精品解析： 重庆市杨家坪中学“教共体”2025-2026学年上学期第一次月考九年级 数学试题

2025年重庆市杨家坪中学“教共体”第一次月考 九年级（上）数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．各题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．考试结束，由监考人员将答题卡收回，试题卷学生保管好，以备老师评讲试卷时用． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，熟知一元二次方程的概念是正确解答此题的关键． 判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，据此解答即可． 【详解】解：A、未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故选项错误，不符合题意； B、不是整式方程，故选项错误，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故选项正确； D、方程含有两个未知数，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 2. 二次函数图象的对称轴方程为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．掌握二次函数的对称轴公式是解题关键．根据二次函数的对称轴为直线求解即可． 【详解】解：对称轴为直线， 故答案为：D． 3. 方程的根是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法． 利用因式分解法进行求解即可． 【详解】解：由得， ， ， ∴或， ∴或， 故选：D． 4. 将抛物线的图象通过平移得到的图象，正确的做法是（ ） A. 左移2个单位，再下移6个单位 B. 左移2个单位，再上移6个单位 C. 右移2个单位，再下移6个单位 D. 右移2个单位，再上移6个单位 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据二次函数的图像平移方法“左加右减，上加下减”进行排除选项即可． 【详解】解：由题意得： 由抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得到抛物线． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象平移的规律，掌握二次函数图象平移的规律是解题关键． 5. 已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数与不等式的解集，解题的关键是当函数图象在轴的上方时，，即可得到答案． 【详解】由函数图象可知，当或时，函数图象在轴的上方，即， ∴的解集为：或， 故选：D． 6. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系．根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，从而可以解答本题． 【详解】解： A．由二次函数图象可知，，，由一次函数图象可知：，，矛盾，故不符合； B．由二次函数图象可知，，，由一次函数图象可知：，，矛盾，故不符合； C．由二次函数图象可知，，，由一次函数图象可知：，，符合题意； D．由二次函数图象可知，，，由一次函数图象可知：，，矛盾，故不符合． 故选∶D． 7. 如图，二次函数的图象经过点，对称轴是直线，下列结论：，，，中，其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点确定、、之间的关系，再根据、、之间的关系判断各式是否成立． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴是， ， ， 抛物线与轴交点在轴正半轴， ， ， 故正确； 抛物线与轴有两个不相等的实数根， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 故正确； 抛物线的对称轴是， ， ， ， 故正确； 由图象可知抛物线与轴交于点， ， ， ， ， ， 故错误； 综上所述，正确结论的个数是． 故选：C． 8. 进入秋冬季以来，全国流感呈现多点爆发，感染人数急速增长的新趋势，若1人患病，经过两轮感染后患病人数竟高达324人，则每轮感染中，1个人会平均感染多少人？若设每轮感染中，1个人会平均感染x个人，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际问题——传播问题；理清每一轮感染后的人数是解题的关键． 一轮传播，1个人会平均感染x个人，此时共有人；二轮传播，每人会平均感染x个人即，此时共有人，即．再根据经过两轮感染后患病人数竟高达324人，列出方程即可求解． 【详解】解：设每轮感染中，1个人会平均感染x个人， 则两轮感染后的总人数为：． 故选：B． 9. 如图，在正方形中，点P在对角线上，分别为垂足，连接，若，则（ ）. A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、正方形的判定、矩形的判定、勾股定理等知识点，掌握矩形和正方形的判定方法成为解题的关键. 如图：延长交于G，则,由正方形的性质可得，易证四边形是矩形、四边形是矩形、四边形是矩形，则 、；再根据等腰直角三角形的性质、勾股定理可得、,即四边形是正方形，进而得到，最后运用勾股定理即可解答. 【详解】解：如图：延长交于G，则, ∵正方形中，点P在对角线上， ∴, ∵分别为垂足， ∴四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴ ,, ∵，， ∴,即四边形是正方形， ∴, ∵， ∴, ∵, ∴,解得, ∵四边形是矩形，四边形是正方形， ∴, ∴. 故选A. 10. 已知整式，，其中为自然数，为正整数，且满足：，记，．则下列说法：①当时，若，则；②当时，满足条件的整式共有10个；③不存在任何一个，使得；其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是整式的规律探究，利用分类讨论思想的应用是解题的关键． ①当时，可得，即可求出，再由当时，，，可判断①；②当时，，取1，2，3，可判断②；假设存在，此时使得，可得，从而得到，再由为自然数，可判断③． 【详解】解：当时，，， ∵，，且， ∴， 解得：， ∵当时，，， ∴，， ∵， ∴，故①正确； ②当时，， ∵为自然数，为正整数， ∴取1，2，3， 当时， ∴， ∴， 此时有或或或或或； 当时， ∴， ∴， 此时有或或； 当时， ∴， ∴， 此时有 即当时，满足条件的整式共有10个，故②正确； 假设存在，此时使得， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵为自然数， ∴或或或， 即不存在任何，使得，故③正确； 故选：D 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 已知关于x的方程x2＋3x＋k＝0的一个根是－1，则k的值是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】将代入x2＋3x＋k＝0中，即可求出k的值． 【详解】解：将代入x2＋3x＋k＝0中 可得： 解得 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定义：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 12. 如果的图像是抛物线，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质与图像，根据二次函数的性质得出，且，再求解即可． 【详解】解：∵的图像是抛物线， ∴且， 解得：； 故答案为： 13. 若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式．一元二次方程根的判别式．一元二次方程有两个不相等的实数根，；一元二次方程有两个相等的实数根，；一元二次方程没有实数根，．熟练掌握是解决问题的关键． 根据一元二次方程有实数根，求解，结合即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，． ∴，且． 故答案为：且． 14. 公园要建造一个如图1的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子，高度为米，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，设计成水流在与水平距离为1米时，达到距水面最大高度米，（不计其他因素）水池的半径至少__________米，才能使喷出的水流不致落到池外． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用二次函数解决喷水问题，求抛物线的解析式等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 先利用顶点式求出抛物线解析式，然后转化成一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：根据题意，右侧抛物线的顶点坐标是，并且经过点， 设抛物线解析式为， 则， 解得， ∴右侧的抛物线解析式为， 当时，， 解得（舍去）， ∴水池的半径至少米． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，E为边的四等分点，，连接，将矩形沿BE折叠，点C落在点处，点D落在点处，与交于点F，连接． 若，则_____，点F到的距离为_____． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，由四边形是矩形，得，，，，再由折叠性质和勾股定理求出，过F作于点H，由折叠性质和勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， 由折叠性质可知：，，， ∴， ∴， ∵E为边的四等分点（）， ∴，， 设， 则， 在中， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 如图，过F作于点H， ∴， ∵， ∴， 由折叠性质可知：，， 在中， 由勾股定理得：， 设， 则， 由勾股定理得：， ， ∴， 解得：， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， 故答案为：，． 16. 如果一个四位正整数的各数位上的数字互不相同且均不为0，且满足十位数字比千位数字大6，个位数字比百位数字大4，那么称这个四位数为“清活数”．记“清活数”M的千位数字和个位数字之积与百位数字和十位数字之积的和为．例如：四位数1276，∵，，∴1276是“清活数”，；四位数3295，∵，但，∴3295不是“清活数”．若为“清活数”，则______．若N为“清活数”，且能被12整除，则满足条件的N的最大值与最小值的平均数为_______． 【答案】 ①. 38 ②. 2488 【解析】 【分析】本题考查定义新运算，整式的加减运算，二元一次方程的解，根据“清活数”的值求出的值，再根据的定义求出的值即可，设“清活数”的千位数为，百位数为，根据“清活数”的定义表示出数字，进而表示出，根据能被12整除，求出满足题意的的值，进一步求解即可． 【详解】解：∵为“清活数” ∴，， ∴； 设“清活数”的千位数为，百位数为，则：十位数字为，个位数字为，， ∴， 当最大时，，，则一定能被12整除， ∴当时，此时最大，为， 当最小时，，， ∵能被12整除，且,四位正整数的各数位上的数字互不相同， ∴， ∴最小，为， ∴满足条件的N的最大值与最小值的平均数为； 故答案为：． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确一元二次方程的解法是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，． 18. 某数学兴趣小组同学发现，任意一个（三边均不相等），以一边的端点B为顶点在三角形外作角，使其等于这条边另一端点C为顶点的三角形的内角，射线与这条边上的中线的延长线相交于一点E，则以A、B、C、E四个点为顶点的四边形是平行四边形．如图，在中，点D为边上的中点，连接． （1）尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，连接，求证：四边形是平行四边形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点D为边上的中点， ∴ __________， 在和中， ∴______， ∴_______， ∵ ∴__________． ∴四边形是平行四边形． 小组进一步研究发现，作了上述的相等角之后，当三角形有两边相等时，必然会形成一个特殊的四边形，请根据这个发现完成以下命题： 以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，则以该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形 ________． 【答案】（1）见详解 （2）；；；；菱形 【解析】 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的尺规作图方法作图即可； （2）证明，得到，再证明，从而得到四边形为平行四边形；当时，四边形是菱形． 【小问1详解】 解：射线为所求，如图， 【小问2详解】 证明：点是的中点， ， 在和中， ， ∴， ， ， 四边形为平行四边形； 以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，则以该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形是菱形． 理由：，四边形为平行四边形， 四边形是菱形． 故答案为：，，，，菱形． 【点睛】本题考查尺规作图——作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定，关键是掌握作一个角等于已知角的方法． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，_________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 【答案】（1）15；88.5；98 （2）A款，因A款中位数88.5大于B款的87，所以A款好 （3）69人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键； （1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值； （2）通过比较A，B款的评分统计表的数据解答即可； （3）由A、B两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：“满意”所占百分比为， ∴“比较满意”所占百分比为， ∴； ∵A款的评分非常满意有个，“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； ∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， ∴， 在B款的评分数据中，96出现的次数最多， ∴； 故答案为： ； 【小问2详解】 解：A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数都是88，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款聊天机器人更受用户喜爱． 【小问3详解】 解：B款中“不满意”的有3人，所占百分比为， 估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有（人）． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，原式= 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，零指数幂，根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，分式的混合运算法则，进行化简，根据绝对值的意义，零指数幂求出的值，再把的值代入化简后的式子中进行计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式． 21. 某村在“农产品网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底以每袋25元的价格收购了一批农产品，已知七月份销售该农产品256袋，八月，九月该农产品的销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋． （1）求这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率； （2）该网店决定十月降价促销，经市场调查发现，当这批农产品的售价为每袋40元时，平均每月的销售量为400袋，若该农产品每袋每降价1元，平均每月的销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？ 【答案】（1）这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为 （2）当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确得出等量关系并列出方程是解题关键． （1）设这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为，利用七月销量九月的销量建立方程，进而求出答案即可； （2）首先设当农产品每袋降价m元时，这种农产品在十月份可获利4250元，再利用每袋的利润销量总利润列出方程，最后求解即可． 【小问1详解】 解：设这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为， 根据题意可得：， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元， 根据题意得：， 解得或（不合题意，舍去）， 答：当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元． 22. 如图1，在四边形中，，，，，．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿折线方向匀速运动，到达点C时停止运动，点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿方向匀速运动，到达点B时停止运动．两点同时出发，设点P运动时间为x秒，的面积为y． （1）请直接写出y与x之间的函数关系式及对应的x的取值范围； （2）在如图2所示的平面点角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质； （3）结合你所画的函数图象，当时，请直接写出x的取值范围_______． 【答案】（1） （2）图见解析，当时，随着的增大而增大（答案不唯一） （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，画一次函数的解析式，图象法求不等式的解集： （1）分，两种情况，根据三角形的面积公式，进行求解即可； （2）画出一次函数的解析式，根据图象写出一条性质即可； （3）先求出时的自变量的值，图象法求出不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：过点作，则由题意得：四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴点在上的运动时间为，在上的运动时间为， ∵点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发， ∴点在上的运动时间为， ∴当时，，； 当时，此时点与点重合，过点作于F，， ∵， ∴， ∴， 综上：； 【小问2详解】 解：画出的图象如图所示： 由图象可知：当时，随着的增大而增大（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：当时， ①时，解得：； ②时，解得：， 由图象可知，当时，或； 故答案为：或． 23. 如图，小明家在A地，小亮家在B地，图书馆在C地，在A处测得图书馆C在A的西北方向上，在B处测得图书馆C在B的北偏东方向上，已知米．（参考数据： （1）求小明家到小亮家的距离；（结果保留根号） （2）如图M、N分别是的中点．某天小明和小亮相约分别同时从自己家出发到图书馆看书，小明沿着方向慢跑前进．由于道路有堵塞，小亮沿着方向慢跑前进．已知小亮的跑步速度是每分钟280米，小明的跑步速度是小亮跑步速度的，两人全程均匀速跑步前进，试通过计算判断小明和小亮谁先到达图书馆？（结果保留小数点后两位） 【答案】（1）小明家A到小亮家B的距离是米； （2）小亮先到达图书馆，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的应用—方位角问题，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用三角函数定义来解决问题． （1）作于，得到，由锐角的正弦求出的长，由是等腰直角三角形，解直角三角形得到（米； （2）由三角形中位线定理求出的长，即可求出小亮行走的路程，求出的长即可得到小明行走的路程，从而求出小明，小亮行走的时间，即可解决问题； 【小问1详解】 解：作于， ，， ， ， ∵米， 米， ∵ 是等腰直角三角形， 米， 小明家到小亮家的距离是米． 【小问2详解】 解：由上得是等腰直角三角形， ∴米， 在中，米 ∴小明的路程是米，小明的速度是米分钟， 小明从家到图书馆的时间是分钟， ，分别是，的中点， 是的中位线， 米， 小亮的路程是米， 小亮从家到图书馆的时间是分钟， 小亮先到达图书馆． 24. 已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中． （1）求a，b的值； （2）如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点K，过点K作轴，垂足为点E，求的最大值并求出此时点P的坐标； （3）如图2，点P在抛物线上，且满足在（2）中求出的点P的坐标，连接，将该抛物线向右平移，使得新抛物线恰好经过原点，点C的对应点是F，点M是新抛物线上一点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】（1），； （2）当时，的最大值为4，此时 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入中得到二元一次方程组求解即可； （2）由（1）可知抛物线的解析式为，得直线的解析式为，设，则，故，再根据二次函数的性质求解即可； （3）先求平移后的抛物线解析式为，再证明为等腰直角三角形，由得，过作，交移动后的抛物线于．当时，，即． 【小问1详解】 解：将代入中， ， ，； 【小问2详解】 解：由（1）可知抛物线的解析式为， ， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ， ， ， ， ， ， 当时，的最大值为4，此时； 【小问3详解】 解：设抛物线向右平移个单位， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵抛物线平移后经过原点， ， 解得：或（舍）， ∴平移后的抛物线解析式为， ， ， ，令，则或1， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， 过作，交移动后的抛物线于， 当时，， ． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了求函数解析式、二次函数的性质、二次函数综合等知识点，掌握求二次函数解析式的方法以及会用配方法求最值是解题关键． 25. 在中，的角平分线交于点D，点E在延长线上． （1）如图1，若，交延长线于点F，延长交于点G，求证：； （2）如图2，连接，过点A作，交延长线于点，于点N，若，，求证： （3）如图3，在（2）的条件下，当时，连接，交于点K，点P，Q分别是，边上的动点，且，连接，，当取最小值时，请直接写出的值． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：如图：连接，作于， ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义可得，由平行线的性质可得，，从而得出，由等角对等边可得，证明得出，即可得证； （2）连接，作于，证明，得出，，设，则，，证明，得出，证明，得出，，证明，得出，即可推出，由等腰三角形的性质可得，即可得证； （3）作于，作于，由（2）可得，，求出，由等边对等角可得，计算可得，推出，设，则，，求出 ，作射线使得，在射线上截取点，使得，连接交于，证明，得出，推出，当点、、在同一直线上时，的值最小，为，证明，得出，推出，结合勾股定理可得，再由三角形面积公式计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作于，作于， ， 由（2）可得：，， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 作射线使得，在射线上截取点，使得，连接交于， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点、、在同一直线上时，的值最小，为， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年重庆市杨家坪中学“教共体”第一次月考 九年级（上）数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．各题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．考试结束，由监考人员将答题卡收回，试题卷学生保管好，以备老师评讲试卷时用． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数图象的对称轴方程为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 方程的根是（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 将抛物线的图象通过平移得到的图象，正确的做法是（ ） A. 左移2个单位，再下移6个单位 B. 左移2个单位，再上移6个单位 C. 右移2个单位，再下移6个单位 D. 右移2个单位，再上移6个单位 5. 已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. D. 或 6. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，二次函数的图象经过点，对称轴是直线，下列结论：，，，中，其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 8. 进入秋冬季以来，全国流感呈现多点爆发，感染人数急速增长的新趋势，若1人患病，经过两轮感染后患病人数竟高达324人，则每轮感染中，1个人会平均感染多少人？若设每轮感染中，1个人会平均感染x个人，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点P在对角线上，分别为垂足，连接，若，则（ ）. A. B. C. D. 5 10. 已知整式，，其中为自然数，为正整数，且满足：，记，．则下列说法：①当时，若，则；②当时，满足条件的整式共有10个；③不存在任何一个，使得；其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 已知关于x的方程x2＋3x＋k＝0的一个根是－1，则k的值是_____． 12. 如果的图像是抛物线，那么_________． 13. 若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 14. 公园要建造一个如图1的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子，高度为米，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，设计成水流在与水平距离为1米时，达到距水面最大高度米，（不计其他因素）水池的半径至少__________米，才能使喷出的水流不致落到池外． 15. 如图，在矩形中，E为边的四等分点，，连接，将矩形沿BE折叠，点C落在点处，点D落在点处，与交于点F，连接． 若，则_____，点F到的距离为_____． 16. 如果一个四位正整数的各数位上的数字互不相同且均不为0，且满足十位数字比千位数字大6，个位数字比百位数字大4，那么称这个四位数为“清活数”．记“清活数”M的千位数字和个位数字之积与百位数字和十位数字之积的和为．例如：四位数1276，∵，，∴1276是“清活数”，；四位数3295，∵，但，∴3295不是“清活数”．若为“清活数”，则______．若N为“清活数”，且能被12整除，则满足条件的N的最大值与最小值的平均数为_______． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 某数学兴趣小组同学发现，任意一个（三边均不相等），以一边的端点B为顶点在三角形外作角，使其等于这条边另一端点C为顶点的三角形的内角，射线与这条边上的中线的延长线相交于一点E，则以A、B、C、E四个点为顶点的四边形是平行四边形．如图，在中，点D为边上的中点，连接． （1）尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，连接，求证：四边形是平行四边形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点D为边上的中点， ∴ __________， 在和中， ∴______， ∴_______， ∵ ∴__________． ∴四边形是平行四边形． 小组进一步研究发现，作了上述的相等角之后，当三角形有两边相等时，必然会形成一个特殊的四边形，请根据这个发现完成以下命题： 以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，则以该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形 ________． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，_________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 某村在“农产品网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底以每袋25元的价格收购了一批农产品，已知七月份销售该农产品256袋，八月，九月该农产品的销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋． （1）求这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率； （2）该网店决定十月降价促销，经市场调查发现，当这批农产品的售价为每袋40元时，平均每月的销售量为400袋，若该农产品每袋每降价1元，平均每月的销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？ 22. 如图1，在四边形中，，，，，．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿折线方向匀速运动，到达点C时停止运动，点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿方向匀速运动，到达点B时停止运动．两点同时出发，设点P运动时间为x秒，的面积为y． （1）请直接写出y与x之间的函数关系式及对应的x的取值范围； （2）在如图2所示的平面点角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质； （3）结合你所画的函数图象，当时，请直接写出x的取值范围_______． 23. 如图，小明家在A地，小亮家在B地，图书馆在C地，在A处测得图书馆C在A的西北方向上，在B处测得图书馆C在B的北偏东方向上，已知米．（参考数据： （1）求小明家到小亮家的距离；（结果保留根号） （2）如图M、N分别是的中点．某天小明和小亮相约分别同时从自己家出发到图书馆看书，小明沿着方向慢跑前进．由于道路有堵塞，小亮沿着方向慢跑前进．已知小亮的跑步速度是每分钟280米，小明的跑步速度是小亮跑步速度的，两人全程均匀速跑步前进，试通过计算判断小明和小亮谁先到达图书馆？（结果保留小数点后两位） 24. 已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中． （1）求a，b的值； （2）如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点K，过点K作轴，垂足为点E，求的最大值并求出此时点P的坐标； （3）如图2，点P在抛物线上，且满足在（2）中求出的点P的坐标，连接，将该抛物线向右平移，使得新抛物线恰好经过原点，点C的对应点是F，点M是新抛物线上一点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 25. 在中，的角平分线交于点D，点E在延长线上． （1）如图1，若，交延长线于点F，延长交于点G，求证：； （2）如图2，连接，过点A作，交延长线于点，于点N，若，，求证： （3）如图3，在（2）的条件下，当时，连接，交于点K，点P，Q分别是，边上的动点，且，连接，，当取最小值时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $