精品解析：山西省太原师范学院附属中学2025-2026学年上学期10月月考九年级数学试题

太原师院附中2025～2026学年第一学期10月初三年级学情导航 数学 一、选择题 1. 菱形、矩形、正方形共有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 一条对角线平分一组内角 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 将标有“最”“美”“宁”“夏”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出两个球，则摸到的球上的汉字可以组成“宁夏”的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程，将其化为的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 太原马拉松是由中国田径协会、山西省体育局和太原市人民政府主办的世界田联金标赛事，始于2010年，2025年赛事于9月21日在五一广场起跑，吸引4万名选手参赛，是展示太原城市形象的重要体育盛会．某班学生准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周增加一圈等宽的黑边，已知图案的长为4米，宽为2米，图案面积占整幅宣传版面面积的，若设黑边的宽为米，则根据题意可列出方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图，△ABC中，点P是AB边上的一点，过点P作PD∥BC，PE∥AC，分别交AC，BC于点D，E，连按CP．若四边形CDPE是菱形，则线段CP应满足的条件是（　　） A. CP平分∠ACB B. CP⊥AB C. CP是AB边上的中线 D. CP＝AP 7. 如图，在活动课上，老师画出边长为2的正方形ABCD，让同学们按以下步骤完成画图：（1）画出AD的中点E，连接BE；（2）以点E为圆心，EB长为半径画弧，交DA的延长线于点F；（3）以AF为边画正方形AFGH，点H在AB边上．在画出的图中有一条线段的长是方程x2+2x﹣4＝0的一个根．这条线段是（ ） A. 线段BH B. 线段BE C. 线段AE D. 线段AH 8. 今年全球多地持续高温天气，能源需求攀升，我国的煤炭进口量也随之大幅增加．尽管我国坐拥丰富的煤炭产能，但为了优化能源配置，保障工业生产与民生用能的稳定需求，每年仍需进口巨量煤炭．据海关总署发布的数据显示，年月份我国进口煤炭约万吨，而年月份我国进口煤炭约万吨，设这三个月每月份我国进口煤炭的平均增长率为，则根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使，连接DE，若，则∠E的度数是（ ） A. 65° B. 60° C. 50° D. 40° 10. 如图，在四边形中，点分别是的中点，若四边形是矩形，则四边形需满足的条件是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为______． 12. 已知关于x的方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，那么关于x的方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根分别为_____． 13. 如图，矩形的对角线相交于点，，则的长为____________． 14. 足球是一项非常古老的运动，最早起源于中国，是全球体育界极具影响力的单项体育运动之一，现从一批足球中随机抽检部分足球的质量，统计结果如下表： 抽取的足球数n/个 100 200 400 600 1000 1500 2000 优等品的频数m/个 93 192 380 561 938 1413 1878 优等品的频率 0.93 0.96 0.95 0.935 0.938 0.942 0.939 据此推测，从这批足球中随机抽取一个足球是优等品的概率约是_________（结果精确到0.01） 15. 如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为______． 16. 如图，已知：PA＝，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．当∠APB＝45°时，则PD的长为______． 三、简答题 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 18. 阅读解关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的过程，解答下列问题： 解：两边同乘以4a，得4a2x2+4abx+4ac＝0．……第一步 移项，得4a2x2+4abx＝﹣4ac．……第二步 配方，得4a2x2+4abx+b2＝b2﹣4ac．……第三步 （2ax+b）2＝b2﹣4ac．……第四步 两边开平方，得……第五步 ．……第六步 所以，．……第七步 （1）第一步变形的依据是 ； （2）从第 步开始出现错误，错误的原因是 ； （3）采用上述解方程的思路，求3x2﹣4x﹣2＝0的根． 19. 如图，已知菱形ABCD，延长AD到点F，使，延长CD到点E，使DE=CD，顺次连接点A，C，F，E，A.求证：四边形ACFE是矩形. 20. 太原是一座具有4700多年历史、2500年建城史的历史古都，系有“锦绣太原城”的美誉，在“我可爱的家乡”主题班会中，主持人准备了“晋祠园林”、“崇山大佛”、“龙山石窟”、“凌霄双塔”这四处景点的照片各一张，并将它们背面朝上放置（照片背面完全相同），甲同学从中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的照片中随机抽取一张，若要根据抽取的照片作相关景点介绍，求甲、乙两人中恰好有一人介绍“晋祠园林”的概率．（提示：可用照片序号列表或画树状图） 21. 随着山西经济的转型，文旅与特色农业成为新的增长引擎，隰县便在这股浪潮中绽放独特魅力．这里的小西天，殿宇精巧、彩塑绚丽，千年禅意浸润着每一寸山水；这里更是明清皇家贡梨之源，如今的玉露香梨更是声明远扬——皮薄肉厚、脆甜多汁，甜度达，口感绝佳．现某水果商贩购进一批玉露香梨进行销售．进价为每千克元，若按每千克元出售，平均每天可售出千克，后经过市场调查发现，销售单价每降低元，则平均每天的销售量可增加千克．若该销售商销售这种玉露香梨想要平均每天获利元，为了尽快减少库存，每千克玉露香梨售价应定为多少元？ 22. 在学习完矩形的内容后，某课外学习小组对矩形的运动问题进行了研究，如图，在矩形中，，，点为矩形对角线的交点． 操作发现： 如图（1）所示，点为边上任意一点，连接并延长与边交于点． （1）小组成员甲发现“”，请你完成证明； （2）如图（2），连接、，小组成员乙发现“四边形的形状一定是______，当的长为______时，四边形是菱形”； 探究发现： 受前面两位组员的启发，小组成员丙与丁对图形进一步操作，将图（2）中的与分别沿与进行翻折，点与点分别落在矩形内的点，处． （3）如图（3），连接，，发现“四边形是平行四边形”，请你证明这个结论； （4）如图（4），连接，有最小值吗？若有，请你直接写出的长；若没有，请说明理由．     第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原师院附中2025～2026学年第一学期10月初三年级学情导航 数学 一、选择题 1. 菱形、矩形、正方形共有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 一条对角线平分一组内角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形、矩形、正方形的性质，熟记菱形、矩形、正方形的性质是解决问题的关键．根据菱形、矩形、正方形的性质逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、矩形与正方形的对角线相等，菱形对角线不相等，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意； B、菱形与正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不垂直，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意； C、菱形、矩形、正方形的对角线均互相平分，选项性质是菱形、矩形、正方形共有的性质，符合题意； D、菱形与正方形的一条对角线平分一组内角，矩形一条对角线不能平分一组内角，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意； 故选：C． 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程（）的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，关键在于掌握判别式的意义．先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：由题意得， ， 方程无实数根． 故选：D． 3. 将标有“最”“美”“宁”“夏”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出两个球，则摸到的球上的汉字可以组成“宁夏”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用树状图求概率．根据题意画出树状图即可得到本题答案． 【详解】解：根据题意画如下树状图： 共有12种情况，其中2种符合题意， ∴摸到的球上的汉字可以组成“宁夏”的概率是：， 故选：C． 4. 用配方法解方程，将其化为的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法． 把常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，再把方程变化为左边是完全平方的形式，即可求解． 【详解】解： ， 故选：A． 5. 太原马拉松是由中国田径协会、山西省体育局和太原市人民政府主办的世界田联金标赛事，始于2010年，2025年赛事于9月21日在五一广场起跑，吸引4万名选手参赛，是展示太原城市形象的重要体育盛会．某班学生准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周增加一圈等宽的黑边，已知图案的长为4米，宽为2米，图案面积占整幅宣传版面面积的，若设黑边的宽为米，则根据题意可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系． 设黑边的宽为米，根据面积关系列出方程即可． 【详解】解：设黑边的宽为米，根据题意得， ， 故选：B． 6. 如图，△ABC中，点P是AB边上的一点，过点P作PD∥BC，PE∥AC，分别交AC，BC于点D，E，连按CP．若四边形CDPE是菱形，则线段CP应满足的条件是（　　） A. CP平分∠ACB B. CP⊥AB C. CP是AB边上的中线 D. CP＝AP 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质进行解答即可. 【详解】∵四边形CDPE是菱形， ∴∠DCP=∠ECP， ∴CP平分∠ACB， 故选A． 【点睛】本题考点：菱形的性质.解此题的关键在于熟练掌握菱形的有关知识点. 7. 如图，在活动课上，老师画出边长为2的正方形ABCD，让同学们按以下步骤完成画图：（1）画出AD的中点E，连接BE；（2）以点E为圆心，EB长为半径画弧，交DA的延长线于点F；（3）以AF为边画正方形AFGH，点H在AB边上．在画出的图中有一条线段的长是方程x2+2x﹣4＝0的一个根．这条线段是（ ） A. 线段BH B. 线段BE C. 线段AE D. 线段AH 【答案】D 【解析】 【分析】求出一元二次方程的解，然后利用正方形的性质和勾股定理求得对应线段的长度，即可求解． 【详解】解： ，（舍去） 由题意可得：，， ∵E为AD的中点 ∴ 由勾股定理可得： ∴线段AH的长为方程的一个根 故选D 【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，正方形的性质，勾股定理以及圆的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 8. 今年全球多地持续高温天气，能源需求攀升，我国的煤炭进口量也随之大幅增加．尽管我国坐拥丰富的煤炭产能，但为了优化能源配置，保障工业生产与民生用能的稳定需求，每年仍需进口巨量煤炭．据海关总署发布的数据显示，年月份我国进口煤炭约万吨，而年月份我国进口煤炭约万吨，设这三个月每月份我国进口煤炭的平均增长率为，则根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解本题的关键在于理解题意，找出等量关系，并列出方程．设这三个月每月份我国进口煤炭的平均增长率为，根据题意即可列出方程． 【详解】解：设这三个月每月份我国进口煤炭的平均增长率为， 由题意得，， 故选：B． 9. 如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使，连接DE，若，则∠E的度数是（ ） A. 65° B. 60° C. 50° D. 40° 【答案】A 【解析】 【分析】连接BD，与AC相交于点O，则BD=AC=BE，得△BDE是等腰三角形，由OB=OC，得∠OBC=50°，即可求出∠E的度数. 【详解】解：如图，连接BD，与AC相交于点O， ∴BD=AC=BE，OB=OC， ∴△BDE是等腰三角形，∠OBC=∠OCB， ∵，∠ABC=90°， ∴∠OBC=， ∴； 故选择：A. 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，以及直角三角形两个锐角互余，解题的关键是正确作出辅助线，构造等腰三角形进行解题. 10. 如图，在四边形中，点分别是的中点，若四边形是矩形，则四边形需满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用本题重点考查​​中点四边形的性质和中位线定理​​，​​熟练运用中位线定理推导边之间的平行关系，并利用垂直条件判断矩形是解题的关键​​． 由三角形中位线定理和平行四边形的判定定理易推知四边形是平行四边形，若或者就可以判定四边形是矩形． 【详解】解：当时，四边形是矩形， ∵点分别是的中点， ∴, ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵，，， ∴， 即， ∴四边形是矩形， 故选：A． 二、填空题 11. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】：把代入方程 ，求出关于m的方程的解即可． 【详解】把代入方程 ， 得， 解得． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 12. 已知关于x的方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，那么关于x的方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根分别为_____． 【答案】3,0 【解析】 【分析】方法一：根据方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，代入进行转化，即可得到c的值，再进行代入方程a（x+c﹣2）2+b＝0，得到其两根；方法二：将x+c看成一个整体，由方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，可以得到方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根． 【详解】解：方法一：∵方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1， ∴a（﹣2+c）2+b＝0或a（1+c）2+b＝0， ∴（﹣2+c）2＝﹣或（1+c）2＝﹣， ∴﹣2+c+1+c＝0， 解得，c＝0.5， ∴（﹣2+0.5）2＝﹣， ∴＝， ∵a（x+c﹣2）2+b＝0， ∴（x+0.5﹣2）2＝， 解得，x1＝3，x2＝0， 故答案为：3，0． 方法二：∵方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1， ∴方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根分别为：﹣2+2＝0或1+2＝3， 故答案为：3，0． 【点睛】考查含有参数的一元二次方程的解法，学生根据已知条件既可以直接求出参数的值，继而求出另一个含有相同参数的方程的根或者将含参整式看成一个整体，由此得到另一个方程的根． 13. 如图，矩形的对角线相交于点，，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键，首先根据矩形的性质，可得；接下来再根据和，即可判断为等边三角形；根据等边三角形的性质，可得，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴ ∴． 故答案为：． 14. 足球是一项非常古老的运动，最早起源于中国，是全球体育界极具影响力的单项体育运动之一，现从一批足球中随机抽检部分足球的质量，统计结果如下表： 抽取的足球数n/个 100 200 400 600 1000 1500 2000 优等品的频数m/个 93 192 380 561 938 1413 1878 优等品的频率 0.93 0.96 0.95 0.935 0.938 0.942 0.939 据此推测，从这批足球中随机抽取一个足球是优等品的概率约是_________（结果精确到0.01） 【答案】0.94 【解析】 【分析】由表中数据可判断频率在0.94左右摆动，于是利用频率估计概率可判断任意抽取一只足球是优等品的概率为0.94． 【详解】解：从这批足球中，任意抽取一只足球是优等品的概率的估计值是0.94． 故答案为：0.94 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 15. 如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设出未知数,列出三组等式解出即可． 【详解】设底面长为a,宽为b,正方形边长为x, 由题意得:, 解得a=10－2x,b=6－x,代入ab=24中得: (10－2x)(6－x)=24, 整理得:2x2－11x+18=0． 解得x=2或x=9(舍去)． 故答案为2． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用,关键在于不怕设多个未知数,利用代数表示列出方程． 16. 如图，已知：PA＝，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．当∠APB＝45°时，则PD的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】由于AD＝AB，∠DAB＝90°，则把△APD绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，AD与AB重合，PA旋转到AF的位置，根据旋转的性质得到AP＝AF，∠PAF＝90°，PD＝FB，则△APF为等腰直角三角形，得到∠APF＝45°，PF＝AP＝2，即有∠BPF＝∠APB+∠APF＝45°+45°＝90°，然后在Rt△FBP中，根据勾股定理可计算出FB的长，即可得到PD的长． 【详解】解：∵AD＝AB，∠DAB＝90°， ∴把△APD绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，AD与AB重合，PA旋转到AF的位置，如图， ∴AP＝AF，∠PAF＝90°，PD＝FB， ∴△APF为等腰直角三角形， ∴∠APF＝45°，PF＝AP＝2， ∴∠BPF＝∠APB+∠APF＝45°+45°＝90°， 在Rt△FBP中，PB＝4，PF＝2， ∴由勾股定理得FB＝2， ∴PD＝2， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查四边形内线段求解，解题的关键是熟知旋转的性质、正方形的特点及勾股定理的应用． 三、简答题 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据公式法求解即可； （2）根据配方法求解即可； （3）根据因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：，，， ∵， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ∴，； 【小问3详解】 解：， ， 或， ∴，． 18. 阅读解关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的过程，解答下列问题： 解：两边同乘以4a，得4a2x2+4abx+4ac＝0．……第一步 移项，得4a2x2+4abx＝﹣4ac．……第二步 配方，得4a2x2+4abx+b2＝b2﹣4ac．……第三步 （2ax+b）2＝b2﹣4ac．……第四步 两边开平方，得……第五步 ．……第六步 所以，．……第七步 （1）第一步变形的依据是 ； （2）从第 步开始出现错误，错误的原因是 ； （3）采用上述解方程的思路，求3x2﹣4x﹣2＝0的根． 【答案】（1）等式的基本性质；（2）五，没有考虑b2﹣4ac的符号；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据等式的基本性质即可解答； （2）第五步出现错误，只有b2﹣4ac0，方程才有实数根； （3）采用上述解题思路求解即可． 【详解】解：（1）依据是：等式的基本性质2：等式的两边都乘同一个数，等式仍成立； 故答案为：等式的基本性质； （2）第五步出现错误，只有b2﹣4ac0，方程才有实数根； 故答案为：五，没有考虑b2﹣4ac的符号； （3）3x2﹣4x﹣2=0， 两边同乘以12，得36x2-48x-24=0． 移项，得36x2-48x=24． 配方，得36x2-48x+42=24+42． （6x-4）2=40>0． 两边开平方，得6x-4=， 6x=4±2， 所以，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 19. 如图，已知菱形ABCD，延长AD到点F，使，延长CD到点E，使DE=CD，顺次连接点A，C，F，E，A.求证：四边形ACFE是矩形. 【答案】 解：∵， ， ∴四边形ACFE是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴， ∴， ∴， 即， ∴是矩形. 【解析】 【分析】由对角线互相平分的四边形为平行四边形，得ACEF为平行四边形，再由ABCD为菱形，得到AD=CD，进而得到AE=CF，利用对角线相等的平行四边形为矩形即可得证. 【详解】略 【点睛】此题考查了矩形的判定，以及菱形的性质，熟练掌握矩形的判定和菱形的性质是解本题的关键． 20. 太原是一座具有4700多年历史、2500年建城史的历史古都，系有“锦绣太原城”的美誉，在“我可爱的家乡”主题班会中，主持人准备了“晋祠园林”、“崇山大佛”、“龙山石窟”、“凌霄双塔”这四处景点的照片各一张，并将它们背面朝上放置（照片背面完全相同），甲同学从中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的照片中随机抽取一张，若要根据抽取的照片作相关景点介绍，求甲、乙两人中恰好有一人介绍“晋祠园林”的概率．（提示：可用照片序号列表或画树状图） 【答案】. 【解析】 【分析】根据题意画树状图，然后根据概率公式求解即可. 【详解】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中甲、乙两人中恰好有一人介绍“晋祠园林”的情况有6种， 故甲、乙两人中恰好有一人介绍“晋祠园林”的概率为=． 【点睛】本题考查用列表法或画树状图求概率.解此题的关键在于根据题意准确列出表格或画出树状图. 21. 随着山西经济的转型，文旅与特色农业成为新的增长引擎，隰县便在这股浪潮中绽放独特魅力．这里的小西天，殿宇精巧、彩塑绚丽，千年禅意浸润着每一寸山水；这里更是明清皇家贡梨之源，如今的玉露香梨更是声明远扬——皮薄肉厚、脆甜多汁，甜度达，口感绝佳．现某水果商贩购进一批玉露香梨进行销售．进价为每千克元，若按每千克元出售，平均每天可售出千克，后经过市场调查发现，销售单价每降低元，则平均每天的销售量可增加千克．若该销售商销售这种玉露香梨想要平均每天获利元，为了尽快减少库存，每千克玉露香梨售价应定为多少元？ 【答案】元 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，确定利润的计算方法是解题的关键．设当每千克玉露香梨的售价为元时，每天可盈利元，根据销售数量乘以每千克的利润，列出一元二次方程，再解方程即可． 【详解】解：设每千克玉露香梨售价应定为元， 由题意得，， ， ，． 要尽快减少库存， 取． 答：每千克玉露香梨售价应定为11元． 22. 在学习完矩形的内容后，某课外学习小组对矩形的运动问题进行了研究，如图，在矩形中，，，点为矩形对角线的交点． 操作发现： 如图（1）所示，点为边上任意一点，连接并延长与边交于点． （1）小组成员甲发现“”，请你完成证明； （2）如图（2），连接、，小组成员乙发现“四边形的形状一定是______，当的长为______时，四边形是菱形”； 探究发现： 受前面两位组员的启发，小组成员丙与丁对图形进一步操作，将图（2）中的与分别沿与进行翻折，点与点分别落在矩形内的点，处． （3）如图（3），连接，，发现“四边形是平行四边形”，请你证明这个结论； （4）如图（4），连接，有最小值吗？若有，请你直接写出的长；若没有，请说明理由．     【答案】 （1）证明：如图1，连接，     ∵点为矩形对角线的交点 ∴点在线段上，，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）平行四边形， （3）证明：如图3，连接，由（1）知， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵沿翻折，点落在处， ∴， ∴，， 同理可得，，， ∴，，． ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （4）有， 【解析】 【分析】（1）连接，根据矩形的性质，证明，即可得到结论； （2）连接，结合（1）结论，先证明，再证明四边形是平行四边形．设，利用菱形的性质和勾股定理列方程，即可求出的长； （3）连接，由（1）知，再结合矩形的性质，证明，得到，由翻折的性质，可推出，，进而得到，即可证明结论； （4）由（3）可知，四边形是平行四边形，则，故最小时，最小，此时点，落在矩形对角线上，设，根据矩形与折叠的性质，得到，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，连接， ∵四边形为矩形， ∴，， 由（1）知， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 设，则， ∵四边形是菱形， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， ∴． 即当的长为时，四边形是菱形”． （3）略 （4）解：由（3）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∴最小时，最小． 在中，， ∴取最小值时，点，，共线，即落在对角线上． ∴要使最小，只有点，落在矩形对角线上， 如图4，设， ∴，，矩形的对角线， 由折叠可知，，， ∴， 在中，有， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的性质，勾股定理，折叠的性质，最短线段问题等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $