精品解析：湖南省长沙市北雅中学2025-2026学年上学期八年级数学第一次月考试题

数学练习 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个美术字中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念判断． 【详解】解：A、不是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、不是轴对称图形； D、是轴对称图形； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键. 2. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于轴的对称点坐标的特征．根据“横坐标不变，纵坐标互为相反数”即可得到答案． 【详解】解：点关于轴的对称点坐标是， 故选：D． 3. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 垂线段最短 D. 等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”性质是解答的关键． 根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，幂的乘方，同底数的幂相乘，积的乘方，掌握相关的运算法则是解题的关键． 根据合并同类项的法则，幂的乘方和积的乘方法则，同底数幂相乘的法则逐一计算，利用计算结果判定即可． 【详解】A． 与不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C． ，故该选项正确，符合题意； D． ，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，在中， ，观察图中尺规作图的痕迹，的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的尺规作图，先由线段的和差关系得到，由作图方法可知垂直平分，则． 【详解】解：∵在中， ， ∴， 由作图方法可知垂直平分， ∴， 故选：C． 6. 已知，下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：已知， 两边同时减去2，可得，则A不符合题意； 两边同时乘2再减去1，可得，则B不符合题意； 两边同时乘，可得，则C符合题意； 两边同时除以3，可得，则D不符合题意； 故选：C． 7. 如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面处折断，树顶B恰好碰到地面．经测量，，则树高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形性质，解答即可． 本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴树高为， 故选：B． 8. 下列命题的逆命题是真命题的为（　　） A. 若，则 B. 对顶角相等 C. 全等三角形的对应边相等 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识．利用不等式的性质、全等三角形的性质及绝对值的意义、对顶角，分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、若，则的逆命题为：若，则；错误，正确结论为，故该选项为假命题． B、对顶角相等的逆命题为：相等的两个角是对顶角，错误，“如两直线平行，内错角相等”，故该选项为假命题； C、全等三角形的对应边相等的逆命题为：对应边相等的两个是全等三角形，根据可判断出该命题正确，故该选项为真命题； D、，则的逆命题为：若，则，错误，如当时，，，故该选项为假命题； 故选C． 9. 若的展开式中不含x项，则实数m的值为（　　） A. B. 0 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式的法则，不含某一项就是该项的系数等于0．先根据多项式乘多项式展开式子，合并同类项，令的一次项的系数为0，进而求出的值．掌握多项式乘多项式的法则和合并同类项是解题的关键． 【详解】解：， 展开式中不含项， ， ， 故选：D． 10. 正三角形中，，与交于点P，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定方法，是解题的关键．证明，进而得到，根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，在中，，为的平分线，若，则的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据“三线合一”求解即可． 【详解】∵，为的平分线， ∴． 故答案为：5． 12. ___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式的法则，熟记单项式乘以单项式的法则是解题的关键． 根据单项式乘以单项式的法则即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 已知等边三角形的边长如图所示，那么______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，二元一次方程组的应用，由题意可得，解方程组得，再代入求值即可，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：1． 14. 已知，则的值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法． 根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 15. 如图，把一张周长为的长方形纸片沿对角线折叠，则的周长为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定、平行线的性质、折叠性质，先根据折叠性质和平行线的性质得到，再根据等角对等边证得，进而可求解． 【详解】解：由长方形得，， ∴， 由折叠性质得， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：10． 16. 如图，在等边中，D为边的中点，，P是线段上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，含的直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 过点作于，过点作于．求出，再证明，，根据垂线段最短，解决问题即可． 【详解】如图，过点作于，过点作于． 是等边三角形，， ，平分， ，垂直平分， ∴， ， ， ，， 根据面积法可得， ， ， ， ∴，即， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握去绝对值的法则和立方根的概念是解题的关键． 先计算乘方、去绝对值、求立方根，再计算加减法即可． 【详解】 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；因此此题可根据多项式乘以多项式进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解：原式； ∵， ∴原式． 19. 如图，已知各顶点的坐标分别为，，，直线经过点，并且与轴平行，与关于直线对称． （1）画出，点的坐标为______，点的坐标为______； （2）求的面积． （3）若点是内一点，点是内与点对应的点，则点坐标为______． 【答案】（1）即为所求； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形，点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，结合轴对称图形的性质，找出点，再依次连接，即可作答； （2）利用割补法求解即可； （3）结合轴对称的性质，进行列式，得出，即可作答． 【小问1详解】 解：∴点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 的面积为： 【小问3详解】 点是内一点，点是内与点P对应的点， ∴， ∴， 即点坐标为， 故答案为：． 20. 调查研究一些人每分钟心跳次数情况后，根据如图所示的频数直方图填空． （1）总共统计了______人的心跳情况； （2）______次数的人数最多，占______%； （3）每半分钟心跳次属于正常范围，若用以上结果去估计人的心跳次数状况，则心跳次数属于正常范围的大约有多少人？ 【答案】（1）28 （2）；25 （3）225 【解析】 【分析】本题考查直方图，从直方图中有效地获取信息，是解题的关键： （1）将各组的人数相加，求解即可； （2）直接找到人数最多的组作答，次数最多的人数除以总人数乘以，求出百分比即可； （3）用每半分钟心跳次的人数除以总人数，再乘以，据此求解即可． 【小问1详解】 ， 故答案为：28． 【小问2详解】 由图可知：次数的人数最多，约占； 故答案为：；25． 【小问3详解】 （人）， 答：估计心跳次数属于正常范围的大约有225人． 21. 如图，在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，交延长线于点，连接． （1）求证：； （2）当，时，求及的度数． 【答案】（1） 证明：∵线段的垂直平分线交于点E，交延长线于点F， ∴， ∴； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合垂直平分线的性质得，得，即可作答． （2）根据等边对等角，三角形内角和定理，求出的度数，再根据，，求出的度数，最后利用角的和差求的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵线段的垂直平分线交于点E，交延长线于点F， ∴，， ∴， 则． 22. 已知，，回答问题： （1）若，求的值； （2）求； （3）求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查求一个数的平方根，幂的乘方的逆运算，同底数幂相乘的逆运算，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）把代入，再求平方根即可； （2）把转化为，再整体代入计算即可； （3）把转化为，再整体代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：． 23. 图是一套房子的平面图，尺寸如图： （1）这套房子的总面积可以用代数式表示为多少？ （2）若米；米，则房子的面积为多少平方米？如果每平方米房价为2500元，买这套房子需要多少万元？ 【答案】（1） （2）房子的面积为平方米，买这套房子需要万元 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减法与求值，依据题意，正确列出代数式是解题关键． （1）将房子各区域的面积相加即可； （2）将x、y的值代入（1）的结论即可得房子的面积，再乘以单价计算房价． 【小问1详解】 解：这套房子的总面积为： ， （平方米）， 答：这套房子的总面积为平方米； 【小问2详解】 解：当米，米时， （平方米）， （元）， 答：房子的面积为平方米，买这套房子需要万元． 24. 探索题： ， ， ， ． （1）观察以上各等式并猜想： ①__________； ②__________； （2）请利用上面的结论计算： ①； ②若，求的值． 【答案】（1）①② （2）①② 【解析】 【分析】本题主要考查了数字的变化规律、多项式的乘法、有理数的乘法、逆用幂的乘方等知识点，发现数字的变化规律是解题的关键． （1）①根据已有等式进行类比即可解答；②根据已有等式进行类比、归纳即可解答； （2）①先将原式写成，然后利用（1）的规律解答即可；②先将原式写成，然后利用（1）的规律解答可得，再逆用幂的乘方求解即可． 【小问1详解】 解：①由， ， ， ， 则； 故答案为：． ②由， ， ， ， ， …… ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：① ． ② ． 因为且， 所以且， 所以． 所以． 所以． 25. 为等腰直角三角形，，点D在边上（不与点A、B重合），以为腰作等腰直角，． （1）如图1，作于F，求证：； （2）在图2中，连接交于M，如图2，求证：； （3）如图3，过点E作交的延长线于点H，过点D作，交于点G，连接，当点D在边上运动时，探究线段，与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵为等腰直角三角形，． ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ （2） 证明：∵， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴， （3） 解：，理由如下： 在上截取，如图， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 而， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 即． 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，再利用等角的余角相等得到，然后根据可证明； （2）由得到，，再利用为等腰直角三角形得到，所以，，接着证明，得到，所以； （3）在上截取，如图3，先证明得到，，由于，则，所以，再证明，则得到，然后问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个美术字中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 垂线段最短 D. 等腰三角形“三线合一” 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中， ，观察图中尺规作图的痕迹，的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 6. 已知，下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面处折断，树顶B恰好碰到地面．经测量，，则树高为（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题的逆命题是真命题的为（　　） A. 若，则 B. 对顶角相等 C. 全等三角形的对应边相等 D. 若，则 9. 若的展开式中不含x项，则实数m的值为（　　） A. B. 0 C. 3 D. 6 10. 正三角形中，，与交于点P，的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，在中，，为的平分线，若，则的长为______． 12. ___________． 13. 已知等边三角形的边长如图所示，那么______． 14. 已知，则的值为__________． 15. 如图，把一张周长为的长方形纸片沿对角线折叠，则的周长为______． 16. 如图，在等边中，D为边的中点，，P是线段上一动点，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，已知各顶点的坐标分别为，，，直线经过点，并且与轴平行，与关于直线对称． （1）画出，点的坐标为______，点的坐标为______； （2）求的面积． （3）若点是内一点，点是内与点对应的点，则点坐标为______． 20. 调查研究一些人每分钟心跳次数情况后，根据如图所示的频数直方图填空． （1）总共统计了______人的心跳情况； （2）______次数的人数最多，占______%； （3）每半分钟心跳次属于正常范围，若用以上结果去估计人的心跳次数状况，则心跳次数属于正常范围的大约有多少人？ 21. 如图，在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，交延长线于点，连接． （1）求证：； （2）当，时，求及的度数． 22. 已知，，回答问题： （1）若，求的值； （2）求； （3）求． 23. 图是一套房子的平面图，尺寸如图： （1）这套房子的总面积可以用代数式表示为多少？ （2）若米；米，则房子的面积为多少平方米？如果每平方米房价为2500元，买这套房子需要多少万元？ 24. 探索题： ， ， ， ． （1）观察以上各等式并猜想： ①__________； ②__________； （2）请利用上面的结论计算： ①； ②若，求的值． 25. 为等腰直角三角形，，点D在边上（不与点A、B重合），以为腰作等腰直角，． （1）如图1，作于F，求证：； （2）在图2中，连接交于M，如图2，求证：； （3）如图3，过点E作交的延长线于点H，过点D作，交于点G，连接，当点D在边上运动时，探究线段，与之间的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $