应的概率，利用期望公式可得答案. 【小问1详解】 设事件“小明以获得比赛胜利”， “第二局比赛中小明获胜”， 若小明以获得比赛胜利，则三局比赛的结果为：赢输赢，输赢赢，共两种情况， 所以， ， ，即在小明以获得比赛胜利的条件下，在第二局比赛中小明获胜的概率为. 【小问2详解】 由题意的所有取值为0,1,2. ， ， ； 的分布列为 0 1 2 的期望为. 19. 若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. （1）判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； （2）已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”，是在上的中值点. ①求t的取值范围； ②证明： 【答案】（1）是上的"双中值函数"，理由见详解 （2）①； ②不妨设， 则， 即. 要证，即证. 设, 则. 设，则 所以在上单调递增，所以， 所以则在上单调递减. 因为，所以，即. 因为，所以. 因为，所以 因为，所以. 由（1）可知在上单调递增， 所以,即得证. 【解析】 【分析】（1）利用定义结合导数直接计算解方程即可; （2）①根据定义知，利用导数研究导函数的单调性及最值计算范围即可；②根据条件先转化问题为,构造差函数，利用多次求导判定其单调性去函数符号即可证明. 【小问1详解】 函数是上的"双中值函数". 理由如下： 因为，所以. 因为，所以, 令，得，即，解得. 因为, 所以是上的"双中值函数". 【小问2详解】 ①因为，所以。 因为是上的"双中值函数"，所以 由题意可得. 设，则. 当时，，则为减函数，即为减函数； 当时，，则为增函数，即为增函数. 故. 因为，所以，所以， 即的取值范围为； ②略 点睛: 思路点睛：新定义问题审清题意，转化为已有经验、知识处理即可，本题第二问第一小问，可转化为存在导函数两个零点求参问题，利用导数研究其单调吽与最值即可：第一小问.可利用等量关系消元转化证明,类似极值点偏移，构造差函数研究其单调性即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩一中2026届商三上学期第二次月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则 A. B. C. D. 2. 设为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知的图象如图，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，值域为，若，函数为偶函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 设.当时，恒有，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 有以下判断，其中是正确判断的有（ ） A. 与表示同一函数 B. 当时，函数单调递增 C. 函数在定义域上是增函数 D. 若，则 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 有极大值为 B. 对于恒成立，则实数a的取值范围是 C. 当时，过原点与曲线相切的直线有2条 D. 若关于x的方程有两个不等实根，则实数a的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，求的最小值________. 13. 定义在上的函数满足，，则不等式的解集为__________． 14. 已知函数，函数有四个零点，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共73分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知， （1）化简 （2）若，求的值 16. 已知函数 （1）讨论的单调性. （2）若在上单调递增，求实数的取值范围. 17. 如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 人工智能（ArtificialIntelligence），英文缩写为AI.是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究､开发用于模拟､延伸和扩展人的智能的理论､方法､技术及应用系统的一门新的技术科学.如今利用“人工智能”的场景屡见不鲜，从帮助记忆单词､解答难题､到人机比赛，它的身影无处不在.小明和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则为：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利，且比赛结束），已知小明第一局获胜的概率为.从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局. （1）在小明以获得比赛胜利的条件下，求在第二局比赛中小明获胜的概率； （2）记整场比赛小明的获胜局数为，求的分布列和期望. 19. 若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. （1）判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； （2）已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”，是在上的中值点. ①求t的取值范围； ②证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $