精品解析：福建省福州第一中学2025-2026学年八年级上学期数学10月检测试卷

福州一中2025-2026学年初二上数学十月检测 一、选择题（共40分，每题4分） 1. 下列交通标志图形中，轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，的边上的高是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 3. 一个三角形的三个内角度数之比为，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 4. 如图，在的两边上，分别取，再分别过点M，N作，OB的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点E是的中点，，，的周长是25，则的周长是（　　） A. 18 B. 22 C. 28 D. 32 6. 如图，点D，E分别在线段上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B为圆心，适当长为半径的画弧，分别交BA，BC于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，则下列说法中不正确的是（） A. BP是∠ABC的平分线 B. AD=BD C. D. CD=BD 8. 如图，中，，，，．，的角平分线交于点，于点于点，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 9. 如图所示，，点为内一点，点关于、的对称点分别为点、，连接、、、、，分别与、交于点、，连接、，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，在上且满足，连接并延长交于点，连接并延长交于点的平分线交的延长线于点，连接．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）个． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（共24分，每题4分） 11. 一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是___________ ． 12. 已知点与点关于轴对称，则的值为______． 13. 如图所示，，，，，，则________． 14. 如图，的边关于的对称线段是，边关于的对称线段是，连接，若点落在所在的直线上，，则___________度． 15. 如图，在中，，，延长至点，连接．若，则的度数为___________． 三、解答题（共9小题，满分86分） 16. 如图，在中，是边上的高，，平分交于点，，求的度数． 17. 已知：如图，，点E在上，求证：． 18. 如图， （1）请用直尺和圆规在直线上求作一点，使点到射线和的距离相等．（不用写作法，保留作图痕迹） （2）若，且，则的度数为 ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为，． （1）在此图中画出点A向左平移2个单位后得到的点C，再画出点B关于x轴的对称点D点，并写出点C，点D的坐标． （2）连接，，请直接写出，的关系． 20. 已知是等腰一腰上的高，且，请画出相应图形，并求三个内角的度数． 21. 如图，在中，，于点D，平分，交于点E，交于点F． （1）求证：是等边三角形． （2）求证：． 22. 已知中，平分，交于点E，平分，交于点D，与交于点O． （1）如图1．求证：； （2）如图2，连接，求证：平分； 23. 如图，在四边形中，，对角线与相交于点，且． （1）如图所示，若，且，平分交、边于点、． ①判断是否能构成等腰三角形？若能，请求出其顶角的度数，若不能，请说明理由． ②求的值． （2）若平分交点且满足，画出符合题意的图形，判断与之间的数量关系并证明． 24. 【背景】数学兴趣小组发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系，并对此展开探究． 【探索】（1）如图1，在和中，点为与的交点． ①若，则___________； ②若，则与之间的数量关系是___________； 【应用】（2）如图2，在等腰中，，，是边上一点，将沿折叠至的对应边与交于点，当为等腰三角形时，求的度数； （3）如图3，在中，，是边上的高，，是外一点且满足．记，求与的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州一中2025-2026学年初二上数学十月检测 一、选择题（共40分，每题4分） 1. 下列交通标志图形中，轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．利用轴对称图形的概念逐一判断可得答案． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． B、是轴对称图形，故此选项符合题意． C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 2. 如图，的边上的高是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形高的定义，理解并能准确区分三角形的高是解题的关键； 根据三角形高的定义解答即可． 【详解】解：∵过三角形的一个顶点引对边的垂线，这个点与垂足的连线段叫三角形的高， ∴中的边上的高是线段， 故选：B． 3. 一个三角形的三个内角度数之比为，则这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的分类，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形三个内角度数之比，求出最大角即可判断． 【详解】解：∵三角形的三个内角度数之比为， ∴最大角度数为， ∴该三角形是直角三角形． 故选：B． 4. 如图，在的两边上，分别取，再分别过点M，N作，OB的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用判定方法“”证明和全等，进而得出答案． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键． 5. 如图，在中，点E是的中点，，，的周长是25，则的周长是（　　） A. 18 B. 22 C. 28 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】根据中点得到，再表示出和的周长，找出它们的联系即可． 【详解】∵点E是的中点， ∴， ∵，， ∴的周长， ∴， ∴的周长， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的中线，注意两个三角形周长的关系是解题的关键． 6. 如图，点D，E分别在线段上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 7. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B为圆心，适当长为半径的画弧，分别交BA，BC于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，则下列说法中不正确的是（） A. BP是∠ABC的平分线 B. AD=BD C. D. CD=BD 【答案】C 【解析】 【分析】A、由作法得BD是∠ABC的平分线，即可判定； B、先根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再由BP是∠ABC的平分线得出∠ABD＝30°＝∠A,即可判定； C，D、根据含30°的直角三角形，30°所对直角边等于斜边的一半，即可判定. 【详解】解：由作法得BD平分∠ABC，所以A选项的结论正确； ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠ABD＝30°＝∠A， ∴AD＝BD，所以B选项的结论正确； ∵∠CBD＝∠ABC＝30°， ∴BD＝2CD，所以D选项的结论正确； ∴AD＝2CD， ∴S△ABD＝2S△CBD，所以C选项的结论错误． 故选C． 【点睛】此题考查含30°角的直角三角形的性质，尺规作图（作角平分线），解题关键在于利用三角形内角和进行计算. 8. 如图，中，，，，．，的角平分线交于点，于点于点，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，过D作于H，由角平分线的性质推出，，证明，由勾股定理求出，证得，得到，同理，得到，即可求出的长． 【详解】解：过D作于H， ∵平分，平分，，， ∴，，， ∴，， ∴，， 根据平行线间的距离处处相等的性质可得：，， ∴， ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 9. 如图所示，，点为内一点，点关于、的对称点分别为点、，连接、、、、，分别与、交于点、，连接、，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形外角的性质，轴对称的性质． 由，根据三角形的内角和定理可得到的值，再根据对顶角相等可以求出的值，然后由点P与点、对称的特点，求出，进而可以求出的值，利用三角形的外角的性质和三角形内角和即可求出． 【详解】∵ ∴ ∵， ∴ 又∵点关于对称的对称点分别为点 ∴，，， ∴ ∴ 即 ∴ ∴ 故选：C 10. 如图，在中，，，，在上且满足，连接并延长交于点，连接并延长交于点的平分线交的延长线于点，连接．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）个． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理即可说明①正确；利用等腰三角形的判定和性质及判定全等即可判断②；首先根据全等三角形的性质，可得，再根据等腰直角三角形的判定和性质，可证得为等腰直角三角形，为的垂直平分线，即可判断③；④利用③中结论，结合等量代换和等式的性质，即可得出结论；⑤利用②中的结论结合等量代换和等式的性质，即可得出结论． 【详解】解：设与交于点M，如图， ，， ， 故①正确； ，， 、都是等腰直角三角形， ，， 在和中， ， ，故③正确； ， ，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形． 是的平分线， ，， 即为的垂直平分线，故②正确； ， ，故④正确； ，，， ，故⑤正确． 故正确的有5个， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，中垂线的判定和性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 二、填空题（共24分，每题4分） 11. 一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是___________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，根据“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可解答． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为4、7、x， ∴，即． 故答案为：． 12. 已知点与点关于轴对称，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查的是关于y轴对称的两点坐标关系，掌握关于y轴对称的两点坐标关系：横坐标互为相反数，纵坐标相等，是解决此题的关键． 根据关于y轴对称的两点坐标关系：横坐标互为相反数，纵坐标相等，即可求出a、b的值，代入即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴． 故答案为：1． 13. 如图所示，，，，，，则________． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角性质，掌握全等三角形的判定方法及性质是解题的关键． 根据，得出，即可证明，根据三角形全等的性质得，最后利用可求解． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，的边关于的对称线段是，边关于的对称线段是，连接，若点落在所在的直线上，，则___________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质及全等三角形的判定及性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．连接，与交点为O，求解，证明，，可得，进一步可得答案． 【详解】解：连接，与交点为O， ∵关于的对称线段是， ∴， ∵，， ∴， ∵边关于的对称线段是， ∴， ∴，， 又∵点落在所在的直线上，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，延长至点，连接．若，则的度数为___________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】过点C作于点E，连接，求出得到，可以推出，则，证明，得到，证明，得到，即可推出，则，从而得到． 【详解】解：如图所示，过点C作于点E，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 三、解答题（共9小题，满分86分） 16. 如图，在中，是边上的高，，平分交于点，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高和角平分线，三角形内角和定理及外角性质，由三角形高的定义可得，进而由三角形外角性质得到，再由角平分线的定义得到，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 17. 已知：如图，，点E在上，求证：． 【答案】 解：∵ ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴点D在的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∵点E在上， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等和到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．根据线段的垂直平分线的判定定理可知是线段的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质可知． 【详解】略 18. 如图， （1）请用直尺和圆规在直线上求作一点，使点到射线和的距离相等．（不用写作法，保留作图痕迹） （2）若，且，则的度数为 ． 【答案】（1） 解：如图所示： （2）． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理的应用，角平分线尺规作图，平行线的性质及角平分线的定义． （1）作出的角平分线，与相交于点，根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，即可获得答案； （2）首先邻补角的性质求得，再根据平行线的性质求得，根据角平分线的定义即可获得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为，． （1）在此图中画出点A向左平移2个单位后得到的点C，再画出点B关于x轴的对称点D点，并写出点C，点D的坐标． （2）连接，，请直接写出，的关系． 【答案】（1） 如图，点C，D为所求． ， （2）， 【解析】 【分析】本题考查平移作图及性质，轴对称作图，平移与轴对称的点的坐标变化， （1）根据题意直接作出点C，点D，根据点的平移的坐标变化得到点C的坐标，根据关于y轴对称的点的坐标变化得到点D的坐标； （2）线段可以看作由线段平移得到，根据平移的性质即可解答． 【小问1详解】 解：，． 【小问2详解】 解：线段，如图所示， ∵，，， ∴点B向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到点A，点C通过相同的平移得到点D， ∴线段可以看作由线段平移得到， ∴，． 20. 已知是等腰一腰上的高，且，请画出相应图形，并求三个内角的度数． 【答案】、、或、、或、、． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，根据直角三角形两锐角互余求出，再分点A是顶角顶点，点A是底角顶点求解即可． 【详解】解：①如图1，点A是顶角顶点时， ∵，是等腰腰上的高， ∴， ∴两底角为； ②如图2，点A是底角顶点时，两底角是，顶角； ③如图3，点A是顶角顶点时，顶角，两底角是； 综上所述，等腰三内角度数为、、或、、或、、． 21. 如图，在中，，于点D，平分，交于点E，交于点F． （1）求证：是等边三角形． （2）求证：． 【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2） 证明：，， ， ， 由（1）可知是等边三角形， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握等边三角形的判定是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质，角平分线的定义，证明，即可得答案； （2）根据等角对等边，得，由（1）的结论即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 已知中，平分，交于点E，平分，交于点D，与交于点O． （1）如图1．求证：； （2）如图2，连接，求证：平分； 【答案】（1） 证明：∵平分，平分， ∴设，∠， ∴ ， ∴； （2） 证明：过O作于点F，作于点G，作于点H， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． ∴平分． 【解析】 【分析】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，角平分线的性质和判定，熟练掌握角平分线的性质和判定是关键． （1）根据角平分线和三角形内角和定理得到，，即可得到结论； （2）过O作于点F，作于点G，作于点H，根据角平分线的性质得到，，则．根据角平分线的判定即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，在四边形中，，对角线与相交于点，且． （1）如图所示，若，且，平分交、边于点、． ①判断是否能构成等腰三角形？若能，请求出其顶角的度数，若不能，请说明理由． ②求的值． （2）若平分交点且满足，画出符合题意的图形，判断与之间的数量关系并证明． 【答案】（1）①，② （2） 解：，理由如下： 如图， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）①设，表示，，，分三种情况讨论：当时，当时，当时，进一步可得答案． ②如图，过作于，作于，证明，可得，进一步求解即可． （2）先作图，证明，，结合，可得，证明，进一步可得结论． 【小问1详解】 解：①∵，设， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴，， ∵为等腰三角形， 当时， ∴， 解得：， ∴，不符合题意，舍去， 当时， ∴， 解得：， ∴，不符合题意，舍去， 当时， ∴， 解得：， ∴，符合题意， 此时顶角． ②如图，过作于，作于， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，平行线的性质，角平分线的定义与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 24. 【背景】数学兴趣小组发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系，并对此展开探究． 【探索】（1）如图1，在和中，点为与的交点． ①若，则___________； ②若，则与之间的数量关系是___________； 【应用】（2）如图2，在等腰中，，，是边上一点，将沿折叠至的对应边与交于点，当为等腰三角形时，求的度数； （3）如图3，在中，，是边上的高，，是外一点且满足．记，求与的关系式． 【答案】（1）①，②；（2）的度数为或，（3） 【解析】 【分析】（1）①求出，得；②根据，，得． （2）设，则，．，．当时，，解得．得．当时，，解得．得． （3）由题意可得：， 在 BD 上截 ，证明，，得，可得，得，得． 【详解】解：（1）①∵在中，， ∴， ∴， ∴在中， ． ②∵在中，；在中，， 且，， ∴． （2）∵，， ∴，， 设， 则，， ∴， ∴， ∵为等腰三角形，且， 情况1：， ∴， 解得：． ∴，， ∴． 情况2：， ∴， 解得：， ∴，， ∴． ∴的度数为或 ． （3）∵ ∴， 在 上截取 ， ∵， 结合（1）可得：， ， ， 在和中， ， ∴，而， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理应用，三角形外角的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $