2.4.1直线与圆锥曲线的交点 课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线与圆锥曲线的位置关系判断，通过“探索新知”分椭圆、双曲线、抛物线逐一讲解相离、相切、相交的判定方法，再以小结整合代数法与数形结合法，构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生逐步掌握知识脉络。 其亮点在于注重数学思维与数学语言的培养，通过典例中判别式应用（如例1用Δ判断交点个数）、分类讨论（如例3对抛物线斜率的讨论）发展推理能力与运算能力，方法总结环节以规范步骤强化数学表达，助力学生提升问题解决能力，也为教师提供清晰的教学范例与知识整合路径。

§4 直线与圆锥曲线的位置关系 第二章 第二章：圆锥曲线 §4.1 直线与圆锥曲线的交点 学习目标 1.掌握直线与圆锥曲线的交点的求解方法.（逻辑推理能力） 2.了解直线与圆锥曲线的三种位置关系.（直观想象能力） 3.掌握判断直线与圆锥曲线交点个数的方法.（数学运算能力） 如何判断直线与圆的位置关系？ 几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r之间的关系判断 代数法：联立得到方程组 消元化简得到一个关于x或y的一元二次方程.根据判别式Δ与零的比较判断位置关系。 复习导入 联立直线与椭圆方程 消去y得一个关于x的一元二次方程： 探索新知 直线与圆锥曲线的位置关系的判断： 1.直线与椭圆： Δ>0时，直线与椭圆有两个不同的公共点，此时直线与椭圆相交； Δ=0时，直线与椭圆只有一个公共点，此时直线与椭圆相切； Δ<0时，直线与椭圆没有公共点，此时直线与椭圆相离． (b2＋a2k2)x2＋2kma2x＋a2(m2－b2)＝0 相离、相切、相交 探索新知 直线与圆锥曲线的位置关系的判断： 1.直线与椭圆： （1）相离：求椭圆上的点到直线的距离的最小（大）值 l l1 l2 求与直线平行且与椭圆相切的直线 平行线间的距离 （2）相切：求椭圆的切线 设出直线方程，联立方程组 Δ=0 （3）相交： (1) 当b2-a2k2≠0时，Δ>0时，直线与双曲线相交，有两个不同的公共点； Δ=0时，直线与双曲线相切，只有一个公共点； Δ<0时，直线与双曲线相离，没有公共点． 探索新知 直线与圆锥曲线的位置关系的判断： 2.直线与双曲线： 联立直线与双曲线方程 消去y得一个关于x的一元二次方程： (b2-a2k2)x2-2kma2x-a2(m2+b2)＝0 (2)当b2-a2k2=0时，即 ，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点，直线与双曲线不是相切而是相交． (1)若k≠0时，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k=0时，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 探索新知 直线与圆锥曲线的位置关系的判断： 3.直线与抛物线： k2x2+2(km-p)x+m2=0 联立直线与抛物线方程 消去y得一个关于x的一元二次方程： 小结：直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法： 1.代数法 将直线方程与圆锥曲线方程联立，方程组的解的组数就是直线与双曲线交点的个数．联立得方程组，消去x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2项或y2项的系数是否为零，否则容易漏解． 2.数形结合法 判断直线与双曲线的交点情况时，可以根据双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系，确定直线与双曲线的位置关系．直线与抛物线的交点情况时要考虑和坐标轴平行时的情况。 探索新知 例1:如图，已知直线l:y=-x+1与椭圆C: ，判断直线与椭圆的位置关系，若相交，求出交点坐标. 典例讲解 思考交流：在例1中，若仅需要判断直线l与椭圆C的交点个数，在不求出交点坐标的情况下，如何判断？理由是什么？ 联立直线l与椭圆C的方程，消去y得一个关于x的一元二次方程，求一元二次方程的Δ， 若Δ>0时，直线与椭圆相交，有两个交点； 若Δ=0时，直线与椭圆相切，有一个交点； 若Δ<0时，直线与椭圆相离，没有交点. 典例讲解 例2：已知椭圆C: ，若直线l:x-y+m=0与椭圆C有唯一的公共点，求实数m的值？ 典例讲解 典例讲解 方法总结： 判断直线与椭圆的位置关系的方法： 联立方程组——消元——根据判别式判断位置关系 （双曲线、抛物线要数形结合） 巩固训练1:已知直线l:y=2x+m,椭圆C: 试问当m取何值时,直线l与椭圆C: （1）有两个不同的公共点? （2）有且只有一个公共点? 2. 若直线与椭圆相切，则 的值是( ). C A. B. C. D. 例3：已知直线l经过点A(0，1)，且与抛物线 C：y=x2有唯一的公共点，求直线l的方程． 解：如图： (1)当直线l的斜率不存在时，直线l：x=0(y轴)与抛物线C相切于原点，符合条件． (2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1． 由方程组 消去y并整理，得 k2x2+(2k-1)x+1=0 (*) 典例讲解 ①当k2=0时，直线l的方程为y=1，此时，方程组有唯一的实数解，符合条件； ②当k2≠0时，方程有唯一的实数解的充要条件是Δ=(2k2-1)2-4k2=0． 解得k= ．此时，方程组有唯一的实数解，符合条件． 综上，满足题意的直线l有三条：x=0,y=1,y= x+1 例4:讨论直线l:y=kx+1与双曲线C:x2-y2=1的公共点的个数. 典例讲解 典例讲解 方法总结 （1）对于直线与双曲线、抛物线的位置关系的判定，一要注意对消元之后的方程二次项系数是否为零进行讨论；二要注意对Δ 的讨论. （2）对于直线与双曲线的位置关系，有时可把直线与双曲线的渐近线比较，数形结合来判定. 训练巩固1 已知双曲线和定点，，过点 可以作几条直线与双曲线 只有一个公共点？ 2 直线，抛物线，当为何值时，与 有: （1）一个公共点? （2）两个公共点? （3）没有公共点? 典例讲解 解： 当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，与 联立消去 ， 得 ①当，即时，式变为一元一次方程,解得或 .此时直线 与双曲线交于点，或点，，即过点 且平行于渐近线的直线有两条. ②当时，由，得，此时，交点坐标为， . 易知当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，交点坐标为 ，满足题意. 所以过点有四条直线与双曲线只有一个公共点 训练巩固1 已知双曲线和定点，，过点 可以作几条直线与双曲线只有 一个公共点？ 典例讲解 2 直线，抛物线，当为何值时，与 有: （1）一个公共点? （2）两个公共点? （3）没有公共点? 解：联立直线与抛物线的方程，得 消去得， 当时，方程变为，则 ， 此时， 直线与只有一个公共点，，此时直线平行于 轴. 当时，方程（*）是一个关于 的一元二次方程， . 典例讲解 ①当，即且时，与有两个公共点，此时与 相交； ②当，即时，与有一个公共点，此时直线与 相切； ③当，即时，与没有公共点，此时直线与 相离. 综上所述，（1）当或时，直线与有一个公共点； （2）当且 时，直线与有两个公共点； （3）当时，直线与没有公共点 $