15.3二次根式的加减运算（题型专练）数学冀教版2024八年级上册

15.3二次根式的加减运算 （6大题型基础达标练+3大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 同类二次根式 题型二 二次根式的加减 题型三 比较二次根式的大小 题型四 已知字母的取值对二次根式进行化简求值 题型五 已知条件式对二次根式进行化简求值 题型六 二次根式加减运算的实际应用 能力提升题 题型一 二次根式的加减运算中的错题复原问题 题型二 二次根式中的新定义类问题 题型三 二次根式中的阅读理解类问题 题型一 同类二次根式 1．下列二次根式中与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； C、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D、与是同类二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 2．下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了化为最简二次根式，同类二次根式，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用二次根式的性质将题干与选项中的二次根式能化简的分别化简，再作出判断． 【详解】解：，，， 、、、中，能与合并， 故选：A． 3．下列根式不能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，将与选项进行化简对比即可得到答案． 【详解】解：，，，， 故与不能合并， 故选：D． 4．下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．将各项先化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】A、和被开方数相同，故是同类二次根式，符合题意； B、和被开方数不同，故不是同类二次根式，不符合题意； C、和被开方数不同，故不是同类二次根式，不符合题意； D、和被开方数不同，故不是同类二次根式，不符合题意； 故选：A． 5．若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（   ） A．3或 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式．根据同类二次根式的定义，被开方数必须相同且二次根式为最简形式．通过解方程并验证被开方数的有效性和最简性，确定最终答案． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴． 化简，得． ． 解得或． 时，，不是最简二次根式，排除， 时，，为最简二次根式，符合条件． ∴． 故选：C． 6．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值为（   ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式的定义，完全平方公式的非负性等知识点． 根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式的被开方数必须相等，由此建立方程，根据非负性求解，再验证解是否满足最简二次根式的条件，最后代入计算所求表达式的值． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ， ， ， ∴， ∴， 故选：D． 7．与是同类二次根式，则整数的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键，首先得出，再根据同类二次根式的定义得出最小为时满足题意，即可得出结论． 【详解】解：，且与是同类二次根式，是整数， 是正整数， ∴最小为时，与是同类二次根式， n的最小整数值是， 故选：B． 8．当 时，两个最简二次根式和可以合并． 【答案】1 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义，解题的关键是掌握所学的定义进行计算． 根据最简二次根式和同类二次根式的定义，列方程即可求出答案． 【详解】解：∵最简二次根式和可以合并， ∴被开方数相同． ∴． 解得． 故答案为：1． 9．（1）若最简二次根式和是同类二次根式．求的平方根； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，二次根式有意义的条件，算术平方根的非负性，平方根的定义，一元一次不等式组，积的乘方的逆运算，平方差公式，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． （1）根据同类二次根式得出x和y的二元一次方程组，从而得出x和y的值，将x和y的值代入代数式得出答案． （2）先求出，则，再根据积的乘方的逆运算，平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）由题意得：， 解得． ∴； （2）∵有意义， ∴， 解得， ∴， ∴， 则 ． 10．已知，，，A，B为最简二次根式，且，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式，一元一次方程，二次根式的混合运算，结合已知条件得到是解题的关键． 根据最简二次根式及同类二次根式的定义可得，解得x的值后根据求得y的值，然后将其代入原式计算即可． 【详解】解：已知，，，A，B为最简二次根式，且， 则， 解得：， 那么，， 则， 那么， 即， 解得：， 原式． 题型二 二次根式的加减 11．计算： . 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的减法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先化简二次根式，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】解： 故答案为：． 12．下列计算正确的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的加减运算，掌握二次根式的加减运算法则是解本题的关键． 根据二次根式的加减运算法则逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：选项A：，故错误． 选项B：3与不是同类二次根式，无法合并，，故错误． 选项C：，故正确． 选项D：，故错误． 故选：C． 13．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．若，则整数a的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了二次根式的化简以及同类二次根式的合并．熟知相关知识点是正确解答此题的关键． 首先，利用二次根式的性质对进行化简；然后，根据合并同类二次根式的法则，即同类二次根式的系数相加减，根式部分不变，对等式左边的同类二次根式进行合并；即可求解整数的值． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 故答案为：6． 15．计算下列各题： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）（2）（3）（4）先将二次根式化简成最简二次根式，再进行加减运算． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的加减运算法则，是解题的关键： （1）先化简，再合并即可； （2）先化简，再合并即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 17．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式计算，熟练掌握二次根式的化简，灵活进行合并同类二次根式，二次根式的混合运算是解题的关键； （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）按顺序化简二次根式，进行二次根式的乘法运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 18．先计算的结果，再确定其结果在哪两个整数之间． 【答案】，介于整数6和7之间． 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，无理数的估算，先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求出对应式子的结果，再根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴其结果在整数6和7之间 题型三 比较二次根式的大小 19．已知，则下列数中比m大的是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的大小比较．熟练掌握平方法比较二次根式的大小，是解题的关键． 把m平方，四个选项的数分别平方与m平方比较大小，即可得解． 【详解】∵， ∴． A. ，∵，∴； B. 4，∵，∴； C. ，∵，∴； D. ，∵，∴． 故选：D． 20．若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，分别求出，进而即可判断求解，掌握二次根式的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ， ， 故选：． 21．仔细阅读下面的例题，然后解答后面的问题． 例题：比较与的大小． 解： 又∵ ， ∴，即： ∴ ． 不求值比较与 的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数大小比较、二次根式的加减运算等知识点，灵活运用作差法比较实数的大小是解题的关键． 根据所给例题，利用作差法并运用二次根式的加减运算法则计算来比较实数大小即可． 【详解】解： ∵ ， ∴， ∴． 22．（1）比较与的大小； （2）比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的加减运算，做题关键是要掌握一些比较大小的方法． （1）先求出，再确定的正负，即可比较； （2）先求出，再确定的正负，即可比较． 【详解】解：（1）． ， ，即， ； （2）． ， ， ，即， ． 23．老师在课上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果，那么”，然后讲解了一道例题：比较和的大小． 解：，． ， ． 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)填空：________（填“”“”或“”）； (2)比较与的大小； (3)若，，试比较M，N的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查无理数比较大小，读懂题意，掌握平方运算及例题解法是解决问题的关键． （1）参考例题解法，再由负数比较大小的原则即可得到答案； （2）参考例题解法，再由完全平方公式化简即可得到答案； （3）综合（1）（2）的解法即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，（， ，（，即， ， ， ； （3）解：， ， ，， ，， 又，即， ，即， ∴， ∴， ，即． 即 题型四 已知字母的取值对二次根式进行化简求值 24．已知：，． ①___________，___________； ②求的值． 【答案】①，；② 【分析】①根据二次根式的加减运算法则进行计算即可； ②根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解：①， ， 故答案为：，； ②． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则，以及平方差公式． 25．已知，，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求解，，再把原式分解因式，再代入计算即可； （2），，再把原式化为，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）∵，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查的是平方差公式与完全平方公式的应用，二次根式的乘法运算，加减运算，熟记基本的运算法则是解本题的关键． 26．已知，，则的值为（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，先求出，，再根据完全平方公式的变形得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故选：A． 26．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，先对括号内式子进行通分计算，再将除法转化为乘法并约分化简，最后将代入化简后的式子求解，即可解题． 【详解】解： ， 将代入得，原式． 27．实数，表示的数在数轴上如图所示，化简求值： ，其中， 【答案】， 【分析】本题考查实数与数轴，二次根式的化简求值，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，根据二次根式的性质和绝对值的意义，化简后，再代值计算即可． 【详解】解：由数轴可知：，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ； ∴，时，原式 题型五 已知条件式对二次根式进行化简求值 28．已知，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简求值，根据推出，再将化为，最后代入计算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴值为． 故选：A． 29．如果，则的值是（　　） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知等式求值，再利用完全平方公式变形求值即可得． 【详解】解：由题意可知，， ， ，即， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 30．若，则的值是（    ） A． B．4 C．1 D．8 【答案】A 【分析】先将原式变形为，再根据非负性的性质求出a、b、c的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，二次根式的化简求值，正确根据非负数的性质求出a、b、c的值是解题的关键． 题型六 二次根式加减运算的实际应用 31.软笔书法承载着中华五千年的灿烂文化，如图所示的是海海爸爸的书法作品．已知宽为，长是宽的3倍，则该作品的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了长方形的周长公式，根据题意求出长方形的长，再利用周长公式计算即可，正确的运算是解题的关键． 【详解】解：已知宽为，长是宽的3倍， 则长为， 长方形的周长为， 故答案为： ． 32．已知一块长为，宽为的长方形木板，如图．    (1)与这块长方形木板面积相等的正方形木板的边长为______； (2)采用如图的方式，能否在这块木板上截出两个面积分别为和的正方形木板？试说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查的是算术平方根的应用，二次根式的加减运算，无理数的大小比较，理解题意是关键； （1）设正方形的边长为，可得，再解方程即可； （2）由两个正方形的边长分别为：和，再用两个正方形的边长之和与7作比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设正方形的边长为， ∴，而， ∴， ∴正方形的边长为； （2）不能截出，理由： 若能截出，则两个正方形的边长分别为：和， ∵， ∴两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出． ． 题型一 二次根式的加减运算中的错题复原问题 33．计算：． 解：原式…………第1步 …………………………第2步 ………………第3步 ……………………第4步 (1)以上解答过程中，从 开始出现错误． (2)请写出本题的正确解答过程． 【答案】(1)第3步 (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减法：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （1）与不能合并，所以第3步开始出现错误； （2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：（1）以上解答过程中，从第3步开始出现错误； 故答案为：第3步； （2）解：正确解答为： 原式 34．下面是亮亮同学进行二次根式混合运算练习的计算过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： ① ② ③ (1)指出上述解题过程中，最先出现错误的步骤（写出序号即可）． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)① (2)见解析 【分析】本题考查了二次根式的减法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键； （1）化简二次根式错误，，1不能直接开平方到根号外，由此得出错误处； （2）由先化简各数，再合并同类二次根式，即可解得． 【详解】（1）解：， 故步骤①最先出现错误． （2） 35．在计算时，小军的解题步骤如下： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 (1)上述解题过程中，小军是从第________步开始出错的． (2)请你给出正确的解答过程． 【答案】(1)第二步 (2)见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 对于（1），根据去括号法则，去掉“”和括号后，括号内的每一项都变号判断即可； 对于（2），先化简，再去括号，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：第二步去括号后，括号内的每一项都要变号，所以第二步开始出错； 故答案为：第二步； （2）解：原式 ． 36．下面是小华同学进行二次根式混合运算的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式    第一步      第二步 ．    第三步 (1)上述解答过程中，第一步中出现了____________处错误； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)两 (2)见解析 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的减法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键； （1）由二次根式的乘法和二次根式的减法即可看出错误； （2）根据二次根式的乘法和二次根式的减法求解即可． 【详解】（1）解：，， 第一步中出现了两处错误； （2）解： ． 37．嘉桐同学准备完成题目：计算：，发现系数“■”印刷不清楚． (1)她把“■”猜成4，计算：； (2)她后面翻看了答案，看到标准答案是0，请你通过计算说明原题中的“■”是几． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，熟知二次根式的加减计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算加减法即可得到答案； （2）先化简二次根式，再计算加减法，最后根据标准答案是0得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：设“■”是， ， ∵标准答案是0 ， ∴， 解得：． 题型二 二次根式中的新定义类问题 38．对于任意两个不相等的正实数、，定义运算“”：，如，那么等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的新运算，根据新运算的规则，把转化为一般形式的运算，可得：原式，再根据二次根式的性质进行运算即可． 【详解】解：由题意可得：． 故选：A． 39．对于任意两个非零实数a，b，定义运算如下：． 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： （1） ， ； （2）如果，那么x ＝ ； （3）如果，求x的值． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【分析】（1）根据新定义的运算进行计算即可求解； （2）根据得到，解分式方程即可求解； （3）根据-2＜0，得到=-2+x，对分大于0和小于0两种情况讨论，得到方程，解方程并对答案进行验证，问题得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， 故答案为：，； （2）∵， ∴=， ∴ ， 解得， 经检验，是方程的解， 故答案为：-1； （3）∵-2＜0， ∴=-2+x． ①当时， ， 解得：， 经检验是原方程的解，但不符合， ∴舍去． ②当时， ， 解得：．     经检验是原方程的解，且符合． ∴． 【点睛】本题考查了新定义问题，二次根式的运算，解分式方程等知识，综合性较强，理解定义的新运算是解题关键，注意第（3）问要分类讨论． 题型三 二次根式中的阅读理解类问题 40．阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ∵ ∵ ∴ 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据材料给出的“构造对偶式”方法，先计算的值，然后即可求出问题的解． （2）根据（1）及题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解： = = =， ， ． （2）解：由（1）得， 得，解得． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法、加减法运算及理解材料方法是解题关键． 41.阅读理解： 某节数学课上，钱老师在复习数轴上的点与数之间的关系时，给出了新的定义：若是数轴上的三个点，如果点到的距离是点到的距离的2倍，那么我们就称是的黄金点． 例如，如图①，点表示的数为，点表示的数为2，表示数1的点到点的距离是2，到点的距离是1，那么点是的黄金点；又如，表示0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点是的黄金点． （1）如图②，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为2．数____所表示的点是的黄金点． （2）如图③，若数所表示的点是的黄金点，当点在点的右侧，且点所表示的数为时，此时点所表示的数为_______________． （3）如图④，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为50．现有一只电子蜗牛从点出发，以3个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当为何值时，和中恰有一个点为其余两点的黄金点．（请直接写出答案） 【答案】（1）或；（2）；（3）或或． 【分析】（1）如图，设是是的黄金点，且对应的数是 则 再利用两点之间的距离公式表示 再列绝对值方程，解方程可得答案； （2）如图，设对应的数为 由数所表示的点是的黄金点，点在点的右侧，可得：再解方程可得答案； （3）由题意得对应的数为：， 再分六种情况讨论：当是的黄金点，则 当是的黄金点，则 当是的黄金点，则 当是的黄金点，则 当是的黄金点，则 当是的黄金点，则 分别列方程求解并检验即可得到答案． 【详解】解：（1）如图，设是是的黄金点，且对应的数是 则 点所表示的数为，点所表示的数为2． 或 当时， 当时， 所以或所表示的点是的黄金点． 故答案为：或． （2）如图，设对应的数为 数所表示的点是的黄金点，点在点的右侧， 所以对应的数为， 故答案为： （3）如图， 的最长运动时间为：， 由题意得对应的数为：， 当是的黄金点，则 当是的黄金点，则 当是的黄金点，则 可得：不合题意舍去， 当是的黄金点，则 当是的黄金点，则 ， 当是的黄金点，则 不合题意，舍去， 综上：当或或时，和中恰有一个点为其余两点的黄金点． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，分类讨论的数学思想，绝对值方程的应用，一元一次方程的应用，合并同类二次根式，掌握以上知识是解题的关键． 42．阅读材料 学习了不等式的知识后，我们根据等式和不等式的基本性质可知，判断两个数或式子的大小时，可以通过求它们的差来判断． 如果两个数或式子分别为m和n，那么 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 反过来也正确，即 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 例如：比较与的大小． 解：因为，所以． 解决问题． (1)用“>”或“<”填空：________； (2)制作某产品有两种用料方案，方案1：用4块A型钢板，6块B型钢板．方案2：用3块A型钢板，7块B型钢板．已知一块A型钢板的面积比一块B型钢板的面积大．若一块A型钢板的面积为x，一块 B型钢板的面积为y，则从省料的角度考虑，应选哪种方案?并说明理由． (3)已知，比较a与的大小． 【答案】(1)> (2)选用方案2，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据“求差法”进行求解即可； （2）先表示出两种方案所用的面积，再作差比较即可； （3）作差比较，再分析即可． 本题考查了整式加减的应用，二次根式的加减，分式的大小比较，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】（1）解： ， 即， 故答案为：； （2）解：选用方案2，理由如下： 方案1的面积为：， 方案2的面积为：， ， 一块型钢板的面积比一块型钢板的面积大， ， 即， 故选择方案2； （3）解：， ， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则． 43．在八年级“趣味数学”社团活动上，小星设计了一个“猜猜哪个数最大”的游戏，他准备了10张同样的卡片，正面分别写有数字，，，，，．游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者至少从中随机抽取三张，并将它们正面向下放置在桌面上．小星依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大． 【初步尝试】 （1）小芳同学参与了该游戏，她随机抽取了三张卡片，并将它们正面向下放置在桌面上（如图1）．这三张卡片分别记为，，．小芳将小星告诉她的相邻两张卡片上的数的和简记如下：，，．然后进行如下推导： 设，，卡片上对应的数分别为，，． 则①，②，③ 由②-①，得，. 由②-③，得， 小芳经过以上的推导后，最终判断______卡片上的数最大． 【类比解答】 （2）小华同学随机抽取了五张卡片，并将它们正面向下放置在桌面上（图2）．这五张卡片分别记为，，，，．小华也将小星告诉他的相邻两张卡片上的数的和简记如下：，，，，．请你帮小华判断，这五张卡片中，哪张卡片上的数字最大？并说明理由． 【迁移运用】 （3）在（2）的条件下，小华进一步思考，求出了卡片，，，，上写的数字．它们分别是：_____，_____，_____，_____，_____．（直接写结果） 【答案】（1）C；（2）E卡片上的数字最大，理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，消元法解方程组，理解题意，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据题中步骤即可得出结果； （2）根据例题的步骤求解计算即可； （3）根据（2）中过程建立方程组得出，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得.， ， ∴C卡片上的数最大， 故答案为：C； （2）设，，，，卡片上对应的数分别为，，，d，e， ∵，，，， ∴①，②，③，④，⑤， 由②-①，得， . 由②-③，得， ， 由④-③，得， . 由⑤-④，得， ， 由⑤-①，得， . 综上可得：且， ∴e最大，即E卡片上的数字最大； （3）由（2）得①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨，⑩， ∴⑥+⑧得， 联立得，解得：， 代入到①，得； 代入到②，得； 代入到③，得； 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3二次根式的加减运算 （6大题型基础达标练+3大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 同类二次根式 题型二 二次根式的加减 题型三 比较二次根式的大小 题型四 已知字母的取值对二次根式进行化简求值 题型五 已知条件式对二次根式进行化简求值 题型六 二次根式加减运算的实际应用 能力提升题 题型一 二次根式的加减运算中的错题复原问题 题型二 二次根式中的新定义类问题 题型三 二次根式中的阅读理解类问题 题型一 同类二次根式 1．下列二次根式中与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 3．下列根式不能与合并的是（    ） A． B． C． D． 4．下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 5．若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（   ） A．3或 B．3 C． D． 6．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值为（   ） A．1 B．2 C． D．0 7．与是同类二次根式，则整数的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．24 8．当 时，两个最简二次根式和可以合并． 9．（1）若最简二次根式和是同类二次根式．求的平方根； （2）已知，求的值． 10．已知，，，A，B为最简二次根式，且，求代数式的值． 题型二 二次根式的加减 11．计算： . 12．下列计算正确的是（    ） A．B． C． D． 13．计算： 14．若，则整数a的值为 ． 15．计算下列各题： (1)． (2)． (3)． (4)． 16．计算： (1)； (2)． 17．计算 (1) (2) 18．先计算的结果，再确定其结果在哪两个整数之间． 题型三 比较二次根式的大小 19．已知，则下列数中比m大的是（   ） A． B．4 C． D． 20．若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 21．仔细阅读下面的例题，然后解答后面的问题． 例题：比较与的大小． 解： 又∵ ， ∴，即： ∴ ． 不求值比较与 的大小． 22．（1）比较与的大小； （2）比较与的大小． 23．老师在课上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果，那么”，然后讲解了一道例题：比较和的大小． 解：，． ， ． 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)填空：________（填“”“”或“”）； (2)比较与的大小； (3)若，，试比较M，N的大小． 题型四 已知字母的取值对二次根式进行化简求值 24．已知：，． ①___________，___________； ②求的值． 25．已知，，求下列各式的值： (1) (2) 26．已知，，则的值为（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 26．先化简，再求值：，其中． 27．实数，表示的数在数轴上如图所示，化简求值： ，其中， 题型五 已知条件式对二次根式进行化简求值 28．已知，则值为（   ） A． B． C． D． 29．如果，则的值是（　　） A．5 B．3 C． D． 30．若，则的值是（    ） A． B．4 C．1 D．8 题型六 二次根式加减运算的实际应用 31.软笔书法承载着中华五千年的灿烂文化，如图所示的是海海爸爸的书法作品．已知宽为，长是宽的3倍，则该作品的周长为 ． 32．已知一块长为，宽为的长方形木板，如图．    (1)与这块长方形木板面积相等的正方形木板的边长为______； (2)采用如图的方式，能否在这块木板上截出两个面积分别为和的正方形木板？试说明理由． ． 题型一 二次根式的加减运算中的错题复原问题 33．计算：． 解：原式…………第1步 …………………………第2步 ………………第3步 ……………………第4步 (1)以上解答过程中，从 开始出现错误． (2)请写出本题的正确解答过程． 34．下面是亮亮同学进行二次根式混合运算练习的计算过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： ① ② ③ (1)指出上述解题过程中，最先出现错误的步骤（写出序号即可）． (2)请写出正确的解题过程． 35．在计算时，小军的解题步骤如下： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 (1)上述解题过程中，小军是从第________步开始出错的． (2)请你给出正确的解答过程． 36．下面是小华同学进行二次根式混合运算的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式    第一步      第二步 ．    第三步 (1)上述解答过程中，第一步中出现了____________处错误； (2)请写出正确的解答过程． 37．嘉桐同学准备完成题目：计算：，发现系数“■”印刷不清楚． (1)她把“■”猜成4，计算：； (2)她后面翻看了答案，看到标准答案是0，请你通过计算说明原题中的“■”是几． 题型二 二次根式中的新定义类问题 38．对于任意两个不相等的正实数、，定义运算“”：，如，那么等于（ ） A． B． C． D． 39．对于任意两个非零实数a，b，定义运算如下：． 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： （1） ， ； （2）如果，那么x ＝ ； （3）如果，求x的值． 题型三 二次根式中的阅读理解类问题 40．阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ∵ ∵ ∴ 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 41.阅读理解： 某节数学课上，钱老师在复习数轴上的点与数之间的关系时，给出了新的定义：若是数轴上的三个点，如果点到的距离是点到的距离的2倍，那么我们就称是的黄金点． 例如，如图①，点表示的数为，点表示的数为2，表示数1的点到点的距离是2，到点的距离是1，那么点是的黄金点；又如，表示0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点是的黄金点． （1）如图②，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为2．数____所表示的点是的黄金点． （2）如图③，若数所表示的点是的黄金点，当点在点的右侧，且点所表示的数为时，此时点所表示的数为_______________． （3）如图④，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为50．现有一只电子蜗牛从点出发，以3个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当为何值时，和中恰有一个点为其余两点的黄金点．（请直接写出答案） 42．阅读材料 学习了不等式的知识后，我们根据等式和不等式的基本性质可知，判断两个数或式子的大小时，可以通过求它们的差来判断． 如果两个数或式子分别为m和n，那么 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 反过来也正确，即 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 例如：比较与的大小． 解：因为，所以． 解决问题． (1)用“>”或“<”填空：________； (2)制作某产品有两种用料方案，方案1：用4块A型钢板，6块B型钢板．方案2：用3块A型钢板，7块B型钢板．已知一块A型钢板的面积比一块B型钢板的面积大．若一块A型钢板的面积为x，一块 B型钢板的面积为y，则从省料的角度考虑，应选哪种方案?并说明理由． (3)已知，比较a与的大小． 43．在八年级“趣味数学”社团活动上，小星设计了一个“猜猜哪个数最大”的游戏，他准备了10张同样的卡片，正面分别写有数字，，，，，．游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者至少从中随机抽取三张，并将它们正面向下放置在桌面上．小星依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大． 【初步尝试】 （1）小芳同学参与了该游戏，她随机抽取了三张卡片，并将它们正面向下放置在桌面上（如图1）．这三张卡片分别记为，，．小芳将小星告诉她的相邻两张卡片上的数的和简记如下：，，．然后进行如下推导： 设，，卡片上对应的数分别为，，． 则①，②，③ 由②-①，得，. 由②-③，得， 小芳经过以上的推导后，最终判断______卡片上的数最大． 【类比解答】 （2）小华同学随机抽取了五张卡片，并将它们正面向下放置在桌面上（图2）．这五张卡片分别记为，，，，．小华也将小星告诉他的相邻两张卡片上的数的和简记如下：，，，，．请你帮小华判断，这五张卡片中，哪张卡片上的数字最大？并说明理由． 【迁移运用】 （3）在（2）的条件下，小华进一步思考，求出了卡片，，，，上写的数字．它们分别是：_____，_____，_____，_____，_____．（直接写结果） 1 学科网（北京）股份有限公司 $