专题1.5空间向量的应用：直线、平面的位置关系重难点题型讲义（3个知识点+4大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019选修第一册）

专题1.5空间向量的应用：直线、平面的位置关系重难点题型专训 （3个知识点+4大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 平面法向量的概念及辨析 题型二 求平面的法向量 题型三 空间中直线、平面的平行 题型四 空间中直线、平面的垂直 拓展训练一 利用空间向量证明线面平行 拓展训练二 利用空间向量证明面面平行 拓展训练三 利用空间向量证明线面垂直 拓展训练四 利用空间向量证明面面垂直 知识点一：空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间中点、直线和平面的向量表示 (1)空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． (2)空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为a ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta①，把＝a代入①式得＝＋t②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． (3)平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量a ，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 【注】一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 【即时训练】 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，，若，，且平面，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，可求得，进而利用线面垂直可求得，的值. 【详解】因为，，， 所以，解得，所以. 因为，且平面， 所以， 解得，， 所以. 故选：D. 2．（24-25高二上·四川凉山·期末）平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】求出，由，求解即可． 【详解】解：由 则 因为向量是平面的一个法向量， 所以，令，则 故答案为： 知识点二：用空间向量研究直线、平面的平行关系 1．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. (2)线面平行的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. (3)面面平行的向量表示：设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 . 2．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 【即时训练】 1．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）若两互相平行的平面、的法向量分别为，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，结合空间向量共线的坐标表示可求得的值. 【详解】因为，则，所以，，解得. 故选：A. 2．（24-25高二下·广东珠海·开学考试）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 ． 【答案】 【分析】根据线面的位置关系与向量的关系可得出，由此可求得的值. 【详解】因为，则，则，解得. 故答案为：. 知识点三：用空间向量研究直线、平面的垂直关系 1．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. (2)线面垂直的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. (3)面面垂直的向量表示：设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 2．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 3．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 4．证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 【即时训练】 1．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知空间向量，分别是平面的法向量，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据即可计算. 【详解】由题意可得，，得. 故选：C 2．（2024高二上·全国·专题练习）两平面的法向量分别为，若，则的值是 . 【答案】6 【分析】根据可得，由此可求结果. 【详解】因为，所以， 所以， 故答案为：. 【经典例题一 平面法向量的概念及辨析】 【例1】（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据法向量的性质可得，即可根据向量垂直的坐标运算求解. 【详解】解析：因为，，所以. 平面的法向量，则， 所以，即. 故选：A. 【例2】（22-23高二上·全国·课后作业）如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝DC，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，点F在PB上，问点F在何位置时，为平面DEF的一个法向量?    【答案】F为线段PB的一个三等分点（靠近P点）． 【分析】以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设DA＝2，求出点的坐标，由，可得，设，，得，由＝0即可求得F的位置． 【详解】以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，    设DA＝2，则， ∴，, ∵，∴， 设，，∴，∴ ∴，∴ ∵＝0，∴，∴， ∴F为线段PB的一个三等分点(靠近P点)． 1．（24-25高二上·内蒙古包头·阶段练习）设是空间一定点，为空间内任一非零向量，满足条件的点构成的图形是（   ） A．圆 B．平面 C．直线 D．线段 【答案】B 【分析】根据法向量的定义以及空间位置关系的向量表示可得. 【详解】因为是空间一定点，为空间内任一非零向量，满足条件, 所以点构成的图形是经过点，且以为法向量的平面. 故选：B 2．（24-25高二上·海南·期中）已知平面以为法向量，且经过坐标原点和点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求参数的值. 【详解】由. 故选：B 3．（22-23高二上·山东潍坊·阶段练习）已知正四棱锥如图所示，在向量①，②，③，④，不能作为底面的法向量的是 ． 【答案】① 【详解】由题意可知=，=，=，=，所以填①． 4．（24-25高二·全国·课后作业）写出经过点，且与x轴垂直的平面的方程． 【答案】 【分析】设为所求平面上的点，则且为该平面的一个法向量，利用空间向量的垂直关系即可得该平面的方程． 【详解】由题设，所求平面与垂直且过， 若为该平面上的点，则在该平面上， 所以，可得所求平面的方程为. 【经典例题二 求平面的法向量】 【例1】（2023高三·全国·专题练习）已知，，，则下列向量是平面法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设平面的一个法向量为，由法向量的求法可得满足的关系式，即可判断． 【详解】设平面的一个法向量为， ∵， ∴，则， 对比各选项，可知ABD不符合，C符合． 故选：C． 【例2】（23-24高二上·新疆·阶段练习）在长方体中，，，.以D为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系，求平面的法向量. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据坐标系写出点的坐标，然后写出平面内两个不共线的向量坐标，根据法向量与平面内向量数量积为0列方程组求解可得. 【详解】如图，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系， 则，得， 设为平面的一个法向量， 则，取，得， 所以平面的一个法向量为. 1．（24-25高二上·山东聊城·阶段练习）已知点，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据法向量的求法求得正确答案. 【详解】，设平面的法向量为， 则，则，只有A选项符合. 故选：A 2．（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）在空间直角坐标系中，坐标平面的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用法向量的求法进行求解即可. 【详解】 设与轴的方向向量，轴的方向向量，坐标平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 故选：C. 3．（24-25高二上·新疆直辖县级单位·阶段练习）平面上三个点写出平面的一个法向量为 . 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据平面的法向量的定义计算即得. 【详解】由则， 设平面的法向量为，则由,可取. 故答案为：. 4．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，已知正方体中，的坐标分别为，，，．分别求平面与平面的一个法向量．    【答案】， 【分析】由于轴垂直于平面，则该平面法向量易得，根据法向量的性质列方程组求平面的法向量即可. 【详解】由于轴垂直于平面，而z轴可用方向向量表示， 因此是平面的一个法向量； 设是平面的法向量． 由已知得，， 因而 取，得，则是平面的一个法向量． 【经典例题三 空间中直线、平面的平行】 【例1】（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意可得，结合空间向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 因为平面，则， 所以，，解得. 故选：B. 【例2】（22-23高二下·江苏·课后作业）已知棱长为1的正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示，分别为棱的中点，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】由图中的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，证明，可得. 【详解】因为正方体的棱长为1， 分别为棱的中点， 所以有， ， ， ， 所以，，则有，所以. 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）若直线的方向向量为，平面的法向量为，能使的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，逐项计算即可. 【详解】对于A，，A不是； 对于B，，，B是； 对于C，，C不是； 对于D，，D不是. 故选：B 2．（24-25高二上·贵州·期中）若两互相平行的平面，的法向量分别为，，则实数m的值为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】由题意得法向量，共线，所以存在实数，使，利用向量运算的坐标表示求解. 【详解】因为，则它们的法向量，共线， 所以存在实数，使，即， 则，所以． 故选：A． 3．（24-25高二上·山西太原·阶段练习）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则等于 . 【答案】4 【分析】利用空间位置关系的向量证明，列式计算得解. 【详解】由，得，从而，即，解得. 故答案为：4 4．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】证法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用空间向量共线的坐标表示可得答案； 证法二：由空间向量的线性表示可得答案. 【详解】证法一：由题意知，直线两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 所以，又，故． 证法二：由题意可得 ， 又，所以． 【经典例题四 空间中直线、平面的垂直】 【例1】（24-25高二上·吉林长春·期末）若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（    ） A． B． C． D．l与斜交 【答案】B 【分析】由两个向量的坐标的关系，可得，判断出直线l与平面的位置关系． 【详解】因为直线l的方向向量为，平面的法向量为， 可得因为，所以， 所以 故选：B. 【例2】（23-24高二·全国·课堂例题）若两平面的法向量垂直，则两平面垂直吗？ 【答案】答案见解析 【详解】垂直 1．（24-25高二上·天津滨海新·期末）已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（    ） A． B．20 C． D． 【答案】A 【分析】利用线面垂直可知直线方向向量与平面的法向量平行即可求解. 【详解】直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 因为直线平面，所以，解得. 故选：A. 2．（24-25高二上·山东淄博·阶段练习）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是（    ） A． B． C．与相交 D．或 【答案】A 【分析】判断的关系，再利用空间位置关系的向量证明判断即得. 【详解】由向量，，得，即， 所以. 故选：A 3．（23-24高二上·北京·阶段练习）设直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则实数z的值为 ． 【答案】 【分析】由题意可知∥，代入坐标计算即可. 【详解】解：由题意可知∥， 所以，解得. 故答案为： 4．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，已知平面，，直线平面，且平面．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】设是平面的法向量，结合已知证明两个平面的法向量垂直即可. 【详解】证明：设是平面的法向量． 因为直线平面， 所以平面，即是平面的法向量． 因为平面，所以． 因此平面平面． 【拓展训练一 利用空间向量证明线面平行】 【例1】（24-25高二下·浙江·开学考试）已知直线l的方向向量，平面的法向量，若直线l与平面平行，则实数x的值为（   ） A．7 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据直线与平面平行可得，利用空间向量的数量积运算可得结果. 【详解】∵直线l与平面平行，∴， ∴，解得. 故选：B. 【例2】（24-25高二下·江苏镇江·阶段练习）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，求得，，再结合向量的共面定理，得到共面，又平面，得平面. 【详解】因为在上，且， 所以. 同理. 所以 ， 又与不共线，则共面， 又平面，得平面. 1．（24-25高二上·河北邯郸·期中）已知直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．或 【答案】D 【分析】利用直线的方向向量与平面的法向量的数量积结果即可判断得解. 【详解】因为，， 所以，则， 又是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量， 所以或. 故选：D. 2．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）已知是平面外的一条直线，设直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定 【答案】A 【分析】利用空间向量数量积，结合空间位置关系的向量证明判断即得. 【详解】由向量，，得，则， 而，因此， 所以直线与平面的位置关系是平行. 故选：A 3．（24-25高二下·河南周口·开学考试）已知平面的法向量为，直线l在平面外，且方向向量，则直线l与平面的位置关系为 ． 【答案】 【分析】根据空间向量法计算法向量及方向向量垂直得出线面平行即可. 【详解】因为， 所以，所以或． 因为，所以． 故答案为：． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用勾股定理逆定理先判定，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可. 【详解】由已知，， 可知，则， 又矩形中有，且， 平面， 所以平面， 又， 则平面， 所以两两垂直， 故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则， 所以. 易知平面的一个法向量等于， 所以， 所以， 又平面， 所以平面. 【拓展训练二 利用空间向量证明面面平行】 【例1】（23-34高三·全国·课后作业）设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A．2 B．-4 C．4 D．-2 【答案】C 【分析】利用两个平面平行，可以得到两个平面的法向量也平行，再利用向量共线定理即可求得的值. 【详解】设平面的法向量为，平面的法向量为， ，， 设，即，，. 故选：C. 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）证明平行于平面，结合面面平行判定定理证明结论. 【详解】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为， 所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为， 所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 1．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】通过，列出等式求解即可. 【详解】由题意可知，，所以， 解得，所以. 故选：A. 2．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知平面的法向量为，，平面的法向量为，若，则（    ） A．最大值为2 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为2 【答案】B 【分析】根据，可得，则，进而可求出的关系及符号，再利用基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 则存在唯一实数，使得， 即， 所以，所以， 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：B. 3．（24-25高二下·江苏南京·期中）若平面的一个法向量，平面的一个法向量，且，则x＋z＝ ． 【答案】-1 【分析】利用两平面平行法向量的关系及向量共线定理即可求解. 【详解】因为，所以，故存在实数使得：， 即， 所以，解得，所以. 故答案为： 4．（24-25高二上·全国·课后作业）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    【答案】证明见解析 【分析】先根据直棱柱及建立空间直角坐标系由向量关系得出线线平行，再应用面面平行判定定理得证． 【详解】因为，，是棱的中点， 所以，所以为正三角形． 因为为等腰梯形，，， 所以． 取的中点，连接，则，所以． 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 【拓展训练三 利用空间向量证明线面垂直】 【例1】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 【答案】A 【分析】得出，即可判断. 【详解】由题意得，，则，则. 故选：A 【例2】（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，再求出坐标，进而求出向量求出模长； （2）应用向量法得出线线垂直，再根据线面垂直判定定理证明即可. 【详解】（1）因为平面，，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，所以，. （2）依题意得， 所以， 则，即， 又因为，平面，所以平面. 1．（24-25高二上·河南周口·期末）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据直线的方向向量与平面法向量的位置关系确定直线与平面的位置关系. 【详解】因为，所以. 所以. 故选：A 2．（24-25高二上·湖南永州·期中）直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由线面垂直得直线的方向向量和平面的法向量平行，进而求解. 【详解】因为，所以直线的方向向量和平面的法向量平行， 则，解得， 故选：A. 3．（23-24高二上·河南濮阳·期末）在△ABC中，．若向量与平面ABC垂直，且 ，则的坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据题意结合空间向量的坐标运算求解. 【详解】根据题意可得：， 设， ∵与平面ABC垂直，则，可得， 又∵，则 解得或， 当时，则； 当时，则； ∴的坐标为或． 故答案为：或. 4．（24-25高二·上海·随堂练习）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，为中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明、，即可得证. 【详解】如图以为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 所以，则，即， ，则，即， 又，平面， 所以平面． 【拓展训练四 利用空间向量证明面面垂直】 【例1】（2024·山东菏泽·二模）如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面内存在与平行的直线 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，结合线面平行的判定定理，线面垂直，面面垂直的判定定理，逐项判定计算即可． 【详解】因为为正方体，设正方体边长为2， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 同理解得平面的法向量， ，故A不正确； ，故B不正确； ， ，所以， 又，所以平面，C正确； 平面的一个法向量为， ，故D不正确； 故选：C 【例2】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量 (2)求证：平面平面． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见解析 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直求出法向量即可； （2）证明两平面的法向量垂直即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量是， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为. （2）设平面的一个法向量是， 则，令，则， 因为，所以， 所以平面平面. 1．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，先通过线面垂直的判定定理说明向量为平面的一个法向量，再利用可得线面平行； （2）分别求出平面和平面的法向量，利用法向量垂直可证得面面垂直. 【详解】（1） 依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，． 由E为棱的中点，得． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，而， 所以，又平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量． 设平面的法向量，又向量，， 则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量． 因为，所以． 所以平面平面． 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设，分别求出平面和平面的法向量，计算的值，，即可证明平面平面. 【详解】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，，，， ，，. 设平面PCD的一个法向量为， 则，即， 不妨令，则，，所以， 设平面PAC的一个法向量为， 则，即， 不妨令，则，， 所以， 因为， 所以， 所以平面平面． 3．（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设平面与平面的法向量分别为，求出，可得，即可证明. 【详解】如图，以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 因为， 所以， 所以平面平面． 4．（2024高三·全国·专题练习）已知单位正方体中，为的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】法一：建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，由即可证明平面平面；法二：求出平面的法向量，先证与共线，再由平面，即可证明平面平面. 【详解】证法一：建立如图的空间直角坐标系，则、、、， 于是，，， 设平面的法向量为． 由，，得，． 令，则，∴． 设平面的法向量为． 由，，得，． 令，则，∴． 故， 因此，故面面． 证法二：设的中点为，则， 平面的法量为．易知，这说明与共线， ∴平面，又平面，故平面． 1．（24-25高一下·河北·期末）在空间直角坐标系中，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据法向量的求法求解即可. 【详解】由已知，设平面的一个法向量为， ，取，得， 选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线. 故选：A. 2．（24-25高二·江苏·假期作业）已知空间中，点，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，，设平面的一个法向量为，由，，列方程组，解方程即可得出答案. 【详解】由题，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，，得. 故选：B. 3．（24-25高二下·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出和，然后求出平面的法向量，再逐个分析各个向量是否与法向量共线即可. 【详解】因为， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 对于A，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以A错误， 对于B，因为，所以此向量与共线，所以此向量是平面的法向量，所以B正确， 对于C，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以C错误， 对于D，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以D错误. 故选：B 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，则平面ABC的一个法向量可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设，，根据平面的法向量性质及空间向量数量积的坐标运算求法向量即可. 【详解】由题设，， 若是平面ABC的一个法向量，则， 取，则. 故选：A 5．（24-25高二上·河南南阳·期末）若，且为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，则m的值为（   ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】由题意，利用空间向量共线的坐标表示求参数值. 【详解】由题意知，即，解得． 故选：C 6．（多选）（24-25高二上·海南海口·期中）已知空间中的三点，，，则下列说法不正确的是（  ） A．不是直线AB的一个方向向量 B．直线AB 的一个单位方向向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面ABC的一个法向量是 【答案】BC 【分析】根据向量共线的坐标表示，可判断AB；根据向量夹角公式，可判断C；根据平面法向量的求法，即可得出结果判断D. 【详解】对于A ，，，所以不存在实数， 使得，则不是直线AB的一个方向向量，所以A正确； 对于B，因为，， 所以直线AB 的一个单位方向向量是， 或，所以B错误； 对于C，向量，， 所以，所以C错误； 对于D项，设平面的一个法向量是，，， 所以，则，令，可得，所以D正确. 故选：BC. 7．（多选）（23-24高二上·新疆喀什·期中）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 【答案】AC 【分析】根据已知可得出点的坐标，进而求出相关向量的坐标，求出平面的法向量，即可得出答案. 【详解】由题意，，，，，. 对于A、B项，可知， ∴向量为直线的一个方向向量，故A正确，B不正确； 对于C项，设平面的法向量为，则. 又，， 所以有. 令，可得，则C正确； 对于D项，设平面的法向量为，则. 又，， 所以有. 令，得，故D不正确. 故选：AC. 8．（多选）（24-25高二上·陕西咸阳·期末）设两条不重合的直线，的方向向量分别为，，两个不重合的平面，的法向量分别为，，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，使得，则 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明逐项判断即得. 【详解】对于A，若，则，，A正确； 对于B，，则或，B错误； 对于C，若，则，，C正确； 对于D，，使得，则，而平面不重合，因此，D正确. 故选：ACD 9．（多选）（21-22高二上·湖南邵阳·期末）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的有（   ） A．若两条不重合的直线，的方向向量分别是，，则 B．若直线的方向向量是，平面的法向量是，则 C．若直线的方向向量是，平面的法向量是，则 D．若两个不同的平面，的法向量分别是，，则 【答案】BD 【分析】根据向量与不平行，可判定A错误；由，可判定B正确；由，可判定C不正确；由，可判定D正确. 【详解】对于A中，由直线，的方向向量分别是，， 设，可得，此时方程组无解，即与不平行， 所以与不平行，所以A错误； 对于B中，由直线的方向向量是，平面的法向量是， 可得，所以，所以，所以B正确； 对于C中， 由直线的方向向量是，平面的法向量是， 可得，可得，所以或，所以C不正确； 对于D中，由两个不同的平面，的法向量分别是，， 可得，所以，则，所以D正确. 故选：BD. 10．（多选）（2025·山东青岛·一模）在正三棱柱中，为AC的中点，点满足，，则（    ） A．当时， B．当时， C．存在，使得 D．存在，使得平面 【答案】AD 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直及平行计算判断A，B，C，求出法向量法结合位置关系求解判断D. 【详解】取的中点，建立如图所示空间直角坐标系： 设底面边长为2， 则， 所以，所以， A. 当时，，，，所以，故A正确； B. 当时，，，，所以不成立，故B错误； C.，，故C错误； D. 因为，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 使得平面，所以，所以，，符合，故D正确； 故选：AD. 11．（24-25高二上·北京房山·期末）在空间直角坐标系中，已知点、、，若点在平面内，则一个符合题意的点的坐标为 ． 【答案】（答案不唯一，只需满足即可） 【分析】求出平面的一个法向量的坐标，根据可得出、所满足的关系式，即可得解. 【详解】设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 因为在平面内，则平面，且， ， 故满足条件的一个点的坐标为. 故答案为：（答案不唯一，只需满足即可）. 12．（2024高三·全国·专题练习）已知直线，的方向向量分别为，，且直线，均平行于平面，平面的单位法向量为 ． 【答案】或 【分析】由法向量与，垂直列出等式即可求解. 【详解】设平面的单位法向量为， 因为直线，均平行于平面， 所以有， 由可得： 或， 故平面的单位法向量为或． 故答案为：或． 13．（24-25高二上·广东广州·期中）在空间直角坐标系中，已知向量，点，点，若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，则平面的方程为：.由以上的理论，已知一平面和直线垂直，为其垂足，若，平面的方程式是 【答案】 【分析】根据题设，可求得平面的法向量，注意到点在平面内，即可由平面方程得到答案. 【详解】由题意可知： 平面的法向量为，点在平面内， 根据平面的方程公式可得：， 化简得：. 故答案为：. 14．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知平面的法向量为，直线在平面外，且方向向量，则直线与平面的位置关系为 . 【答案】平行 【分析】应用空间向量数量积的坐标运算得，结合已知即可得位置关系. 【详解】由题设，又直线在平面外， 所以直线与平面的位置关系为平行. 故答案为：平行 15．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】由线面垂直可得，结合向量共线的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得，即，解得. 故答案为： 16．（24-25高二上·广东中山·期中）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 【答案】证明见解析 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出向量的坐标表示，利用，可证直线EF垂直于CD、，再利用线面垂直的判定定理证明． 【详解】如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， ∵E，F分别为AB，的中点，∴， ，，， ∵，，∴， 又，平面， 平面． 17．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直即可求出法向量； （2）证明直线的方向向量与平面的法向量垂直即可得证. 【详解】（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 所以平面的法向量为； （2），则， 故， 因为， 所以， 又平面， 所以平面. 18．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， .求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； 【详解】在直三棱柱中，平面，且，则 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、， 则， 平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. 19．（24-25高二上·全国·课后作业）长方体中，，分别是面对角线，上的点，且，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，由向量共线坐标运算即可求证. 【详解】如图所示，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，，，则得下列各点的坐标： ，，，，，. 由即，可得：， 由，即，可得：． ，，． 又与不共线，． 20．（2024高三·全国·专题练习）在正方体中，已知分别是的中点，求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）再正方体中建立空间直角坐标系，由正方体棱长，写出点的坐标，从而得到和的坐标，由坐标得到，从而证明两直线平行； （2）由（1）得点坐标和，坐标，由向量的数量积为0，得到线线垂直. 【详解】（1）根据题意，如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 所以， 所以，所以，所以， 所以. （2）由（1）知，. 所以，所以，即， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5空间向量的应用：直线、平面的位置关系重难点题型专训 （3个知识点+4大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 平面法向量的概念及辨析 题型二 求平面的法向量 题型三 空间中直线、平面的平行 题型四 空间中直线、平面的垂直 拓展训练一 利用空间向量证明线面平行 拓展训练二 利用空间向量证明面面平行 拓展训练三 利用空间向量证明线面垂直 拓展训练四 利用空间向量证明面面垂直 知识点一：空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间中点、直线和平面的向量表示 (1)空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． (2)空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为a ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta①，把＝a代入①式得＝＋t②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． (3)平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量a ，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 【注】一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 【即时训练】 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，，若，，且平面，则（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川凉山·期末）平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为 ． 知识点二：用空间向量研究直线、平面的平行关系 1．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. (2)线面平行的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. (3)面面平行的向量表示：设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 . 2．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 【即时训练】 1．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）若两互相平行的平面、的法向量分别为，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广东珠海·开学考试）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 ． 知识点三：用空间向量研究直线、平面的垂直关系 1．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. (2)线面垂直的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. (3)面面垂直的向量表示：设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 2．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 3．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 4．证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 【即时训练】 1．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知空间向量，分别是平面的法向量，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．（2024高二上·全国·专题练习）两平面的法向量分别为，若，则的值是 . 【经典例题一 平面法向量的概念及辨析】 【例1】（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高二上·全国·课后作业）如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝DC，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，点F在PB上，问点F在何位置时，为平面DEF的一个法向量?    1．（24-25高二上·内蒙古包头·阶段练习）设是空间一定点，为空间内任一非零向量，满足条件的点构成的图形是（   ） A．圆 B．平面 C．直线 D．线段 2．（24-25高二上·海南·期中）已知平面以为法向量，且经过坐标原点和点，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·山东潍坊·阶段练习）已知正四棱锥如图所示，在向量①，②，③，④，不能作为底面的法向量的是 ． 如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线与该平面垂直． 4．（24-25高二·全国·课后作业）写出经过点，且与x轴垂直的平面的方程． 【经典例题二 求平面的法向量】 【例1】（2023高三·全国·专题练习）已知，，，则下列向量是平面法向量的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·新疆·阶段练习）在长方体中，，，.以D为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系，求平面的法向量. 1．（24-25高二上·山东聊城·阶段练习）已知点，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）在空间直角坐标系中，坐标平面的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·新疆直辖县级单位·阶段练习）平面上三个点写出平面的一个法向量为 . 4．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，已知正方体中，的坐标分别为，，，．分别求平面与平面的一个法向量．    【经典例题三 空间中直线、平面的平行】 【例1】（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则（   ） A． B．5 C． D．1 【例2】（22-23高二下·江苏·课后作业）已知棱长为1的正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示，分别为棱的中点，求证：. 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）若直线的方向向量为，平面的法向量为，能使的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·贵州·期中）若两互相平行的平面，的法向量分别为，，则实数m的值为（   ） A． B．4 C． D．2 3．（24-25高二上·山西太原·阶段练习）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则等于 . 4．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，为的中点，，求证：． 【经典例题四 空间中直线、平面的垂直】 【例1】（24-25高二上·吉林长春·期末）若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（    ） A． B． C． D．l与斜交 【例2】（23-24高二·全国·课堂例题）若两平面的法向量垂直，则两平面垂直吗？ 1．（24-25高二上·天津滨海新·期末）已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（    ） A． B．20 C． D． 2．（24-25高二上·山东淄博·阶段练习）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是（    ） A． B． C．与相交 D．或 3．（23-24高二上·北京·阶段练习）设直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则实数z的值为 ． 4．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，已知平面，，直线平面，且平面．求证：平面平面． 【拓展训练一 利用空间向量证明线面平行】 【例1】（24-25高二下·浙江·开学考试）已知直线l的方向向量，平面的法向量，若直线l与平面平行，则实数x的值为（   ） A．7 B． C．2 D． 【例2】（24-25高二下·江苏镇江·阶段练习）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 1．（24-25高二上·河北邯郸·期中）已知直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．或 2．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）已知是平面外的一条直线，设直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定 3．（24-25高二下·河南周口·开学考试）已知平面的法向量为，直线l在平面外，且方向向量，则直线l与平面的位置关系为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 【拓展训练二 利用空间向量证明面面平行】 【例1】（23-34高三·全国·课后作业）设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A．2 B．-4 C．4 D．-2 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 1．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知平面的法向量为，，平面的法向量为，若，则（    ） A．最大值为2 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为2 3．（24-25高二下·江苏南京·期中）若平面的一个法向量，平面的一个法向量，且，则x＋z＝ ． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    【拓展训练三 利用空间向量证明线面垂直】 【例1】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 【例2】（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 1．（24-25高二上·河南周口·期末）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是（    ） A． B． C． D．或 2．（24-25高二上·湖南永州·期中）直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（    ） A． B．1 C． D． 3．（23-24高二上·河南濮阳·期末）在△ABC中，．若向量与平面ABC垂直，且 ，则的坐标为 ． 4．（24-25高二·上海·随堂练习）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，为中点．求证：平面． 【拓展训练四 利用空间向量证明面面垂直】 【例1】（2024·山东菏泽·二模）如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面内存在与平行的直线 【例2】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量 (2)求证：平面平面． 1．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．求证：平面平面. 3．（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 4．（2024高三·全国·专题练习）已知单位正方体中，为的中点．求证：平面平面． 1．（24-25高一下·河北·期末）在空间直角坐标系中，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二·江苏·假期作业）已知空间中，点，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，则平面ABC的一个法向量可以为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河南南阳·期末）若，且为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，则m的值为（   ） A． B． C． D．8 6．（多选）（24-25高二上·海南海口·期中）已知空间中的三点，，，则下列说法不正确的是（  ） A．不是直线AB的一个方向向量 B．直线AB 的一个单位方向向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面ABC的一个法向量是 7．（多选）（23-24高二上·新疆喀什·期中）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 8．（多选）（24-25高二上·陕西咸阳·期末）设两条不重合的直线，的方向向量分别为，，两个不重合的平面，的法向量分别为，，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，使得，则 9．（多选）（21-22高二上·湖南邵阳·期末）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的有（   ） A．若两条不重合的直线，的方向向量分别是，，则 B．若直线的方向向量是，平面的法向量是，则 C．若直线的方向向量是，平面的法向量是，则 D．若两个不同的平面，的法向量分别是，，则 10．（多选）（2025·山东青岛·一模）在正三棱柱中，为AC的中点，点满足，，则（    ） A．当时， B．当时， C．存在，使得 D．存在，使得平面 11．（24-25高二上·北京房山·期末）在空间直角坐标系中，已知点、、，若点在平面内，则一个符合题意的点的坐标为 ． 12．（2024高三·全国·专题练习）已知直线，的方向向量分别为，，且直线，均平行于平面，平面的单位法向量为 ． 13．（24-25高二上·广东广州·期中）在空间直角坐标系中，已知向量，点，点，若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，则平面的方程为：.由以上的理论，已知一平面和直线垂直，为其垂足，若，平面的方程式是 14．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知平面的法向量为，直线在平面外，且方向向量，则直线与平面的位置关系为 . 15．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为 ． 16．（24-25高二上·广东中山·期中）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 17．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 18．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， .求证：平面； 19．（24-25高二上·全国·课后作业）长方体中，，分别是面对角线，上的点，且，．求证：． 20．（2024高三·全国·专题练习）在正方体中，已知分别是的中点，求证： (1)； (2). 学科网（北京）股份有限公司 $$