例析与数学家费马相关的高中数学试题 专题训练-2025届高三数学二轮专题复习

【原卷版】  例析与数学家 费马 相关的高中数学试题

费马的成就本质是 “连接古典数学与近代数学”：他从古希腊的数论（丢番图）、几何（欧几里得）出发，引入代数工具，探索变量与极限思想，不仅开创了近代数论，还为解析几何、微积分、概率论提供了关键思路。尽管他的许多成果以 “猜想” 或 “手稿” 形式存在，但其深刻的洞察力和创新方法，使其成为 17 世纪数学界的核心人物之一。

皮埃尔・德・费马（Pierre de Fermat，1601-1665）是 17 世纪法国最具影响力的数学家之一，尽管他的职业是律师和法官，数学仅为 “业余爱好”，但他在数论、代数、几何、概率论等多个领域的贡献，直接推动了近代数学的发展，甚至被称为 “近代数论之父”。他的核心研究领域、关键成就、未竟猜想（影响深远） 三方面，具体为：

1、数论：费马最核心的研究领域；数论是费马投入精力最多、成果最突出的领域，他通过对整数性质的探索，提出了一系列开创性结论，为后世数论研究奠定了基础。（1） 费马小定理（2）费马数；（3）其他数论结论；

2、解析几何与微积分先驱：（1）解析几何的早期工作；（2）微积分的 “预演”：极值与切线问题；

费马是微积分发明前，最早研究 “函数极值” 和 “曲线切线” 的数学家之一，他的方法已蕴含 “极限” 和 “导数” 3、概率论：与帕斯卡共同奠基；（1） 赌徒分金问题（核心背景）；（2）费马的解决方案

4、费马大定理：最著名的 “未竟猜想”；

皮埃尔・德・费马的研究成果虽多源于 17 世纪的 “业余探索”，但其核心思想却深度渗透在现行高中数学的多个核心考点中 —— 从函数极值到解析几何，从概率初步到数论基础，费马的工作为高中数学的关键模块提供了 “思想源头” 或 “直观铺垫”。以下结合高中数学考点，具体的关联点有：

1、费马小定理与高中 “数论基础” 的关联；2、费马的 “极值与切线思想” 与高中 “导数” 的关联；3、费马的 “解析几何思想” 与高中 “圆锥曲线” 的关联

简言之，费马的数学研究成果，不仅能让高中生 “知其然，更知其所以然”，还能感受到数学的 “连贯性”—— 今天学习的考点，正是几百年前数学家探索的 “起点”。

例1、法国数学家皮埃尔德费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角：当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知，，分别是三个内角，，的对边，且，，若点为的费马点，则（       ）

A．6 B．4 C．3 D．2

 

例2、十七世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质.若从椭圆上任意一点（异于两点）向长轴引垂线，垂足为，记，则（      ）

A．方程表示的椭圆的焦点落在轴上

B．

C．的值与点在椭圆上的位置有关

D．M越来越小，椭圆越来越扁

 

例3、我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）．设，，设数列的前项和为，则使不等式成立的正整数的最小值是（      ）

A． B． C． D．

 

例4、设，为非负整数，为正整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若为质数，为不能被整除的正整数，则，这个定理是费马在1636年提出的费马小定理，它是数论中的一个重要定理．现有以下2个命题：①；②对于任意正整数，，则下列说法正确的是（      ）

A．①真②真 B．①假②真 C．①真②假 D．①假②假

 

例5、皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学作出了重大贡献，其中在1636

年发现了：若p是质数，且a，p互质，那么a的次方除以p的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理.依此定理若在数集中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，则所取两个数符合费马小定理的概率为（      ）

A． B． C． D．

 

例6、法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点．在中，已知，设为的费马点，且满足，．则的外接圆半径长为            ．

 

例7、1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知中，其中，，为费马点，则的取值范围是                          .

 

例8、以三角形边，，为边向形外作正三角形，，，则，，三线共点，该点称为的正等角中心．当的每个内角都小于120º时，正等角中心点P满足以下性质：

（1）；（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）．由以上性质得的最小值为        

 

例9、“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点P为的费马点.

（1）求A；

（2）若，求的值；

（3）若，求的最大值.