海南省文昌中学2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试题

2025—2026学年度第一学期高三第二次月考试题 数 学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知，则下列各项中，一定能推出的一项是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 4．方程在下列哪个区间内有实数解（    ） A． B． C． D． 5．在三角形中，角A、B、C所对的边分别为a, b, c，，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 6．已知函数是奇函数，函数是偶函数，当时，，则（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 7．如图是函数在 区间上的图象．为了得到这个函数的 图象，只要将的图象上所有的 点（    ） A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 8．已知函数的周期为2，当时，，如果，则函数y=g（x）的零点个数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 11．在中，角所对的边分别为，且，，AD为角A的平分线交BC于D，则（    ） A． B．的面积为 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分。 12．若，则 ． 13．已知，，且，则的最小值为 . 14．已知函数的图象过点，则 ，若 将函数图象仅向左平移个单位长度和仅向右平移个单位长度都能得到同一个函数的图象，则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分） 已知函数. （1）求函数的单调递增区间及在上的值域； （2）若为锐角且，求的值. 16.（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点． （1）证明：直线平面； （2）求直线PB与平面所成的角的正切值． 17.（本小题满分15分） 已知分别为三个内角的对边，且. （1）求B； （2）若，的面积为，为边上一点，满足， ①求的周长； ②求的长. 18.（本小题满分17分） 已知椭圆的离心率为，短轴的一个顶点到长轴的一个顶点的距离为，为坐标原点，. （1）求的方程； （2）若上存在不关于轴对称的两点M, N，使得恰好被轴平分， ①证明：直线MN过定点； ②求△MTN面积的取值范围. 19.（本小题满分17分） 已知函数． （1）讨论函数的单调性; （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：． 答案第1页，共2页 高三数学 第3页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期高三第二次月考答案 数 学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D D B B C A C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BD BC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．解析： （1）依题意，函数 ……………1分 由，解得， 所以函数的单调递增区间为； ……………3分 由，得，根据函数图象的特点可得 ， ……………5分 所以当的值域为. ……………6分 （2）由（1）知，，由，得， 由，得，所以， ……………8分 ， ……………10分 所以 . ……………13分 16．解析： （1）取AD中点O，连接， 在四棱锥中，，则， ……………1分 由，则，有， 又平面底面，平面底面，平面， ∴平面，平面，则，……3分 又分别为的中点，底面是边长为a的正方形， 则， 所以两两垂直，以O为原点，所在直线为x轴，y轴， z轴，建立空间直角坐标系， ……………4分 则，取平面PAD的法向量为， ……………6分 所以，且平面， 所以平面； ……………7分 （2）由（1）知：，取平面的法向量，………9分 设直线PB与平面所成的角为θ， 则， ……………12分 ∴，故， ……………14分 ∴直线PB与平面所成的角的正切值为． ……………15分 17．解析： （1）由， 可得，， ……………1分 即， ……………2分 即，又， 则，即. ……………5分 （2）①因为，所以 ……………6分 由余弦定理：， 则，即，则， ……………8分 又因为，所以， 即为等边三角形， 则的周长为. ……10分 ②由，所以， ……11分 在中，由余弦定理得， ， 所以. ……………15分 18．解析： （1）依题意可得 ……………2分 解得， ……………4分 所以的方程为. ……………5分 （2）①由题意可知，直线的方程可设为， 设， ……………6分 联立 整理得 ， ……………7分 ……………8分 因为恰好被轴平分，即， 易知直线的斜率与直线NT的斜率存在且， 即， ……………9分 整理得，即，即. 因为，所以时符合题意，即直线经过定点（1，0），……11分 ②的面积 ， ………15分 当且仅当时，即时，等号成立， ……………16分 因为，所以面积的取值范围是. ……………17分 19．解析： （1） ， ……………1分 当时，在上单调递增， ……………2分 当时，令，解得， ……………3分 单调递减， 单调递增， ……………4分 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. …5分 （2）由（1）可知，恒成立， 又， ……………6分 当时，在上单调递增，所以可得，不符合题意； 当时，由（1）可知的唯一极小值为，也即函数有最小值为， 所以只需，又， ……………7分 所以，可得，即， 综上，实数的取值范围为. ……………9分 （3）要证， 即证， ……………10分 ①当时，先证， 令，则， 所以在上单调递减，故， 所以， ……………11分 又，所以， 所以， ……………12分 令，则， 令，， 当时，， 所以在上单调递增， 当时，， 所以，即在上单调递增， 所以，即， 所以； ……………14分 ②当时，由，则， 由，则， 所以， ……………15分 由（2）知，，当时等号成立， 所以当时，， 所以， ……………16分 综上，当时，， 即. ……………17分 答案第1页，共2页 高三数学第二次月考题参考答案 第2页 （共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $