1.3空间向量及其运算的坐标表示（4知识点+10题型）讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 空间直角坐标系及点的坐标 1.空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i， j，k}，以点O为原点，分别以i， j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. 2.相关概念：O叫做原点，i， j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分. 3.在空间直角坐标系Oxyz中， i， j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使=xi+y j+zk.在单位正交基底{i， j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 4.空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 注意点： (1)基向量：|i|=| j|=|k|=1，i· j=i·k= j·k=0. (2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°. (3)让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，建立的坐标系一般为右手直角坐标系. 知识点2 空间向量的坐标及坐标运算 1.向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作=a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a=xi+y j+zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a=(x，y，z). 2.设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a+b (a1+b1，a2+b2，a3+b3) 减法 a-b (a1-b1，a2-b2，a3-b3) 数乘 λa (λa1，λa2，λa3) 数量积 a·b a1b1+a2b2+a3b3 3.设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则=(x2-x1，y2-y1，z2-z1).即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 注意点： (1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示相比，只是多出了竖坐标的运算，横纵坐标的运算规则一致. (2)向量线性运算的结果仍是向量，可以用坐标表示；数量积的结果为数量. 知识点3 空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则有 (1)平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a=λb⇔a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)； (2)垂直关系：当a≠0，b≠0时，a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0. 注意点： (1)要证明a⊥b，就是证明a·b=0；要证明a∥b，就是证明a=λb(b≠0). (2)若a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，当b1b2b3≠0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b⇔==. 知识点4 夹角和距离的计算 1.空间两点间的距离公式： (1)设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，P1P2=||=. (2)若O(0，0，0)，P(x，y，z)，则||=. 2.空间向量的夹角公式： 设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则cos〈a，b〉==. 思路方法总结 1.建立空间直角坐标系的原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内. ②充分利用几何图形的对称性. ③一般用右手直角坐标系. (2)求某点M的坐标的方法 作MM'垂直于平面Oxy，垂足为M'，求M'的横坐标x，纵坐标y，即为点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为点M的竖坐标z，于是得到点M的坐标(x，y，z). (3)空间坐标系中求已知点的对称点，一般遵循“谁不存在谁变号”原则. 2.空间向量坐标运算的规律 (1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定(终点坐标减去起点坐标). (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算. (3)由条件求向量或点的坐标：把向量的坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标. 3.利用空间向量的坐标运算求夹角和距离的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系. (2)求坐标：①求出相关点的坐标； ②写出向量的坐标. (3)代入公式进行计算. (4)写出答案. 典例·举一反三 题型一 空间向量点的坐标表示 1．在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，已知，，点满足，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．已知平行四边形，且，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．如图，正方体的棱长为2，，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型二 空间向量坐标的对称问题 6．在空间直角坐标系中有一点，则该点关于轴对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为（    ） A． B． C． D． 8．若点关于平面的对称点为，关于轴的对称点为，则两点（    ） A．关于坐标原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于平面对称 9．在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．在空间直角坐标系中，下列叙述正确的是（   ） A．点与点关于轴对称 B．点与点关于轴对称 C．点与点关于平面对称 D．坐标轴两两确定的平面把空间分为个部分 题型三 空间向量线性运算的坐标表示 11．若，，则（   ） A． B． C． D． 12．已知，，则等于（   ） A． B． C． D． 13．向量，则（   ） A． B． C． D． 14．已知空间向量，，则 . 15．已知，则 . 题型四 数量积的坐标表示 16．已知，则等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 17．已知，则（    ） A．11 B． C．45 D．3 18．若向量，则（    ） A．5 B．7 C．8 D．10 19．《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，，，，，则（    ） A． B．4 C． D． 20．已知向量，，若，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 题型五 平行垂直的坐标表示 21．设，向量，，，则（    ） A． B． C． D． 22．已知空间向量，，若，则的值为（    ） A． B． C．4 D．6 23．已知空间向量，共线，m，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 24．已知向量，若与互相垂直，则 ． 25．已知空间三点. (1)若三点共线，求实数x的值. (2)若，求实数x的值. 题型六 向量模长的坐标表示 26．已知，则（    ） A． B． C． D． 27．已知向量，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 28．在空间直角坐标系中，已知点，若点P与点A关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 29．设，向量，，且，，则（    ） A． B． C．3 D．4 30．已知，． (1)求的值； (2)设向量，，求； (3)若，求的值． 题型七 向量夹角的坐标表示 31．在空间直角坐标系中，已知点，则直线AB，AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 32．已知，，，则与的夹角余弦值为（    ） A． B． C． D． 33．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 34．已知向量，，且，夹角为钝角，则的取值范围 35．已知，，求： (1)的值： (2)与夹角的余弦值. 题型八 投影向量的坐标表示 36．若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 37．已知，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 38．已知，，，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 39．已知向量，，，，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 40．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ． 题型九 向量共面的坐标表示 41．已知向量，，，若共面，则x等于（    ） A． B．1 C． D． 42．已知空间直角坐标系中，、、，点是空间中任意一点，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 43．，若三向量共面，则实数等于（   ） A． B． C． D． 44．在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则 ． 45．已知向量． (1)若共面，求的值； (2)若，求的值． 题型十 坐标运算的综合应用 46．已知. (1)求； (2)当时，求实数k的值. 47．已知向量. (1)求； (2)求； (3)求向量与的夹角． 48．已知空间中三点，，． (1)设，且，求的坐标； (2)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标； (3)求的面积． 49．已知，，． (1)求的值； (2)求与夹角的余弦值； (3)设，若，求的值． 50．已知空间向量. (1)若，求的值； (2)若，求的最小值及此时的值； (3)若，求的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 空间直角坐标系及点的坐标 1.空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i， j，k}，以点O为原点，分别以i， j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. 2.相关概念：O叫做原点，i， j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分. 3.在空间直角坐标系Oxyz中， i， j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使=xi+y j+zk.在单位正交基底{i， j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 4.空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 注意点： (1)基向量：|i|=| j|=|k|=1，i· j=i·k= j·k=0. (2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°. (3)让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，建立的坐标系一般为右手直角坐标系. 知识点2 空间向量的坐标及坐标运算 1.向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作=a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a=xi+y j+zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a=(x，y，z). 2.设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a+b (a1+b1，a2+b2，a3+b3) 减法 a-b (a1-b1，a2-b2，a3-b3) 数乘 λa (λa1，λa2，λa3) 数量积 a·b a1b1+a2b2+a3b3 3.设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则=(x2-x1，y2-y1，z2-z1).即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 注意点： (1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示相比，只是多出了竖坐标的运算，横纵坐标的运算规则一致. (2)向量线性运算的结果仍是向量，可以用坐标表示；数量积的结果为数量. 知识点3 空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则有 (1)平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a=λb⇔a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)； (2)垂直关系：当a≠0，b≠0时，a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0. 注意点： (1)要证明a⊥b，就是证明a·b=0；要证明a∥b，就是证明a=λb(b≠0). (2)若a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，当b1b2b3≠0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b⇔==. 知识点4 夹角和距离的计算 1.空间两点间的距离公式： (1)设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，P1P2=||=. (2)若O(0，0，0)，P(x，y，z)，则||=. 2.空间向量的夹角公式： 设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则cos〈a，b〉==. 思路方法总结 1.建立空间直角坐标系的原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内. ②充分利用几何图形的对称性. ③一般用右手直角坐标系. (2)求某点M的坐标的方法 作MM'垂直于平面Oxy，垂足为M'，求M'的横坐标x，纵坐标y，即为点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为点M的竖坐标z，于是得到点M的坐标(x，y，z). (3)空间坐标系中求已知点的对称点，一般遵循“谁不存在谁变号”原则. 2.空间向量坐标运算的规律 (1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定(终点坐标减去起点坐标). (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算. (3)由条件求向量或点的坐标：把向量的坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标. 3.利用空间向量的坐标运算求夹角和距离的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系. (2)求坐标：①求出相关点的坐标； ②写出向量的坐标. (3)代入公式进行计算. (4)写出答案. 典例·举一反三 题型一 空间向量点的坐标表示 1．在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，得到，，再利用向量线性关系求解. 【详解】由题意，，，所以，， 所以． 故选：D 2．在空间直角坐标系中，已知，，点满足，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据可得点的坐标. 【详解】设，则， 由得即， 故选：C. 3．已知平行四边形，且，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出顶点的坐标，由列出方程组，求出的坐标. 【详解】设， 则，， 由题意得：，即，解得：， 故顶点的坐标为. 故选：D 4．如图，正方体的棱长为2，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求得. 【详解】依题意，，所以， 所以. 故选：D 5．已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量基本定理设向量在基底下的坐标为，根据题意结合空间向量相等的条件建立方程组，解方程组可得答案． 【详解】设向量在基底下的坐标为，则， 整理得， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为． 故选：B 题型二 空间向量坐标的对称问题 6．在空间直角坐标系中有一点，则该点关于轴对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对称性即可求解. 【详解】关于轴对称点的坐标, 故选：A 7．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合空间直角坐标系中点的对称性计算即可得. 【详解】设所求点的坐标为， 根据关于平面对称的两个点的横纵坐标不变，竖坐标互为相反数， 则有，故该点为. 故选：B. 8．若点关于平面的对称点为，关于轴的对称点为，则两点（    ） A．关于坐标原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于平面对称 【答案】A 【分析】分别求出点关于平面和轴的对称点的坐标，再判断即得. 【详解】因点关于平面的对称点为， 关于轴的对称点为，而点与点显然关于坐标原点对称. 故选：A. 9．在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据坐标平面内投影点坐标的特点可得结果. 【详解】在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为. 故选：D. 10．在空间直角坐标系中，下列叙述正确的是（   ） A．点与点关于轴对称 B．点与点关于轴对称 C．点与点关于平面对称 D．坐标轴两两确定的平面把空间分为个部分 【答案】AC 【分析】ABC选项，根据空间直角坐标系内点的坐标特征得到AC正确，B错误；D选项，坐标轴确定的平面把空间分为8个部分. 【详解】A选项，点与点关于轴对称，A正确； B选项，点关于轴的对称点是，B错误； C选项，点与点关于平面对称，C正确； D选项，坐标轴两两确定的平面把空间分为个部分，D错误． 故选：AC． 题型三 空间向量线性运算的坐标表示 11．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的坐标运算求得正确答案. 【详解】若，，则. 故选：D. 12．已知，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的坐标进行空间向量的线性运算即可. 【详解】由，，可得：， 故选：A. 13．向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合空间向量坐标运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】由向量， 则. 故选：C. 14．已知空间向量，，则 . 【答案】 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示计算． 【详解】因为，所以，所以. 故答案为：． 15．已知，则 . 【答案】 【分析】应用空间向量坐标表示的线性运算律计算即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 题型四 数量积的坐标表示 16．已知，则等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】由空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得. 故选：B 17．已知，则（    ） A．11 B． C．45 D．3 【答案】A 【分析】先根据空间向量的线性运算得出，再应用数量积公式计算求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选： 18．若向量，则（    ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【分析】利用空间向量的坐标运算求解即得. 【详解】由，， 得，而， 所以. 故选：D 19．《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，，，，，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】法一：可建立适当空间直角坐标系后表示出各点坐标，从而得到，再借助空间向量数量积公式计算即可得；法二：借助向量线性运算可用、、为基底表示，从而结合向量数量积公式计算即可得. 【详解】方法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ，，，， ， . 方法二：由题意得， ， ， 堑堵为直三棱柱，且， ． 故选：B. 20．已知向量，，若，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量数量积运算律与空间向量数量积的坐标运算公式计算即可求出的值. 【详解】由已知得，， 且， 由得，， 即，解得 故选：D 题型五 平行垂直的坐标表示 21．设，向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量共线的充要条件求解即可. 【详解】因为向量，，，所以存在，使得， 即，解得， 故选：C. 22．已知空间向量，，若，则的值为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】若，则．因为，， 所以，解得． 故选：C． 23．已知空间向量，共线，m，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用可求的值，故可得正确的选项. 【详解】由题设有非零向量共线，则存在实数，使得， 故，故，故． 故选：C． 24．已知向量，若与互相垂直，则 ． 【答案】或 【分析】利用向量垂直满足数量积为0，代入坐标，建立方程，计算即可求解. 【详解】因为， 故，， 若与互相垂直， 则，即，解得或. 故答案为：或. 25．已知空间三点. (1)若三点共线，求实数x的值. (2)若，求实数x的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由空间向量平行的坐标表示列方程求参数值； （2）由空间向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】（1）由题意，又三点共线， 所以，可得，故； （2）由（1）及，则，所以. 题型六向量模长的坐标表示 26．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的坐标运算求模即可. 【详解】由， 故选：C. 27．已知向量，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】应用空间向量线性关系、模的坐标运算求向量的模长. 【详解】由题设， 所以. 故选：B 28．在空间直角坐标系中，已知点，若点P与点A关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到，从而得到，利用模长公式得到答案. 【详解】若点与点关于平面对称，则其横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等． 又，则，又，所以， . 故选：A 29．设，向量，，且，，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】先由空间向量垂直和平行的坐标表示计算出，再由模长的坐标运算求结果. 【详解】因为，所以，解得，所以， 又，所以，解得，所以， 故，则. 故选：C 30．已知，． (1)求的值； (2)设向量，，求； (3)若，求的值． 【答案】(1)10； (2)； (3). 【分析】（1）根据已知得，应用向量数量积的坐标运算求结果； （2）首先求得，再由向量平行的坐标表示列方程求参数值，最后应用向量减法、模的坐标运算求结果； （3）应用向量加减的坐标运算求，再由向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】（1）由题设，所以； （2）由（1），又， 所以，可得，即， 所以，则； （3）由（1）， ， 由，则， 所以，则. 题型七 向量夹角的坐标表示 31．在空间直角坐标系中，已知点，则直线AB，AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量夹角的坐标公式，求直线夹角的余弦值. 【详解】，， 设直线所成角为， . 故选：B 32．已知，，，则与的夹角余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用夹角的坐标运算求解即可. 【详解】因为，，， 则， 与的夹角余弦值为. 故选：B. 33．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得坐标，然后由空间向量夹角余弦坐标公式可得答案. 【详解】. 则. 故选：A 34．已知向量，，且，夹角为钝角，则的取值范围 【答案】 【分析】利用向量数量积的坐标表示结合向量共线求解即可. 【详解】因为，夹角为钝角，所以，且，不共线， 所以，解得且， 即的取值范围为， 故答案为： 35．已知，，求： (1)的值： (2)与夹角的余弦值. 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据向量平行与垂直求得，进而求得； （2）先求得与的坐标，然后根据向量夹角公式求得正确答案. 【详解】（1）因为，所以，解得，， 所以，， 又，则，即，得， 于是，则. （2）由（1）得，，设与的夹角为， 所以， 所以与夹角的余弦值为. 题型八 投影向量的坐标表示 36．若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入投影向量坐标公式，即可求解. 【详解】向量在向量上的投影向量的坐标是. 故选：D 37．已知，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的公式及数量积坐标公式计算即可. 【详解】因为， 则向量在向量上的投影为， 所以向量在向量上的投影向量是. 故选：. 38．已知，，，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】由题意可得,， 则，， 在上的投影向量为， 故选：C. 39．已知向量，，，，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂直关系可得，再由投影向量定义计算可得结果. 【详解】由可得，解得，即； 所以; 因此在方向上的投影向量为. 故选：A 40．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据投影向量的定义求解． 【详解】，则方向的单位向量为， 向量在向量上的投影向量为， 故答案为：． 题型九 向量共面的坐标表示 41．已知向量，，，若共面，则x等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理求解作答. 【详解】因为向量，，，且共面， 则存在实数，使得 ， 即， 所以，解得. 所以，即 故选：C 42．已知空间直角坐标系中，、、，点是空间中任意一点，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、、、的等式组，消去、可得结果. 【详解】在空间直角坐标系中，、、， 则，，， 因为、、、四点共面，设， 即， 可得，消去、可得，即， 故选：A. 43．，若三向量共面，则实数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用共面向量基本定理结合空间向量的坐标运算列方程组求出结果即可． 【详解】由于，，，若三向量共面， 故，整理得， 故，解得． 故选：B． 44．在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则 ． 【答案】 【分析】由空间向量的基本定理求解即可. 【详解】∵，，，. ∴，，． 若四点共面，则， 即， 所以，所以． 故答案为： 45．已知向量． (1)若共面，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据空间向量的基本定理计算即可求解； （2）根据空间向量数量积的坐标表示和垂直向量的坐标表示计算即可求解. 【详解】（1）与不平行， 共面， 存在实数，使得，即，解得， 故实数的值为8． （2），且， ， 即，解得． 题型十坐标运算的综合应用 46．已知. (1)求； (2)当时，求实数k的值. 【答案】(1)2 (2)－1 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示即可求解； （2）由平行得到，构造等式求解即可. 【详解】（1）， 所以 （2）因为， 若，则存在，使得 即， 所以，解得， 所以实数k的值为－1. 47．已知向量. (1)求； (2)求； (3)求向量与的夹角． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算及向量模的坐标表示求解； （2）根据空间向量的数量积的坐标运算求解； （3）根据空间向量垂直的坐标表示计算即可得解. 【详解】（1）∵， ， . （2）， ， 则. （3）， ， ， 则， 所以向量与的夹角为. 48．已知空间中三点，，． (1)设，且，求的坐标； (2)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）由，可设，根据模长求得即可求解； （2）设，由ABCD是平行四边形可得，利用向量相等即可解出点坐标； （3）根据空间向量模长及夹角公式，再利用公式求解. 【详解】（1）由已知得． 因为，所以可设， 所以，解得， 所以或． （2）设，因为ABCD是平行四边形，所以， 由，，， 得，， 所以，故． （3）由题可得，， 所以，， 所以， 又，所以， 所以的面积． 49．已知，，． (1)求的值； (2)求与夹角的余弦值； (3)设，若，求的值． 【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】利用空间向量坐标表示的数量积计算公式、夹角余弦公式和模长公式解决相关问题． 【详解】（1） （2），，,， 设与的夹角为，则． （3），， 根据， 解得． 50．已知空间向量. (1)若，求的值； (2)若，求的最小值及此时的值； (3)若，求的最大值. 【答案】(1) (2)的最小值为，此时 (3) 【分析】（1）根据向量平行时的坐标关系，即可取得x，y的值，即可得答案. （2）根据向量垂直时的坐标关系，根据二次函数的性质，即可得答案. （3）根据求模公式，可得x，y的关系，代入所求，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）因为， 所以， 当时，， 所以，不存在，所以； 当时，可得，解得， 所以 （2）因为， 所以，即， 所以当时，y的最小值为 （3）， 因为， 所以，即， 由，解得 则所求 ， 所以当时，的最大值为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $