专题01 一元二次函数、方程和不等式全章12大重点题型归纳（必考60题专项训练）高一数学人教A版必修第一册

专题01 一元二次函数、方程和不等式全章12大重点题型归纳（必考60题专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 利用不等式的性质判断正误 1．（26-27高一上·河北唐山·阶段检测）下列命题是真命题的为（ ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】D 【解题思路】利用特殊值判断A，根据不等式的性质判断B、C、D. 【解答过程】对于A：取，满足， 但，故不成立，故A错误； 对于B，若，则，即，所以，即，但若，时，，故B错误； 对于C，因为，所以，所以， 即，又，所以，故C错误； 对于D，因为，所以， 又，所以，所以，故D正确. 故选：D. 2．（26-27高一上·山东青岛·阶段检测）已知实数满足，，则一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】取特殊值判断ABC，根据不等式性质判断D. 【解答过程】当时满足，，但是不成立，故A错误； 当时满足，但，故B错误； 当时满足，，但是，故C错误； 因为，所以，又，由不等式性质可得，故D正确. 故选：D. 3．（26-27高一上·河南·阶段检测）已知实数，，，满足，，，，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】明确已知条件，逐个分析选项，利用特值法或性质推导即可. 【解答过程】对于A：当，，，，此时，并不满足题意； 对于B：，，即，故，B正确； 对于C：，，当，，，，此时，并不满足题意； 对于D: ，，当，，，，此时，并不满足题意； 故选：B. 4．（26-27高一上·山东青岛·阶段检测）已知，正确结论的序号是__________． ①，②，③ 【答案】② 【解题思路】利用不等式的性质逐项判断即可得. 【解答过程】对①：由，则，，则， 故，即有，即，故①错误； 对②：由，则，又 故，故②正确； 对③：由，则，故③错误. 故答案为：②. 5．（25-26高一·全国·随堂练习）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，，则； (4)若，则． 【答案】(1)假命题 (2)真命题 (3)假命题 (4)假命题 【解题思路】（1）取即可判断， （2）根据不等式的性质即可求解， （3）（4）举反例即可求解. 【解答过程】（1）若，当时，则；故为假命题， （2）由于，故，则，进而可得；故为真命题， （3）若，，则， 此时满足，，但是无法得到，故为假命题； （4）若，不妨取，则无意义，故无法得到，故为假命题. 题型2 利用作差法、作商法比较大小 6．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【解题思路】利用作差法可判断. 【解答过程】 因为，， 所以，. 所以，得，即. 故选：A. 7．（2026·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据作商法比较大小，即可得出结果. 【解答过程】因为实数，，满足，，， 所以， ∴； 又， ∴； ∴． 故选：A． 8．（25-26高一上·甘肃陇南·阶段检测）设，，，，则、的大小关系为____________． 【答案】 【解题思路】利用作差法可得出、的大小关系. 【解答过程】因为，，所以 ， 当且仅当时，等号成立，故. 故答案为：. 9．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）（1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. 【答案】（1）. （2）. 【解题思路】（1）利用作差法比较大小. （2）利用作商法比较大小. 【解答过程】（1） ， 因为，所以， 即. （2）由，得，，， 因此， 所以. 10．（25-26高一上·上海·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 【答案】(1)；证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意分析可得，其中，，并利用作差法分析证明. （2）利用糖水不等式，结合不等式的性质推理可得. 【解答过程】（1）；证明： 利用作差法证明 ， 所以，不等式成立. （2）证明：因为为三角形的三边长，所以 由（1）知， ， ， 将上述三个不等式相加可得： ， 所以. 题型3 利用不等式的性质求取值范围 11．（26-27高一上·湖南湘潭·阶段检测）已知，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用待定系数法将目标式表示为已知范围的与的线性组合，再结合不等式的同向可加性求解取值范围. 【解答过程】设（），将右侧展开整理得 ， 对比等式两边系数，可得方程组 ， 解得， 即， 因为，所以，因为，所以， 根据同向不等式的可加性，得 ，所以. 故选：A. 12．（26-27高一上·山东·阶段检测）已知实数a，b满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用表示，再利用不等式性质求出范围. 【解答过程】设，则，解得，即， 由，得，由，得， 则，所以的取值范围是. 故选：A. 13．（26-27高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把目标式拆成两个已知不等式的线性组合，再利用不等式同向可加性即可求得. 【解答过程】设，则， 所以，解得，即， 因为，， 所以，， 所以，即. 故选：A. 14．（26-27高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知，，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解题思路】用和表示，即可得到的取值范围. 【解答过程】， 因为，所以， 又因为，所以， 则， 所以，的取值范围是. 故答案为：. 15．（26-27高一上·广东汕头·阶段检测）（1）设，，求，的范围； （2）已知，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解题思路】（1）利用不等式的性质求出范围. （2）利用换元法及不等式的性质求出范围. 【解答过程】（1）由，，得，，， 所以，. （2）设，则，解得， 于是， 由，得， 由，得， 因此，所以的取值范围是. 题型4 由基本不等式比较大小 16．（25-26高一上·江西吉安·期中）已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合基本不等式，利用不等式的性质比较大小即可得解. 【解答过程】由于，则. 故选：C. 17．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用基本不等式逐项判断即可. 【解答过程】由重要不等式可得，当且仅当时等号成立，即， 但，则， 因为，则，即， 故，当且仅当时等号成立， 但，则， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 但，则， 故这四个数中，最大的为. 故选：A. 18．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 【答案】A 【解题思路】分别设两次加油的单价，计算全程的均价，结合基本不等式比较大小即可判断. 【解答过程】设第一次加油的单价为元/升，第二次加油的油单价为元/升， 则方案一的均价：，当且仅当时等号成立； 方案二的均价：，当且仅当时等号成立； 又两次加油单价不同， 则方案一的均价，方案二的均价， 所以， 故选：A. 19．（26-27高一上·全国·课堂例题）设，为正数，则，，，的大小关系是_________． 【答案】 【解题思路】利用基本不等式即可比较, 【解答过程】∵， ∴， ∴， 即， ∴， 当且仅当时等号成立， ∵， 当且仅当时等号成立， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立 故答案为：. 20．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡.最后将两次称得的黄金交给顾客. (1)试分析顾客购得的黄金是小于，等于，还是大于？为什么？ (2)如果售货员又将的砝码放在天平左盘中，然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，请问要使得三次黄金质量总和最小，商家应该将左臂长和右臂长之比设置为多少？请说明理由. 【答案】(1)大于，理由见解析 (2)当时，三次黄金质量总和最小，理由见解析 【解题思路】（1）设出天平左右两臂长，及两次放的黄金克数，利用杠杆平衡原理及基本不等式计算即得. （2）设出第三次放的黄金克数，利用（1）的信息结合基本不等式计算得解. 【解答过程】（1）设天平左臂长为，右臂长为，第一次放的黄金为，第二次为， 则，，两式相除可得，，化简得， 于是顾客所得黄金为，当且仅当时取等号， 又，若，则；若，则，即，有， 所以顾客购得的黄金大于. （2）设第三次放的黄金为，则，而，则有， 因此三次黄金质量总和为， 当且仅当，，时取到等号， 所以当时，三次黄金质量总和最小. 题型5 利用基本不等式求最值 21．（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【解题思路】根据题意利用乘“1”法结合基本不等式运算求解即可. 【解答过程】因为实数，，满足， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：A. 22．（25-26高一上·广东深圳·期中）若正数满足，则ab的最小值为（　　） A．9 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【解题思路】由得到，直接利用基本不等式求解即可. 【解答过程】，，，， ，，，， 当且仅当时取等号，即，解得， 的最小值为9. 故选：A. 23．（25-26高一上·安徽滁州·阶段检测）设正数，满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解题思路】利用“乘1”法结合基本不等式即可解得. 【解答过程】由，可得, 因,，故,, 则， 其中， 当且仅当即时取等号， 结合，解得，， 故的最小值为． 故答案为：． 24．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知为正实数，且， (1)求的最大值． (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)8 (2)8 (3)． 【解题思路】（1）利用基本不等式得到，再采取换元法令解出的范围，从而得到的最大值。 （2）由题得到，则再化简使用基本不等式求解即可. （3）直接使用基本不等式得到，再结合求得，取得最小值． 【解答过程】（1）因为，，，当且仅当时取等号， 令，则，， 化为，所以，故， 当且仅当即时取等号，所以的最大值为8． （2）由得，， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8； （3），，， ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值． 25．（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）已知． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【解题思路】（1）根据已知条件，利用基本不等式求解积的最大值； （2）结合已知条件对所求式进行变形，构造基本不等式，再利用基本不等式求和的最小值； （3）先对所求式进行化简，再结合已知条件对所求式进行变形，构造基本不等式，最后利用基本不等式求和的最小值． 【解答过程】（1） ， ， ，当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为1． （2） ， ， ， ，当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为． （3）， ， ， ， ，， 当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为． 题型6 利用基本不等式证明不等式 26．（26-27高一上·青海西宁·阶段检测）已知，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据基本不等式依次判断选项即可. 【解答过程】A. ∵（当且仅当时取等号）， ∴，当且仅当且时取等号. 选项A正确. B. ，当且仅当即时取等号. 选项B正确. C. ∵（当且仅当时取等号）， ∴. 选项C正确. D. ∵（当且仅当时取等号）， ∴. 选项D错误. 故选：D. 27．（25-26高一上·天津·开学考试）设，则下列不等式中一定成立的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解题思路】利用基本不等式可判断各项的正误. 【解答过程】对于①，，，， 当且仅当且，即时取等号，故①成立； 对于②，，， 当且仅当时取等号，不一定成立，故②不一定成立； 对于③，，当且仅当时取等号， ， 当且仅当时取等号，，，故③一定成立； 对于④，，当且仅当时取等号，故④一定成立. 故不等式一定成立的有3个， 故选：C. 28．（25-26高一上·河北保定·期中）已知证明： (1) (2) 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）式子和直接利用基本不等式求解； （2）将整理为，利用基本不等式求解； 【解答过程】（1）证明：因为，所以，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立． 故，当且仅当时，等号成立． （2）证明：因为，所以． ， 当且仅当时，等号成立． 29．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）将，，三式相加再转化即可证明； （2）由利用基本不等式求最值即可. 【解答过程】（1）证明：因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． （2）证明：因为, 则， 因为，，由得 当且仅当时等号成立. 所以. 30．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知，且.求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用，对进行变形，再根据基本不等式求证即可； （2）先求的展开式，再利用进行变形，并根据基本不等式求得的取值范围，从而证得. 【解答过程】（1）证明：，且， 所以. 因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以得证. （2）证明：，且， . 因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以，即，当且仅当时，等号成立. 所以得证. 题型7 基本不等式的恒成立问题 31．（26-27高一上·福建泉州·开学考试）已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先将恒成立问题转化为求的最小值，再借助均值不等式即可求得结果. 【解答过程】因为对于正实数，不等式恒成立，即即可. 因为正实数满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时取到最小值为9， 所以. 故选：A. 32．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 【答案】A 【解题思路】不等式可化为，利用基本不等式求出的最小值，即可得到m的最大值. 【解答过程】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. 故选：A. 33．（26-27高一上·江西南昌·阶段检测）已知为正实数，若不等式恒成立，则的取值范围为__________. 【答案】 【解题思路】设，则，换元后利用基本不等式求最值即可. 【解答过程】设，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 因为不等式恒成立， 即恒成立， 即恒成立， 解得或， 又因为 所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. 34．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）将函数解析式化为，利用基本不等式可求得该函数的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值； （3）由已知条件可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，解之即可. 【解答过程】（1）当时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最大值为. （2）当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. （3）因为，且，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为恒成立，则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 35．（26-27高一上·山东青岛·阶段检测）回答下列问题： (1)已知，求的最大值； (2)已知，且满足，求的最小值． (3)已知，且，若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）直接使用基本不等式求解即可； （2）由，得，消去得到，再利用基本不等式求解即可； （3）恒成立等价于，利用换元法，再利用“1”的妙用可得，再利用基本不等式求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 当且仅当，即时取等号 （2）由，得 于是，于是变形得，所以， 当且仅当时等号成立. （3），若恒成立， 则, 令，则， 于是 当且仅当，即时等号成立. 所以的取值范围为. 题型8 一元二次不等式的解法 36．（26-27高一上·甘肃白银·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解题思路】先把不等式变形为标准的一元二次不等式，再利用一元二次不等式的解法即可求解. 【解答过程】因为，所以， 由一元二次不等式解得， 所以不等式的解集为． 故选：A. 37．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对进行分类讨论即可求解 【解答过程】当时，不等式即为，此时不等式的解集为，故D正确； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为，故B正确 当时，不等式即为，此时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为，故C正确. 综上所述，不等式的解集可能为BCD，不可能为A. 故选：A. 38．（26-27高一上·浙江金华·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解题思路】先根据根与系数的关系得到，，从而将不等式转化为，进而解一元二次不等式即可得到答案． 【解答过程】由不等式的解集为， 则，且，解得， 将关于x的不等式转化为， 即关于x的不等式为，所以其解集为． 故选：B. 39．（25-26高一上·天津宁河·期中）不等式的解集是__________. 【答案】 【解题思路】直接解出一元二次不等式即可. 【解答过程】，解得， 则其解集为. 故答案为：. 40．（25-26高一上·河北·阶段检测）求下列关于x的不等式的解集： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解题思路】（1）化简不等式为，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）化简不等式为，结合分式不等式的解法，即可求解； （3）化简不等式为，分，和，三种情况讨论，即可求解. 【解答过程】（1）解：由不等式，可得，解得或， 所以不等式的解集为. （2）解：由不等式，可得， 即，解得，所以不等式的解集为. （3）解：由不等式，可得， 当时，解得，不等式的解集为； 当时，不等式即为，解得，不等式的解集为； 当时，解得，不等式的解集为， 综上可得：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 题型9 由一元二次不等式的解确定参数 41．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或. C． D．或. 【答案】D 【解题思路】根据题意，利用韦达定理，得到的关系，代入不等式，转化为不含参的一元二次不等式，结合一元二次不等式的解法，即可求解． 【解答过程】由一元二次不等式的解集为， 可得，解得， 则不等式可转化为，即， 因为，则，不等式即为，解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：D． 42．（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（  ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】A 【解题思路】先根据不等式的解集判断的符号和与的关系式，进而逐项判断即可. 【解答过程】因为关于的不等式的解集为， 所以，A正确； 且-3和4是方程的两个解，则. 所以，所以不等式可化简为， 解得或，所以不等式的解集为，B错误； ，所以C错误； 不等式化简为，即，解得， 所以不等式的解集为，D错误； 故选：A. 43．（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）已知关于的不等式的解集中恰有四个整数，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由得，对与的大小进行分类讨论，确定不等式解集中的整数，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【解答过程】设不等式的解集为， 由得， 当时，即当时，原不等式即为，解得，即，不合乎题意； 当时，即当时，，则、、、，， 所以，解得，此时； 当时，即当时，，则、、、，， 所以，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 44．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）已知关于的不等式的整数解恰有3个，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解题思路】由，得，分、及，求出不等式的解，再根据不等式有3个整数解，得到的范围求解即可. 【解答过程】由，得， 由，得， 当，即时，不等式的解为：， 又因为不等式有3个整数解， 所以， 解得，满足； 当，即时，不等式的解为，不满足题意； 当，即时，不等式的解为：， 又因为不等式有3个整数解， 所以， 解得，满足, 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 45．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）已知关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)当，且满足时，不等式有解，求的取值范围； (3)关于的不等式的解集中恰有4个正整数，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】（1）根据给定的解集，结合一元二次方程根的问题列式求出. （2）由（1）的结论，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值，再利用不等式有解问题建立不等式求解. （3）由（1）的结论，求出含参数的不等式的解集，再由解的情况列式求出的范围. 【解答过程】（1）依题意，，和是方程的两个实数根，则， 所以. （2）由（1）知，则，， ，当，即时取等号， 即的最小值为8，由不等式有解，得， 即，解得或， 所以的取值范围是或. （3）由，得不等式 ，依题意，不等式的解集中恰有4个正整数， 当时，解集中最多有2个正整数，舍去， 当，原不等式解集为，即集合中恰有4个正整数， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 题型10 二次函数的图象分析与判断 46．（25-26高一上·江苏无锡·期中）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据三个二次的关系，求解间的数量关系，代入函数，分析即可判断函数图象. 【解答过程】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和，且， 则，解得， 故函数的图象开口向下， 且与轴的交点坐标为和，故选项的图象符合. 故选：A. 47．（25-26高一上·湖南常德·期中）已知二次函数（为常数，且）的部分图像如图所示，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】D 【解题思路】根据函数的图像，结合函数性质和韦达定理得出的符号及相互关系，再利用的符号及相互关系逐一分析判断各选项． 【解答过程】由函数图像可知二次函数开口向上，对称轴为正值，函数的两个零点为和2， ， 选项A：，，又，，故A错误； 选项B：，，故B错误； 选项C：，，故C错误； 选项D：， ， ，原不等式等价于，解得， 不等式的解集为，故D正确． 故选：D． 48．（25-26高一上·浙江·阶段检测）若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解题思路】根据不等式的解集确定的符号和关系，再解一元二次不等式即可. 【解答过程】由图可知，，，，∴，， ∴，. ∴等价于， ∵，∴，解得. 故选：B. 49．（25-26高一上·北京·阶段检测）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线.下列结论：①；②；③.其中结论正确的为（   ） A．② B．①② C．①③ D．②③ 【答案】D 【解题思路】由二次函数图象开口、对称轴、特殊点及与坐标轴的交点个数，即可判断. 【解答过程】由图象得：图象的开口向上，所以， 图象的对称轴在轴的右侧，所以， 又图象与轴的交点在负半轴，所以， 所以，故①错误； 从图象观察得，当时，，所以， 又，所以，代入得， 所以成立，故②正确； 当时，，所以，即， 又，所以，故③正确； 综上得结论正确的是②③， 故选：D. 50．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的个数是：①；②；③；④.（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可. 【解答过程】①由图象可知二次函数图象开口向下，则， 图象与轴交点为，所以， 顶点在第一象限，对称轴，又，所以， 所以，故①错误； ②因为图象经过、两个点，所以，解得， 因为，，所以，故②错误； ③由，得，即，故③正确； ④因为图象顶点在第一象限，且经过， 由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，， 又，，，所以，即，故④正确. 故选：B. 题型11 一元二次不等式恒成立、有解问题 51．（25-26高一上·湖北随州·期中）若不等式 对任意恒成立，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先不等式看成关于的不等式，再根据定义域，列式求解. 【解答过程】不等式整理为关于的一元一次不等式，恒成立， ，，得或， 所以的取值范围是. 故选：A. 52．（25-26高一上·湖北孝感·期中）当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意参变分离得，再根据对勾函数求最值即可． 【解答过程】由时，有解， 所以， 又在上单调递减，在上单调递增， 且时，，时， 所以． 故选：C． 53．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）设，若关于x的不等式恒成立，则实数k的最大值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解题思路】根据题意整理可得，换元令，结合基本不等式运算求解即可. 【解答过程】因为，可得， 且，则，可得， 令，则， 可得， 因为，故，因此， 当且仅当，即，时，等号成立， 可得，所以实数k的最大值为9. 故选：B. 54．（25-26高一上·安徽·期中）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】分情况讨论和，结合二次函数单调性及函数值判断参数范围. 【解答过程】当时，不等式为，恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 因为函数的图象的对称轴为，且图象过点， 故当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，解得； 综上，的取值范围是． 故答案为：． 55．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，无解； 当时，解集为； (2) (3) 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解法，对参数进行分类讨论，进而求出结果； （2）根据二次不等式恒成立的条件，进行参变分离，进而求出参数的取值范围； （3）根据任意恒成立的条件，对函数进行变形，对新参数进行讨论，求出函数最小值，列出不等式，进而求出结果. 【解答过程】（1）由题意可知，当时，，解得； 当时，令，即，解得或. 当时，，则，解得； 当时，，则，无解； 当时，即，则，解得， 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，无解； 当时，解集为； （2）由题意得，即， 当时，可知，可得， 因为，所以， 即，不等式恒成立，等价于，恒成立； 可知时，，所以，即实数的取值范围为； （3）由题意得，即，化简得， 可知，不等式恒成立，等价于，不等式恒成立； 当时，不等式不成立，不符合题意； 当时，，不等式恒成立， 令，则在上单调递减， 即得恒成立，解得， 当时，，不等式恒成立， 在上单调递增，即，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 题型12 一元二次不等式的实际应用 56．（25-26高一上·山西大同·期中）某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意得到一元二次不等式，解出即可. 【解答过程】由题意得，结合， 解得， 因为，所以生产数量的取值范围为， 同时可入验证当时，此时，则BCD均错误. 故选：A. 57．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（    ） A．20 B．25 C．27 D．28 【答案】B 【解题思路】依题意可得，解得即可. 【解答过程】由题意可得，整理得， 即，解得，则的最大值是25. 故选：B. 58．（2026高二·湖北·学业考试）为建设美丽中国，增强民众幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区计划建设一块长为、宽为的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪（如图所示）．如果花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设花卉带的宽度为 ，由题设有且求范围，即可得答案. 【解答过程】设花卉带的宽度为 ，则， 所以，即，可得， 又，故，而，则可能取值为2. 故选：B. 59．（25-26高一上·天津河西·期中）某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元. 【答案】 【解题思路】根据题意列出收入表达式，则得到一元二次不等式，解出即可. 【解答过程】依题意，每天有辆汽车被租出去， 该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入为 元. 因为要使该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入超过万元， 所以， 即，解得，又因为且，所以， 即该汽车租赁公司每辆汽车每天的租金应定为元. 故答案为：. 60．（25-26高一上·上海·阶段检测）某种杂志原以每本25元的价格销售，可以售出8万本、据市场调查，杂志的单价每提高1元，销售量就减少0.2万本，假定杂志的成本是每本10元（不计其他成本）. (1)当杂志以每本30元定价销售时，求销售该杂志所获利润； (2)在每本25元的价格的基础上提高定价，试确定杂志的定价在什么范围内可使得销售利润不低于140万元. 【答案】(1)140万元 (2)每本不低于30元且不高于45元 【解题思路】（1）根据题意直接求解即可； （2）设杂志的定价为每本元，由题意得，进而解不等式即可. 【解答过程】（1）当杂志以30元定价销售时， 销售该杂志所获利润为：万元. （2）设杂志的定价为每本元， 由题意，得，解得， 所以杂志的定价在每本不低于30元且不高于45元的范围内，可使得销售利润不低于140万元. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次函数、方程和不等式全章12大重点题型归纳（必考60题专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 利用不等式的性质判断正误 1．（26-27高一上·河北唐山·阶段检测）下列命题是真命题的为（ ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 2．（26-27高一上·山东青岛·阶段检测）已知实数满足，，则一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·河南·阶段检测）已知实数，，，满足，，，，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·山东青岛·阶段检测）已知，正确结论的序号是__________． ①，②，③ 5．（25-26高一·全国·随堂练习）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，，则； (4)若，则． 题型2 利用作差法、作商法比较大小 6．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 7．（2026·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·甘肃陇南·阶段检测）设，，，，则、的大小关系为____________． 9．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）（1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. 10．（25-26高一上·上海·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 题型3 利用不等式的性质求取值范围 11．（26-27高一上·湖南湘潭·阶段检测）已知，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（26-27高一上·山东·阶段检测）已知实数a，b满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（26-27高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（26-27高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知，，则的取值范围是_____________． 15．（26-27高一上·广东汕头·阶段检测）（1）设，，求，的范围； （2）已知，求的取值范围. 题型4 由基本不等式比较大小 16．（25-26高一上·江西吉安·期中）已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 17．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 19．（26-27高一上·全国·课堂例题）设，为正数，则，，，的大小关系是_________． 20．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡.最后将两次称得的黄金交给顾客. (1)试分析顾客购得的黄金是小于，等于，还是大于？为什么？ (2)如果售货员又将的砝码放在天平左盘中，然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，请问要使得三次黄金质量总和最小，商家应该将左臂长和右臂长之比设置为多少？请说明理由. 题型5 利用基本不等式求最值 21．（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B．4 C． D．3 22．（25-26高一上·广东深圳·期中）若正数满足，则ab的最小值为（　　） A．9 B．4 C．3 D．2 23．（25-26高一上·安徽滁州·阶段检测）设正数，满足，则的最小值为__________． 24．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知为正实数，且， (1)求的最大值． (2)求的最小值； (3)求的最小值． 25．（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）已知． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 题型6 利用基本不等式证明不等式 26．（26-27高一上·青海西宁·阶段检测）已知，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高一上·天津·开学考试）设，则下列不等式中一定成立的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．（25-26高一上·河北保定·期中）已知证明： (1) (2) 29．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 30．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知，且.求证： (1)； (2). 题型7 基本不等式的恒成立问题 31．（26-27高一上·福建泉州·开学考试）已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 32．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 33．（26-27高一上·江西南昌·阶段检测）已知为正实数，若不等式恒成立，则的取值范围为__________. 34．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 35．（26-27高一上·山东青岛·阶段检测）回答下列问题： (1)已知，求的最大值； (2)已知，且满足，求的最小值． (3)已知，且，若恒成立，求的取值范围． 题型8 一元二次不等式的解法 36．（26-27高一上·甘肃白银·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 37．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 38．（26-27高一上·浙江金华·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 39．（25-26高一上·天津宁河·期中）不等式的解集是__________. 40．（25-26高一上·河北·阶段检测）求下列关于x的不等式的解集： (1)； (2)； (3)． 题型9 由一元二次不等式的解确定参数 41．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或. C． D．或. 42．（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（  ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 43．（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）已知关于的不等式的解集中恰有四个整数，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 44．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）已知关于的不等式的整数解恰有3个，则实数的取值范围为___________. 45．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）已知关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)当，且满足时，不等式有解，求的取值范围； (3)关于的不等式的解集中恰有4个正整数，求实数的取值范围． 题型10 二次函数的图象分析与判断 46．（25-26高一上·江苏无锡·期中）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 47．（25-26高一上·湖南常德·期中）已知二次函数（为常数，且）的部分图像如图所示，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 48．（25-26高一上·浙江·阶段检测）若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 49．（25-26高一上·北京·阶段检测）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线.下列结论：①；②；③.其中结论正确的为（   ） A．② B．①② C．①③ D．②③ 50．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的个数是：①；②；③；④.（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 题型11 一元二次不等式恒成立、有解问题 51．（25-26高一上·湖北随州·期中）若不等式 对任意恒成立，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 52．（25-26高一上·湖北孝感·期中）当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 53．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）设，若关于x的不等式恒成立，则实数k的最大值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 54．（25-26高一上·安徽·期中）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是___________． 55．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)，不等式恒成立，求实数的取值范围． 题型12 一元二次不等式的实际应用 56．（25-26高一上·山西大同·期中）某企业生产智能台灯，总生产成本（单位：万元）与生产数量（单位：千台）的关系为：．企业希望总成本不超过5000万元，则生产数量的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 57．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（    ） A．20 B．25 C．27 D．28 58．（2026高二·湖北·学业考试）为建设美丽中国，增强民众幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区计划建设一块长为、宽为的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪（如图所示）．如果花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为（    ）    A． B． C． D． 59．（25-26高一上·天津河西·期中）某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元. 60．（25-26高一上·上海·阶段检测）某种杂志原以每本25元的价格销售，可以售出8万本、据市场调查，杂志的单价每提高1元，销售量就减少0.2万本，假定杂志的成本是每本10元（不计其他成本）. (1)当杂志以每本30元定价销售时，求销售该杂志所获利润； (2)在每本25元的价格的基础上提高定价，试确定杂志的定价在什么范围内可使得销售利润不低于140万元. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $