5.4 角平分线的性质 第1课时 角平分线的性质-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（湘教版2024）

5.4角平分线的性质 第1课时角平分线的性质 意里图提园 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距高相等，三角形的三条角平分线相交于一点，并且 这点到三边的距离相等 注意：①这里的距离是指点到角的两边的垂线段的长：②使用该结论的前提条件是图中有角 0 平分线，且角两边的垂线段在角平分线上有交点.如右图，因为点C在∠AOB的平分线上， CD⊥OA,CE⊥OB,所以CD=CE 总课内基础练 知识点角平分线的性质 1.(2024青海)如图，OC平分∠AOB,点P在 D OC上，PD⊥OB,PD=2,则点P到OA的 变或题图 第4题围 距离是 ( 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， A.4 B.3 C.2 D.1 AD平分∠CAB,点D到AB的距离为5.6， 则BC= 5.如右图，已知AC平分 ∠BAD,CE⊥AB于点E, CF⊥AD交AD的延长线于 第1楚图 第2题围 点F,BC=DC,求证：BE=DF, 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分 ∠ABC,ED⊥AB于点D.若AC=5cm, DE=2cm,则AE= ( A.3 cm B.4 cm C.5 em D.6 cm 3.如图，已知在四边形ABCD 中，∠BCD=90°，BD平分 ∠ABC,AB=6,BC=9, CD=4,则四边形ABCD的 第3题图 面积是 易错点 忽略“到角两边的距离”而导致 错误 变式题逆向思维 6.如图，在△ABC中，BD平 (2024绵阳)如图，在△ABC中，AB=5, 分∠ABC,交AC于点D, AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AC, BC边上有一点E,连接 垂足为E,△ABD的面积为5，则DE的长 DE,则AD与DE的关系 为 第6题 为 A.1 B.2 A.AD>DE B.AD=DE C.3 D.5 C.AD<DE D.不能确定 104 八年级数学X划版 已课外拓展练 11.(教材变式)随着新能源共享汽车的普及， 7.(2024云南)已知AF是等腰三角形ABC底 某新能源共享汽车公司计划在下图的 边BC上的高.若点F到直线AB的距离为 △ABC空地上建立一个集中充电点P,设 3,则点F到直线AC的距离为 计要求：集中充电点P到公路AB,AC的 A 距离相等，并且到D,E两个小区的距离也 B.2 C.3 相等.请在图中确定点P的位置（要求：尺 8.(2025遵义期末)如图，在Rt△ABC中，∠C 规作图，不写作法，保留作图痕迹). =90°，∠BAC的平分线交BC于点D,DE ⊥AB于点E.若BC=9,AC=12,AB=15, 则△BDE的周长为 A.6 B.12 C.15 D.21 核心素养练 12.推理能力如图，已知∠MAN=120°，AC 平分∠MAN,点B,D分别在AN, AM上. D 第8题图 第9题图 (1)如图①，若∠ABC=∠ADC=90°，请你 9.如图，AD∥BC,∠ABC的平分线BP与 探索线段AD,AB,AC之间的数量关系， ∠BAD的平分线AP相交于点P,作PE⊥ 并证明。 AB于点E.若PE=1.8cm,则AD与BC (2)如图②，若∠ABC十∠ADC=180°，则 之间的距离为 cm (1)中的结论是否仍成立？若成立，请给出 10.如下图，OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB1 证明：若不成立，请说明理由 OB,在OA上取一点C,连接PC,使PC oC.BP-PC. (1)求证：PC∥OB. (2)求∠CPO的度数。 上册第5章 105△5.4角平分线的性质 第1课时角平分线的性质 1.C2.A3.30变式题B4.16.8 5.正明：因为AC平分∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AD, 所以∠F=∠CEB=90°，CE=CF 在R△BCE和R△DCF中，CE-CF, IBC=DC 所以Rt△BCE2Rt△DCF(HL),所以BE=DF 6.D7.C8.B9.3.6 10.解：(1)证切：因为PC=OC,所以∠AOP=∠CPO 因为OP平分∠AOB,所以∠AOP=∠BOP, 所以∠BOP-∠CPO,所以PC∥OB. (2)因为OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB, 所以AP=BP,因为BP=2PC, 所以AP-名PC 因为在Rt△ACP中，∠CAP=90°， 所以∠ACP=30 因为PC∥OB,所以∠AOB=∠ACP=30° 因为∠AOP=∠BOP=∠CPO, 所以∠CP0=是×30=1 11.解：如图，点P即为所求 12.解：(1)AD十AB=AC 证明：因为AC平分.∠MAN,∠MAN=120°， 所以∠CAD=∠CAB=60°. 又因为∠ADC=∠ABC=90°， 所以∠ACD-∠ACB=30, 所以AD=AB=之AC,所以AD+AB=AC (2)仍成立. 证明：如图，过点C分别作AM,AN 的垂线，垂足分别为E,F。 因为AC平分∠MAN,所以CE -CE. 因为∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180 所以，∠CDE=,∠ABC. 又因为∠CED=∠CFB=90°， 所以△CED2△CFB(AAS), 所以ED=FB,所以AD十AB=AE一ED十AF十FB AE+AF. 由(1)知，AE+AF=AC,所以AD十AB=AC 第2课时角平分线的性质定理的逆定理 1.55”2.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 3.证明：因为AD垂直平分CF, 所以CD=FD 因为DF⊥AB,∠ACB=90°， 所以AD平分∠BAC. 4.解：点P在∠AOB的平分线上 理由：如图，分别过点P作PD⊥OA于点D,PE⊥OB于 点E 198 八年级数学X划版 因为5oe=专FG·PD, Saew=N·PE, S△Pe=S△rw: 所以2PG·PD=2N·PE 又因为FG=MN,所以PD=PE, 所以点P在∠AOB的平分线上. 5.A 6.解：1)如图①，点Q即为这个中心医院的位置. (2)如图②，点P,或P,即为发射塔的位置. 0 器① 留@ 7.A 8.证明：(1)如图，过点E作EF⊥AD于点F 因为∠B=90°，AE平分∠BAD, 所以BE=EF 因为E是BC的中点， 所以BE=CE,所以CE=EF, 又因为∠C=90°，EF⊥AD,所以DE平分∠ADC. (2)因为AE=AE,BE=EF, 所以Rt△ABE≌R△AFE(HL), 所以AB-AF,同亚可得CD-FD, 所以AB十CD=AF十FD=AD 9.解：(1)证明：如图，过点E作EM⊥AD于点M,EN⊥BC于 点N 因为BE平分∠ABC,EF⊥AB,所以EF=EN. 因为AE平分∠DAF, 所以FE=EM,所以EM=EN 因为EM⊥AD,EN⊥CD, 所以DE平分∠ADC. (2)因为S△Am=S△PR十S△cDe=15, 所以2AD,EM+CD·EN=15, 所以(AD+CD)·EM=15, 所以号×(+8》·EM-15, 5 5 所以EM=2,所以EF=2 所以So-号A通，BR-号×7X号-空 10.解：(1)证明：如图，过点O作OD⊥BC,OE⊥AB,OF⊥ AC,垂足分别为D,E,F 因为∠AC和∠ACB的平分线交于点O,所以OD=OE, OD=OF,