专题1.3空间向量及其运算的坐标表示【4个基础知识+3个能力提升】讲义-2025年暑假新高二数学常考题型归纳

2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【专题1.3空间向量及其运算的坐标表示】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【基础知识点1：空间直角坐标系】 知识讲解 一、定义与构成 以空间中一点 为原点，作三条互相垂直的数轴（ 轴、 轴、 轴），统称坐标轴，构成空间直角坐标系 。 右手定则：右手握住 轴，四指从 轴正方向转向 轴正方向时，大拇指指向 轴正方向（常用坐标系）。 二、点的坐标表示 空间中任意一点 的坐标记为 ，其中： 是点 在 轴上的投影坐标； 是点 在 轴上的投影坐标； 是点 在 轴上的投影坐标。 建系技巧（立体几何中） 1. 优先选垂直关系：以几何体中两两垂直的棱、面对角线或体对角线为坐标轴（如正方体、长方体以共顶点的棱为 轴）。 2. 找对称中心：正棱柱、正棱锥可将底面中心或顶点作为原点。 3. 坐标标注原则：从原点出发，沿坐标轴正方向标注长度，负方向用负数表示。 例题精选 【例题1】如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为 . 【答案】 【分析】根据题目条件确定长度关系标注坐标即可； 【详解】因为的坐标为， 所以 所以,, 故答案为：. 【例题2】在正方体中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，分别求，，的坐标． 【答案】见解析. 【分析】利用正方体的几何特征建立空间直角坐标系，求出点的坐标，由此即可求出向量坐标. 【详解】如图所示建立空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，. 相似练习 【相似题1】如图所示，在正方体中，是的中点，，则向量的坐标为 . 【答案】 【分析】先求出，的坐标，再利用减法的坐标形式计算. 【详解】因为在正方体中，是的中点，， 根据题中所建的空间直角坐标系，可得，，所以. 故答案为： 【相似题2】如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标． 【答案】＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)． 【分析】以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C­xyz，利用空间向量坐标表示公式进行求解即可. 【详解】由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C­xyz，如图所示． 则B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)， ∴＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)． 【基础知识点2：空间直角坐标系中点的表示】 知识讲解 一、特殊点的坐标特征 1. 坐标轴上的点 轴：； 轴：； 轴：。 2. 坐标平面上的点 平面：； 平面：； 平面：。 3. 原点：。 二、对称点的坐标规律 设点 ，其对称点坐标为： 1. 关于坐标轴 轴：； 轴：； 轴：。 2. 关于坐标平面 平面：； 平面：； 平面：。 3. 关于原点：。 4. 关于点 ：。 三、记忆规律 坐标轴对称：轴坐标不变，另两坐标变号； 坐标平面对称：平面坐标不变，第三坐标变号； 原点对称：全坐标变号。 例题精选 【例题1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点的坐标可得答案. 【详解】由点与点A关于平面对称，可得，所以. 故选：A. 【例题2】（24-25高二上·浙江杭州·期中）在空间直角坐标系中，点，点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间直角坐标关于坐标轴、平面的对称性性质求出、的坐标，即可得解. 【详解】因为，则点关于轴对称的点为， 又，则点关于平面对称的点为. 所以. 故选：B. 【例题3】（20-21高二·江苏·课后作业）已知点，若向量，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设，再由向量的坐标，列出方程，即可得到结果. 【详解】设，因为，且， 则，所以，即. 故选：A 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·湖南·期中）在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间坐标系的定义得对称点的坐标，再求得向量坐标． 【详解】由点与点关于平面对称，可得，所以. 故选：A． 【相似题2】（24-25高二上·北京丰台·期中）在空间直角坐标系中，若点关于轴的对称点为点，点关于平面的对称点为点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对称性求出点、的坐标，再利用空间向量的坐标运算可求得向量的坐标. 【详解】因为点关于轴的对称点为点，则， 因为点关于平面的对称点为点，则， 因此，. 故选：A. 【相似题3】（23-24高二上·安徽芜湖·期末）在空间直角坐标系中，点，点A关于y轴对称的点为C，点B关于平面对称的点为D，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量坐标关于坐标轴、平面的对称性性质求得结果. 【详解】，点A关于y轴对称的点为， ，点B关于平面对称的点为. 则. 故选：B. 【基础知识点3：空间向量的坐标表示】 知识讲解 单位正交基底 一、定义 在空间直角坐标系中，单位正交基底是指满足以下条件的三个向量： 1. 单位向量：每个向量的模长为1（即单位向量）； 2. 两两正交（垂直）：任意两个向量的数量积为0。 二、标准单位正交基底 在三维直角坐标系中，通常以坐标轴正方向的单位向量作为标准基底，记作： ： 轴正方向的单位向量，坐标表示为 ； ： 轴正方向的单位向量，坐标表示为 ； ： 轴正方向的单位向量，坐标表示为 。 三、性质 1. 模长性质 。 2. 正交性（数量积） 。 3. 向量表示的唯一性 任意空间向量 均可唯一表示为： 其中 为向量在三个基向量上的坐标分量。 例题精选 【例题1】（22-23高二上·湖北·期中）已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的基本定理和坐标表示即得结果． 【详解】向量在基底下的坐标为，则， 设在基底下的坐标为， 则， 所以，解得， 故在基底下的坐标为． 故选：A． 【例题2】（22-23高二上·浙江台州·阶段练习）已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的坐标的定义即得. 【详解】∵向量在基底下的坐标为， ∴， 设向量在基底下的坐标是， 则， ∴， 解得，即. 故选：D. 【例题3】（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标．已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标是．则向量在基底下的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据题意，由空间向量下基底坐标的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为向量在基底下的坐标是， 所以， 所以向量在基底下的坐标是. 故答案为： 相似练习 【相似题1】（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）设是空间中的一组单位正交基底，向量=++，是空间的另一个基底，则在基底下的坐标为 . 【答案】 【分析】根据向量坐标表示的定义，结合向量的坐标运算，即可求解. 【详解】设， 即，则， 得， 所以， 那么在基底下的坐标为. 故答案为： 【相似题2】（22-23高二下·江苏·课后作业）已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标表示直接写出作答. 【详解】因为是空间的一个单位正交基底，则有. 所以向量用坐标形式表示为. 故答案为： 【相似题3】（21-22高二上·山西太原·期中）定义：设是空间向量的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标.已知向量是空间中的一个单位正交基底，向量是空间中的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 . 【答案】 【分析】化简得到，得到答案. 【详解】， 故在基底下的坐标为， 故答案为：. 【基础知识点4：空间向量的坐标运算】 知识讲解 空间向量的坐标运算 一、基本运算定义与公式 设空间向量 ，， 为实数，则： 1. 加法与减法运算 加法：对应坐标分量相加 减法：对应坐标分量相减 2. 数乘运算 实数与向量的乘积，坐标分量同乘该实数 3. 数量积（点积） 坐标表达式： 几何意义：（ 为两向量夹角）。 4. 模长与单位向量 向量 的模： 的单位向量： 5. 向量夹角与垂直/平行判定 夹角公式： 垂直判定：； 平行判定：，使得 。 二、向量坐标与点坐标的关系 若向量 的起点为 ，终点为 ，则： 即向量坐标等于终点坐标减去起点坐标。 三、运算规律 1. 加法交换律与结合律 ； 。 2. 数乘分配律 ； 。 3. 数量积交换律与分配律 ； 。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知向量，，，若共面，则x等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理求解作答. 【详解】因为向量，，，且共面， 则存在实数，使得 ， 即， 所以，解得. 所以，即 故选：C 【例题2】多选题（23-24高二上·福建福州·期末）已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】AC 【分析】根据向量坐标运算，验证向量的平行垂直，向量的模，投影向量即可解决. 【详解】因为，所以，故A正确； 由题得，而，所以不成立，故B不正确； 因为，故C正确； 因为在上的投影向量为，故D错误； 故选：AC. 【例题3】（24-25高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知为单位向量.，若，则在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】根据模与向量的关系求出的值，再根据在上的投影向量公式求出答案即可. 【详解】， 由题可得： ，可得， 则在上的投影向量为. 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·天津·期末）已知向量，，且，夹角为钝角，则的取值范围 【答案】 【分析】利用向量数量积的坐标表示结合向量共线求解即可. 【详解】因为，夹角为钝角，所以，且，不共线， 所以，解得且， 即的取值范围为， 故答案为： 【相似题2】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知. (1)求； (2)当时，求实数k的值. 【答案】(1)2 (2)－1 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示即可求解； （2）由平行得到，构造等式求解即可. 【详解】（1）， 所以 （2）因为， 若，则存在，使得 即， 所以，解得， 所以实数k的值为－1. 【相似题3】（22-23高二上·辽宁朝阳·阶段练习）已知在空间直角坐标系中，，，； (1)若点M满足，求点M的坐标； (2)若，，求． 【答案】(1)； (2)16. 【分析】（1）设，根据空间向量线性运算的坐标表示，求解即可； （2）先用坐标表示，根据空间向量线性运算和数量积的坐标表示，求解即可. 【详解】（1）不妨设点， 则，， 故， 即，即. （2）由题意，， 故. 【能力提升1：空间向量的垂直与平行的坐标表示及其应用】 【知识点】 平行与垂直 平行： 垂直： 例题精选 【例题1】多选题（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知向量，点，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据向量模长的坐标表示即可判断AB；根据向量垂直和平行的坐标表示即可判断CD. 【详解】因为，所以，故A错误，B正确； 若，则，得，故C正确； 若，则，得，故D正确． 故选：BCD. 【例题2】多选题（24-25高二上·江西抚州·期末）已知空间向量，，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】BD 【分析】根据向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数判断A、B；应用向量坐标加法及模长的坐标运算列方程求参数判断C；由向量夹角的坐标表示求余弦值，进而确定正弦值判断D. 【详解】A：，则，可得，错； B：，则，可得，对； C：，可得或，错； D：，则，故，则，对. 故选：BD 【例题3】（24-25高二上·广西百色·期末）已知空间向量，，，且与互相平行，则实数k的值为 . 【答案】2 【分析】利用空间向量共线的坐标计算公式列出方程，计算即得. 【详解】向量 ，， ， 与互相平行，， ，解得 故答案为： 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·福建莆田·期中）已知向量，，若向量同时满足下列三个条件： ①；②；③与垂直． (1)求向量的坐标； (2)若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）首先设，再根据条件列出方程组，即可求解； （2）根据（1）的结果，确定向量，再代入向量夹角的余弦公式，即可求解. 【详解】（1）设，则由题可知， 解得或， 所以或． （2）因为向量与向量共线，所以． 又，，所以，， 所以，且，， 所以与夹角的余弦值为． 【相似题2】（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知 (1)，求的坐标； (2)求； (3)若与互相垂直，求实数的值. 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）由空间向量平行，得出，设，再利用列方程，进而求得； （2）先求得，，再利用公式即可求得的值； （3）利用空间向量垂直充要条件列出关于的方程，解之即可求得的值． 【详解】（1）由题可知，， 由，得，设， 因为， 所以，解得， 所以或． （2）因为、、，，， 所以，， 则. （3）因为，， 又与垂直， 所以， 解得或． 【相似题3】（24-25高二上·上海·期中）已知空间中三点，，. (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)当与的夹角为钝角时，求的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和空间向量的运算求解即可 （2）求出向量坐标，再利用向量夹角为钝角，结合向量数量积列式求解作答. 【详解】（1）设， 因为是平行四边形，所以, 由，，. 得， 所以，故， （2）依题意得，， ， 因为当与的夹角为钝角时， 则，且与不共线， 当时，， 当与共线时，存在实数t，有， 于是得，解得， 所以与不共线，则， 所以k的范围为 【能力提升2：利用空间向量的坐标运算求夹角距离】 知识讲解 1. 模长公式 2. 夹角公式 例题精选 【例题1】（24-25高二下·浙江·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知三点，，，且，则实数（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先求出的坐标，再利用空间向量的模长公式解方程即得. 【详解】由，，可得， 由，可得，解得. 故选：A. 【例题2】（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）在空间直角坐标系中，若，且，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，求得，得到，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得，所以， 则，所以. 故选：D. 【例题3】（安徽省金榜教育2024-2025学年高二下学期五月份阶段性考试数学试题（B））设空间两个单位向量与向量的夹角等于，则向量夹角的余弦值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题意结合向量数量积定义和模长坐标计算公式得到和，再结合向量夹角余弦公式即可计算求解. 【详解】因为空间两个单位向量与向量的夹角等于， 所以， 所以，结合得 则向量夹角的余弦值为. 故选：D. 相似练习 【相似题1】（2025·山东济南·三模）已知在空间直角坐标系中，三点，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用空间向量夹角公式求解. 【详解】依题意，， 所以向量与夹角的余弦值为. 故选：A 【相似题2】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）若向量，且与的夹角余弦为，则等于（    ） A．2 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由空间向量夹角余弦值的坐标运算，结合的坐标得到关于的表达式，即可求出的值. 【详解】因为向量，且与的夹角余弦为， 所以， 解得， 故选：D. 【相似题3】（24-25高二上·云南玉溪·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出向量、的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】因为，，则，， 所以，. 故选：B. 【能力提升3：坐标运算中的最值与范围】 例题精选 【例题1】（23-24高一下·北京·阶段练习）如图，正方体的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】通过建立空间直角坐标系，设P坐标，根据可得出轨迹方程，再根据轨迹方程即可求解. 【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设， ，， ，， ∵，∴， ∴点P在侧面的边界及其内部运动的轨迹如图线段： 正方体中，平面， ∴，又， 由图可知当点P在E处取得最大值， 所以面积的最大值. 故选：D. 【例题2】（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在棱长为1的正方体中，为线段上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设，，表达出，进而求出最小值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故， 过点作⊥于点，设，， 则，所以， 显然∽，故，即， 故，则， ， ， ， 故当时，取得最小值，最小值为 故选：B 【例题3】（24-25高二上·湖北武汉·期末）在三棱锥中，，，，中点为，点为棱上的动点，当取最小值时，线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将三棱锥补全为长方体，利用勾股定理求出长方体的长宽高，再以点为原点建立空间直角坐标系，利用坐标法计算即可. 【详解】如图所示，将三棱锥补全为长方体，设长方体的长宽高分别为， 则有，解得， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 故， 所以， 则当时，取得最小值， 此时. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：将三棱锥补全为长方体，是解决本题的关键. 相似练习 【相似题1】多选题（24-25高二下·安徽·开学考试）已知在棱长为1的正方体中，点满足，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当时，周长的最小值为 C．当时，有且仅有一个点；使得 D．当时，的最小值为 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系如图所示，则，对于A，当时，推出点在线段上，为定值，由结合三棱锥的体积公式，即可判断A；对于B，当时，点在线段上，将平面与平面沿展开可求得，从而得周长的最小值，即可判断B；对于C，当时，求得，的坐标，由列方程，根据方程解的个数，即可判断C；对于D，，，由的几何意义的最小值，即可判断D. 【详解】建立空间直角坐标系如图所示，则. 对于A，当时，点在线段上，则， 所以，故A正确； 对于B，当时，点在线段上，将平面与平面沿展开，得 ，又，故周长的最小值为，故B正确； 对于C，当时，，，若， 则，解得，所以符合条件的点有两个，故C错误； 对于D，，则当，， 则，表示单位圆上的点到点的距离的平方， 则其最小值为，所以的最小值为，故正确. 故选：ABD. 【相似题2】（2025·重庆九龙坡·一模）棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，若，则动点所围成的图形的面积为 .若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算可证得平面，从而可确定动点所围成的图形是矩形，从而可得所围成的图形的面积；由正弦定理可得，利用空间坐标运算可得点的轨迹是以为球心，2为半径且位于正方体内的部分球体，再利用，求解后即可判断 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 则，则， 又平面，所以平面， 由于动点在正方体内及其边界上， 且，所以动点所围成的图形是矩形， 则面积为； 设△边上的高为，则， 由正弦定理可得， 所以，故， 设，又因为，整理得：， 所以空间动点的轨迹是以为球心， 2为半径且位于正方体内的部分球体，又因为， 所以. 故答案为：；. 【相似题3】（2025·福建南平·三模）已知正方体的棱长为4，点分别为线段上的动点，则的最小值为 ，此时 . 【答案】 ； . 【分析】以为原点建立适当空间直角坐标系，设，利用取得最小值时，为异面直线和的公垂线段，进而得且，利用向量垂直坐标表示即可求出参数s和t，进而利用向量坐标运算即可计算求解. 【详解】由题可以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以，设， 所以， 当取得最小值时，为异面直线和的公垂线段， 所以此时且， 故， 所以取得最小值时，，， 所以的最小值为， 此时. 故答案为：；. 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏扬州·期中）若，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知点是空间直角坐标系中的一点，则点关于平面对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）已知点关于轴的对称点为A，则等于（    ） A． B． C． D．2 4．（24-25高二上·贵州·期中）已知点，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·江苏·期中）已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·甘肃酒泉·期中）在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知，，，是空间直角坐标系中的四点，是空间中任意一点，则下列说法错误的是（   ） A．若与关于平面对称，则 B．若，则，，，共面 C．若，则，，，共面 D．若，，三点共线，则 9．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·广东阳江·期中）已知向量，，，若，，共面，则x等于（   ） A． B．1 C．1或 D．1或0 二、多选题 11．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 三、填空题 12．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 . 四、解答题 13．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知空间三点，，. (1)求以，为邻边的平行四边形的面积； (2)若向量分别与，垂直，且，求向量的坐标. 14．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知向量，，． (1)当时，若向量与垂直，求实数和的值； (2)若向量与向量，共面，求实数的值． 15．（24-25高二上·天津南开·期中）如图，三棱柱，底面底面中，，，棱，分别是，的中点. (1)求的模： (2)求的值； (3)求证：. 16．（24-25高二上·广东汕头·期末）“出租车几何或曼哈顿距离（Manhattan Distance）”是由十九世纪赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在空间直角坐标系中，点，之间的曼哈顿距离为． (1)在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，记为点M与直线l上的所有点的曼哈顿距离的最小值． （i）已知点，求； （ii）已知点，直线l：，求证：． (2)在空间直角坐标系中，已知点O为坐标原点，动点P满足，求动点P围成的几何体的体积 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C D D D C C C B 题号 11 答案 AD 1．D 【分析】根据空间向量的坐标运算求得正确答案. 【详解】若，，则. 故选：D. 2．A 【分析】利用空间直角坐标系中关于坐标平面对称问题直接求解. 【详解】点关于平面对称的点的坐标为. 故选：A 3．C 【分析】由点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解. 【详解】点关于轴的对称点为， 所以. 故选：C 4．D 【分析】根据投影向量的求法求得正确答案. 【详解】, 所以在上的投影向量为. 故选：D 5．D 【分析】根据已知由空间向量的坐标运算求得 ，根据数量积的运算律结合，即可得的值． 【详解】由已知，， 所以， 又，所以. 故选：D. 6．D 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求，再由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】向量，，， 所以，解得，所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 7．C 【分析】设，计算、的坐标，利用数量积的坐标运算化简即可. 【详解】由点在直线上运动，故可设，， 则， ， 所以 ， 故当时，取得最小值. 故选：C． 8．C 【分析】利用对称求解判断A；利用共面向量定理及推论判断BC；利用向量共线求解判断D. 【详解】对于A，由与关于平面对称，得，，A正确； 对于B，由及共面向量定理得共面，B正确； 对于C，，则点不共面，C错误； 对于D，，由点共线，得， 则，解得，，D正确. 故选：C 9．C 【分析】应用夹角是锐角的向量关系计算即可. 【详解】因为空间向量，， 若与的夹角是锐角，则且不成立， 所以或. 故选：C. 10．B 【分析】根据向量共面可得，进而可得，即得答案. 【详解】因为共面， 所以存在实数，使， 所以， ∴， 解得. 故选：B. 11．AD 【分析】求出即可判断A，利用向量的数量积的坐标运算即可判断B，由在上的投影向量为计算即可判断C，计算夹角公式即可判断D. 【详解】，故A正确； ， 所以，所以与不垂直，故B错误； 在上的投影向量为，故C错误； ，故D正确. 故选：AD. 12． 【分析】根据题意，利用空间向量运算法则可求. 【详解】∵，∴， 即，解得. 故答案为：. 13．(1) (2)或 【分析】（1）根据空间向量数量积的定义和坐标表示计算可得，结合三角形面积公式计算即可求解； （2）设，则，解之即可. 【详解】（1）由，， 得，， 所以，由，得， . （2）设， 由或， 或. 14．(1)实数和的值分别为和； (2). 【分析】（1）利用空间向量坐标运算，列出方程求解即得. （2）利用共面向量定理，结合向量的坐标运算求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 向量，，则， 由向量与垂直，得，则， 当时，有，矛盾；当时，有，解得， 所以实数和的值分别为和. （2）由向量与向量，共面，设， 则，即，解得， 所以实数的值为. 15．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出两点的坐标，代入空间两点间的距离公式，即可求出的长； （2）求出利用向量的夹角公式，即可求解； （3）根据向量数量积的坐标运算证明，即可证明． 【详解】（1）以为坐标原点，以、、的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图 由题意得, 故． （2）依题意得, 故,则 （3）,, 由于, 故，即． 16．(1)（i）2；（ii）证明见解析； (2). 【分析】（1）（i）利用曼哈顿距离的定义计算得解；（ii）在直线上取点，按与之一为0分类，利用曼哈顿距离的定义，借助不等式性质求出最小值即可. （2）设，利用用曼哈顿距离的定义列式，考查时点所围图形，再利用对称性即得几何体，进而求出体积. 【详解】（1）（i），则. （ii）当时，设直线上任意一点， 因此； 当时，设，， 因此； 当时，同理， 所以. （2）设，依题意，， 当时，设， ， 因此，点共面， 点围成的图形是边长为的正三角形及内部， 由对称性知，动点围成的几何体是正八面体，每个面都是边长为的正三角形， 所以动点P围成的几何体的体积. 【点睛】关键点点睛：充分理解曼哈顿距离的定义，并转化为与之相关联的数学问题求解是关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【专题1.3空间向量及其运算的坐标表示】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【基础知识点1：空间直角坐标系】 知识讲解 一、定义与构成 以空间中一点 为原点，作三条互相垂直的数轴（ 轴、 轴、 轴），统称坐标轴，构成空间直角坐标系 。 右手定则：右手握住 轴，四指从 轴正方向转向 轴正方向时，大拇指指向 轴正方向（常用坐标系）。 二、点的坐标表示 空间中任意一点 的坐标记为 ，其中： 是点 在 轴上的投影坐标； 是点 在 轴上的投影坐标； 是点 在 轴上的投影坐标。 建系技巧（立体几何中） 1. 优先选垂直关系：以几何体中两两垂直的棱、面对角线或体对角线为坐标轴（如正方体、长方体以共顶点的棱为 轴）。 2. 找对称中心：正棱柱、正棱锥可将底面中心或顶点作为原点。 3. 坐标标注原则：从原点出发，沿坐标轴正方向标注长度，负方向用负数表示。 例题精选 【例题1】如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为 . 【例题2】在正方体中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，分别求，，的坐标． 相似练习 【相似题1】如图所示，在正方体中，是的中点，，则向量的坐标为 . 【相似题2】如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标． 【基础知识点2：空间直角坐标系中点的表示】 知识讲解 一、特殊点的坐标特征 1. 坐标轴上的点 轴：； 轴：； 轴：。 2. 坐标平面上的点 平面：； 平面：； 平面：。 3. 原点：。 二、对称点的坐标规律 设点 ，其对称点坐标为： 1. 关于坐标轴 轴：； 轴：； 轴：。 2. 关于坐标平面 平面：； 平面：； 平面：。 3. 关于原点：。 4. 关于点 ：。 三、记忆规律 坐标轴对称：轴坐标不变，另两坐标变号； 坐标平面对称：平面坐标不变，第三坐标变号； 原点对称：全坐标变号。 例题精选 【例题1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二上·浙江杭州·期中）在空间直角坐标系中，点，点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例题3】（20-21高二·江苏·课后作业）已知点，若向量，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·湖南·期中）在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高二上·北京丰台·期中）在空间直角坐标系中，若点关于轴的对称点为点，点关于平面的对称点为点，则（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（23-24高二上·安徽芜湖·期末）在空间直角坐标系中，点，点A关于y轴对称的点为C，点B关于平面对称的点为D，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【基础知识点3：空间向量的坐标表示】 知识讲解 单位正交基底 一、定义 在空间直角坐标系中，单位正交基底是指满足以下条件的三个向量： 1. 单位向量：每个向量的模长为1（即单位向量）； 2. 两两正交（垂直）：任意两个向量的数量积为0。 二、标准单位正交基底 在三维直角坐标系中，通常以坐标轴正方向的单位向量作为标准基底，记作： ： 轴正方向的单位向量，坐标表示为 ； ： 轴正方向的单位向量，坐标表示为 ； ： 轴正方向的单位向量，坐标表示为 。 三、性质 1. 模长性质 。 2. 正交性（数量积） 。 3. 向量表示的唯一性 任意空间向量 均可唯一表示为： 其中 为向量在三个基向量上的坐标分量。 例题精选 【例题1】（22-23高二上·湖北·期中）已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（22-23高二上·浙江台州·阶段练习）已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例题3】（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标．已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标是．则向量在基底下的坐标是 ． 相似练习 【相似题1】（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）设是空间中的一组单位正交基底，向量=++，是空间的另一个基底，则在基底下的坐标为 . 【相似题2】（22-23高二下·江苏·课后作业）已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为 ． 【相似题3】（21-22高二上·山西太原·期中）定义：设是空间向量的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标.已知向量是空间中的一个单位正交基底，向量是空间中的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 . 【基础知识点4：空间向量的坐标运算】 知识讲解 空间向量的坐标运算 一、基本运算定义与公式 设空间向量 ，， 为实数，则： 1. 加法与减法运算 加法：对应坐标分量相加 减法：对应坐标分量相减 2. 数乘运算 实数与向量的乘积，坐标分量同乘该实数 3. 数量积（点积） 坐标表达式： 几何意义：（ 为两向量夹角）。 4. 模长与单位向量 向量 的模： 的单位向量： 5. 向量夹角与垂直/平行判定 夹角公式： 垂直判定：； 平行判定：，使得 。 二、向量坐标与点坐标的关系 若向量 的起点为 ，终点为 ，则： 即向量坐标等于终点坐标减去起点坐标。 三、运算规律 1. 加法交换律与结合律 ； 。 2. 数乘分配律 ； 。 3. 数量积交换律与分配律 ； 。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知向量，，，若共面，则x等于（    ） A． B．1 C． D． 【例题2】多选题（23-24高二上·福建福州·期末）已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【例题3】（24-25高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知为单位向量.，若，则在上的投影向量的坐标为 . 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·天津·期末）已知向量，，且，夹角为钝角，则的取值范围 【相似题2】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知. (1)求； (2)当时，求实数k的值. 【相似题3】（22-23高二上·辽宁朝阳·阶段练习）已知在空间直角坐标系中，，，； (1)若点M满足，求点M的坐标； (2)若，，求． 【能力提升1：空间向量的垂直与平行的坐标表示及其应用】 【知识点】 平行与垂直 平行： 垂直： 例题精选 【例题1】多选题（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知向量，点，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【例题2】多选题（24-25高二上·江西抚州·期末）已知空间向量，，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【例题3】（24-25高二上·广西百色·期末）已知空间向量，，，且与互相平行，则实数k的值为 . 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·福建莆田·期中）已知向量，，若向量同时满足下列三个条件： ①；②；③与垂直． (1)求向量的坐标； (2)若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值． 【相似题2】（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知 (1)，求的坐标； (2)求； (3)若与互相垂直，求实数的值. 【相似题3】（24-25高二上·上海·期中）已知空间中三点，，. (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)当与的夹角为钝角时，求的范围. 【能力提升2：利用空间向量的坐标运算求夹角距离】 知识讲解 1. 模长公式 2. 夹角公式 例题精选 【例题1】（24-25高二下·浙江·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知三点，，，且，则实数（   ） A． B．2 C． D． 【例题2】（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）在空间直角坐标系中，若，且，则（    ） A． B． C．3 D． 【例题3】（安徽省金榜教育2024-2025学年高二下学期五月份阶段性考试数学试题（B））设空间两个单位向量与向量的夹角等于，则向量夹角的余弦值等于（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025·山东济南·三模）已知在空间直角坐标系中，三点，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）若向量，且与的夹角余弦为，则等于（    ） A．2 B． C．或 D． 【相似题3】（24-25高二上·云南玉溪·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【能力提升3：坐标运算中的最值与范围】 例题精选 【例题1】（23-24高一下·北京·阶段练习）如图，正方体的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【例题2】（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在棱长为1的正方体中，为线段上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高二上·湖北武汉·期末）在三棱锥中，，，，中点为，点为棱上的动点，当取最小值时，线段的长度为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】多选题（24-25高二下·安徽·开学考试）已知在棱长为1的正方体中，点满足，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当时，周长的最小值为 C．当时，有且仅有一个点；使得 D．当时，的最小值为 【相似题2】（2025·重庆九龙坡·一模）棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，若，则动点所围成的图形的面积为 .若，则的最小值为 . 【相似题3】（2025·福建南平·三模）已知正方体的棱长为4，点分别为线段上的动点，则的最小值为 ，此时 . 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏扬州·期中）若，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知点是空间直角坐标系中的一点，则点关于平面对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）已知点关于轴的对称点为A，则等于（    ） A． B． C． D．2 4．（24-25高二上·贵州·期中）已知点，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·江苏·期中）已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·甘肃酒泉·期中）在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知，，，是空间直角坐标系中的四点，是空间中任意一点，则下列说法错误的是（   ） A．若与关于平面对称，则 B．若，则，，，共面 C．若，则，，，共面 D．若，，三点共线，则 9．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·广东阳江·期中）已知向量，，，若，，共面，则x等于（   ） A． B．1 C．1或 D．1或0 二、多选题 11．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 三、填空题 12．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 . 四、解答题 13．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知空间三点，，. (1)求以，为邻边的平行四边形的面积； (2)若向量分别与，垂直，且，求向量的坐标. 14．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知向量，，． (1)当时，若向量与垂直，求实数和的值； (2)若向量与向量，共面，求实数的值． 15．（24-25高二上·天津南开·期中）如图，三棱柱，底面底面中，，，棱，分别是，的中点. (1)求的模： (2)求的值； (3)求证：. 16．（24-25高二上·广东汕头·期末）“出租车几何或曼哈顿距离（Manhattan Distance）”是由十九世纪赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在空间直角坐标系中，点，之间的曼哈顿距离为． (1)在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，记为点M与直线l上的所有点的曼哈顿距离的最小值． （i）已知点，求； （ii）已知点，直线l：，求证：． (2)在空间直角坐标系中，已知点O为坐标原点，动点P满足，求动点P围成的几何体的体积 1 学科网（北京）股份有限公司 $$