5.4角平分线的性质（题型专练）数学湘教版2024八年级上册

5.4角平分线的性质 （8大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 由角平分线的性质求线段长度 题型二 由角平分线的性质求面积 题型三 由角平分线的性质比较大小 题型四 由角平分线的性质进行证明 题型五 证明是角平分线 题型六 由角平分线的判定求角的度数 题型七 角平分线的实际应用 题型八 尺规作角平分线 能力提升题 题型一 与角平分线的性质与判定相关的多结论问题 题型二 角平分线的性质与判定综合运用 题型一 由角平分线的性质求线段长度 1．如图，射线在的内部，且，点P在上，于点D，于点E．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线的性质与勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．由，利用勾股定理，即可求得的长，然后由角平分线的性质，可得． 【详解】解：， ， ∵， ， ，点在上，，， ． 故选：C． 2．如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边距离相等，三角形的面积公式等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法构建方程解决问题，属于中考常考题型．作于，如图，根据角平分线性质定理得到，再利用三角形面积公式和得到，然后解一次方程即可． 【详解】作于F，如图， ∵是中的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 3．如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长与交于点，由题意可推出，依据垂线的定义，角平分线的定义和三角形的内角和定理，可证得为等腰三角形，于是可得，，根据，即可推出的长度． 【详解】解：如图，延长与交于点， ， ， ， ， ， 平分， ， 又， ， 为等腰三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，垂线的定义，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点，正确作出辅助线，构建等腰三角形是解题的关键． 4．如图，，若，则等于（    ） A．10 B． C．5 D．2.5 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的外角性质，平行线的性质，含角的直角三角形的性质，过点作于，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到，再根据平行线的性质可得到的度数，再根据直角三角形的性质可求得的长，从而求得的长，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5．如图，中，平分平分经过点O，与相交于点M，N，且，已知，则的周长为（    ） A．6 B．7 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质和角平分线的定义，掌握等量代换是解决本题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可证，从而可得，然后根据等量代换可得：的周长，从而进行计算即可解答． 【详解】解：∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的周长 ， 故选B． 6．如图，为的中线，为的角平分线，过点E作于点N，为的高． (1)若，，求的度数； (2)若，，的面积为64，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、角平分线的性质、中线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由三角形外角的性质可得，再根据角平分线的定义即可解答； （2）由三角形中线的性质可得的面积为32，再根据角平分线的性质可得，再根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴． （2）解：∵为的中线，的面积为64， ∴的面积为32， ∵为的角平分线，，为的高， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，解得：． 题型二 由角平分线的性质求面积 7．如图，的面积为，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，过点作于点，连接，则的面积是 　　．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线的尺规作图，等腰三角形性质和判定，掌握相关知识是解决问题的．先利用基本作图得到平分，所以，延长交于点，再证明，则利用等腰三角形的性质得到，接着根据三角形面积公式得到，，所以． 【详解】解：由作法得平分， ， 延长交于点， ， ， ∴， ， ， ， ，， ． 故答案为：D． 8．如图，在中，是的角平分线，是上一个点，，交于点，，交于点． (1)求证：点到和的距离相等； (2)若，且的面积是15，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的性质以及三角形面积相关知识，关键是掌握三角形等高结构． （1）利用角平分线的定义和平行线的性质，证明点在的角平分线上，再根据角平分线的性质得出点到和的距离相等； （2）根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，得出与的高相等，再结合已知的，利用比例求出的面积． 【详解】（1）证明：过作， 是的角平分线， ， ， （2）解：是的角平分线， 到和的距离相等， ， ，， ， ． 9．如图，在中，是它的角平分线，，，． (1)求与的面积之比； (2)求的长． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键． （1）过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形的面积公式可得，，由此即可得； （2）过点作于点，作于点，过点作于点，先根据的面积可得，则，再根据求解即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，作于点， ∵在中，是它的角平分线， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴与的面积之比为． （2）解：如图，过点作于点，作于点，过点作于点， 由（1）已得：，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 10．如图，在中，，的平分线交于点E，于点F，点F恰好是的一个三等分点（）． 求证： (1)． (2)求的长． (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线性质得出，利用“”证明即可； （2）设，则，，根据勾股定理求出，根据，得出，求出，即可得出答案； （3）设，则，根据勾股定理得出，求出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 即； （2）解：∵， ∴， 设，则，， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， 即； （3）解：设，则， 根据勾股定理得， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 题型三 由角平分线的性质比较大小 11．的平分线上的一点，到的距离等于，是射线上的任意一点，则关于的说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，根据角平分线的性质可得点到的距离等于，再根据垂线段最短即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由角平分线的性质可得，点到的距离等于， 由根据垂线段最短可得，， 故选：． 12．如图，为的角平分线，于点，，则的长不可能是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作于点，根据角平分线的性质，可知，再根据垂线段最短，可知，从而得出答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 为的角平分线，于点，， ， ， ， 的长度不可能为1， 故选：D． 13.如图，点是三条角平分线的交点，的面积记为的面积记为的面积记为，关于之间的大小关系，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查角平分线的性质和三角形的三边关系，关键是根据角平分线的性质得出和和的高相等解答． 根据角平分线的性质、三角形三边关系和三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：点O是三条角平分线的交点， 和和的高相等， 的面积记为，的面积记为，的面积记为，设高为h ，， 由的三边关系得：， ， 故选：C． 14.如图，在中，平分，，，则与之间的大小关系是（　　）    A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】作，垂足为D，交延长线于点E，再根据角平分线的性质得出，证明，得出即可． 【详解】解：作，垂足为D，交延长线于点E，则，    ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，关键是添加辅助线来证明三角形全等． 题型四 由角平分线的性质进行证明 15．如图，平分，于点E，于点F，连接交于点G，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．垂直平分 D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，三角形三边关系，三角形面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，，得出，得到，得出，根据三角形三边关系得到，由，即可得到答案． 【详解】解： 平分，于点，于点， ，，，故B正确； ， ， ∴垂直平分，无法证明垂直平分，故C错误； ， ，故A正确； ∵， ∴，故D正确； 故选：C． 16．如图，在中，平分，且，于点E，于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解决本题的关键是证明与全等． 根据直角三角形的判断方法证明与全等，由此可得，再由等腰三角形的性质即可证明． 【详解】证明：∵平分，于点E，于点F， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 17．如图，平分，，于点M，于点N．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，得出，再根据角平分线的性质定理即可证明． 【详解】证明：平分， ， 在和中， ， ， ， 即平分． 又，， ． 18．如图，在四边形中，，为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，全等三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）作，垂足为，根据角平分线的性质定理以及判定定理即可证明． （2）证明得，同理可证，则题目可证． 【详解】（1）证明：作，垂足为， 平分，，， ， ， ， ，， 平分； （2）证明：由（1）可知：， 在和中， ， ， ，同理可证： ，即． 19．已知点P为平分线上一点，于B，于C，点M，N分别是射线，上的点，且． (1)如图，当点M在线段上，点N在线段的延长线上时，求证：； (2)在（1）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）由点P为平分线上一点，，，根据角平分线的性质，可得，又由，利用，即可判定，则可证得结论； （2）证明，得到，由（1）得到，即可证得结论． 【详解】（1）解：∵点P为平分线上一点，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． 20.如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，垂直的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）证明，即可证明结论成立； （2）利用角平分线性质定理即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ， ∴ ∵ （2）证明：∵， ∴ 平分，， 题型五 证明是角平分线 21.如图，于于和交于D，且，求证：平分．      【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和全等三角形的性质和判定，解题的关键是根据“角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上”证得结论． 先根据定理得出，故可得出，由此可得出结论． 【详解】证明：∵于于E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分． 22．如图①，在四边形中，已知，，，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)如图②，若是的边上的高，已知，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)4 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，角的平分线的判定和性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）根据三角形的判定定理即可证得． （2）通过三角形全等求得，，进而根据等边对等角求得，从而求得即可证得； （3）过点A作，垂足为点M，由题意易得，然后可得M为的中点，则有，进而根据割补法可求解面积． 【详解】（1）证明：如图①，∵，， ， 在与中， ， ． （2）证明：如图①，， ∴，， ∴， ∴，即平分； （3）解：如图，过点A作，垂足为点M． ∵，，， ∴． ∵，， ∴， ∵，， ∴M为的中点． ∴． ∴． 又由（1）知， ∴． 23．已知：平分，点A，B分别在边上，且． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，作于点C．求证： ①； ②请直接写出之间的数量关系为___． 【答案】(1)详见解析 (2)①详见解析；② 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，补角的性质，线段的和与差等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据角的和差得出，根据角平分线定义得出，证明，即可得出结论； （2）①过点作于点，根据角平分线的性质和同角的补角相等，证明，即可得出结论； ②根据得出的相等线段，利用线段的和差即可表示出数量关系． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①如图，过点作于点， ∵平分，且，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴， 由①得，且， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型六 由角平分线的判定求角的度数 24.如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点P．其中一把直尺边缘恰好和射线重合，而另一把直尺的下边缘与射线重合，上边缘与射线于点M，连接．若，则的大小为（      ） A．48° B．52° C．56° D．64° 【答案】B 【分析】设上面的直尺与射线的交点为E，直尺宽度为h，过点P作，垂足为D，根据题意，得到，从而判定平分，得到，根据直尺的对边平行，得到，结合判断即可． 【详解】如图，设上面的直尺与射线的交点为E，直尺宽度为h， 过点P作，垂足为D， 所以， 所以平分， 所以， 因为直尺的对边平行， 所以， 所以． 故选B． 【点睛】本题考查了角的平分线的判定定理，平行线的性质，三角形外角性质，熟练掌握角的平分线的判定定理是解题的关键． 25．如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点． (1)延长至点，求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查的是角平分线的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握判定与性质是解题的关键． （1）过点P作于点F，于点N，于点M，根据角平分线的性质得出，，根据角平分线的判定得出平分； （2）设，根据角平分线定义得出，即可得出，求出，即可求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，过点P作于点F，于点N，于点M，如图所示： 又∵平分，平分， ∴，， ∴， 又∵，， ∴平分． （2）解：设，由（1）知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 26．（1）如图1，在中，的平分线相交于点F，，求的度数； （2）如图2，的外角的平分线与内角平分线交于点P，若． ①求的度数； ②求的度数． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题考查了角平分线的定义，角平分线的性质和判定定理，三角形内角和定理，三角形外角的定义和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据三角形内角和为180度求出，再根据角平分线的定义得出，最后利用三角形内角和定理求解即可； （2）①根据三角形外角的性质得出，，再由角平分线的定义得出，进而求解即可； ②作于E，于F，于G，根据角平分线的性质定理得出，再由角平分线的判定定理证明平分，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的平分线相交于点F， ∴， ∴； （2）解：①在中，， 在中，， ∵分别是和的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； ②作于E，于F，于G， ∵的平分线与内角平分线交于点P， ∴， ∴， ∴平分， ∴． 题型七 角平分线的实际应用 27．在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查了三角形特殊点(重心、内心、垂心、外心)的性质，解题的关键是理解 “游戏公平” 意味着凳子到 A、B、C 三点的距离相等，进而判断哪种特殊点到三角形三个顶点的距离相等． 先明确 “公平” 的本质：凳子位置到 A、B、C 三点距离相等；再分别回忆各选项特殊点的性质 —— 三边中线交点(重心)到顶点距离与到对边中点距离成；三条角平分线交点(内心)到三边距离相等；三边上高的交点(垂心)是高的交点，无到顶点距离相等的性质；三条垂直平分线交点(外心)到三个顶点距离相等，据此匹配符合条件的选项． 【详解】解：A、选项为三边中线的交点(重心) 重心的性质是到三角形顶点的距离与到对边中点的距离之比为，并非到三个顶点距离相等，无法保证游戏公平，此选项不符合题意； B、选项为三条角平分线的交点(内心) 内心的性质是到三角形三边的距离相等，而非到三个顶点距离相等，无法保证游戏公平，此选项不符合题意； C、选项为三边上高的交点(垂心) 垂心是三角形三条高的交点，无 “到三个顶点距离相等” 的性质，无法保证游戏公平，此选项不符合题意； D、选项为三条垂直平分线的交点(外心) 外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，此时凳子到 A、B、C 三名同学的距离相同，能保证游戏公平，此选项符合题意； 故选：D． 28．如图所示，有三条道路围成，其中，，一个人从B处出发沿着行走了500m，到达D处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（    ） A．1300m B．800m C．500m D．300m 【答案】D 【分析】此题考查角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，过点D作于点E，推出． 【详解】过点D作于点E， ∵为的平分线，， ∴， 故选D． 题型八 尺规作角平分线 29．如图，以的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，过点作射线，连接．则下列说法正确的是（   ） A．垂直平分线段 B．是等边三角形 C．射线是的平分线 D．，两点关于所在直线对称 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图作一个角的平分线、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，由尺规作图可知，，所以是线段的垂直平分线，故A选项错误；由作图可知，所以是等腰三角形，不一定是等边三角形，故B选项错误；由作图可知射线是的平分线，故C选项正确；因为是的垂直平分线，所以点、关于直线对称，故D选项错误． 【详解】解：如下图所示，连接、， 由作图可知，， 是线段的垂直平分线，不一定是的垂直平分线， 故A选项错误； 由作图可知， 是等腰三角形，不一定是等边三角形， 故B选项错误； 在和中，， ， ， 射线是的平分线， 故C选项正确； 由作图可知，， 是线段的垂直平分线， 、两点关于直线对称，、两点不一定关于所在直线对称， 故D选项错误． 故选：C． 30．下面是“作的平分线”的尺规作图过程：该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形全等的依据是（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【分析】本题考查了作图-基本作图，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据SSS证明三角形全等． 【详解】解：连接，， 由作图得：，，， ≌， ． 故选：． 31．如图，在中，，依据尺规作图的作图痕迹，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作垂线，作角平分线，等边对等角，三角形外角的性质，三角形内角和定理．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 由作图可知，，，则，由三角形内角和求，由外角的性质求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由作图可知，，是的平分线， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 32．如图，点E，F分别在直线，上．按以下步骤作图： ①以点E为圆心，适当长为半径画弧，分别与射线，线段相交于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧所在圆的半径相等），两弧在的内部相交于点H； ③作射线，与相交于点G． 若，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握上述知识点是解题关键． 根据题目中尺规作图的步骤可判断出为平分线，根据等腰三角形等边对等角的性质可得，借助内错角相等两直线平行可判断． 【详解】解：A．根据题目中信息，只能判断出，并不存在倍数关系，不符合题意． B．由尺规作图得为平分线， ， ， ， ， ．符合题意． C．题目中并没有给出任何角度，也没法从题目中等量关系求出角度，无法得到，不符合题意． D．尺规作图时，半径并非某个定值，所以无法保证，不符合题意． 故选：B． ． 题型一 与角平分线的性质与判定相关的多结论问题 33．如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点．则对于以下结论：①②③．④，其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质和角平分线的性质，解题的关键是熟练运用角平分线的性质、全等三角形的判定定理来分析各个结论． 依次对每个结论进行分析，通过角平分线的性质、三角形内角和以及全等三角形的判定与性质，判断结论的正确性． 【详解】解：在中，， ∵分别平分， ， ， ， ． 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∵ ∴（ASA），故结论①正确； 由，得，无法确定，故结论②错误； 由，得，， 又∵． 在和中， ∵， ∴， ∴又∵， 即，故结论③正确； 由， ∴， ∴，故结论④正确． ∴正确的个数是3． 故选：C． 34．如图，在中，，G为的中点，延长交于E．点F为上的一点，于H．下列判断正确的有（   ） （1）是的角平分线；（2）是边上的中线；（3）为边上的高；（4）和面积相等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和对边相交的交点之间的线段．正确理解定义是解题的关键．根据三角形的角平分线、中线、高线的概念逐项分析即可． 【详解】解：∵， ∴是的角平分线，故（1）正确． 无法判断，故不是边边上的中线，故（2）错误． ∵， ∴为边上的高，故（3）正确， ∵G是的中点， ∴和面积相等，故（4）正确． 故选：B． 35．如图中，，和的平分线分别为和，和相交于点P，连接，则有以下结论： ①； ②； ③． 其中正确的结论为（   ） A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的角平分线的定义与性质，全等三角形的判定与性质，由角平分线的定义可得，进一步可判断①，过点P作，证明是的平分线，可判断③，假设，通过三角形全等证明可判断②． 【详解】解：∵、分别是与的角平分线，， ∴， ∴，①符合题意； 过点P作，    ∵、分别是与的角平分线， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∵， ∴，故③符合题意； 若，而，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，与题干条件矛盾，故②不符合题意； 故选：A． 36．如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交于F，交于E，过点O作于D，下列四个结论： ①；②；③当时，E，F分别是，的中点：④若，，则．其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形三边关系、平行线的性质，根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判断②；根据三角形三边关系判断③；根据角平分线的性质定理判断④． 【详解】解：∵在中，和的平分线相交于点O， ∴，， ∴ ，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴，故②正确； 当时，， ∴、不是、的中点，故③错误； 作于， ， ∵和的平分线相交于点O， ∴点在的平分线上， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的是①②④， 故选：C． 37．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于，交于，下面说法：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作于点，由角平分线的性质，结合三角形的面积公式，可判断，由角平分线的定义，结合等角的余角相等，可得，由平行线的判定和性质，可得，等量代换，可判断，由同角的余角相等，结合角平分线的定义，可判断，由等腰三角形的判定方法，可判断． 【详解】解：∵， ∴， 作于点， ∵平分， ∴， ∴， ∴正确， ∵在中，是高， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴正确， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即， ∴正确， 根据已知条件不能推出，即不能推出， ∴④不正确， ∴正确的是． 故选：A ． 【点睛】本题考查角平分线的定义，同角（等角）的余角相等，角平分线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定． 38．如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（　　） ①；②平分；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，直角三角形全等的判定和性质，正确做出辅助线是解题的关键． 根据角平分线的性质定理可判断①正确；过点D作于点H，则，结合可得，根据角平分线的判定定理可判断②正确；由角平分线的定义及三角形内角和定理可判断③正确；证明，，可判断④正确． 【详解】解：①∵平分，，， ∴， 故结论①正确； ②过点D作于点H，如图所示： ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴点D在的平分线上， ∴平分， 故结论②正确； ③∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 故结论③正确； ④在和中， ， ∴， ∴， 同理证明：， ∴， ∴， 即， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②③④，共4个． 故选：D． 题型二 角平分线的性质与判定综合运用 39．如图，中，点D在BC边上， 的平分线交AC于点E，过点E作 垂足为F，且 连接DE． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且 求 的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定定理和三角形的面积计算，由角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得出是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质求出，根据补角的定义计算，得到答案； （2）过点E作，垂足分别为G，H，根据角平分线的性质得到，，等量代换得到，根据角平分线的判定定理证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ； （2）证明：如图，过点E作，垂足分别为G，H． ∵， ∴． ∵平分，， ∴． ∴． ∵， ∴平分． （3）解：， 即 ， 解得 ， ∴的面积． 40．如图，平分，为上的一点，的两边分别与、相交于点、． (1)如图1，若，，判断与的数量关系，并说明理由； 小明是这样思考的：过点作于点，作于点，四边形中两对角为，则另外两对角互补，则可证明，从而得证，即可得证结论．请你根据小明的思路完成证明过程； (2)若，，请直接写出与的数量关系． (3)若将条件变为，猜想和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； （1）根据角平分线的性质可得，，根据，，得，可得，可证，根据全等三角形的性质即可证明； （2）过点作于点，过点作于点，根据角平分线的性质可得，，可证，得； （3）过点作于点，过点作于点，证明，得出． 【详解】（1）解：，理由如下： 平分，，， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下． 证明：过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：，理由如下： 理由：过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 41．在中，，点，分别是，上的点，连接． (1)【基础设问】若点为的中点，，，，则是 三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”） (2)如图，连接，若平分，，，，则 ． (3)如图，若，，求证：点在的平分线上． (4)【能力设问】 如图，点在上运动，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，求线段的长． 【答案】(1)直角 (2)5 (3)见解析 (4)①，理由见解析；② 【分析】（1）先根据中点的定义得，再利用勾股定理逆定理求解即可； （2）先根据角平分线的性质得，设，则，利用勾股定理列方程求解即可； （3）连接，证明得，即可得出结论； （4）①由得，，由线段垂直平分线的性质得，，进而可推出，进一步可得结论； ②连接，设，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点为的中点，， ∴， ∵，，且， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角； （2）解：平分，，， ， 设，则， 在中，， ， ， 即， 故答案为：5； （3）证明：如图，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ∴点在的平分线上； （4）解：，理由如下： 由题意知，， ， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， ； ②如图，连接，设，则， ，， ，， 由勾股定理，得，， 即， ， 线段的长为． 【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理的应用，角平分线的判定及性质，全等三角形的判定及应用，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点．解题的关键是能够灵活应用相关知识点． 42．如图，在中，，，于点，平分，交于点，把绕点逆时针旋转到，连接，连接交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)在上取一点，使，连接，若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等角对等边，解直角三角形，熟练掌握相关性质和判定定理是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得，，即，结合，即，等量代换可得，，从而证得，可得，等量代换可得，从而得证； （2）根据等腰三角形三线合一可得，进而结合角平分线的性质可求得的度数，即可得到的度数，根据外角的性质和等腰直角三角形的性质，结合角的等量代换可求得，证得，从而得证； （3）过点作于点，结合角平分线的性质，易得，易证是等腰直角三角形，，利用锐角三角函数求得的长，进而依次求得、、的长，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：把绕点逆时针旋转到， ，，即， ，即， ，， 在和中， ， ， ， ，即， ； （2）证明：，，， ， 平分， ， ，， ，， ， ， ， ； （3）解：如图所示，过点作于点， 平分，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为． 43．已知点是平分线上的一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为． (1)如图，当点在线段上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，探究线段，与之间的等量关系，并说明理由； (3)如图，在（2）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)3 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质等知识点，三角形的外角性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线． （1）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，证明，得到，结合图形解答即可； （3）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理得到，证明，得到，计算即可． 【详解】（1）证明：如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴； （2）解：，理由如下： 如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴． 44．人教版八年级上册数学教材第页第题如下，如图的三角形纸片中,．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：∵是由折叠得到的， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴的周长为． 【知识应用】在中,，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接． （1）如图1，①若，求的面积； ②求证：平分． 【拓展应用】 （2）如图2，过点P作．若，直接写出的长． 【答案】（1）①；②见解析；（2） 【分析】本题考查了图形折叠的性质（折叠前后对应边相等、对应角相等）、角平分线的性质与判定、直角三角形的面积公式及面积法的应用，解题的关键是利用折叠性质转化线段与角的关系，借助角平分线性质构造相等的距离，结合面积法建立等式求解． （1）①根据折叠性质得，推出、；将的面积拆分为与的面积和，代入面积公式后，利用整体代入计算，即． ②过点作的垂线，利用折叠性质（）得垂线，再由平分得垂线，从而推出；根据角平分线的判定定理（到角两边距离相等的点在角平分线上），证明平分． （2）过点作的垂线，结合（1）②的结论及折叠性质（），得；将的面积拆分为、、的面积和，代入面积公式建立等式，代入数值求解． 【详解】（1）①由题可知，， ∴ ． ②如图，过点P分别作边的垂线，垂足分别为点F，S，M， 由题可知，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）如图，过点P分别作边的垂线，垂足分别为点G，N，连接， 由题可知，， ∴，由②可知， ∴， ∵， ∴， 即， 解得． 45．教材呈现：如图是北师版八年级下册数学教材第28页的部分内容． 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 已知：如图1，是的平分线，点P在上，，，垂足分别为D，E． 求证：． 证明：∵，，垂足分别为D，E． ∴． ∵．， ∵ （全等三角形的对应边相等）． 你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？ 定理 在一个角的内都，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． (1)感知：请利用教材中图1，证明定理“在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．”（写出已知、求证和证明过程） (2)探究；如图2，在中，平分交于D，于E，于F，的两边分别与相交于M、N两点，且，请直接写出三条线段的等量关系 ． (3)拓展应用：如图3，在中，，，，平分交于D，，，则四边形的周长 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等证明即可； （2）证明，，再求出，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求，再求解即可； （3）过点D作于E，根据（2）求出，根据角平分线的定义求出，根据两直线平行，内错角相等可得，从而得到，再根据等角对等边可得，根据直角三角形所对的直角边等于斜边的一半可得，然后求出，进而可以解决问题． 【详解】（1）已知：如图，于D，于E，且， 求证：平分． 证明：∵于D，于E， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即：平分； （2）解：， 证明如下：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：如图3，过点D作于E， 同（2）可得， ∵，平分交于D， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的周长． 【点睛】本题考查了角平分线的定义和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 46．【问题情境】数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？同学们就这个问题展开探究． 【问题初探】 （1）希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如图①，在中，，D是的中点，，，垂足分别为E，F．经过探究讨论，该小组的同学们得出的结论是，他们的证法如下： 证明：∵，， ． ∵， （依据1）． ∵D是BC的中点， ． 在和中， （依据2）， ∴． ①请写出依据1和依据2的内容： 依据1： ， 依据2： ； ②请你写出另一种证法； 【问题再探】 （2）未来小组的同学们经过探究又有新的发现，如图②，在中，D是的中点，，，垂足分别为E，F，作腰上的高，则与有确定的数量关系．请你直接写出这个数量关系： ； 【类比探究】 （3）奋斗小组的同学们认真研究过后，发现了以下两个正确结论：①如图③，在中，，D为的中点，若分别为和的中线，那么仍然成立；②如图④，在中，，D为的中点，若分别为和的角平分线，那么仍然成立．请你选择其中一个结论证明． 【答案】（1）①等腰三角形的两个底角相等（或等边对等角）；两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（或角角边或）；②见解析；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的判定及性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键． （1）①由等腰三角形的性质和全等三角形的判定可求解； ②由等腰三角形的性质可得是的平分线，由角平分线的性质可得； 问题再探： （2）由等腰三角形的性质可得是的平分线，由角平分线的性质可得，由面积的和差关系可求； （3）通过证明，可得结论． 【详解】（1）①解：依据1：等腰三角形的两个底角相等（或等边对等角） 依据2：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（或角角边或） ②证明：如图，连接． ∵，D是的中点， ∴是的平分线． ∵，， ． （2）解：， 连接， ∵，D是的中点， ∴是的平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）证明：选择①：∵分别是和的中线， ，． ∵， ． 又∵D是的中点， ． 在和中， ， ∴． 选择②：∵，D是的中点， ， ． 又∵分别是和的角平分线， ． 在和中， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4角平分线的性质 （8大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 由角平分线的性质求线段长度 题型二 由角平分线的性质求面积 题型三 由角平分线的性质比较大小 题型四 由角平分线的性质进行证明 题型五 证明是角平分线 题型六 由角平分线的判定求角的度数 题型七 角平分线的实际应用 题型八 尺规作角平分线 能力提升题 题型一 与角平分线的性质与判定相关的多结论问题 题型二 角平分线的性质与判定综合运用 题型一 由角平分线的性质求线段长度 1．如图，射线在的内部，且，点P在上，于点D，于点E．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（ ） A． B． C． D． 3．如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 4．如图，，若，则等于（    ） A．10 B． C．5 D．2.5 5．如图，中，平分平分经过点O，与相交于点M，N，且，已知，则的周长为（    ） A．6 B．7 C． D． 6．如图，为的中线，为的角平分线，过点E作于点N，为的高． (1)若，，求的度数； (2)若，，的面积为64，求的长． 题型二 由角平分线的性质求面积 7．如图，的面积为，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，过点作于点，连接，则的面积是 　　．（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，是的角平分线，是上一个点，，交于点，，交于点． (1)求证：点到和的距离相等； (2)若，且的面积是15，求的面积． 9．如图，在中，是它的角平分线，，，． (1)求与的面积之比； (2)求的长． 10．如图，在中，，的平分线交于点E，于点F，点F恰好是的一个三等分点（）． 求证： (1)． (2)求的长． (3)求的面积． 题型三 由角平分线的性质比较大小 11．的平分线上的一点，到的距离等于，是射线上的任意一点，则关于的说法正确的是（    ） A． B． C． D． 12．如图，为的角平分线，于点，，则的长不可能是（      ） A． B． C． D． 13.如图，点是三条角平分线的交点，的面积记为的面积记为的面积记为，关于之间的大小关系，正确的是（    ） A． B． C． D． 14.如图，在中，平分，，，则与之间的大小关系是（　　）    A． B． C． D．无法确定 题型四 由角平分线的性质进行证明 15．如图，平分，于点E，于点F，连接交于点G，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．垂直平分 D． 16．如图，在中，平分，且，于点E，于点F．求证：． 17．如图，平分，，于点M，于点N．求证：． 18．如图，在四边形中，，为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 19．已知点P为平分线上一点，于B，于C，点M，N分别是射线，上的点，且． (1)如图，当点M在线段上，点N在线段的延长线上时，求证：； (2)在（1）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系，并说明理由． 20.如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； 题型五 证明是角平分线 21.如图，于于和交于D，且，求证：平分．      22．如图①，在四边形中，已知，，，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)如图②，若是的边上的高，已知，求四边形的面积． 23．已知：平分，点A，B分别在边上，且． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，作于点C．求证： ①； ②请直接写出之间的数量关系为___． 题型六 由角平分线的判定求角的度数 24.如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点P．其中一把直尺边缘恰好和射线重合，而另一把直尺的下边缘与射线重合，上边缘与射线于点M，连接．若，则的大小为（      ） A．48° B．52° C．56° D．64° 25．如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点． (1)延长至点，求证：平分； (2)若，求的度数． 26．（1）如图1，在中，的平分线相交于点F，，求的度数； （2）如图2，的外角的平分线与内角平分线交于点P，若． ①求的度数； ②求的度数． 题型七 角平分线的实际应用 27．在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 28．如图所示，有三条道路围成，其中，，一个人从B处出发沿着行走了500m，到达D处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（    ） A．1300m B．800m C．500m D．300m 题型八 尺规作角平分线 29．如图，以的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，过点作射线，连接．则下列说法正确的是（   ） A．垂直平分线段 B．是等边三角形 C．射线是的平分线 D．，两点关于所在直线对称 30．下面是“作的平分线”的尺规作图过程：该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形全等的依据是（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 31．如图，在中，，依据尺规作图的作图痕迹，的度数为（   ） A． B． C． D． 32．如图，点E，F分别在直线，上．按以下步骤作图： ①以点E为圆心，适当长为半径画弧，分别与射线，线段相交于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧所在圆的半径相等），两弧在的内部相交于点H； ③作射线，与相交于点G． 若，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． ． 题型一 与角平分线的性质与判定相关的多结论问题 33．如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点．则对于以下结论：①②③．④，其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．如图，在中，，G为的中点，延长交于E．点F为上的一点，于H．下列判断正确的有（   ） （1）是的角平分线；（2）是边上的中线；（3）为边上的高；（4）和面积相等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 35．如图中，，和的平分线分别为和，和相交于点P，连接，则有以下结论： ①； ②； ③． 其中正确的结论为（   ） A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 36．如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交于F，交于E，过点O作于D，下列四个结论： ①；②；③当时，E，F分别是，的中点：④若，，则．其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 37．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于，交于，下面说法：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A． B． C． D． 38．如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（　　） ①；②平分；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 角平分线的性质与判定综合运用 39．如图，中，点D在BC边上， 的平分线交AC于点E，过点E作 垂足为F，且 连接DE． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且 求 的面积． 40．如图，平分，为上的一点，的两边分别与、相交于点、． (1)如图1，若，，判断与的数量关系，并说明理由； 小明是这样思考的：过点作于点，作于点，四边形中两对角为，则另外两对角互补，则可证明，从而得证，即可得证结论．请你根据小明的思路完成证明过程； (2)若，，请直接写出与的数量关系． (3)若将条件变为，猜想和的数量关系，并证明你的结论． 41．在中，，点，分别是，上的点，连接． (1)【基础设问】若点为的中点，，，，则是 三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”） (2)如图，连接，若平分，，，，则 ． (3)如图，若，，求证：点在的平分线上． (4)【能力设问】 如图，点在上运动，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，求线段的长． 42．如图，在中，，，于点，平分，交于点，把绕点逆时针旋转到，连接，连接交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)在上取一点，使，连接，若，求的面积． 43．已知点是平分线上的一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为． (1)如图，当点在线段上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，探究线段，与之间的等量关系，并说明理由； (3)如图，在（2）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，求线段的长． 44．人教版八年级上册数学教材第页第题如下，如图的三角形纸片中,．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：∵是由折叠得到的， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴的周长为． 【知识应用】在中,，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接． （1）如图1，①若，求的面积； ②求证：平分． 【拓展应用】 （2）如图2，过点P作．若，直接写出的长． 45．教材呈现：如图是北师版八年级下册数学教材第28页的部分内容． 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 已知：如图1，是的平分线，点P在上，，，垂足分别为D，E． 求证：． 证明：∵，，垂足分别为D，E． ∴． ∵．， ∵ （全等三角形的对应边相等）． 你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？ 定理 在一个角的内都，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． (1)感知：请利用教材中图1，证明定理“在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．”（写出已知、求证和证明过程） (2)探究；如图2，在中，平分交于D，于E，于F，的两边分别与相交于M、N两点，且，请直接写出三条线段的等量关系 ． (3)拓展应用：如图3，在中，，，，平分交于D，，，则四边形的周长 ． 46．【问题情境】数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？同学们就这个问题展开探究． 【问题初探】 （1）希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如图①，在中，，D是的中点，，，垂足分别为E，F．经过探究讨论，该小组的同学们得出的结论是，他们的证法如下： 证明：∵，， ． ∵， （依据1）． ∵D是BC的中点， ． 在和中， （依据2）， ∴． ①请写出依据1和依据2的内容： 依据1： ， 依据2： ； ②请你写出另一种证法； 【问题再探】 （2）未来小组的同学们经过探究又有新的发现，如图②，在中，D是的中点，，，垂足分别为E，F，作腰上的高，则与有确定的数量关系．请你直接写出这个数量关系： ； 【类比探究】 （3）奋斗小组的同学们认真研究过后，发现了以下两个正确结论：①如图③，在中，，D为的中点，若分别为和的中线，那么仍然成立；②如图④，在中，，D为的中点，若分别为和的角平分线，那么仍然成立．请你选择其中一个结论证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $