第1章 有理数 单元复习讲义 2025-2026学年华东师大版七年级数学上册

第1章 有理数全章复习 第1部分 全章知识点、重难点与易错点总结 一、核心知识点梳理 1.有理数的定义与分类：整数（正整数、0、负整数）和分数统称有理数；按正负分：正有理数、0、负有理数；按定义分：整数、分数。 2.数轴：三要素为原点、正方向、单位长度；有理数与数轴上的点一一对应（向右为正方向时，右边的数大于左边的数）。 3.相反数：若与互为相反数，则；的相反数是（0的相反数是0），数轴上表示相反数的点关于原点对称。 4.绝对值：表示数轴上到原点的距离；法则：当时，；当时，；当时，(，即非负性)。 5.科学记数法与近似数：科学记数法表示为(，为整数)；近似数需明确精确位数(如精确到千分位)。 6.有理数运算： 加减：同号相加取相同符号并把绝对值相加，异号相加取绝对值较大符号再相减；减法转化为加相反数()。 乘除：同号得正、异号得负，绝对值相乘/除；除法转化为乘倒数(，)。 乘方：表示个相乘；正数任何次幂正，负数奇次幂负、偶次幂正(，)。 混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内(小→中→大)。 二、重难点突破 1.重点突破： 有理数混合运算：关键抓“符号”(先定符号，再算绝对值)和“顺序”(严格遵循运算优先级)。 绝对值应用：化简需先判断的正负；比较有理数大小可借助绝对值(负数绝对值大的反而小)。 2.难点突破： 绝对值非负性：若，则且(多个非负数和为0，各数均为0)。 乘方符号规律：区分(底数为)和(底数为，结果取负)，如，。 实际应用：先设定正负意义(如“收入为正，支出为负”)，再转化为有理数运算。 三、高频易错点警示 1.有理数分类遗漏0：0既不是正数也不是负数，单独归为一类，勿将其划入正/负有理数。 2.绝对值化简错误：忽略的正负，直接写(如错算为，正确为3)。 3.乘方底数混淆：误将理解为，前者底数是2，后者底数是，结果不同。 4.混合运算顺序混乱：如先算“”中的，再乘4(正确：先算，再算)。 5.科学记数法错误：的范围超(如12000错写为，正确为)，或指数算错位数。 6.近似数精确位误判：如“万”精确到百位(非百分位)，“”精确到千分位（非百分位）。 第2部分 常考题型分析及题型举一反三 【题型1】有理数的分类与概念辨析 1.核心知识点总结 定义：整数（正整数、、负整数）和分数统称有理数，有限/无限循环小数属分数； 分类：①按定义分“整数、分数”；②按性质分“正有理数、、负有理数”； 的特殊性：非正非负，是正负数分界。 2.高频考点梳理 判断数的类别（如“是负分数，非有理数”）； 填数集（如“，，中，正分数集”）。 3.易错点警示 误将归为有理数；漏；混淆“正整数”与“整数”。 4.解题技巧拆解 定分类标准→辨数的属性→小数化分数再判断。 【例题1】．（2024-2025•西湖区校级月考）在数，0，4.5，|﹣9|，﹣6.79中，属于正有理数的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式题1-1】．（2024-2025•徐汇区期末）在﹣2，0.31，17，0，，1中，非负数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式题1-2】．（2024-2025•紫阳县月考）把下列各数填在相应的大括号内： ． 正数：{ 　 　 …}； 非负整数：{ 　 　 …}； 整数：{ 　 　 …}； 负分数：{ 　 　 …}． 【变式题1-3】．（2024-2025•伊通县校级月考）把下列各数填在相应的横线上． 90%，π，4.3，+72，0，﹣6.4，﹣12，，﹣5.1，2025， （1）整数：　 　 ； （2）分数：　 　 ； （3）非负数：　 　 ； （4）负有理数：　 　 ． 【题型2】相反数与绝对值的综合计算 1.核心知识点总结 相反数：与（和为）；绝对值：（正数为本身，负数为相反数）。 2.高频考点梳理 求相反数/绝对值；化简符号（如“”）；非负性求值（如“→，”）。 3.易错点警示 数错负号；漏判绝对值内正负；忽略。 4.解题技巧拆解 符号化简看“”个数；绝对值先判正负再化简；非负和为则各非负项为。 【例题2】．（2024-2025•安徽模拟）有理数|﹣3|的相反数是（　　） A． B． C．3 D．﹣3 【变式题2-1】．（2024-2025•紫阳县月考）若a＜0，且|a|＝2，则a的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【变式题2-2】．（2024-2025•漳平市期末）已知，a，b是不为0的有理数，且|a|＝﹣a，|b|＝b，|a|＞|b|，那么用数轴上的点来表示a，b时，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式题2-3】．（2024-2025•滁州校级模拟）若一个有理数满足：它的绝对值大于它的相反数，则这个有理数可以是（　　） A．0 B．﹣4 C．2 D．﹣2 【题型3】科学记数法与近似数的表示 1.核心知识点总结 科学记数法：（，为整数位数）； 近似数：四舍五入取精度（如“精确到百位”）。 2.高频考点梳理 表示数（如“”）；定精度、取近似值。 3.易错点警示 范围错；忽略科学记数法的精度。 4.解题技巧拆解 找（）→定；精度看还原后最后一位。 【例题3】．（2024-2025•绥中县一模）电影《哪吒之魔童闹海》续写了“我命由我不由天”的东方神话．据灯塔专业版实时数据，截至3月2日10时23分，影片《哪吒之魔童闹海》票房突破142亿元．其中数据142亿用科学记数法表示为（　　） A．0.142×1011 B．1.42×109 C．1.42×1010 D．14.2×109 【变式题3-1】．（2024-2025•安阳期末）北京大兴国际机场被誉为“世界第七大奇迹”．其旅客航站楼及停车楼是目前国内单体面积最大的绿色建筑，每年可减少二氧化碳排放约2.2万吨，相当于种植119万棵树，其中2.2万精确到（　　） A．万位 B．千位 C．十分位 D．百分位 【变式题3-2】．（2024-2025•上海校级月考）若5.23×10n＝5230000，则n＝　 　 ． 【变式题3-3】．（2024-2025•姑苏区校级二模）为实现我国2030年前碳达峰、2060年前碳中和的目标，光伏发电等可再生能源将发挥重要作用．去年全国光伏发电量为3259亿千瓦时，数据“3259亿”用科学记数法表示为 　 　 ． 【题型4】有理数的加减运算及计算技巧 1.核心知识点总结 加法法则：①同号两数相加，取相同符号，绝对值相加；②异号两数相加，取绝对值较大的符号，用较大绝对值减较小绝对值；③互为相反数的两数相加得；④一个数与相加仍得这个数； 减法法则：（“两变一不变”：减号变加号，减数变相反数，被减数不变）； 加法运算律：交换律，结合律（核心计算技巧依据）。 2.高频考点梳理 直接运算：如“”“”“”； 混合运算简化：①同号结合（如“”）；②凑整结合（如“”）；③同分母结合（如“”）。 3.易错点警示 异号加法符号判断错误（如“”错算为，实际为）； 减法转化为加法时，减数符号漏变（如“”错转为“”，实际为“”）； 混合运算忽略运算顺序，先算加减后算乘除（如“”错算为“”）。 4.解题技巧拆解 步骤1：统一运算类型：将所有减法转化为加法（遵循“两变一不变”），写成“几个正数和负数的和”的形式； 步骤2：巧用运算律简化：①找“互为相反数”的数结合（和为，如“”）；②找“凑整数”的数结合（如小数凑整、整数凑整）；③同号或同分母的数优先结合； 步骤3：按加法法则计算：先定符号，再算绝对值的和或差，确保每一步符号正确。 【例题4】．（2024-2025•紫阳县月考）已知a是﹣5的相反数，b比最小的正整数大3，c是最大的负整数的相反数，求a+b﹣c的值． 【变式题4-1】．（2024-2025•襄城区校级月考）计算： （1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）； （2）； （3）； （4）． 【变式题4-2】．（2024-2025•西湖区校级月考）计算： （1）5+（﹣6）； （2）（﹣72）+9.2﹣（﹣7）+（﹣8）； （3）； （4）． 【变式题4-3】．（2024•莲池区校级开学）李老师在黑板板书了两道例题的解题过程： 运用“被减数、减数同时增加或减小相同的数，它们的差不变”的性质，可以使一些运算过程变得简便． 例1； 例2． 请你参考黑板中老师的讲解，用上述运算性质简便计算： （1）； （2）． 【题型5】有理数的乘法运算与符号判断（提升） 1.核心知识点总结 法则：同号得正，异号得负，绝对值相乘；多因数乘“奇负偶正”。 2.高频考点梳理 两数乘（如“”）；多因数乘（如“”）。 3.易错点警示 数错负因数个数；混淆乘加法则。 4.解题技巧拆解 定符号→算绝对值积；找“凑整、倒数”简化。 【例题5】．（2024-2025•中山市校级期中）计算（﹣2025）×（﹣1）的结果等于（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 【变式题5-1】．（2024-2025•和平区校级一模）2×（﹣3）的计算结果是（　　） A．6 B．﹣6 C．﹣5 D．5 【变式题5-2】．（2024-2025•北京校级开学）|π﹣3.14|＝　 　 ． 　 　 ． 【变式题5-3】．（2024-2025•襄城区校级月考）用简便方法计算 （1）99（﹣9） （2）（﹣5）×（﹣3）+（﹣7）×（﹣3）+12×（﹣3） 【题型6】有理数的除法运算与倒数应用（提升） 1.核心知识点总结 法则：（）；倒数：积为的两数（无倒数）。 2.高频考点梳理 两数除（如“”）；求倒数（如“的倒数”）。 3.易错点警示 转乘法忘乘倒数；漏倒数符号。 4.解题技巧拆解 除法转乘法→按乘法算；小数化分数求倒数。 【例题6】．（2024-2025•普宁市校级开学）已知|x|＝3，|y|，且x＞y，则的值是（　　） A．6 B．±6 C． D． 【变式题6-1】．（2024-2025•望奎县期末）在，，1和56中，倒数比它本身小的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题6-2】．（2024-2025•宝山区校级期末）定义：a是不为1的数，我们把称为a的差倒数，如的差倒数，已知，y是x的差倒数，求y的值． 【变式题6-3】．（2017秋•万州区期末）一个能被13整除的自然数我们称为“十三数”，“十三数”的特征是：若把这个自然数的末三位与末三位以前 的数字组成的数之差，如果能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除．例如：判断383357能不能被13整除，这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两个数的差是383﹣357＝26，26能被13整除，因此383357是“十三数”． （1）判断3253和254514是否为“十三数”，请说明理由． （2）若一个四位自然数，千位数字和十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间同数”． ①求证：任意一个四位“间同数”能被101整除． ②若一个四位自然数既是“十三数”，又是“间同数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差． 【题型7】有理数的乘方运算与符号规律（提升） 1.核心知识点总结 定义：（个相乘）；符号：负数奇次负、偶次正。 2.高频考点梳理 计算乘方（如“，”）；混合运算。 3.易错点警示 混淆与；指数理解错（如“错算为”）。 4.解题技巧拆解 定底数→判符号→算绝对值乘方。 【例题7】．（2024-2025•普宁市校级开学）下面计算结果不相等的是（　　） A．（﹣5）2与52 B．（﹣2）3与﹣23 C．|﹣23|与|﹣2|3 D．﹣52与（﹣5）2 【变式题7-1】．（2023秋•合肥期末）计算：． 【变式题7-2】．（2024-2025•游仙区校级开学）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后其中有一个奇数是2015，则m的值是 　 　 ． 【变式题7-3】．（2024-2025•内黄县期末）（1）根据已知条件填空： ①已知（﹣1.1）2＝1.21，那么（﹣11）2＝ 　 　 ，（﹣0.11）2＝ 　 　 ； ②已知（﹣4）3＝﹣64，那么（﹣40）3＝ 　 　 ，（﹣0.4）3＝ 　 　 ． （2）观察上述计算结果，我们可以看出： ①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动 　 　 位； ②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动 　 　 位． （3）已知1.22＝1.44，1.23＝1.728，1.24＝2.076． 填空：①（﹣120）3＝ 　 　 ；②（﹣0.12）4＝ 　 　 ． 【题型8】有理数的混合运算顺序与技巧（提升） 1.核心知识点总结 顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号内；分配律。 2.高频考点梳理 基础运算（如“”）；分配律简化（如“”）。 3.易错点警示 运算顺序错；分配律漏乘/符号错。 4.解题技巧拆解 标运算等级→分步算；分配律按项乘再求和。 【例题8】．（2024-2025•重庆校级开学）脱式计算，能简便的用简便方法计算． （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式题8-1】．（2024-2025•高碑店市月考）关于题目“用简便方法计算：1992+199．”嘉嘉和淇淇两位同学计算的方式如下： 嘉嘉： 1992+199 ＝199×（199+1） ＝199×200 ＝39800． 淇淇： 1992+199 ＝1992+199+1﹣1 ＝（199+1）2﹣1 ＝39999． 其中过程和结果都正确的是（　　） A．只有嘉嘉 B．只有淇淇 C．两人都对 D．两人都不对 【变式题8-2】．（2024-2025•山丹县校级月考）下列是甲、乙两位同学简便计算“”的方法，下列判断正确的是（　　） 甲同学：原式 乙同学：原式 A．只有甲的方法正确 B．只有乙的方法正确 C．甲、乙的方法都正确 D．甲、乙的方法都不正确 【变式题8-3】．（2024-2025•乳山市期末）【信息提取】“转化”是一种解决问题的常用策略，借助图形可以发现并建立相应的数量关系，进而找到问题解决的方法．如在计算“1+3+5+7+9+11＝？”时，可以利用图1进行绘图得到图2，将问题转化为“62＝？”，实现简便计算． 【问题探究】 （1）利用图3进行绘图，并依据绘图进行简便计算： ； （2）猜想：　 　 ；（直接写结果） 【问题解决】 （3）计算：． 【题型9】有理数运算的实际应用（提升） 1.核心知识点总结 正负数表相反量（收入正、支出负等）；运算结果对应实际意义。 2.高频考点梳理 收支计算（如“收入、支出，余额”）；库存/位置计算。 3.易错点警示 正负意义混；解读结果错（如“元错为收入”）。 4.解题技巧拆解 定基准与正方向→转正负数运算→解读结果。 【例题9】．（2024-2025•柳北区开学）小萱和爸爸打车去商场，8：20上车，9：50到达，打车收费标准：前3千米收费10元，超过3千米后每公里收费2.5元（不足1千米按1千米算），已知行驶路程是12.5千米，需要支付车费多少元？ 【变式题9-1】．（2024-2025•深圳期中）妈妈在超市买了一袋面粉，发现包装袋上有这样一段字样：“净重：800±5g”． （1）这段文字表示这袋面粉的重量在　 　 g和　 　 g之间． （2）在一次检测中，检验员从一个包装箱中任取了5袋有上述字样的面粉，记录如下： 袋号 1 2 3 4 5 质量/g 803 798 800 794 805 请你结合（1）和上表中的数据，以800g为标准，超出标准记为正，不足800g的记为负，用正、负数表示出这5袋面粉的质量，并判断这5袋面粉中不合格的有　 　 袋． 【变式题9-2】．（2024-2025•乳山市期末）小颖在超市买了一盒某种品牌的蛋糕（共计6个），她把6个蛋糕的质量称重后统计如下表（表一）： 蛋糕序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） 69.3 70.2 70.8 69.6 69.4 71 （1）为了简化运算，小颖选取了一个标准质量，依据标准质量把每个蛋糕质量超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出下表（表二）．请把表格补充完整： 蛋糕序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） 　 　 +0.2 　 　 ﹣0.4 　 　 　 　 （2）已知蛋糕包装盒标记的总质量为（420±2）克，小颖买的蛋糕在总质量方面是否合格？利用“表二”中的数据通过计算说明理由． 【变式题9-3】．（2024-2025•宁强县期末）小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下： ﹣2，+5，﹣1，+8，﹣3，﹣2，﹣4，+7． （注：向西记作“﹣”，向东记作“+”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题： （1）小王师傅在A处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A处什么方向？距A处多远？ （2）公司规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱，小王师傅接送8次乘客共收车费多少元？ 【题型10】绝对值的非负性与代数式求值（培优） 1.核心知识点总结 非负性：，；和为则各非负项为。 2.高频考点梳理 求值（如“→，”）；代数式计算。 3.易错点警示 漏非负数种类；代入符号错。 4.解题技巧拆解 识非负形式→列方程求字母→代入代数式算。 【例题10】．（2024-2025•西吉县校级期末）已知a的相反数是它本身，b是最小的正整数，|c+3|＝0，求a﹣b﹣c的值． 【变式题10-1】．（2024-2025•商南县期末）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为1，p是数轴上到原点距离为1的数，求p2024﹣cd1的值． 【变式题10-2】．（2024-2025•紫阳县月考）已知a、b均为有理数，现规定一种新运算，满足a*b．例如1*2． （1）求2*（﹣4）的值； （2）求（1*3）*（﹣2）的值． 【变式题10-3】．（2024-2025•北碚区校级月考）（1）若有理数x，y满足|x|＝8，|y|＝3，且|x﹣y|＝y﹣x，求x+y的值； （2）已知a，b互为相反数，且a≠0，c，d互为倒数，m的绝对值为5，求的值． 【题型11】数轴上的整点问题（培优） 1.核心知识点总结 整点：表整数的点；线段盖整点：端点整数“长度”，非整数“长度”。 2.高频考点梳理 定长线段盖整点（如“线段至少盖个”）；两点间整点（如“与间有个”）。 3.易错点警示 忽略端点属性；漏算整点。 4.解题技巧拆解 定区间→判端点是否整数→按规律算个数→验证。 【例题11】．（2024-2025•松北区期末）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这条数轴上随意画出一条长2024厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点个数是（　　） A．2020或2021 B．2021或2022 C．2022或2023 D．2024或2025 【变式题11-1】．（2024-2025•会东县校级月考）被墨迹盖住的整数有 　 　 个． 【变式题11-2】．（2024-2025•利津县期末）如图所示，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住的整数共有　 　 个． 【变式题11-3】．（2024-2025•吉首市期末）一滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值判断墨迹盖住的整数个数是　 　 ． 【题型12】有理数的规律探究——数阵与循环问题（培优） 1.核心知识点总结 数阵：符号（正负交替）+数值（递增/倍数）规律； 循环：符号/数值按周期重复（如“，，，…”符号周期）。 2.高频考点梳理 数阵找数；循环求第项（如“第项”）。 3.易错点警示 漏符号规律；周期判断错。 4.解题技巧拆解 观符号→找数值规律→验证；循环定周期→表第项。 【例题12】．（2024-2025•右江区期末）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2000年为例：天干为（2000﹣3）÷10＝199……7；地支为（2000﹣3）÷12＝166……5；对照天干地支表得出，2000年为农历庚辰年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断2025年为农历（　　）年． A．乙巳 B．戊申 C．乙申 D．戊巳 【变式题12-1】．（2024-2025•金水区校级期末）正六边形ABCDEF在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形ABCDEF绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数2025所对应的顶点是　 　 ． 【变式题12-2】．（2024-2025•岳麓区校级期末）课本再现：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说逢几进一，就是几进制，几进制的基数就是几．规定当a≠0时，a0＝1．日常生活中，我们用十进制来表示数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．例如：168＝1×102+6×101+8×100.计算机中采用的是二进制，只要用到两个数码：0，1．如二进制中的1010＝1×23+0×22+1×21+0×20，可以表示十进制中的10． 密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．例如，有一种密钥破解方式，先将明码二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为，当x为偶数时，破解公式为2x+5．按上述规定，则二进制明码“101101”译成密码为　 　 ． 【变式题12-3】．（2024-2025•献县开学）（1）观察图1中的规律，求出图2中各字母的值； （2）求图2比图1中6个数的平均数大多少？ 【题型13】有理数的新定义运算（培优） 1.核心知识点总结 按自定义规则（如“”）转常规运算，注意顺序。 2.高频考点梳理 直接计算（如“”）；与方程结合（如“求”）。 3.易错点警示 误解规则；代入顺序错。 4.解题技巧拆解 读规则→代数值→按顺序算；方程题列等式求解。 【例题13】．（2024-2025•云县期末）用“※”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定a※b＝ab+b2．如1※2＝1×2+22＝6，则﹣4※2的值为（　　） A．﹣4 B．8 C．4 D．﹣8 【变式题13-1】．（2024-2025•北碚区校级月考）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，比如|x1﹣x2|在数轴上表示数x1，x2对应的点之间的距离．现定义一种“F运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对﹣2，2，5进行“F运算”，得|﹣2﹣2|+|﹣2﹣5|+|2﹣5|＝14．下列说法： ①对a，﹣2进行“F运算”的结果是5，则a的值是3； ②对b，﹣5，6进行“F运算”的结果是22，则b的取值范围是﹣5≤b≤6； ③对a，a，b，c进行“F运算”，化简后的结果可能存在8种不同的表达式． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式题13-2】．（2024-2025•碑林区校级月考）将4个数a，b，c，d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义．上述记号叫做2阶行列式，若．则x的值为　 　 ． 【变式题13-3】．（2024-2025•廉江市期末）【阅读理解】 材料一：类比“有理数的乘方”的定义，我们规定：求若干个相同的非零有理数的商的运算，叫作除方，如（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2），3÷3÷3÷3等．把（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作（﹣2）（3）读作“﹣2的括号3次方”；把3÷3÷3÷3记作3（4），读作“3的括号4次方”． 材料二：我们知道除法运算可以转化为乘法运算，例如：． （1）仿照上例，将下列除方运算的结果写成幂的形式： ①（﹣4）（5）； ②； （2）求的值． 【题型14】数轴中的动点问题（培优） 1.核心知识点总结 三要素：起点、速度（右正左负）、时间； 位置：；追及；距离。 2.高频考点梳理 求位置（如“，，秒后”）；追及/距离计算。 3.易错点警示 速度符号错；漏多解（距离问题）。 4.解题技巧拆解 设→写位置式→列方程（追及/距离）→验结果。 【例题14】．（2024-2025•襄城区校级月考）如图，数轴上O、A、B三点对应的数分别是0、a、b，且满足a＝10k+5，且k为最小的正整数，点A、B之间的距离为18个单位长度．小红从B点出发，沿着数轴以每秒3个单位长度的速度匀速向右运动，小亮从A点出发，沿着数轴匀速向右运动． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）如果小红先出发2秒，当小红追上小亮时，此时对应的数是27，求小亮的运动速度． （3）小红和小亮均以（2）中的速度运动，小红和小亮分别从B、A两点同时出发，如果小红从B点出发时带着一条小狗，小狗以每秒6个单位的速度匀速向右运动，当小狗追上小亮时掉头匀速向左运动，当小狗遇上小红时掉头匀速向右运动，依次进行下去，当小红追上小亮时，求小狗所在位置对应的数以及小狗运动的总路程． 【变式题14-1】．（2024-2025•泗阳县校级一模）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　 　 ，点P表示的数是 　 　 （用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【变式题14-2】．（2024-2025•大丰区月考）如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3， （1）点P为数轴上一动点，其对应的数为x． ①若点P到点A、点B的距离相等，则x＝　 　 ； ②若点P到点A、点B的距离之和为10，则x＝　 　 ； （2）若将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合． ①则﹣3表示的点与数 　 　 表示的点重合； ②若数轴上M、N两点之间的距离为2022，且M、N两点经过折叠后互相重合，求M，N两点表示的数． 【变式题14-3】．（2024-2025•方城县期末）综合与探究 【问题情境】 数轴是研究有理数的重要工具，有了数轴这个工具，就可以“用数轴上的点表示数”和“用数表示数轴上的点”，这为我们利用数形结合研究数学问题提供了重要手段．如图1是小亮画的一条数轴． 【观察思考】 （1）点A表示的数是 　 　 ； （2）点B表示的数为，请你在图1的数轴上找到点B，则A，B两点间的距离是 　 　 ； （3）点C也在数轴上，且到点A的距离为2，则点C表示的数为 　 　 ； 【类比探究】 （4）如图2，小敏也画了一条数轴（不完整）．数轴上的点M，N分别表示互为相反数的两个数，并且这两个点间的距离是6． ①点M表示的数是 　 　 ； ②若点M以每秒2个单位长度的速度向右移动，同时数轴上一个动点G以每秒1个单位长度的速度向左移动．经过2秒后，M，G两点间的距离为3，则点G起始位置表示的数为 　 　 ． 同步练习 一．选择题（共4小题） 1．下面计算结果不相等的是（　　） A．（﹣5）2与52 B．（﹣2）3与﹣23 C．|﹣23|与|﹣2|3 D．﹣52与（﹣5）2 2．在，，1和56中，倒数比它本身小的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知|x|＝3，|y|，且x＞y，则的值是（　　） A．6 B．±6 C． D． 4．2×（﹣3）的计算结果是（　　） A．6 B．﹣6 C．﹣5 D．5 二．填空题（共6小题） 5．晋中市在市城区公园、游园、街道两旁栽种了30余万株月季，致力于打造“月季之城”．常见月季花粉的平均直径约为4.01×10﹣5m，将数据4.01×10﹣5m用小数可以表示为　 　 m． 6．比较大小： 　 　 ． 7．比较大小：　 　 ．（填“＞”、“＜”或“＝”） 8．数轴上点A表示的数是﹣3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B，则点B表示的数是 　 　 ． 9．已知下列各数：﹣3，7，，﹣0.86，，0，0.23．其中整数是：　 　 ；非负数是：　 　 ． 10．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后其中有一个奇数是2015，则m的值是 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 11．计算：﹣12024+4×（﹣3）÷（2﹣4）3． 12．计算 （1）（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）； （2）． 13．把下列各数填在相应的大括号内： ． 正数：{ 　 　 …}； 非负整数：{ 　 　 …}； 整数：{ 　 　 …}； 负分数：{ 　 　 …}． 14．计算： （1）； （2）； （3）； （4）（﹣2）×|﹣5|+4﹣3． 15．（1）在数轴上表示下列各数，并用“＜”号连起来． ﹣（﹣3.5），0，﹣|﹣2|，1，，﹣（+4） （2）若点M在数轴上表示的数是﹣1，且MN的长度为7，则点N表示的数是多少？ 16．已知﹣8的绝对值乘的倒数的积是a，求的值． 17．【问题情境】 如图1，送货员计划开车从货物集散中心出发送货（送货地点均在笔直的道路上）．为更直观地显示送货路线，可以将道路表示为如图2所示的以向东为正方向的数轴，货物集散中心在数轴上的原点处，数轴上1个单位长度表示实际距离为1km，送货员开车从货物集散中心出发，先向西行驶4km到达A村，继续向西行驶1km到达B村，最后向东行驶9km到达C村． 【问题发现】 （1）A、B、C三个村庄的位置在数轴上表示的数分别是点A、B、C，请在数轴上表示出点A、B、C的位置； 【初步探究】 （2）若送货员驾驶的汽车的耗油量为0.1升/千米，则该汽车从货物集散中心出发到达C村全程共耗油多少升？ 【拓展延伸】 （3）若在这条道路上有一个便民超市和一所学校，便民超市在数轴上表示的数是m，学校在数轴上表示的数是n，且n位于点B向西2km处的位置，m到点C的距离为3km，求mn的值． 18．超市最近新进了一批百香果，每斤8元，第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元） +1 ﹣2 +3 ﹣1 +2 +5 ﹣4 售出斤数 20 35 10 30 15 5 50 （1）这一周超市售出的百香果单价最高的是星期 　 　 ，最高单价是 　 　 元． （2）超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式：方式一：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打8折；方式二：每斤售价10元，于老师决定买35斤百香果，通过计算说明用哪种方式购买更省钱． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 有理数全章复习 第1部分 全章知识点、重难点与易错点总结 一、核心知识点梳理 1.有理数的定义与分类：整数（正整数、0、负整数）和分数统称有理数；按正负分：正有理数、0、负有理数；按定义分：整数、分数。 2.数轴：三要素为原点、正方向、单位长度；有理数与数轴上的点一一对应（向右为正方向时，右边的数大于左边的数）。 3.相反数：若与互为相反数，则；的相反数是（0的相反数是0），数轴上表示相反数的点关于原点对称。 4.绝对值：表示数轴上到原点的距离；法则：当时，；当时，；当时，(，即非负性)。 5.科学记数法与近似数：科学记数法表示为(，为整数)；近似数需明确精确位数(如精确到千分位)。 6.有理数运算： 加减：同号相加取相同符号并把绝对值相加，异号相加取绝对值较大符号再相减；减法转化为加相反数()。 乘除：同号得正、异号得负，绝对值相乘/除；除法转化为乘倒数(，)。 乘方：表示个相乘；正数任何次幂正，负数奇次幂负、偶次幂正(，)。 混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内(小→中→大)。 二、重难点突破 1.重点突破： 有理数混合运算：关键抓“符号”(先定符号，再算绝对值)和“顺序”(严格遵循运算优先级)。 绝对值应用：化简需先判断的正负；比较有理数大小可借助绝对值(负数绝对值大的反而小)。 2.难点突破： 绝对值非负性：若，则且(多个非负数和为0，各数均为0)。 乘方符号规律：区分(底数为)和(底数为，结果取负)，如，。 实际应用：先设定正负意义(如“收入为正，支出为负”)，再转化为有理数运算。 三、高频易错点警示 1.有理数分类遗漏0：0既不是正数也不是负数，单独归为一类，勿将其划入正/负有理数。 2.绝对值化简错误：忽略的正负，直接写(如错算为，正确为3)。 3.乘方底数混淆：误将理解为，前者底数是2，后者底数是，结果不同。 4.混合运算顺序混乱：如先算“”中的，再乘4(正确：先算，再算)。 5.科学记数法错误：的范围超(如12000错写为，正确为)，或指数算错位数。 6.近似数精确位误判：如“万”精确到百位(非百分位)，“”精确到千分位（非百分位）。 第2部分 常考题型分析及题型举一反三 【题型1】有理数的分类与概念辨析 1.核心知识点总结 定义：整数（正整数、、负整数）和分数统称有理数，有限/无限循环小数属分数； 分类：①按定义分“整数、分数”；②按性质分“正有理数、、负有理数”； 的特殊性：非正非负，是正负数分界。 2.高频考点梳理 判断数的类别（如“是负分数，非有理数”）； 填数集（如“，，中，正分数集”）。 3.易错点警示 误将归为有理数；漏；混淆“正整数”与“整数”。 4.解题技巧拆解 定分类标准→辨数的属性→小数化分数再判断。 【例题1】．（2024-2025•西湖区校级月考）在数，0，4.5，|﹣9|，﹣6.79中，属于正有理数的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】求一个数的绝对值，先计算绝对值，再根据正有理数是大于0有理数即可得到答案． 【解答】解：，0，4.5，|﹣9|，﹣6.79， |﹣9|＝9， 正有理数有4.5，|﹣9|，共2个， 故选：A． 【点评】本题考查了有理数和绝对值，解题的关键是掌握有理数的定义和绝对值的定义． 【变式题1-1】．（2024-2025•徐汇区期末）在﹣2，0.31，17，0，，1中，非负数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据有理数的分类即可求出答案． 【解答】解：0.31、17、0、1是非负数，共有4个， 故选：C． 【点评】本题考查有理数的分类，解题的关键是正确理解有理数的分类，本题属于基础题型． 【变式题1-2】．（2024-2025•紫阳县月考）把下列各数填在相应的大括号内： ． 正数：{ 　6，2.4，　 …}； 非负整数：{ 　6，0　 …}； 整数：{ 　6，﹣3，0，﹣17　 …}； 负分数：{ 　，﹣1.414　 …}． 【答案】6，2.4，； 6，0； 6，﹣3，0，﹣17； ，﹣1.414． 【分析】根据正数、非负整数、整数、负分数的定义直接求解即可． 【解答】解：正数：{6，2.4，}， 非负整数：{6，0…}， 整数：{6，﹣3，0，﹣17…}， 负分数：{}． 故答案为：6，2.4，； 6，0； 6，﹣3，0，﹣17； ，﹣1.414． 【点评】本题考查了正数、非负整数、整数、负分数的定义，解题的关键是熟悉正数、非负整数、整数、负分数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【变式题1-3】．（2024-2025•伊通县校级月考）把下列各数填在相应的横线上． 90%，π，4.3，+72，0，﹣6.4，﹣12，，﹣5.1，2025， （1）整数：　+72，0，﹣12，2025　 ； （2）分数：　90%，4.3，﹣6.4，，﹣5.1，　 ； （3）非负数：　90%，π，4.3，+72，0，，2025　 ； （4）负有理数：　﹣6.4，﹣12，﹣5.1，　 ． 【答案】（1）+72，0，﹣12，2025； （2）90%，4.3，﹣6.4，，﹣5.1，； （3）90%，π，4.3，+72，0，，2025； （4）﹣6.4，﹣12，﹣5.1，． 【分析】（1）根据整数、分数、非负数、负有理数的定义，对给出的数进行分类． （2）根据整数、分数、非负数、负有理数的定义，对给出的数进行分类． （3）根据整数、分数、非负数、负有理数的定义，对给出的数进行分类． （4）根据整数、分数、非负数、负有理数的定义，对给出的数进行分类． 【解答】解：（1）根据题意可知，整数有：+72，0，﹣12，2025， 故答案为：+72，0，﹣12，2025． （2）根据题意可知，分数有：90%，4.3，﹣6.4，，﹣5.1，， 故答案为：90%，4.3，﹣6.4，，﹣5.1，． （3）根据题意可知，非负数有：90%，π，4.3，+72，0，，2025， 故答案为：90%，π，4.3，+72，0，，2025． （4）根据题意可知，负有理数有：﹣6.4，﹣12，﹣5.1，， 故答案为：﹣6.4，﹣12，﹣5.1，． 【点评】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握整数、分数、非负数、负有理数的定义是解题的关键． 【题型2】相反数与绝对值的综合计算 1.核心知识点总结 相反数：与（和为）；绝对值：（正数为本身，负数为相反数）。 2.高频考点梳理 求相反数/绝对值；化简符号（如“”）；非负性求值（如“→，”）。 3.易错点警示 数错负号；漏判绝对值内正负；忽略。 4.解题技巧拆解 符号化简看“”个数；绝对值先判正负再化简；非负和为则各非负项为。 【例题2】．（2024-2025•安徽模拟）有理数|﹣3|的相反数是（　　） A． B． C．3 D．﹣3 【答案】D 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可化简绝对值，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【解答】解：|﹣3|＝3的相反数是﹣3． 故选：D． 【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，注意负数的绝对值是它的相反数． 【变式题2-1】．（2024-2025•紫阳县月考）若a＜0，且|a|＝2，则a的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【答案】D 【分析】已知a＜0，说明a是负数，再结合|a|＝2，根据负数的绝对值是它的相反数这一性质，即可求出a的值． 【解答】解：∵|a|＝2， ∴a＝2或a＝﹣2， 又∵a＜0， ∴a＝﹣2， 故选：D． 【点评】本题主要考查了绝对值的性质，理解绝对值的定义是解题的关键． 【变式题2-2】．（2024-2025•漳平市期末）已知，a，b是不为0的有理数，且|a|＝﹣a，|b|＝b，|a|＞|b|，那么用数轴上的点来表示a，b时，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质可得a≤0，b≥0，再根据|a|＞|b|可得a距离原点比b距离原点远，进而可得答案． 【解答】解：∵|a|＝﹣a，|b|＝b， ∴a≤0，b≥0， ∵|a|＞|b|， ∴表示数a的点到原点的距离比b到原点的距离大， 故选：C． 【点评】此题主要考查了绝对值，关键是掌握正数绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值为0． 【变式题2-3】．（2024-2025•滁州校级模拟）若一个有理数满足：它的绝对值大于它的相反数，则这个有理数可以是（　　） A．0 B．﹣4 C．2 D．﹣2 【答案】C 【分析】利用相反数和绝对值得意义判断即可． 【解答】解：∵0的绝对值是0，0的相反数也是0， ∴0的绝对值等于它的相反数； ∵﹣4的绝对值是4，﹣4的相反数也是4， ∴﹣4的绝对值等于它的相反数； ∵2的绝对值是2，2的相反数是﹣2， ∴2的绝对值大于它的相反数； ∵﹣2的绝对值是2，﹣2的相反数是2， ∴﹣2的绝对值等于它的相反数； 故选：C． 【点评】本题考查了相反数和绝对值的意义，学生必须熟练掌握． 【题型3】科学记数法与近似数的表示 1.核心知识点总结 科学记数法：（，为整数位数）； 近似数：四舍五入取精度（如“精确到百位”）。 2.高频考点梳理 表示数（如“”）；定精度、取近似值。 3.易错点警示 范围错；忽略科学记数法的精度。 4.解题技巧拆解 找（）→定；精度看还原后最后一位。 【例题3】．（2024-2025•绥中县一模）电影《哪吒之魔童闹海》续写了“我命由我不由天”的东方神话．据灯塔专业版实时数据，截至3月2日10时23分，影片《哪吒之魔童闹海》票房突破142亿元．其中数据142亿用科学记数法表示为（　　） A．0.142×1011 B．1.42×109 C．1.42×1010 D．14.2×109 【答案】C． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：142亿＝14200000000＝1.42×1010． 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【变式题3-1】．（2024-2025•安阳期末）北京大兴国际机场被誉为“世界第七大奇迹”．其旅客航站楼及停车楼是目前国内单体面积最大的绿色建筑，每年可减少二氧化碳排放约2.2万吨，相当于种植119万棵树，其中2.2万精确到（　　） A．万位 B．千位 C．十分位 D．百分位 【答案】B 【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位． 【解答】解：2.2万的最后一位2在千位上，因而精确到千位． 故选：B． 【点评】本题主要考查了近似数精确到的数位的确定方法，容易出现的错误是容易忽视后边的单位：万，错误的认为是精确到十分位． 【变式题3-2】．（2024-2025•上海校级月考）若5.23×10n＝5230000，则n＝　6　 ． 【答案】6． 【分析】科学记数法的标准形式为a×10n（1≤|a|＜10，n为整数），其中n＝原数数位少1． 【解答】解：5.23×106＝5230000， 故答案为：6． 【点评】本题考查写出用科学记数法表示的原数，关键是掌握n与原数的关系． 【变式题3-3】．（2024-2025•姑苏区校级二模）为实现我国2030年前碳达峰、2060年前碳中和的目标，光伏发电等可再生能源将发挥重要作用．去年全国光伏发电量为3259亿千瓦时，数据“3259亿”用科学记数法表示为 　3.259×1011　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【解答】解：3259亿＝325900000000＝3.259×1011， 故答案为：3.259×1011． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【题型4】有理数的加减运算及计算技巧 1.核心知识点总结 加法法则：①同号两数相加，取相同符号，绝对值相加；②异号两数相加，取绝对值较大的符号，用较大绝对值减较小绝对值；③互为相反数的两数相加得；④一个数与相加仍得这个数； 减法法则：（“两变一不变”：减号变加号，减数变相反数，被减数不变）； 加法运算律：交换律，结合律（核心计算技巧依据）。 2.高频考点梳理 直接运算：如“”“”“”； 混合运算简化：①同号结合（如“”）；②凑整结合（如“”）；③同分母结合（如“”）。 3.易错点警示 异号加法符号判断错误（如“”错算为，实际为）； 减法转化为加法时，减数符号漏变（如“”错转为“”，实际为“”）； 混合运算忽略运算顺序，先算加减后算乘除（如“”错算为“”）。 4.解题技巧拆解 步骤1：统一运算类型：将所有减法转化为加法（遵循“两变一不变”），写成“几个正数和负数的和”的形式； 步骤2：巧用运算律简化：①找“互为相反数”的数结合（和为，如“”）；②找“凑整数”的数结合（如小数凑整、整数凑整）；③同号或同分母的数优先结合； 步骤3：按加法法则计算：先定符号，再算绝对值的和或差，确保每一步符号正确。 【例题4】．（2024-2025•紫阳县月考）已知a是﹣5的相反数，b比最小的正整数大3，c是最大的负整数的相反数，求a+b﹣c的值． 【答案】8． 【分析】根据相反数及有理数的定义求出a、b、c，代入a+b﹣c即可求解． 【解答】解：∵a是﹣5的相反数， ∴a＝5， ∵b比最小的正整数大3，最小的正整数是1， ∴b＝1+3＝4， ∵c是最大的负整数的相反数，最大的负整数是﹣1， ∴c＝1， ∴a+b﹣c＝5+4﹣1＝8． 【点评】本题考查有理数的加减混合运算，相反数，熟练掌握相关定义是解题的关键． 【变式题4-1】．（2024-2025•襄城区校级月考）计算： （1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）8；（2）6；（3）6；（4）． 【分析】（1）先去括号，再计算加减即可； （2）先将分数转化为小数，再去括号，最后计算加减即可； （3）先去括号，再计算加减即可； （4）先去括号，并计算绝对值，再通分，最后计算加减即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣12﹣5﹣14+39 ＝8； （2）原式＝（﹣0.5）﹣（﹣3.25）+3.75﹣（+0.5） ＝﹣0.5+3.25+3.75﹣0.5 ＝6； （3）原式 ＝6； （4）原式 ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算的法则是解题的关键． 【变式题4-2】．（2024-2025•西湖区校级月考）计算： （1）5+（﹣6）； （2）（﹣72）+9.2﹣（﹣7）+（﹣8）； （3）； （4）． 【答案】（1）﹣1；（2）﹣63.8；（3）﹣1.5；（4）． 【分析】（1）根据有理数加减运算法则计算即可； （2）先化简多重符号，再进行加减运算； （3）先化简多重符号，再利用加法交换律与结合律进行简便计算； （4）先通分，再进行加减运算． 【解答】解：（1）原式＝5﹣6 ＝﹣1； （2）原式＝﹣72+9.2+7﹣8 ＝﹣（72+8）+（9.2+7） ＝﹣80+16.2 ＝﹣63.8； （3）原式 ＝1﹣2.5 ＝﹣1.5； （4）原式 ． 【点评】本题考查有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减混合运算的法则是解题的关键． 【变式题4-3】．（2024•莲池区校级开学）李老师在黑板板书了两道例题的解题过程： 运用“被减数、减数同时增加或减小相同的数，它们的差不变”的性质，可以使一些运算过程变得简便． 例1； 例2． 请你参考黑板中老师的讲解，用上述运算性质简便计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）仿照例1求解即可； （2）仿照例2求解即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是关键． 【题型5】有理数的乘法运算与符号判断（提升） 1.核心知识点总结 法则：同号得正，异号得负，绝对值相乘；多因数乘“奇负偶正”。 2.高频考点梳理 两数乘（如“”）；多因数乘（如“”）。 3.易错点警示 数错负因数个数；混淆乘加法则。 4.解题技巧拆解 定符号→算绝对值积；找“凑整、倒数”简化。 【例题5】．（2024-2025•中山市校级期中）计算（﹣2025）×（﹣1）的结果等于（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数乘法法则直接计算即可． 【解答】解：（﹣2025）×（﹣1） ＝2025×1 ＝2025． 故选：A． 【点评】本题考查有理数的乘法，解决本题的关键是根据有理数乘法的计算法则计算． 【变式题5-1】．（2024-2025•和平区校级一模）2×（﹣3）的计算结果是（　　） A．6 B．﹣6 C．﹣5 D．5 【答案】B 【分析】根据有理数乘法的运算法则，求出2×（﹣3）的计算结果即可． 【解答】解：2×（﹣3）＝﹣6． 故选：B． 【点评】此题主要考查了有理数的乘法的运算方法，解答此题的关键是要明确有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 【变式题5-2】．（2024-2025•北京校级开学）|π﹣3.14|＝　π﹣3.14　 ． 　﹣1　 ． 【答案】π﹣3.14；﹣1． 【分析】分别根据绝对值的性质和有理数的乘法运算法则计算即可． 【解答】解：|π﹣3.14|＝π﹣3.14， （）×（﹣18）×（） 18 ＝﹣1． 故答案为：π﹣3.14；﹣1． 【点评】本题考查了绝对值的性质，有理数的乘法运算，熟练掌握这些知识点是关键． 【变式题5-3】．（2024-2025•襄城区校级月考）用简便方法计算 （1）99（﹣9） （2）（﹣5）×（﹣3）+（﹣7）×（﹣3）+12×（﹣3） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）将99变形为（100），然后依据乘法的分配律进行计算即可； （2）逆用乘法的分配律计算即可． 【解答】解：（1）原式＝（100）×（﹣9） ＝﹣900 ＝﹣899． （2）原式＝（﹣5﹣7+12）×（﹣3） ＝0×（﹣3） ＝0． 【点评】本题主要考查的是有理数的乘法，应用乘法分配律进行简便计算是解题的关键． 【题型6】有理数的除法运算与倒数应用（提升） 1.核心知识点总结 法则：（）；倒数：积为的两数（无倒数）。 2.高频考点梳理 两数除（如“”）；求倒数（如“的倒数”）。 3.易错点警示 转乘法忘乘倒数；漏倒数符号。 4.解题技巧拆解 除法转乘法→按乘法算；小数化分数求倒数。 【例题6】．（2024-2025•普宁市校级开学）已知|x|＝3，|y|，且x＞y，则的值是（　　） A．6 B．±6 C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的性质以及x＞y求出x，y的值，再根据除法法则进行计算即可． 【解答】解：∵， ∴， ∵x＞y，即x恒大于y， ∴x≠﹣3， ∴只分两种情况： ①时，， ②时，． 故选：B． 【点评】考查分类讨论思想，注意对条件的分析，做出正确的分类，训练基础的有理数的除法、绝对值知识． 【变式题6-1】．（2024-2025•望奎县期末）在，，1和56中，倒数比它本身小的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分别求出每个数的倒数，再比较即可． 【解答】解：的倒数是，； 的倒数是，； 1的倒数是1； 56的倒数是，； 所以倒数比它本身小的个数有2个， 故选：B． 【点评】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 【变式题6-2】．（2024-2025•宝山区校级期末）定义：a是不为1的数，我们把称为a的差倒数，如的差倒数，已知，y是x的差倒数，求y的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据新定义列式为，再按照分数的混合运算的运算顺序进行计算即可． 【解答】解：∵，y是x的差倒数， ∴． 【点评】本题考查的是新定义运算，分数的混合运算，列出正确的运算式是解本题的关键． 【变式题6-3】．（2017秋•万州区期末）一个能被13整除的自然数我们称为“十三数”，“十三数”的特征是：若把这个自然数的末三位与末三位以前 的数字组成的数之差，如果能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除．例如：判断383357能不能被13整除，这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两个数的差是383﹣357＝26，26能被13整除，因此383357是“十三数”． （1）判断3253和254514是否为“十三数”，请说明理由． （2）若一个四位自然数，千位数字和十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间同数”． ①求证：任意一个四位“间同数”能被101整除． ②若一个四位自然数既是“十三数”，又是“间同数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据“十三数”的特征，列出算式求解即可； （2）①设任意一个四位“间同数”为（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），列式计算可得10a+b，从而求解； ②解法一：可以结合①，101（10a+b）是13的倍数，根据a，b是1﹣9的整数，那么当a取得最大时，是9，对应的b是1，最小的话是a＝1，对应的b＝3，计算差可得结论； 解法二：同理设出这个四位“间同数”为（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），可知101b+9a是13的倍数，分别讨论可得结论． 解法三：可借助于第一小问．4位的间同数可表示为101（10a+b），因其能被13整除，而101不能被13整除，所以10a+b是13的倍数，故10a+b最小为13，最大为91．从而可得结论；也可以从101（10a+b）是13的倍数，所以这样的四位数需是13×101的倍数．故最小为1313，最大为9191． 【解答】（1）解：3253不是“十三数”，254514是“十三数”，理由如下： ∵3﹣253＝﹣250，不能被13整除， ∴3253不是“十三数”， ∵254﹣514＝﹣260，﹣260÷13＝﹣20 ∴254514是“十三数”； （2）①证明：设任意一个四位“间同数”为（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数）， ∵10a+b， ∵a、b为整数， ∴10a+b是整数， 即任意一个四位“间同数”能被101整除； ②解：解法一：由①可知：这个四位“间同数”表示为101（10a+b），它是13的倍数， ∵1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数， ∴当a＝9，b＝1时，最大为9191， 当a＝1，b＝3时，最小为1313， ∴9191﹣1313＝7878； 解法二：设任意一个四位“间同数”为（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数）， ∵， ∵这个四位自然数是“十三数”， ∴101b+9a是13的倍数， 当a＝1，b＝3时，101b+9a＝303+9＝312，312÷13＝24，此时这个四位“间同数”为：1313； 当a＝2，b＝6时，101b+9a＝606+18＝624，624÷13＝48，此时这个四位“间同数”为：2626； 当a＝3，b＝9时，101b+9a＝909+27＝736，936÷13＝72，此时这个四位“间同数”为：3939； 当a＝5，b＝2时，101b+9a＝202+45＝247，247÷13＝19，此时这个四位“间同数”为：5252； 当a＝6，b＝5时，101b+9a＝505+54＝559，559÷13＝43，此时这个四位“间同数”为：6565； 当a＝7，b＝8时，101b+9a＝808+63＝871，871÷13＝67，此时这个四位“间同数”为：7878； 当a＝9，b＝1时，101b+9a＝101+81＝182，182÷13＝14，此时这个四位“间同数”为：9191； 综上可知：这个四位“间同数”最大为9191，最小为1313， 9191﹣1313＝7878， 则满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差为7878； 解法三：由①可设4位的间同数可表示为101（10a+b），因其能被13整除，而101不能被13整除，所以10a+b是13的倍数，故10a+b最小为13，最大为91 ∴最大值与最小值之差为：101（91﹣13）＝7878． 【点评】此题主要考查了新定义，数的整除，解本题的关键是理解新定义，掌握数的整除是解本题的难点． 【题型7】有理数的乘方运算与符号规律（提升） 1.核心知识点总结 定义：（个相乘）；符号：负数奇次负、偶次正。 2.高频考点梳理 计算乘方（如“，”）；混合运算。 3.易错点警示 混淆与；指数理解错（如“错算为”）。 4.解题技巧拆解 定底数→判符号→算绝对值乘方。 【例题7】．（2024-2025•普宁市校级开学）下面计算结果不相等的是（　　） A．（﹣5）2与52 B．（﹣2）3与﹣23 C．|﹣23|与|﹣2|3 D．﹣52与（﹣5）2 【答案】D 【分析】根据绝对值和乘方的意义化简后即可判断． 【解答】解：A．（﹣5）2＝25，52＝25，故本选项不符合题意； B．（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，故本选项不符合题意； C．|﹣23|＝8，|﹣2|3＝8，故本选项不符合题意； D．﹣52＝﹣25，（﹣5）2＝25，故本选项符合题意． 故选D． 【点评】本题考查了绝对值，有理数的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式题7-1】．（2023秋•合肥期末）计算：． 【答案】． 【分析】根据混合运算法则，先算乘方，再算绝对值符号里面的，最后算乘除即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握实数混合运算法则． 【变式题7-2】．（2024-2025•游仙区校级开学）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后其中有一个奇数是2015，则m的值是 　45　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m3的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数2015的是从3开始的第1007个数，然后确定出1007所在的范围即可得解． 【解答】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数， ∴m3分裂成m个奇数， 所以，到m3的奇数的个数为：2+3+4+…+m， ∵2n+1＝2015，n＝1007， ∴奇数2015是从3开始的第1007个奇数， ∵989，1034， ∴第1007个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个， 即m＝45． 故答案为：45． 【点评】本题是对数字变化规律的考查，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式． 【变式题7-3】．（2024-2025•内黄县期末）（1）根据已知条件填空： ①已知（﹣1.1）2＝1.21，那么（﹣11）2＝ 　121　 ，（﹣0.11）2＝ 　0.0121　 ； ②已知（﹣4）3＝﹣64，那么（﹣40）3＝ 　﹣64000　 ，（﹣0.4）3＝ 　﹣0.064　 ． （2）观察上述计算结果，我们可以看出： ①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动 　2　 位； ②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动 　3　 位． （3）已知1.22＝1.44，1.23＝1.728，1.24＝2.076． 填空：①（﹣120）3＝ 　﹣1728000　 ；②（﹣0.12）4＝ 　0.0002076　 ． 【答案】（1）①121，0.0121；②﹣64000，﹣0.064； （2）2；3； （3）﹣1728000；0.0002076． 【分析】（1）利用有理数的乘方运算计算； （2）利用有理数的乘方运算计算； （3）利用有理数的乘方运算计算． 【解答】解：（1）①已知（﹣1.1）2＝1.21，那么（﹣11）2＝ 121，（﹣0.11）2＝ 0.0121； ②已知（﹣4）3＝﹣64，那么（﹣40）3＝﹣64000，（﹣0.4）3＝﹣0.064； 故答案为：①121，0.0121；②﹣64000，﹣0.064； （2）①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动 2位； ②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动 3位； 故答案为：2；3； （3）已知1.22＝1.44，1.23＝1.728，1.24＝2.076． 填空：①（﹣120）3＝﹣1728000；②（﹣0.12）4＝ 0.0002076． 故答案为：﹣1728000；0.0002076． 【点评】本题考查了有理数的乘方运算，解题的关键是掌握有理数的乘方运算法则． 【题型8】有理数的混合运算顺序与技巧（提升） 1.核心知识点总结 顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号内；分配律。 2.高频考点梳理 基础运算（如“”）；分配律简化（如“”）。 3.易错点警示 运算顺序错；分配律漏乘/符号错。 4.解题技巧拆解 标运算等级→分步算；分配律按项乘再求和。 【例题8】．（2024-2025•重庆校级开学）脱式计算，能简便的用简便方法计算． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）0.25； （3）7； （4）． 【分析】（1）可将998转化为（999﹣1），然后利用乘法分配律进行简便计算． （2）按照四则运算顺序，先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法和加法，最后算括号外的除法． （3）将除法转化为乘法，然后按照从左到右的顺序依次计算． （4）先去小括号，小括号前是减号，去括号后括号内的减号要变加号，再计算中括号内的式子，最后算乘法． 【解答】解：（1）原式 ； （2） ＝3.9÷[12+3.6] ＝3.9÷15.6 ＝0.25； （3） ＝7； （4） ． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握四则运算的运算顺序（先算乘除，后算加减，有括号的先算括号里面的）以及乘法分配律（a+b）×c＝a×c+b×c是解题的关键． 【变式题8-1】．（2024-2025•高碑店市月考）关于题目“用简便方法计算：1992+199．”嘉嘉和淇淇两位同学计算的方式如下： 嘉嘉： 1992+199 ＝199×（199+1） ＝199×200 ＝39800． 淇淇： 1992+199 ＝1992+199+1﹣1 ＝（199+1）2﹣1 ＝39999． 其中过程和结果都正确的是（　　） A．只有嘉嘉 B．只有淇淇 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】A 【分析】运用乘法公式可计算出两位同学的计算结果，再进行判断即可． 【解答】解：嘉嘉的解法： 1992+199 ＝199×（199+1） ＝39800． 过程正确，结果正确； 淇淇的解法： 1992+199 ＝（200﹣1）2+199 ＝2002﹣2×200+12+199 ＝39800． 故过程错误，结果也错误； 故选：A． 【点评】本题主要考查乘法公式的应用，熟练掌握该知识点是关键． 【变式题8-2】．（2024-2025•山丹县校级月考）下列是甲、乙两位同学简便计算“”的方法，下列判断正确的是（　　） 甲同学：原式 乙同学：原式 A．只有甲的方法正确 B．只有乙的方法正确 C．甲、乙的方法都正确 D．甲、乙的方法都不正确 【答案】C 【分析】根据有理数的乘法运算律计算即可． 【解答】解：甲同学： ； 乙同学： 所以甲、乙的方法都正确． 故选：C． 【点评】本题主要查了有理数的混合运算，正数和负数，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 【变式题8-3】．（2024-2025•乳山市期末）【信息提取】“转化”是一种解决问题的常用策略，借助图形可以发现并建立相应的数量关系，进而找到问题解决的方法．如在计算“1+3+5+7+9+11＝？”时，可以利用图1进行绘图得到图2，将问题转化为“62＝？”，实现简便计算． 【问题探究】 （1）利用图3进行绘图，并依据绘图进行简便计算： ； （2）猜想：　　 ；（直接写结果） 【问题解决】 （3）计算：． 【答案】（1）； （2） （3）． 【分析】（1）把正方形看作单位量“1”，利用图形把转化成进行计算即可． （2）仿（1）的方法即可得出答案； （3）将转化成，再利用（2）的结论计算即可． 【解答】解：（1）如图， ； （2）， 故答案为：． （3） ． 【点评】本题考查有理数的混合运算，利用图形对简便计算有理的运算是解题的关键． 【题型9】有理数运算的实际应用（提升） 1.核心知识点总结 正负数表相反量（收入正、支出负等）；运算结果对应实际意义。 2.高频考点梳理 收支计算（如“收入、支出，余额”）；库存/位置计算。 3.易错点警示 正负意义混；解读结果错（如“元错为收入”）。 4.解题技巧拆解 定基准与正方向→转正负数运算→解读结果。 【例题9】．（2024-2025•柳北区开学）小萱和爸爸打车去商场，8：20上车，9：50到达，打车收费标准：前3千米收费10元，超过3千米后每公里收费2.5元（不足1千米按1千米算），已知行驶路程是12.5千米，需要支付车费多少元？ 【答案】35元． 【分析】先计算出超过3千米的路程，然后根据收费标准分别计算两部分的费用，最后将两部分费用相加即可． 【解答】解：行驶路程为12.5﹣3＝9.5（千米）， 9.5千米按10千米计算， 需要支付车费2.5×10+10＝35（元）， 答：需要支付车费35元． 【点评】本题考查了分段计费问题，解题的关键是理解题意，明确分段计算的方法． 【变式题9-1】．（2024-2025•深圳期中）妈妈在超市买了一袋面粉，发现包装袋上有这样一段字样：“净重：800±5g”． （1）这段文字表示这袋面粉的重量在　795　 g和　805　 g之间． （2）在一次检测中，检验员从一个包装箱中任取了5袋有上述字样的面粉，记录如下： 袋号 1 2 3 4 5 质量/g 803 798 800 794 805 请你结合（1）和上表中的数据，以800g为标准，超出标准记为正，不足800g的记为负，用正、负数表示出这5袋面粉的质量，并判断这5袋面粉中不合格的有　1　 袋． 【答案】（1）795，805； （2）袋1﹣5分别标记为：+3g，﹣2g，+0g，﹣6g，+5g，1． 【分析】（1）根据净重为800±5g即可解决问题； （2）先用正负数分别表示出这5袋面粉的质量，再对所给5袋面粉的质量依次进行判断即可． 【解答】解：（1）由题知， 因为面粉的净重为800±5g， 则800﹣5＝795（克），800+5＝805（克）， 所以这段文字表示这袋面粉的重量在795g和805g之间． 故答案为：795，805； （2）由题知． 因为803﹣800＝3g， 所以1号袋面粉的质量是+3g， 故1号袋面粉合格． 因为800﹣798＝2g， 所以2号袋面粉的质量是﹣2g， 故2号袋面粉合格． 因为800﹣800＝0g， 所以3号袋面粉的质量是+0g， 故3号袋面粉合格． 因为800﹣794＝6g， 所以4号袋面粉的质量是﹣6g， 故4号袋面粉不合格． 因为805﹣800＝5g， 所以5号袋面粉的质量是+5g， 故5号袋面粉合格． 因此这5袋面粉中不合格的有1袋． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了正数和负数，熟知正负数可以表示实际生活中具有相反意义的量是解题的关键． 【变式题9-2】．（2024-2025•乳山市期末）小颖在超市买了一盒某种品牌的蛋糕（共计6个），她把6个蛋糕的质量称重后统计如下表（表一）： 蛋糕序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） 69.3 70.2 70.8 69.6 69.4 71 （1）为了简化运算，小颖选取了一个标准质量，依据标准质量把每个蛋糕质量超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出下表（表二）．请把表格补充完整： 蛋糕序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） 　﹣0.7　 +0.2 　+0.8　 ﹣0.4 　﹣0.6　 　+1　 （2）已知蛋糕包装盒标记的总质量为（420±2）克，小颖买的蛋糕在总质量方面是否合格？利用“表二”中的数据通过计算说明理由． 【答案】（1）﹣0.7；+0.8；﹣0.6；+1； （2）合格，理由如下： 由题意可得6盒蛋糕标准总质量为6×70＝420（克）， ∵﹣0.7+0.2+0.8﹣0.4﹣0.6+1＝0.3（克）＜2克， 则蛋糕在总质量方面是合格的． 【分析】（1）根据表格数据先求得标准质量，然后根据正数和负数的实际意义即可求得答案； （2）根据正数和负数的实际意义，结合“表二”中的数据列式计算后即可得出结论． 【解答】解：（1）70.2克记作+0.2克， 则标准质量为70.2﹣0.2＝70（克）， 则69.3克记作﹣0.7克，70.8克记作+0.8克，69.4克记作﹣0.6克，71克记作+1克， 故答案为：﹣0.7；+0.8；﹣0.6；+1； （2）合格，理由如下： 由题意可得6盒蛋糕标准总质量为6×70＝420（克）， ∵﹣0.7+0.2+0.8﹣0.4﹣0.6+1＝0.3（克）＜2克， 则蛋糕在总质量方面是合格的． 【点评】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 【变式题9-3】．（2024-2025•宁强县期末）小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下： ﹣2，+5，﹣1，+8，﹣3，﹣2，﹣4，+7． （注：向西记作“﹣”，向东记作“+”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题： （1）小王师傅在A处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A处什么方向？距A处多远？ （2）公司规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱，小王师傅接送8次乘客共收车费多少元？ 【答案】（1）他此时在出发地A处东边，距A处8千米； （2）小王师傅接送8次乘客共收车费104元． 【分析】（1）根据有理数的加法，把相反意义的行程理数相加求和，根据正数在东，负数在西方可得答案； （2）判断出大于3千米与小于3千米的，根据收费标准列式求解即可得到答案； 【解答】解：（1）﹣2+5+（﹣1）+8+（﹣3）+（﹣2）+（﹣4）+7＝8＞0， 答：他此时在出发地A处东边，距A处8千米； （2）只有+5，+8，﹣4，+7四次大于3千米， 分别超过：2千米，5千米，1千米，4千米， 费用为：8×10+（2+5+1+4）×2 ＝80+12×2 ＝104（元）， 答：小王师傅接送8次乘客共收车费104元． 【点评】本题考查正负数的意义，有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算是解题的关键． 【题型10】绝对值的非负性与代数式求值（培优） 1.核心知识点总结 非负性：，；和为则各非负项为。 2.高频考点梳理 求值（如“→，”）；代数式计算。 3.易错点警示 漏非负数种类；代入符号错。 4.解题技巧拆解 识非负形式→列方程求字母→代入代数式算。 【例题10】．（2024-2025•西吉县校级期末）已知a的相反数是它本身，b是最小的正整数，|c+3|＝0，求a﹣b﹣c的值． 【答案】2． 【分析】根据相反数的定义和绝对值的性质分别求出a、b、c的值，再利用有理数的减法运算法则计算即可． 【解答】解：根据题意可知，a的相反数是它本身，b是最小的正整数， ∴a＝0，b＝1， ∵|c+3|＝0， ∴c+3＝0，解得：c＝﹣3， ∴a﹣b﹣c＝0﹣1﹣（﹣3）＝0﹣1+3＝2． ∴a﹣b﹣c的值为2． 【点评】本题考查了相反数、绝对值、有理数的减法，掌握相反数的定义，绝对值的性质，有理数的减法运算法则是解题的关键． 【变式题10-1】．（2024-2025•商南县期末）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为1，p是数轴上到原点距离为1的数，求p2024﹣cd1的值． 【答案】2． 【分析】利用相反数，绝对值，倒数以及数轴的特点求出各自的值，代入原式计算即可求出值． 【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为1，p是数轴上到原点距离为1的数， ∴a+b＝0，cd＝1，m＝1或﹣1，p＝﹣1或1， ∴p2024＝（±1）2024＝1，m2＝（±1）2＝1， 则 ＝1﹣1+0+1+1 ＝2． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，数轴，掌握有理数的混合运算法则是关键． 【变式题10-2】．（2024-2025•紫阳县月考）已知a、b均为有理数，现规定一种新运算，满足a*b．例如1*2． （1）求2*（﹣4）的值； （2）求（1*3）*（﹣2）的值． 【答案】（1）﹣1； （2）． 【分析】（1）根据题目中给出的新定义列式计算即可； （2）根据题目中给出的新定义列式计算即可． 【解答】解：（1）∵， ∴； （2）由题意得，， ∴． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，根据题目中给出的新定义列出式子并正确运算为解题关键． 【变式题10-3】．（2024-2025•北碚区校级月考）（1）若有理数x，y满足|x|＝8，|y|＝3，且|x﹣y|＝y﹣x，求x+y的值； （2）已知a，b互为相反数，且a≠0，c，d互为倒数，m的绝对值为5，求的值． 【答案】（1）﹣5或﹣11； （2）﹣6或4． 【分析】（1）根据绝对值的性质确定x，y得值，然后代入x+y中计算即可； （2）由相反数的定义，倒数的定义，绝对值的定义易得a+b＝0，1，cd＝1，m＝±5，将已知数值代入原式计算即可． 【解答】解：（1）∵|x|＝8，|y|＝3， ∴x＝±8，y＝±3， ∵|x﹣y|＝y﹣x， ∴x＜y， ∴x＝﹣8，y＝±3， ∴x+y＝﹣8+3＝﹣5或﹣8﹣3＝﹣11； （2）∵a，b互为相反数，且a≠0，c，d互为倒数，m的绝对值为5， ∴a+b＝0，1，cd＝1，m＝±5， 当m＝5时， 原式＝0﹣1+（﹣1）×5 ＝﹣1﹣5 ＝﹣6， 当m＝﹣5时， 原式＝0﹣1+（﹣1）×（﹣5） ＝﹣1+5 ＝4， 综上，原式的值为﹣6或4． 【点评】本题考查有理数的混合运算，绝对值，相反数，倒数，熟练掌握相关定义及运算法则是解题的关键． 【题型11】数轴上的整点问题（培优） 1.核心知识点总结 整点：表整数的点；线段盖整点：端点整数“长度”，非整数“长度”。 2.高频考点梳理 定长线段盖整点（如“线段至少盖个”）；两点间整点（如“与间有个”）。 3.易错点警示 忽略端点属性；漏算整点。 4.解题技巧拆解 定区间→判端点是否整数→按规律算个数→验证。 【例题11】．（2024-2025•松北区期末）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这条数轴上随意画出一条长2024厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点个数是（　　） A．2020或2021 B．2021或2022 C．2022或2023 D．2024或2025 【答案】D 【分析】分线段的端点与整数点重合、不重合两种情况进行计算即可． 【解答】解：分两种情况： ①当线段AB的一个端点与数轴上的一个整数点重合时，线段AB的另一个端点也会与数轴上的一个整数点重合，此时线段AB盖住的整数点的个数比2024多1，即此时盖住的整数点的个数为2025； ②当线段AB的一个端点与数轴上的整数点不重合时，线段AB的另一个端点也不会与数轴上的整数点重合，此时线段AB盖住的整数点的个数为2024； 故选：D． 【点评】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解线段及端点与数轴上点的对应关系是解决问题的前提． 【变式题11-1】．（2024-2025•会东县校级月考）被墨迹盖住的整数有 　10　 个． 【答案】10． 【分析】把﹣6.3到3.1之间的整数列出来，数一下即可． 【解答】解：﹣6.3到3.1之间的整数有：﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，共10个整数． 故答案为：10． 【点评】此题考查了实数与数轴，弄清数轴上的点表示的数是解本题的关键． 【变式题11-2】．（2024-2025•利津县期末）如图所示，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住的整数共有　7　 个． 【答案】7． 【分析】根据数轴写出所有被盖住的整数即可． 【解答】解：由数轴可得， 被盖住的整数有﹣5，﹣4，﹣3，﹣1，0，1，2， ∴墨迹盖住的整数共有7个， 故答案为：7． 【点评】本题主要考查了有理数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式题11-3】．（2024-2025•吉首市期末）一滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值判断墨迹盖住的整数个数是　13　 ． 【答案】13． 【分析】结合数轴得出墨迹在﹣9.2～3.1的范围内，且要求找出整数，据此即可作答． 【解答】解：依题意，墨迹在﹣9.2～3.1的范围内， ∵要求是整数， ∴满足的数：﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，共有13个． 故答案为：13． 【点评】本题考查了数轴、整数的认识，运用数轴表示数是关键． 【题型12】有理数的规律探究——数阵与循环问题（培优） 1.核心知识点总结 数阵：符号（正负交替）+数值（递增/倍数）规律； 循环：符号/数值按周期重复（如“，，，…”符号周期）。 2.高频考点梳理 数阵找数；循环求第项（如“第项”）。 3.易错点警示 漏符号规律；周期判断错。 4.解题技巧拆解 观符号→找数值规律→验证；循环定周期→表第项。 【例题12】．（2024-2025•右江区期末）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2000年为例：天干为（2000﹣3）÷10＝199……7；地支为（2000﹣3）÷12＝166……5；对照天干地支表得出，2000年为农历庚辰年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断2025年为农历（　　）年． A．乙巳 B．戊申 C．乙申 D．戊巳 【答案】A 【分析】根据题意，列出算式进行计算，然后根据表格中的信息，即可写出2025年对应的农历年． 【解答】解：天干为：（2025﹣3）÷10＝202……2； 地支为：（2025﹣3）÷12＝168……6， 所以2025年应为乙巳年． 故选：A． 【点评】本题考查有理数运算的实际应用，掌握天干，地支的确定方法，正确的列出算式是解题的关键． 【变式题12-1】．（2024-2025•金水区校级期末）正六边形ABCDEF在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形ABCDEF绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数2025所对应的顶点是　C　 ． 【答案】C． 【分析】读懂题意，发现变化规律，利用数轴知识和发现的规律解答． 【解答】解：由题意可知A、B、C、D、E、F、A、B、C、D、E......对应的数分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11......， 6个数为一循环， 2025÷6＝337余数为3， ∴数轴上数2025所对应的顶点是C． 故答案为：C． 【点评】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识． 【变式题12-2】．（2024-2025•岳麓区校级期末）课本再现：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说逢几进一，就是几进制，几进制的基数就是几．规定当a≠0时，a0＝1．日常生活中，我们用十进制来表示数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．例如：168＝1×102+6×101+8×100.计算机中采用的是二进制，只要用到两个数码：0，1．如二进制中的1010＝1×23+0×22+1×21+0×20，可以表示十进制中的10． 密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．例如，有一种密钥破解方式，先将明码二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为，当x为偶数时，破解公式为2x+5．按上述规定，则二进制明码“101101”译成密码为　21　 ． 【答案】21． 【分析】根据题意列式计算即可． 【解答】解：1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20 ＝32+8+4+1 ＝45， 则21， 即二进制明码“101101”译成密码为21， 故答案为：21． 【点评】本题考查有理数的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 【变式题12-3】．（2024-2025•献县开学）（1）观察图1中的规律，求出图2中各字母的值； （2）求图2比图1中6个数的平均数大多少？ 【答案】（1）a＝6，b＝8，c＝﹣2；（2）图2比图1中6个数的平均数大． 【分析】（1）由﹣5+（﹣6）＝﹣11，﹣2+（﹣6）＝﹣8，﹣11+（﹣8）＝﹣19，再总结可得规律即可确定字母的值； （2）根据（1）中规律可得：b＝﹣4+12＝8，c＝12+（﹣14）＝﹣2，a＝b+c＝8+（﹣2）＝6，再进一步计算即可． 【解答】解：（1）根据表格可知，﹣5+（﹣6）＝﹣11， ﹣2+（﹣6）＝﹣8， ﹣11+（﹣8）＝﹣19， ∴图1中的规律为：两肩上的数字和等于头的数字； 根据规律补可得： b＝﹣4+12＝8， c＝12+（﹣14）＝﹣2， a＝b+c＝8+（﹣2）＝8﹣2＝6， （2）图2的6个数的平均数为：， 图1的6个数的平均数为：， ∴， ∴图2比图1中6个数的平均数大． 【点评】本题考查了有理数的减法，掌握有理数的减法的运算法则是关键． 【题型13】有理数的新定义运算（培优） 1.核心知识点总结 按自定义规则（如“”）转常规运算，注意顺序。 2.高频考点梳理 直接计算（如“”）；与方程结合（如“求”）。 3.易错点警示 误解规则；代入顺序错。 4.解题技巧拆解 读规则→代数值→按顺序算；方程题列等式求解。 【例题13】．（2024-2025•云县期末）用“※”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定a※b＝ab+b2．如1※2＝1×2+22＝6，则﹣4※2的值为（　　） A．﹣4 B．8 C．4 D．﹣8 【答案】A 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【解答】解：根据题中的新定义得： ﹣4※2 ＝﹣4×2+22 ＝﹣8+4 ＝﹣4． 故选：A． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【变式题13-1】．（2024-2025•北碚区校级月考）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，比如|x1﹣x2|在数轴上表示数x1，x2对应的点之间的距离．现定义一种“F运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对﹣2，2，5进行“F运算”，得|﹣2﹣2|+|﹣2﹣5|+|2﹣5|＝14．下列说法： ①对a，﹣2进行“F运算”的结果是5，则a的值是3； ②对b，﹣5，6进行“F运算”的结果是22，则b的取值范围是﹣5≤b≤6； ③对a，a，b，c进行“F运算”，化简后的结果可能存在8种不同的表达式． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据“F运算”的运算方法进行运算可判断①和②；先根据“F运算”的运算方法进行运算，再分类化简绝对值符号，即可判断③，综上即可求解． 【解答】解：①由题意得，|m+2|＝5， 解得m＝﹣7或3，故①错误； ②由题意得|b+5|+|b﹣6|+|﹣5﹣6|＝22， 即|b+5|+|b﹣6|＝11， ∴﹣5≤b≤6，故②正确； ③对a，a，b，c进行“F运算”得，2|a﹣b|+2|a﹣c|+|b﹣c|， 当a﹣b≥0，a﹣c≥0，b﹣c≥0，原式＝2（a﹣b）+2（a﹣c）+b﹣c＝4a﹣b﹣3c， 当a﹣b≥0，a﹣c≥0，b﹣c≤0，原式＝2（a﹣b）+2（a﹣c）﹣b+c＝4a﹣3b﹣c， 当a﹣b≥0，a﹣c≤0，b﹣c≤0，原式＝2（a﹣b）﹣2a+2c﹣b+c＝﹣3b+3c， 当a﹣b≥0，a﹣c≥0，b﹣c≤0，原式＝2（a﹣b）+2（a﹣c）﹣b+c＝4a﹣3b﹣c， 当a﹣b≤0，a﹣c≤0，b﹣c≤0，原式＝﹣2a+2b﹣2a+2c﹣b+c＝﹣4a+b+3c， 当a﹣b≤0，a﹣c≥0，b﹣c≥0，原式＝﹣2a+2b+2a﹣2c+b﹣c＝3b﹣3c， 当a﹣b≤0，a﹣c≤0，b﹣c≥0，原式＝﹣2a+2b﹣2a+2c+b﹣c＝﹣4a+3b+c， 当a﹣b≤0，a﹣c≤0，b﹣c≥0，原式＝﹣2a+2b﹣2a+2c+b﹣c＝﹣4a+3b﹣c， ∴a，b，c的“F运算”化简后的结果可能存在8种不同的表达式，故③正确； 故选：C． 【点评】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，理解新定义运算是解题的关键． 【变式题13-2】．（2024-2025•碑林区校级月考）将4个数a，b，c，d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义．上述记号叫做2阶行列式，若．则x的值为　　 ． 【答案】． 【分析】根据新定义得到方程（x+2）2﹣（2﹣x）2＝9，再根据完全平方公式去括号，然后合并同类项，进而解方程即可． 【解答】解：∵， ∴（x+2）2﹣（2﹣x）2＝9， ∴x2+4x+4﹣x2+4x﹣4＝9， ∴8x＝9， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了新定义，完全平方公式、解一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 【变式题13-3】．（2024-2025•廉江市期末）【阅读理解】 材料一：类比“有理数的乘方”的定义，我们规定：求若干个相同的非零有理数的商的运算，叫作除方，如（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2），3÷3÷3÷3等．把（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作（﹣2）（3）读作“﹣2的括号3次方”；把3÷3÷3÷3记作3（4），读作“3的括号4次方”． 材料二：我们知道除法运算可以转化为乘法运算，例如：． （1）仿照上例，将下列除方运算的结果写成幂的形式： ①（﹣4）（5）； ②； （2）求的值． 【答案】（1）①；②54；（2）． 【分析】（1）根据除方的概念的运算法则进行计算； （2）根据除方内容结合有理数的乘除法运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1）①原式＝（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4）÷（﹣4） ； ②原式 ＝54； （2） ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数乘方，掌握有理数乘的混合运算和有理数乘方的运算法则是解题关键． 【题型14】数轴中的动点问题（培优） 1.核心知识点总结 三要素：起点、速度（右正左负）、时间； 位置：；追及；距离。 2.高频考点梳理 求位置（如“，，秒后”）；追及/距离计算。 3.易错点警示 速度符号错；漏多解（距离问题）。 4.解题技巧拆解 设→写位置式→列方程（追及/距离）→验结果。 【例题14】．（2024-2025•襄城区校级月考）如图，数轴上O、A、B三点对应的数分别是0、a、b，且满足a＝10k+5，且k为最小的正整数，点A、B之间的距离为18个单位长度．小红从B点出发，沿着数轴以每秒3个单位长度的速度匀速向右运动，小亮从A点出发，沿着数轴匀速向右运动． （1）a＝　15　 ，b＝　﹣3　 ． （2）如果小红先出发2秒，当小红追上小亮时，此时对应的数是27，求小亮的运动速度． （3）小红和小亮均以（2）中的速度运动，小红和小亮分别从B、A两点同时出发，如果小红从B点出发时带着一条小狗，小狗以每秒6个单位的速度匀速向右运动，当小狗追上小亮时掉头匀速向左运动，当小狗遇上小红时掉头匀速向右运动，依次进行下去，当小红追上小亮时，求小狗所在位置对应的数以及小狗运动的总路程． 【答案】（1）15；﹣3； （2）速度为每秒1.5个单位长度； （3）小狗所在位置对应数为33，小狗运动的总路程为72个单位长度． 【分析】（1）由题意可得k＝1，代入计算即可得出a的值，再结合点A、B之间的距离为18个单位长度，即可得出b的值； （2）先求出小亮的运动时间，再根据速度＝路程÷速度，计算即可得解； （3）先求出小红追上小亮所花的时间，从而即可得出小红追上小亮的位置对应的数以及小狗运动路程． 【解答】解：（1）∵数轴上O、A、B三点对应的数分别是0、a、b，且满足a＝10k+5，且k为最小的正整数， ∴a＝10×1+5＝15， ∵点A、B之间的距离为18个单位长度， ∴b＝15﹣18＝﹣3． 故答案为：15，﹣3； （2）[27﹣（﹣3）﹣3×2]÷3 ＝（27+3﹣6）÷3 ＝24÷3 ＝8（秒）， （27﹣15）÷8 ＝12÷8 ＝1.5（单位长度/秒）． 故小亮的运动速度为1.5单位长度/秒； （3）小红追上小亮所花的时间为：18÷（3﹣1.5）＝12（秒）， ∴小红追上小亮的位置对应的数为：15+1.5×12＝33， ∵小狗以每秒6个单位的速度匀速向右运动，当小狗追上小亮时掉头匀速向左运动，当小狗遇上小红时掉头匀速向右运动，依次进行下去， ∴当小红追上小亮时，小狗运动路程为6×12＝72， 故小狗所在位置对应数为33，小狗运动的总路程为72个单位长度． 【点评】本题考查了数轴、有理数的混合运算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【变式题14-1】．（2024-2025•泗阳县校级一模）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　﹣4　 ，点P表示的数是 　6﹣6t　 （用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由已知得OA＝6，则OB＝AB﹣OA＝4，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表示的数；动点P从点A出发，运动时间为t（t＞0）秒，所以运动的单位长度为6t，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是6﹣6t； （2）①点P运动t秒时追上点Q，由于点P要多运动10个单位才能追上点Q，则6t＝10+4t，然后解方程得到t＝5； ②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则10+4a﹣6a＝8；超过Q，则10+4a+8＝6a；由此求得答案解即可． 【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6， ∴OA＝6， 则OB＝AB﹣OA＝4， 点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为﹣4； 点P运动t秒的长度为6t， ∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴P所表示的数为：6﹣6t； （2）①点P运动t秒时追上点Q， 根据题意得6t＝10+4t， 解得t＝5， 答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； ②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度， 当P不超过Q，则10+4a﹣6a＝8，解得a＝1； 当P超过Q，则10+4a+8＝6a，解得a＝9； 答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 【点评】此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的关系等量关系是解题关键． 【变式题14-2】．（2024-2025•大丰区月考）如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3， （1）点P为数轴上一动点，其对应的数为x． ①若点P到点A、点B的距离相等，则x＝　1　 ； ②若点P到点A、点B的距离之和为10，则x＝　6或﹣4　 ； （2）若将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合． ①则﹣3表示的点与数 　5　 表示的点重合； ②若数轴上M、N两点之间的距离为2022，且M、N两点经过折叠后互相重合，求M，N两点表示的数． 【答案】（1）1； ②6或﹣4； （2）①5； ②﹣1010和1012或1012和﹣1010． 【分析】（1）①根据题意列出方程|x+1|＝|x﹣3|，求解即可； ②根据题意，分两种情况讨论：当P点在A点的左侧时，x＝﹣4，当P点在B点的右侧时，x＝6； （2）①先利用中点公式求出折痕点表示的数，再求解即可； ②设点M表示的数是a，则N点表示的数是a+2022，根据题意可得方程1，求出a的值即可求解． 【解答】解：（1）①∵点P到点A、点B的距离相等， ∴|x+1|＝|x﹣3|， 解得x＝1， 故答案为：1； ②∵点P到点A、点B的距离之和为10， ∴|x+1|+|x﹣3|＝10， 当P点在A点的左侧时，4+2（﹣1﹣x）＝10， 解得x＝﹣4， 当P点在B点的右侧时，4+2（x﹣3）＝10， 解得x＝6； 综上所述：x的值为6或﹣4， 故答案为：6或﹣4； （2）①∵将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合， ∴折叠的点表示的数为1， 设﹣3表示的点与数x重合， ∴1﹣（﹣3）＝x﹣1， 解得x＝5， 故答案为：5； ②设点M表示的数是a，则N点表示的数是a+2022 ∵M、N两点经过折叠后互相重合， ∴1， 解得a＝﹣1010， ∴﹣1010+2022＝1012， ∴M，N两点表示的数分别是﹣1010和1012或1012和﹣1010； 【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键． 【变式题14-3】．（2024-2025•方城县期末）综合与探究 【问题情境】 数轴是研究有理数的重要工具，有了数轴这个工具，就可以“用数轴上的点表示数”和“用数表示数轴上的点”，这为我们利用数形结合研究数学问题提供了重要手段．如图1是小亮画的一条数轴． 【观察思考】 （1）点A表示的数是 　﹣2　 ； （2）点B表示的数为，请你在图1的数轴上找到点B，则A，B两点间的距离是 　2　 ； （3）点C也在数轴上，且到点A的距离为2，则点C表示的数为 　﹣4或0　 ； 【类比探究】 （4）如图2，小敏也画了一条数轴（不完整）．数轴上的点M，N分别表示互为相反数的两个数，并且这两个点间的距离是6． ①点M表示的数是 　﹣3　 ； ②若点M以每秒2个单位长度的速度向右移动，同时数轴上一个动点G以每秒1个单位长度的速度向左移动．经过2秒后，M，G两点间的距离为3，则点G起始位置表示的数为 　6或0　 ． 【答案】（1）﹣2；（2）数轴见解析；；（3）﹣4或0；（4）①﹣3；②6或0． 【分析】（1）观察数轴直接得到答案； （2）列式计算即可； （3）设点C表示表示的数为x，列方程|﹣2﹣x|＝2求解即可； （4）①根据题意得N＝﹣M，列方程N﹣M＝6求解即可； ②设点G表示的数是g，当运动2秒时，列方程|﹣3+2×2﹣（g﹣2）|＝3，求解即可． 【解答】解：（1）由题意得，点A表示的数是﹣2； 故答案为：﹣2； （2）在数轴上表示点B如图所示： 根据题意得； 故答案为：2； （3）设C点表示的数是x，列方程得，|﹣2﹣x|＝2解得x1＝﹣4，x2＝0； 故答案为：﹣4或0； （4）①根据题意得，N＝﹣M列方程得，N﹣M＝6，即﹣2M＝6，解得M＝﹣3； 故答案为：﹣3； ②设点G表示的数是g，根据题意列方程得|（﹣3+2×2）﹣（g﹣2）|＝2，解得g＝6或g＝0． 故答案为：6或0． 【点评】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题．掌握数形结合思想，熟练构建方程式解题的关键． 同步练习 选择题答案快对 题号 1 2 3 4 答案 D B B B 一．选择题（共4小题） 1．下面计算结果不相等的是（　　） A．（﹣5）2与52 B．（﹣2）3与﹣23 C．|﹣23|与|﹣2|3 D．﹣52与（﹣5）2 【答案】D 【分析】根据绝对值和乘方的意义化简后即可判断． 【解答】解：A．（﹣5）2＝25，52＝25，故本选项不符合题意； B．（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，故本选项不符合题意； C．|﹣23|＝8，|﹣2|3＝8，故本选项不符合题意； D．﹣52＝﹣25，（﹣5）2＝25，故本选项符合题意． 故选D． 【点评】本题考查了绝对值，有理数的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 2．在，，1和56中，倒数比它本身小的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分别求出每个数的倒数，再比较即可． 【解答】解：的倒数是，； 的倒数是，； 1的倒数是1； 56的倒数是，； 所以倒数比它本身小的个数有2个， 故选：B． 【点评】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 3．已知|x|＝3，|y|，且x＞y，则的值是（　　） A．6 B．±6 C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的性质以及x＞y求出x，y的值，再根据除法法则进行计算即可． 【解答】解：∵， ∴， ∵x＞y，即x恒大于y， ∴x≠﹣3， ∴只分两种情况： ①时，， ②时，． 故选：B． 【点评】考查分类讨论思想，注意对条件的分析，做出正确的分类，训练基础的有理数的除法、绝对值知识． 4．2×（﹣3）的计算结果是（　　） A．6 B．﹣6 C．﹣5 D．5 【答案】B 【分析】根据有理数乘法的运算法则，求出2×（﹣3）的计算结果即可． 【解答】解：2×（﹣3）＝﹣6． 故选：B． 【点评】此题主要考查了有理数的乘法的运算方法，解答此题的关键是要明确有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 二．填空题（共6小题） 5．晋中市在市城区公园、游园、街道两旁栽种了30余万株月季，致力于打造“月季之城”．常见月季花粉的平均直径约为4.01×10﹣5m，将数据4.01×10﹣5m用小数可以表示为　0.0000401　 m． 【答案】0.0000401． 【分析】将4.01的小数点向左移动5位即可． 【解答】解：将4.01的小数点向左移动5位， 即4.01×10﹣5＝0.0000401． 故答案为：0.0000401． 【点评】本题考查了科学记数法﹣原数，解题的关键在于掌握科学记数法还原规则，即把a的小数点向左移动n位． 6．比较大小： 　＞　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】先计算||，||，然后根据负数的绝对值越大，这个数反而越小即可得到它们的关系关系． 【解答】解：∵||，||， 而， ∴． 故答案为：＞． 【点评】本题考查了有理数的大小比较：正数大于零，负数小于零；负数的绝对值越大，这个数反而越小． 7．比较大小：　＞　 ．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】＞． 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【解答】解：1+（），1+（）， ∵、分子相同，分母不同，且5＜8， ∴， ∴． 故答案为：＞． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 8．数轴上点A表示的数是﹣3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B，则点B表示的数是 　4或﹣10　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】数轴上两点间距离，分为向左移和向右移两种情况进行求解即可． 【解答】解：点A表示的数是﹣3，左移7个单位，得﹣3﹣7＝﹣10， 点A表示的数是﹣3，右移7个单位，得﹣3+7＝4， 所以点B表示的数是4或﹣10； 故答案为：4或﹣10． 【点评】此题主要考查了数轴上的有理数，解答此题的关键是要明确：数轴上的点右移加，左移减． 9．已知下列各数：﹣3，7，，﹣0.86，，0，0.23．其中整数是：　﹣3，7，0　 ；非负数是：　7，，0，0.23　 ． 【答案】﹣3，7，0； 7，，0，0.23． 【分析】利用整数、非负数的概念判断即可得到答案． 【解答】解：﹣3，7，，﹣0.86，，0，0.23． 其中整数是：﹣3，7，0； 非负数是：7，，0，0.23， 故答案为：﹣3，7，0； 7，，0，0.23． 【点评】本题考查了整数、非负数的概念，熟练掌握整数、非负数的概念是解题的关键． 10．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后其中有一个奇数是2015，则m的值是 　45　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m3的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数2015的是从3开始的第1007个数，然后确定出1007所在的范围即可得解． 【解答】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数， ∴m3分裂成m个奇数， 所以，到m3的奇数的个数为：2+3+4+…+m， ∵2n+1＝2015，n＝1007， ∴奇数2015是从3开始的第1007个奇数， ∵989，1034， ∴第1007个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个， 即m＝45． 故答案为：45． 【点评】本题是对数字变化规律的考查，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式． 三．解答题（共8小题） 11．计算：﹣12024+4×（﹣3）÷（2﹣4）3． 【答案】． 【分析】先算乘方，再算乘除，再算加减即可求解． 【解答】解：﹣12024+4×（﹣3）÷（2﹣4）3 ＝﹣1+（﹣12）÷（﹣2）3 ＝﹣1+（﹣12）÷（﹣8） ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 12．计算 （1）（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）； （2）． 【答案】（1）﹣19； （2）3． 【分析】（1）先把减法运算化为加法运算，再根据加法法则计算，即可作答； （2）先把小数化为分数，再把除法化为乘法运算，再根据乘法法则计算，即可作答． 【解答】解：（1）原式＝（﹣20）+（+3）+5+（﹣7） ＝[（﹣20）+（﹣7）]+（3+5） ＝﹣27+8 ＝﹣19； （2）原式 ＝3． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． 13．把下列各数填在相应的大括号内： ． 正数：{ 　6，2.4，　 …}； 非负整数：{ 　6，0　 …}； 整数：{ 　6，﹣3，0，﹣17　 …}； 负分数：{ 　，﹣1.414　 …}． 【答案】6，2.4，； 6，0； 6，﹣3，0，﹣17； ，﹣1.414． 【分析】根据正数、非负整数、整数、负分数的定义直接求解即可． 【解答】解：正数：{6，2.4，}， 非负整数：{6，0…}， 整数：{6，﹣3，0，﹣17…}， 负分数：{}． 故答案为：6，2.4，； 6，0； 6，﹣3，0，﹣17； ，﹣1.414． 【点评】本题考查了正数、非负整数、整数、负分数的定义，解题的关键是熟悉正数、非负整数、整数、负分数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 14．计算： （1）； （2）； （3）； （4）（﹣2）×|﹣5|+4﹣3． 【答案】（1）3； （2）﹣10； （3）1.5； （4）﹣12． 【分析】（1）将减法统一成加法，然后利用加法的交换律与结合律计算即可； （2）利用乘法分配律展开，先算乘法，再算加减即可； （3）先算括号里面的，再算除法即可； （4）先算绝对值，再算乘除，最后算加减即可． 【解答】解：（1）原式＝8+（﹣0.25）+（﹣5）+0.25 ＝[8+（﹣5）]+[（﹣0.25）+0.25] ＝3+0 ＝3； （2）原式（﹣24）（﹣24）（﹣24） ＝﹣14+20﹣16 ＝6﹣16 ＝﹣10； （3）原式＝（1.8﹣1.2） ＝0.6 ＝1.5； （4）原式＝（﹣2）×5+4﹣3×2 ＝﹣10+4﹣6 ＝﹣6﹣6 ＝﹣12． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 15．（1）在数轴上表示下列各数，并用“＜”号连起来． ﹣（﹣3.5），0，﹣|﹣2|，1，，﹣（+4） （2）若点M在数轴上表示的数是﹣1，且MN的长度为7，则点N表示的数是多少？ 【答案】（1） ∴； （2）6或﹣8． 【分析】（1）首先化简各数，然后在数轴上确定表示各数的点的位置，再根据在数轴上表示的有理数左边的数总比右边的数小用“＜”号把这些数连接起来即可； （2）符合条件的点一共有两个，分别在点M左右方向上各一个，然后进行计算即可得到答案． 【解答】解：（1）﹣（﹣3.5）＝3.5，﹣|﹣2|＝﹣2，﹣（+4）＝﹣4， 如图所示： ∴； （2）分两种情况： 当点N在点M左边时，﹣1﹣7＝﹣8， 当点N在点M右边时，﹣1+7＝6， 综上所述：点N表示的数是6或﹣8． 【点评】本题考查了在数轴上表示有理数以及有理数的比较大小，化简绝对值和多重符号，有理数的加法和减法，解题关键是正确在数轴上确定表示各数的点的位置． 16．已知﹣8的绝对值乘的倒数的积是a，求的值． 【答案】6． 【分析】先根据绝对值和倒数定义求出a值，再进行有理数的乘除运算即可求解． 【解答】解：由绝对值、倒数的定义可知，﹣8的绝对值是8，的倒数是3，由题意得， a＝8×3＝24， ∴6． 【点评】本题考查绝对值，倒数，理解绝对值、倒数的定义是正确解答的关键． 17．【问题情境】 如图1，送货员计划开车从货物集散中心出发送货（送货地点均在笔直的道路上）．为更直观地显示送货路线，可以将道路表示为如图2所示的以向东为正方向的数轴，货物集散中心在数轴上的原点处，数轴上1个单位长度表示实际距离为1km，送货员开车从货物集散中心出发，先向西行驶4km到达A村，继续向西行驶1km到达B村，最后向东行驶9km到达C村． 【问题发现】 （1）A、B、C三个村庄的位置在数轴上表示的数分别是点A、B、C，请在数轴上表示出点A、B、C的位置； 【初步探究】 （2）若送货员驾驶的汽车的耗油量为0.1升/千米，则该汽车从货物集散中心出发到达C村全程共耗油多少升？ 【拓展延伸】 （3）若在这条道路上有一个便民超市和一所学校，便民超市在数轴上表示的数是m，学校在数轴上表示的数是n，且n位于点B向西2km处的位置，m到点C的距离为3km，求mn的值． 【答案】（1）； （2）到达C村全程共耗油1.4升； （3）mn的值为﹣7或﹣49． 【分析】（1）以货物集散中心O为原点，以向西的方向为负方向，表示出A村，B村的位置，向东为正表示出C村位置即可； （2）用货车每千米的耗油量乘这辆货车一共行驶的路程，求出这趟路货车共耗油多少升即可； （3）根据n位于点B向西2km处的位置，m到点C的距离为3km，求出m，n的值再求解即可． 【解答】解：（1）∵货车从货物集散中心出发，向西走了4千米到达A村， ∴A表示的数为：﹣4， ∵货车继续向西走1千米到达B村， ∴B表示的数为：（﹣4）+（﹣1）＝﹣5， ∵然后向东走了9千米到达C村， ∴C表示的数为：（﹣5）+（+9）＝+4， ∴A、B、C的位置如下图， ； （2）∵货车所走的路程为：|﹣4|+|﹣1|+|+9|＝14（km）， 汽车的耗油量为0.1升/千米， ∴到达C村全程共耗油＝14×0.1＝1.4（升）， 答：到达C村全程共耗油1.4升； （3）∵B表示的数为﹣5，C表示的数为+4， n位于点B向西2km处的位置，m到点C的距离为3km， ∴n点位于﹣7的位置，m点位于1或7的位置， ∴当m＝1时，mn＝1×（﹣7）＝﹣7， 当m＝7时，mn＝7×（﹣7）＝﹣49， ∴mn的值为﹣7或﹣49． 【点评】本题主要考查了数轴的应用，以及有理数的加减法以及有理数乘法的运算方法，要熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18．超市最近新进了一批百香果，每斤8元，第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元） +1 ﹣2 +3 ﹣1 +2 +5 ﹣4 售出斤数 20 35 10 30 15 5 50 （1）这一周超市售出的百香果单价最高的是星期 　六　 ，最高单价是 　15　 元． （2）超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式：方式一：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打8折；方式二：每斤售价10元，于老师决定买35斤百香果，通过计算说明用哪种方式购买更省钱． 【答案】（1）六；15； （2）用方式一购买更省钱． 【分析】（1）通过看图表的每斤价格相对于标准价格，可直接得结论； （2）计算两种购买方式所需金额，比较可得结论． 【解答】解：（1）由表可知， 这一周超市售出的百香果单价最高的是星期六， 最高单价是10+5＝15（元）， 故答案为：六；15； （2）方式一：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打8折， 即5×12+（35﹣5）×12×0.8＝60+288＝348（元）， 方式二：35×10＝350（元）， 348＜350， 可得用方式一购买更省钱． 【点评】本题考查正负数的应用，有理数混合运算的应用，理解正负号的意义是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $