精品解析：江苏省常州市钟楼区2025-2026学年八年级上学期第一次独立作业数学试卷

2025-2026学年第一学期第一次独立作业202510 八年级数学 注意：满分100分，完成作业时间为90分钟． 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 的算术平方根是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：． 【点睛】本题考查算术平方根的求解，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 2. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，4 B. 3，5，8 C. 4，4，9 D. 4，6，9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边的性质是解题的关键． 根据两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可求解． 【详解】解：A：，不能组成三角形，故此选项不符合题意； B：，不能组成三角形，故此选项不符合题意； C：，不能组成三角形，故此选项不符合题意； D：，能组成三角形，故此选项符合题意．   故选：D ． 3. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的化简法则，分别化简四个选项判断正误即可得到答案． 【详解】解：A. ，故A正确； B．，故B错误； C．，故C错误； D．，故D错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了对二次根式的化简，掌握开根号得到的数是非负数，灵活运用所学知识是解题的关键． 4. 2025年9月9日，常泰长江大桥正式通车．这座公铁合建双层复合型过江通道创下了最大跨度斜拉桥和最大跨度公铁两用钢桁梁拱桥的世界纪录．其斜拉桥部分侧面示意图如图所示，其中，现添加以下条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判断方法． 由，得，还有公共边，结合选项依次判断即可． 【详解】解：A、添加，不能判定，故此选项错误，符合题意； B、添加，能判定，故此选项正确，不符合题意； C、添加，能判定，故此选项正确，不符合题意； D、添加，能判定，故此选项正确，不符合题意； 故选：A． 5. 甲、乙、丙三地如图所示，若想建立一个货物中转仓，使其到甲、乙、丙三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ） A. 三条角平分线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三边中线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质解答即可，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵中转仓到甲、乙、丙三地的距离相等， ∴中转仓的位置应选在三角形三边垂直平分线的交点上， 故选：． 6. 如图，AD是的高，，，，则的度数是（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 【答案】B 【解析】 【分析】根据“SAS”证明Rt△BDE≌Rt△ADC，根据全等三角形的性质得到∠DBE＝∠DAC，根据等腰直角三角形的性质求出∠DAB＝∠DBA＝45°，计算即可． 【详解】解：∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵在Rt△BDE和Rt△ADC中， ∴Rt△BDE≌Rt△ADC（SAS）， ∴∠DBE＝∠DAC， 在Rt△ADB中，AD＝BD， ∴∠DAB＝∠DBA＝45°， ∵∠BAC＝65°， ∴∠DAC＝65°−45°＝20°， ∴∠DBE＝∠DAC＝20°， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 7. 如图，M，N为方格纸中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点P(在格点上)，使得为等腰三角形，则点P的个数为（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查格点作等腰三角形．根据格点可得，根据等腰三角形的性质，分类讨论：①当时；②当时；③当时；根据格点中作等腰三角形的方法，图形结合分析即可求解． 【详解】解：如图所示，为等腰三角形，， ①当时，以点为圆心，以为半径画弧，交格点于点， ∴，， ∴点即为所求； ②当时，以点为圆心，以为半径画弧，交格点于点， ∴， ∴点即为所求； ③当时，作线段的垂直平分线交格点于点， ∴，，则，符合题意， ，，则，符合题意， ∴点即为所求； 综上所述：使得为等腰三角形，则点的个数为个， 故选：C． 8. 如图，点、是边长为的等边的边、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点，则在、运动过程中，下列结论错误的是（ ） A. B. C. 当第2秒或第4秒时，为直角三角形 D. 的度数不变，始终等于 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理等等，先由等边三角形的性质得到，根据题意可得，则，证明，得到，利用三角形内角和定理可证明，则；设运动时间为t秒，则，，当时，则，即，解得；当时，则，即，解得；故当第2秒或4秒时，为直角三角形；当时，则，可证明此时是等边三角形，即，又点M不在上，即不成立，则不成立． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 根据题意得：， ∴， 在和中， ， ∴，故B结论正确，不符合题意； ∴， ∵， ∴， ∴，故D结论正确，不符合题意； 设运动时间为t秒，则，， 当时， ∵， ∴ ∴，即，解得； 当时， ∵， ∴， ∴，即，解得； ∴当第2秒或4秒时，为直角三角形，故C结论正确，不符合题意； ∵， ∴当时，则， ∴此时是等边三角形，即， 又∵点M不在上，即不成立， ∴不成立，故A结论错误，符合题意； 故选：A． 二、填空题（每小题2分，共20分） 9. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求一个数的立方根，根据可得． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 若与是同一个正数a的平方根，则a为______ 【答案】4或 【解析】 【分析】本题考查平方根的定义、互为相反数的两个数和为0，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据与是同一个正数a的平方根，所以或，解得或，即可得或，最后平方得到a的值． 【详解】由与是同一个正数a的平方根， 或， 解得或， 或， 或， 故答案为：4或． 11. 已知：，，，，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等的性质． 【详解】解：， ， 故答案为：5． 12. 已知等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长是______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质、构成三角形的三边关系等知识，先由等腰三角形的性质分类讨论，再结合周长公式及三角形三边关系求解即可得到答案，熟记等腰三角形性质、构成三角形的三边关系等知识是解决问题的关键． 【详解】解：由等腰三角形性质，分两种情况： 当腰是时，三角形的边长为，则该等腰三角形的周长是； 当腰是时，边长为，则由构成三角形的三边关系可知三条边长不能构成三角形，此种情况不存在； 故答案为：12． 13. 如图，，经过点A，，则的度数为 ________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先根据全等三角形的性质得到，再由等边对等角得到，则由三角形内角和定理可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等边对等角得出，根据即可求出的度数，由得出，从而求出的度数，问题得解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，已知，的垂直平分线交于点D，交于点E，的周长等于16，则的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出的周长，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴． 故答案为：6． 16. 如图，在中，是边上的中线，于点．若的面积为24，，则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线、高线等知识点，掌握三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键． 由三角形中线的性质可得，再根据三角形面积公式列方程求出即可． 【详解】解：的面积为24，是边上的中线， ，， ，即， ， ， 故答案为：4． 17. 如图，已知等边三角形纸片，点E在边上，点F在边上，沿折叠，使点落在边上的点的位置，且，则的度数为_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，等边三角形的性质，折叠的性质，由折叠性质可知，通过等边三角形的性质可得，，，由得到，再利用三角形的外角性质即可求出，熟练掌握边三角形和折叠的性质是解题的关键． 【详解】由翻折性质可知：， ∵为等边三角形， ∴，，， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵是由翻折得到， ∴， 故答案为：． 18. 如图，中，，，，D是线段AB上一个动点，以BD为边在外作等边．若F是DE的中点，当CF取最小值时，的周长为____________． 【答案】18 【解析】 【分析】连接BF，由△BDE是等边三角形、点F是DE的中点，可得∠DBF=∠DBE=30°，再由∠ABC=30°，可得∠CBF=60°，即射线BF的位置是固定的，再根据点到直线的距离垂线段最短可得到当CF⊥BF时，CF最短，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质列方程求出BD，最后求周长即可． 【详解】解：解：如图，连接BF， ∵△BDE是等边三角形，点F是DE的中点， ∴∠DBF=∠DBE=30°， 又∵∠ABC=30°， ∴∠CBF=60°， ∴即射线BF的位置是固定的， ∴当CF⊥BF时，CF最短，此时∠BFC=90°，∠BCF=180°-90°-60°=30°， ∴BF=BC. ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6， ∴AB=2AC=12，BC=， ∴BF=， 设BD=2x，则DF=x， ∴，即，解得x=3 ∴BD=6 ∴的周长为18． 故填：18． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，说明射线BF的位置不会随着点D的移动而改变，而点C是射线BF外一点，由此可得当CF⊥BF时，CF的长度最小成为解答本题的关键． 三、作图题（14分） 19. 如图，在8×8的正方形网格中，△ABC的顶点和线段EF的端点都在小正方形的顶点上，这样的三角形叫做格点三角形． （1）填空：∠ABC＝　 　； （2）请你在图中找出所有满足条件的点D（用黑圆点表示，标上D），使得以D、E、F为顶点的格点三角形与△ABC全等． 【答案】（1）135°；（2）4个 【解析】 【分析】（1）根据图形知道CB是一个等腰直角三角形的斜边，所以容易确定∠ABC的度数； （2）D的位置有四种情况，如图所示，其中AB=EF、∠EFD=∠ABC=135°、DF=CB，利用SAS即可证明△EFD≌△ABC． 【详解】解：（1）∠ABC=90°+45°=135°， 故答案为135°； （2）△EFD的位置如图所示： 在△EFD和△ABC中， ， 故△EFD≌△ABC， 这样的D点共有4个，位置如图所示 【点睛】本题重点考查了勾股定理、三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理． 20. 已知直线及其两侧两点，，如图． （1）在直线上求一点，使； （2）在直线上求一点，使直线平分． (以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法) 【答案】（1） 如下图所示：点P即为所求作的点， （2） 如下图所示：点Q即为所求作的点， 【解析】 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的运用，掌握基本作图是解题关键． （1）作线段的垂直平分线与l的交点即为所求； （2）找出点B关于直线l对称的点C，再连接并延长，交直线l于点Q，再作射线即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题 21. 如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，熟练掌握判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法即可证明结论． 根据，可得，由可得，根据即可得出结论． 【详解】略 22. 已知如图：在和中，，，． （1）求证：； （2）求的大小． 【答案】（1） 证明：， ， 即， 在与中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定与性质． （1）先证明，再由证明，然后结合全等三角形的性质即可得答案； （2） 由可得，再结合图形，利用角的和差可得的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ． 23. 如图，在中，，，E为的延长线上一点，过点E作，分别交，于点P，F． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：如图： ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据三线合一得到，再根据平行线得到，，则，即可证明； （2）根据三合一得到，结合三角形内角和定理以及等边对等角即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如上图：∵， ∴ ∴ ∵ ∴， 由（1）可知， ∴． 24. 已知：如图，，、分别是、的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接、， ∵，是的中点， ∴， ∵是的中点， ∴． （2）的长为4． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质和等边三角形的判定和性质； （1）连接、，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，再根据等腰三角形的性质证明即可； （2）先证明是等边三角形，再根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 25. 小明在学习中遇到了如下的问题：如图1，在中，，，D为边上的中点，求的取值范围． 【感知方法】： 他思索了很久，但没有思路，老师提示他要添加适当的辅助线，如图2，方法一：延长至点E，使得，连接；方法二：过点C作，交的延长线于点E；添加辅助线后，小明恍然大悟，易得，再利用三角形的三边关系可以解决问题． （1）在老师的提示下，小明求得长度的范围是大于　　且小于　　； 【知识迁移】： （2）如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为中点．请根据上述条件，回答以下问题． ①的度数为　　． ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． （3）在（2）的条件下，若，，，四边形的面积为．求点D到线段的距离． 【答案】（1）， （2）①， ②，理由如下： 延长至点G，使得，连接，，如图， ∵F为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵在①中求得， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干给出的思路，结合构成三角形三边的关系的知识即可作答； （2）①根据，，即可作答；②延长至点G，使得，连接，，先证明，即有，，再证明，即可作答； （3）根据（2）的辅助线，在（2）中已证明，，，利用证明的方法同理可证明，即可证明，进而可得，再求出，，结合四边形的面积为，可得，过D点作与F点，根据即可求解． 【小问1详解】 方法一：延长至点E，使得，连接，如图， ∵D为边上的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 方法二，证明，同理可求． 故答案为：，； 【小问2详解】 ①∵，， ∴； ②略 【小问3详解】 在（2）中已证明，，， 利用证明的方法同理可证明， ∴，， ∵F为中点， ∴， ∴，， 即： ∴，， 即：， ∵，， ∴，， ∵四边形的面积为，， ∴， ∵， ∴， 过D点作与F点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D到线段的距离为． 【点睛】本题主要考查了倍长中线，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，构造辅助线是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期第一次独立作业202510 八年级数学 注意：满分100分，完成作业时间为90分钟． 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 的算术平方根是（    ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，4 B. 3，5，8 C. 4，4，9 D. 4，6，9 3. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2025年9月9日，常泰长江大桥正式通车．这座公铁合建双层复合型过江通道创下了最大跨度斜拉桥和最大跨度公铁两用钢桁梁拱桥的世界纪录．其斜拉桥部分侧面示意图如图所示，其中，现添加以下条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙三地如图所示，若想建立一个货物中转仓，使其到甲、乙、丙三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ） A. 三条角平分线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三边中线的交点 D. 三边上高的交点 6. 如图，AD是的高，，，，则的度数是（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 7. 如图，M，N为方格纸中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点P(在格点上)，使得为等腰三角形，则点P的个数为（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 8. 如图，点、是边长为的等边的边、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点，则在、运动过程中，下列结论错误的是（ ） A. B. C. 当第2秒或第4秒时，为直角三角形 D. 的度数不变，始终等于 二、填空题（每小题2分，共20分） 9. 计算：_______． 10. 若与是同一个正数a的平方根，则a为______ 11. 已知：，，，，则________． 12. 已知等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长是______． 13. 如图，，经过点A，，则的度数为 ________． 14. 如图，在中，，，，则______． 15. 如图，在中，，已知，的垂直平分线交于点D，交于点E，的周长等于16，则的长为_____． 16. 如图，在中，是边上的中线，于点．若的面积为24，，则的长为________． 17. 如图，已知等边三角形纸片，点E在边上，点F在边上，沿折叠，使点落在边上的点的位置，且，则的度数为_____． 18. 如图，中，，，，D是线段AB上一个动点，以BD为边在外作等边．若F是DE的中点，当CF取最小值时，的周长为____________． 三、作图题（14分） 19. 如图，在8×8的正方形网格中，△ABC的顶点和线段EF的端点都在小正方形的顶点上，这样的三角形叫做格点三角形． （1）填空：∠ABC＝　 　； （2）请你在图中找出所有满足条件的点D（用黑圆点表示，标上D），使得以D、E、F为顶点的格点三角形与△ABC全等． 20. 已知直线及其两侧两点，，如图． （1）在直线上求一点，使； （2）在直线上求一点，使直线平分． (以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法) 四、解答题 21. 如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：． 22. 已知如图：在和中，，，． （1）求证：； （2）求的大小． 23. 如图，在中，，，E为的延长线上一点，过点E作，分别交，于点P，F． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求的度数． 24. 已知：如图，，、分别是、的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 小明在学习中遇到了如下的问题：如图1，在中，，，D为边上的中点，求的取值范围． 【感知方法】： 他思索了很久，但没有思路，老师提示他要添加适当的辅助线，如图2，方法一：延长至点E，使得，连接；方法二：过点C作，交的延长线于点E；添加辅助线后，小明恍然大悟，易得，再利用三角形的三边关系可以解决问题． （1）在老师的提示下，小明求得长度的范围是大于　　且小于　　； 【知识迁移】： （2）如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为中点．请根据上述条件，回答以下问题． ①的度数为　　． ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． （3）在（2）的条件下，若，，，四边形的面积为．求点D到线段的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $