精品解析：湖北省孝感鲁迅高级中学2025-2026学年高二上学期9月质量检测数学试卷

孝感鲁迅高级中学2025年秋季9月质量检测 高二数学试卷 命题人：裴明坤 审题人：王莎 一、单选题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的值域是，则其定义域不可能是（ ） A. B. C. D. 3. 一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同.从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ） A. 至多有1个球是红球 B. 至少有1个球是红球 C. 至多有1个球是黑球 D. 至少有1个球是黑球 4. 下列试验中是古典概型的是（ ） A. 在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽 B. 口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C. 向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的 D. 射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 5. 在三棱柱中，，，．若点P满足，且点P在平面内，则（ ） A. B. C. D. 1 6. 已知是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点M关于平面对称的点是（ ）. A. B. C. D. 7. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为的正四面体中，点，分别为棱，的中点，则下列命题正确的个数为（    ） ①；② ③侧棱与底面所成角的余弦值为；④直线与所成角的正弦值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（本大题包括3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知角的终边过点，则（ ） A. 为第二象限角 B. C. D. 10. 已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则（ ） A. 若∥，则2m-n=3 B. 若，则2m-n=3 C. 若∥，则mn+2=3 D. 若，则mn+2=0 11. 在空间直角坐标系中，，则（ ） A. B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离是 三、填空题（本大题包括3小题，共15分） 12. 在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为______. 13. 已知向量，且，则__________． 14. 已知，则在方向上的投影向量的坐标为______． 四、解答题（本大题包括5小题，共77分） 15. 已知平行四边形的三个顶点，且按逆时针方向排列． （1）求点的坐标； （2）求向量与夹角的余弦值； （3）求平行四边形的面积． 16. 袋中装有大小与质地相同的5个球，其中白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球． （1）写出该随机试验的一个等可能的样本空间； （2）求摸出来的2个球都是白球的概率； （3）求摸出来的2个球颜色不同的概率． 17. 如图，已知正方体的棱长为1，和分别是和的中点. （1）求的值； （2）求证：； （3）求直线和所成角的大小. 18. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3. （1）证明：平面PCD⊥平面PAD； （2）求点B到平面PAD的距离. 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，且，，，，平面． （1）求证：平面； （2）求与平面所成的角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 孝感鲁迅高级中学2025年秋季9月质量检测 高二数学试卷 命题人：裴明坤 审题人：王莎 一、单选题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的并集运算求解. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：D 2. 已知函数的值域是，则其定义域不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质一一验证选项中的定义域能不能使函数的值域为. 【详解】的对称轴为：，开口向上. 对于A：由定义域在对称轴的左侧，可知在上单调递减，可得到值域为，故A正确； 对于B：由定义域在对称轴的右侧，可知在上单调递增，可得到值域为，故B正确； 对于C：可得到对称轴在定义域内，且左端点离对称轴远一些， 所以函数在对称轴处取最小值，在处取最大值，所以值域为，故C正确； 对于D：由定义域在对称轴的右侧，可知在上单调递增，可得到值域为，故D错误. 故选：D 3. 一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同.从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ） A. 至多有1个球是红球 B. 至少有1个球是红球 C. 至多有1个球是黑球 D. 至少有1个球是黑球 【答案】B 【解析】 【分析】根据摸球的可能结果判断. 【详解】从袋中任意摸出个球，可能的情况有：①三个都是红球；②恰有2个红球和1个黑球；③恰有1个红球和2个黑球. 所以摸出的个球中“至少有1个是红球”是必然事件. 故选：B. 4. 下列试验中是古典概型的是（ ） A. 在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽 B. 口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C. 向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的 D. 射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性进行判断． 【详解】对于A，“发芽”或“不发芽”概率不同，不满足等可能性，故A错误； 对于B，任取一球的概率相同，均为，故B正确； 对于C，基本事件有无限个，不满足有限性，故C错误； 对于D，由于射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环的概率不等，不满足等可能性，故D错误. 故选：B. 5. 在三棱柱中，，，．若点P满足，且点P在平面内，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量共面的性质列式求解. 【详解】因为，且点P在平面内， 根据共面向量定理的推论，若空间四点共面，点为空间任意一点，则，且, ，解得 故选：B. 6. 已知是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点M关于平面对称的点是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系中关于坐标平面对称问题直接求解. 【详解】与点关于平面对称的点是(4,−3,2)； 故选：D 7. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由题设，， 又与互相垂直，则，解得. 故选：C 8. 如图，在棱长为的正四面体中，点，分别为棱，的中点，则下列命题正确的个数为（    ） ①；② ③侧棱与底面所成角的余弦值为；④直线与所成角的正弦值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】通过判断向量垂直来判断直线垂直；利用勾股定理求线段长度；利用余弦定理求空间中的角度. 【详解】. 所以，故.命题①正确. 连接，，由勾股定理得，所以是等腰三角形. .命题②错误. 在中，由余弦定理得，求得. 侧棱在底面上的投影为，所以侧棱与底面所成的角即为.命题③正确. 连接，，其中为中点.在中，为中位线，所以，. 要求与所成角，即求与夹角，即. 由勾股定理得. 在中，由余弦定理得， 解得,从而.命题④正确. 故选：C 二、多选题（本大题包括3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知角的终边过点，则（ ） A. 为第二象限角 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据象限角概念，三角函数的定义逐项判断即可. 【详解】因为角的终边过点， 所以角为第四象限，， ，， 故选：BD 10. 已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则（ ） A. 若∥，则2m-n=3 B. 若，则2m-n=3 C. 若∥，则mn+2=3 D. 若，则mn+2=0 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量判定空间中线面的垂直、平行关系. 【详解】若，则，即，即-2m+n+3=0，可得2m-n=3，无法得到，故A正确，C错误； 若，则，即，解得，则，故B错误，D正确． 故选：AD. 11. 在空间直角坐标系中，，则（ ） A. B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量数量积、模、异面直线的夹角、点到直线的距离等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，A正确； ，B正确； 设异面直线与所成角为，则，C错误； 到直线的距离为，D正确． 故选：ABD 三、填空题（本大题包括3小题，共15分） 12. 在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为______. 【答案】0.75## 【解析】 【分析】先求出三只豚鼠都没被感染的随机数的组数求出其概率，再根据对立事件的概率性质即可得出三只豚鼠中至少一只被感染的概率. 【详解】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染， 随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个， 故三只豚鼠都没被感染的概率为， 则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为. 故答案为：. 13. 已知向量，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线的充要条件列式计算即得. 【详解】向量共线，则，解得， 所以. 故答案为：. 14. 已知，则在方向上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】计算出，利用投影向量的计算公式进行求解. 【详解】， 可得在方向上的投影向量为 ． 故答案为： 四、解答题（本大题包括5小题，共77分） 15. 已知平行四边形的三个顶点，且按逆时针方向排列． （1）求点的坐标； （2）求向量与夹角的余弦值； （3）求平行四边形的面积． 【答案】（1） （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）设点的坐标，根据向量相等直接得到所求点的坐标. (2)由向量与的数量积直接计算向量的夹角余弦值. (3)由（2）向量的夹角余弦计算正弦，再由面积公式计算平行四边形的面积. 【小问1详解】 由题意得， 设，则． 由，得得 所以点的坐标为． 【小问2详解】 由题意得， ，，， 所以向量与夹角的余弦值为． 【小问3详解】 由（2）得向量与夹角的正弦值为， 所以平行四边形的面积为. 16. 袋中装有大小与质地相同的5个球，其中白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球． （1）写出该随机试验的一个等可能的样本空间； （2）求摸出来的2个球都是白球的概率； （3）求摸出来的2个球颜色不同的概率． 【答案】（1） 设3个白球分别记为，2个黑球分别记为1，2，则该随机试验的一个等可能的样本空间可表示为： ； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）设出试验的所有情况组成的基本事件，列举即得样本空间； （2）由题意列举出所求事件包含的基本事件，利用古典概型概率公式计算即得； （3）由题意列举出所求事件包含的基本事件，利用古典概型概率公式计算即得. 【小问1详解】 设3个白球分别记为，2个黑球分别记为1，2，则该随机试验的一个等可能的样本空间可表示为： ； 【小问2详解】 记“摸出来的2个球都是白球”，则， 故； 【小问3详解】 记“摸出来的2个球颜色不同”，则， 故. 17. 如图，已知正方体的棱长为1，和分别是和的中点. （1）求的值； （2）求证：； （3）求直线和所成角的大小. 【答案】（1） （2） 因为M和N分别是和的中点，则N为的中点， 所以，则， 所以， 所以 （3） 【解析】 【分析】由向量的线性运算及数量积的运算律计算即得； 计算即可证明； 根据向量的夹角公式计算即可. 【小问1详解】 由题知： 所以 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）， 设直线和MN所成角为， 又 ， ， 则， 所以和所成的角为 18. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3. （1）证明：平面PCD⊥平面PAD； （2）求点B到平面PAD的距离. 【答案】（1）证明：∵PC⊥底面ABCD，平面， ∴PC⊥AD， 又∵CD⊥AD ，且PC∩CD=C，平面， ∴AD⊥平面PCD， ∵平面PAD， ∴平面PCD⊥平面PAD； （2） 【解析】 【分析】（1）由PC⊥底面ABCD，得到PC⊥AD，再由CD⊥AD ，得到AD⊥面PCD，然后利用面面垂直的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，求得平面PAD的一个法向量，由点到平面距离向量公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系， 则 ， 所以， 设平面PAD的一个法向量为， 则，即， 解得，令，得，则， 所以点B到平面PAD的距离为：. 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，且，，，，平面． （1）求证：平面； （2）求与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）证明： 因为，所以在中，，，所以. 又底面为直角梯形，，所以且， 所以在中，，，所以. 故在中，，， 所以，且，， 因为在上单调递增，所以，即， 所以，得. 又因为平面，平面，所以. 因为，，平面，平面，， 故平面 （2） 【解析】 【分析】（1）先在底面梯形中证明对角线互相垂直，再由直线与平面垂直的判定定理可得； （2）直接用空间向量的方法求直线与平面所成的角的正弦值； 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 以为空间直角坐标系的原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以过点垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系如图. 则，，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，，令，得，，得. 所以， 故与平面所成的角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $