第八章 第1节　直线的方程　课时训练——2026届高三数学一轮复习

第1节　直线的方程 1.(2025·甘肃白银模拟)直线x-y+2 025=0的倾斜角是(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 2.若直线l的斜率为k,倾斜角为α,且α∈[,)∪[,π),则k的取值范围是(　　) A.(-∞,-]∪[,1) B.[-,0)∪[,1) C.[-,0)∪(0,] D.(-∞,-]∪(0,] 3.在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax+y+b=0和直线l2:bx+y+a=0有可能是(　　) A B C D 4.已知直线l过点(-3,4)且方向向量为(1,-2),则l在x轴上的截距为(　　) A.-1 B.1 C.-5 D.5 5.(多选题)(2025·甘肃定西模拟)过点P(1,2)且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线可以是(　　) A.2x-y=0 B.x+2y-5=0 C.x+y-3=0 D.2x+y-4=0 6.已知点A(2,3),B(-1,2),若点P(x,y)在线段AB上,则的最小值为(　　) A.1 B. C.-3 D.- 7.直线2mx+my-3=0的一个方向向量是　　　　　　.  8.设直线l的方程为2x+(k-3)y-2k+6=0(k≠3),若直线l的斜率为-1,则k=　　　　;若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0,则k=　　　　.  9.过点P(-1,0)且与直线l1:x-y+2=0的夹角为的直线的一般式方程是　　　.  10.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线l过定点; (2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围. 强化练 11.(多选题)若直线l经过点(4,-2),且l与坐标轴围成的三角形面积为2,则l的方程可能是(　　) A.x-y-2=0 B.2x+y-6=0 C.x+y-2=0 D.x+4y+4=0 12.(多选题)已知两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,倾斜角分别为α,β.若α<β,则下列关系可能成立的是(　　) A.0<k1<k2 B.k1<k2<0 C.k2<k1<0 D.k2<0<k1 13.若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为　　　　.  14.如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°角和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=x上时,求直线AB的方程. 15.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(x∈R). (1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的一般式方程; (2)若l与x轴正半轴的交点为A,与y轴负半轴的交点为B,求△AOB(O为坐标原点)的面积的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1节　直线的方程 基础练 1.(2025·甘肃白银模拟)直线x-y+2 025=0的倾斜角是(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】 C 【解析】 根据题意,设直线x-y+2 025=0的倾斜角为α,因为其斜率k=tan α=,又由0°≤α<180°,所以α=60°.故选C. 2.若直线l的斜率为k,倾斜角为α,且α∈[,)∪[,π),则k的取值范围是(　　) A.(-∞,-]∪[,1) B.[-,0)∪[,1) C.[-,0)∪(0,] D.(-∞,-]∪(0,] 【答案】 B 【解析】 当α∈[,)时,k=tan α∈[,1);当α∈[,π)时,k=tan α∈[-,0). 综上可得,k∈[-,0)∪[,1).故选B. 3.在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax+y+b=0和直线l2:bx+y+a=0有可能是(　　) A B C D 【答案】 B 【解析】 由题意知l1:y=-ax-b,l2:y=-bx-a,所以直线l1的斜率、在y轴上的截距分别与直线l2在y轴上的截距、l2的斜率符号相同,分析选项可知B符合.故选B. 4.已知直线l过点(-3,4)且方向向量为(1,-2),则l在x轴上的截距为(　　) A.-1 B.1 C.-5 D.5 【答案】 A 【解析】 因为直线l的方向向量为(1,-2),所以直线斜率k=-2, 又直线l过点(-3,4),所以直线方程为y-4=-2(x+3),即2x+y+2=0, 令y=0,得x=-1,所以l在x轴上的截距为-1.故选A. 5.(多选题)(2025·甘肃定西模拟)过点P(1,2)且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线可以是(　　) A.2x-y=0 B.x+2y-5=0 C.x+y-3=0 D.2x+y-4=0 【答案】 ACD 【解析】 对于A,因为2×1-2=0,所以直线2x-y=0过点P(1,2),且直线2x-y=0在两坐标轴上的截距都是0,符合题意,故A正确; 对于B,因为1+2×2-5=0,所以直线x+2y-5=0过点P(1,2),令x=0,解得y=,即直线x+2y-5=0在y轴上的截距为,不符合题意,故B错误; 对于C,因为1+2-3=0,所以直线x+y-3=0过点P(1,2),令x=0得y=3,令y=0得x=3,所以直线x+y-3=0在两坐标轴上的截距都是3,符合题意,故C正确; 对于D,因为2×1+2-4=0,所以直线2x+y-4=0过点P(1,2),令x=0得y=4,令y=0得x=2, 所以直线2x+y-4=0在y轴上的截距为4,在x轴上的截距为2,符合题意,故D正确. 故选ACD. 6.已知点A(2,3),B(-1,2),若点P(x,y)在线段AB上,则的最小值为(　　) A.1 B. C.-3 D.- 【答案】 C 【解析】 如图,因为表示点P(x,y)和点E(3,0)连线的斜率,又点A(2,3),B(-1,2), 所以kAE==-3,kBE==-,由图知,的最小值为-3.故选C. 7.直线2mx+my-3=0的一个方向向量是　　　　　　.  【答案】 (1,-2)(答案不唯一) 【解析】 显然m≠0,直线2mx+my-3=0即为y=-2x+,所以直线2mx+my-3=0的一个方向向量是(1,-2)(答案不唯一). 8.设直线l的方程为2x+(k-3)y-2k+6=0(k≠3),若直线l的斜率为-1,则k=　　　　;若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0,则k=　　　　.  【答案】 5　1 【解析】 因为直线l的斜率存在,所以直线l的方程可化为y=-x+2,由题意得-=-1,解得k=5; 直线l的方程可化为+=1,由题意得k-3+2=0,解得k=1. 9.过点P(-1,0)且与直线l1:x-y+2=0的夹角为的直线的一般式方程是　　　.  【答案】 x+1=0或x-y+1=0 【解析】 直线l1的倾斜角β∈[0,π)且tan β=,则β=.因为所求直线与直线l1的夹角为,所以所求直线的倾斜角为或.当所求直线的倾斜角为时,直线为x=-1,即x+1=0; 当所求直线的倾斜角为时,直线为y=(x+1),即x-y+1=0.综上,所求直线的一般式方程为x+1=0或x-y+1=0. 10.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线l过定点; (2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围. (1)【证明】 直线l的方程可化为k(x+2)+(1-y)=0,令解得 所以无论k取何值,直线总经过定点(-2,1). (2)【解】 由方程知,当k≠0时,直线在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k, 要使直线不经过第四象限,则必须有解得k>0;当k=0时,直线为y=1,符合题意, 故k的取值范围是[0,+∞). 强化练 11.(多选题)若直线l经过点(4,-2),且l与坐标轴围成的三角形面积为2,则l的方程可能是(　　) A.x-y-2=0 B.2x+y-6=0 C.x+y-2=0 D.x+4y+4=0 【答案】 CD 【解析】 易知直线l的斜率存在且不为0, 故设直线l的方程y=k(x-4)-2, 令x=0,得y=-4k-2;令y=0,得x=+4. 故围成的三角形面积为S=×|-4k-2||+4|=2, 化简可得4k2+3k+1=0或4k2+5k+1=0. 对于方程4k2+3k+1=0,Δ=32-4×4×1<0, 故方程4k2+3k+1=0无解. 对于方程4k2+5k+1=0, 可得k=-1或k=-. 故直线l的方程是y=-(x-4)-2或y=-(x-4)-2,即x+y-2=0或x+4y+4=0. 故选CD. 12.(多选题)已知两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,倾斜角分别为α,β.若α<β,则下列关系可能成立的是(　　) A.0<k1<k2 B.k1<k2<0 C.k2<k1<0 D.k2<0<k1 【答案】 ABD 【解析】 若0<α<β<,因为y=tan θ在(0,)上单调递增,则0<tan α<tan β,即0<k1<k2,所以A选项可能成立;若<α<β<π,因为y=tan θ在(,π)上单调递增,则tan α<tan β<0,即k1<k2<0, 所以B选项可能成立; 对于C选项,由k2<k1<0可知α,β∈(,π),且tan β<tan α,即β<α,与题意矛盾,不可能成立; 若0<α<<β<π,则tan α>0,tan β<0,即k2<0<k1,所以D选项可能成立.故选ABD. 13.若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为　　　　.  【答案】 16 【解析】 根据点A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为+=1,又因为点C(-2,-2)在该直线上, 故+=1,所以-2(a+b)=ab.因为ab>0,故a<0,b<0.根据基本不等式ab=-2(a+b)≥4, 从而≥4,故ab≥16,当且仅当a=b=-4时,等号成立,即ab的最小值为16. 14.如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°角和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=x上时,求直线AB的方程. 【解】 由题意可得kOA=tan 45°=1,kOB=tan(180°-30°)=tan 150°=-, 所以直线lOA:y=x,lOB:y=-x. 设A(m,m),B(-n,n), 所以AB的中点C(,). 由点C在直线y=x上,且A,P,B三点共线得 解得m=,所以A(,), 又P(1,0), 所以kAB=kAP==, 所以lAB:y=(x-1), 即直线AB的方程为(3+)x-2y-3-=0. 15.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(x∈R). (1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的一般式方程; (2)若l与x轴正半轴的交点为A,与y轴负半轴的交点为B,求△AOB(O为坐标原点)的面积的最小值. 【解】 (1)由于直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(x∈R),当直线l经过原点时,0+0+2-a=0,求得a=2,此时它的方程为3x+y=0; 当直线l不经过原点时,它的方程即x+=,由于它在两坐标轴上的截距相等, 故有a+1=1,求得a=0,它的方程为x+y+2=0. 综上可得,l的一般式方程为3x+y=0或x+y+2=0. (2)因为(a+1)x+y+2-a=0(x∈R),令x=0,得y=a-2,令y=0,得x=,因为l与x轴正半轴的 交点为A,与y轴负半轴的交点为B,所以A(,0),B(0,a-2), 所以A的横坐标>0,B的纵坐标a-2<0,求得a<-1. 所以S△AOB=··(2-a)====++3≥2+3=6,当且仅当a+1=-3,即a=-4时,等号成立,故△AOB的面积的最小值为6. 学科网（北京）股份有限公司 $