精品解析：江苏省扬州市广陵区扬州大学附属中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

2025~2026学年度第一学期高二年级数学阶段测试一 一、单选题（共8题，每题5分，共40分） 1. 经过两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 圆心为，半径为3的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 设直线，，则是的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知直线与直线平行，则这两条平行直线间的距离为 （ ） A. B. C. D. 5. 已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆截直线所得弦长为4，则实数的值是（ ) A. －3 B. －2 C. －1 D. －4 7. 由曲线围成的图形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，与交于点，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若光线所经长度，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3题，每题6分，共18分） 9. 已知直线，动直线，则下列结论正确的是（ ） A. 任意总过一定点 B. 存在，使得的倾斜角为 C. 存在，使得与平行 D. 存在，使得与垂直 10. 已知圆，点在圆上，下列结论正确的是（ ） A. 圆心在第二象限 B. 圆的面积是 C. 直线与圆必定相交 D. 的最大值是20 11. 已知点，，且点在直线上，则（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. 存在点，使得 D. 存在点，使得 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 过点，且在轴上截距为3的直线方程是_____. 13. 在平面直角坐标系中，点在直线上，当最小时，点的坐标为______. 14. 在平面直角坐标系中，已知圆，直线经过点.若对任意的实数，定直线被圆截得的弦长为定值，则直线的方程为_____. 四、解答题（共5题，共77分） 15. 的顶点A，B，C的坐标分别为，，. （1）边上的中线的方程； （2）的外接圆方程. 16. 如图，平面直角坐标系中，和都是等腰直角三角形，，.设和的外接圆圆心分别为M，N. （1）若与直线相切，求直线的方程； （2）若直线截所得弦长为4，求的标准方程. 17. 已知及经过点的直线. （1）当与相切时，求直线的方程； （2）若直线与圆相交于A，B两点，且，求的长. 18. 已知点A，B分别是两射线和上的两点，点. （1）若点是线段的中点，求线段的长； （2）若线段的中点在直线上，且直线与圆相切，求直线的方程； （3）若点在直线上，为坐标原点，求面积的最小值，并求取最小值时直线的方程. 19. 已知圆，内接于此圆，点的坐标，O为坐标原点. （1）若直线的方程是，求的面积； （2）若的重心是，求直线的方程（三角形重心是三角形三条中线的交点，且三等分所在中线）； （3）若直线与直线的倾斜角互补，求证：直线的斜率为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期高二年级数学阶段测试一 一、单选题（共8题，每题5分，共40分） 1. 经过两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两点表示斜率和斜率的定义建立方程，解之即可求解. 【详解】由题意知，经过的直线的斜率为， 设该直线的倾斜角为，则， 所以，即直线的倾斜角为. 故选：C 2. 圆心为，半径为3的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的标准方程易得. 【详解】圆心为，半径为3的圆的方程为. 故选：C. 3. 设直线，，则是的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合直线垂直的性质判断即可. 【详解】当时，直线，， 此时，则，所以，故充分性成立； 当时，，解得或，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：C. 4. 已知直线与直线平行，则这两条平行直线间的距离为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行，建立方程，可得直线方程，利用平行直线的距离公式，可得答案. 【详解】由题意可得，则，解得，经检验符合题意， 可得直线与直线，整理可得， 两直线之间的距离. 故选：B. 5. 已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】联立和方程，求得交点坐标，再结合垂直关系求得斜率，即可求解 【详解】由，，联立方程可得： 又直线的斜率为， 所以要求的直线斜率为，故直线方程为，即. 故选：D 6. 已知圆截直线所得弦长为4，则实数的值是（ ) A. －3 B. －2 C. －1 D. －4 【答案】B 【解析】 【详解】圆心为，圆心到直线距离为，故圆的半径为，即，故选. 7. 由曲线围成的图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用曲线方程化简，取确定为圆在第一象限的部分，再根据绝对值呈现出的对称性作图，由图计算面积即可. 【详解】曲线可化为， 当时，解析式为， 易知曲线关于x轴，y轴，原点均对称， 由题意，作出图形如图中实线所示， 则此曲线所围成的图形由一个边长为的正方形与四个半径为的半圆组成， 故所围成图形的面积是. 故选：D. 【点睛】本题考查了圆的方程和曲线对称性的应用，属于中档题. 8. 设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，与交于点，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若光线所经长度，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设关于轴的对称点为，先求出点关于直线的对称点为的坐标，再根据光学性质得到四点共线，由求出的坐标，进而求出直线与直线的交点的坐标，即可求出的值. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则得，即. 设关于轴的对称点为，由光学性质可知，四点共线， 所以， 又因为，所以，解得或， 故或. ①当时， 此时直线的斜率为，直线的方程为， 由解得，所以直线与直线的交点， 此时. ②当时， 此时直线的斜率为，直线的方程为， 由解得，所以直线与直线的交点， 此时，与选项不符，舍去. 综上，可知的值为. 故选：C 二、多选题（共3题，每题6分，共18分） 9. 已知直线，动直线，则下列结论正确的是（ ） A. 任意总过一定点 B. 存在，使得的倾斜角为 C. 存在，使得与平行 D. 存在，使得与垂直 【答案】AB 【解析】 【分析】根据直线的方程特点易得经过定点，判断A项；通过举例可判断B项；利用两直线均经过可判断C项；利用两直线垂直的充要条件得到方程，由方程无解可判断D项. 【详解】对于A，直线即，由，可得，即直线经过定点，故A正确； 对于B，若取，则得，其倾斜角为，故B正确； 对于C，因直线与均过点，故不存在，使得与平行，故C不正确； 对于D，若两直线垂直，则，而此方程无解，即值不存在，故D不正确. 故选：AB. 10. 已知圆，点在圆上，下列结论正确的是（ ） A. 圆心在第二象限 B. 圆的面积是 C. 直线与圆必定相交 D. 的最大值是20 【答案】ABD 【解析】 【分析】将圆的方程配方求得圆心和半径，即可判断A,B两项；根据直线经过的定点恰在圆上，即可判断直线与圆的位置关系；对于，可理解为点到原点的距离的平方，结合图形即可求得其最大值. 【详解】圆的标准方程为，其圆心为，半径为 对于A，圆心显然在第二象限，故A正确； 对于B，面积为，故B正确； 对于C，直线过定点，而点在圆上，直线与圆有公共点，此时直线与圆相切或相交，故C不正确； 对于D，可理解为点到原点的距离的平方，而圆经过原点， 所以的最大值是圆的直径，长度为， 故的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知点，，且点在直线上，则（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. 存在点，使得 D. 存在点，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求出直线的中垂线方程，与直线方程联立可求出点坐标；对于B，设，根据选项结合向量垂直关系即可判断B；对于C，利用两点间的距离公式依次求解判断即可；对于D，利用对称关系即可求解. 【详解】对于A：由于点，，则的方程为， 则直线的中垂线方程为， 联立，解得， 所以当时，，故A正确； 对于B：设，则，， 要使， 则， 则，方程无解，故与不垂直，故B错误； 对于C：设，若， 则，即， 由，所以方程有解，则存在点，使得，故C正确； 对于D：设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以， 因为，所以存在点，使得.D正确. 故选：ACD 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 过点，且在轴上截距为3的直线方程是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得直线经过点，结合条件易得直线方程. 【详解】依题意，该直线经过点，又过点，故其方程为. 故答案为：. 13. 在平面直角坐标系中，点在直线上，当最小时，点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出过原点与已知直线垂直的直线方程，联立已知方程求解可得. 【详解】易知，当垂直于直线时，取得最小值， 此时，所在直线方程为， 联立解得，即. 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，已知圆，直线经过点.若对任意的实数，定直线被圆截得的弦长为定值，则直线的方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先由圆的方程配方求出圆心，判断圆心在直线上，由定直线过点，且被圆截得的弦长为定值，结合圆的半径为3，可推得圆心到定直线的距离不变，从而由即可求得直线的方程. 【详解】圆的标准方程为：， 可知该圆的圆心坐标是，因，则圆心在直线上， 又因圆的半径为3，定直线被圆截得的弦长为定值，则圆心到直线的距离不变， 故，又直线过点，故直线的方程为，即. 故答案为：. 四、解答题（共5题，共77分） 15. 的顶点A，B，C的坐标分别为，，. （1）边上的中线的方程； （2）的外接圆方程. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先求出边的中点的坐标，再由点斜式求的方程即可； （2）设圆的一般式方程，代入三点坐标，解方程组求出各项系数，即得圆的方程. 【小问1详解】 由题意，边的中点为，因，则直线的斜率为， 于是边上的中线的方程为，即. 【小问2详解】 设所求圆的方程为， 因点A，B，C在圆上，则有 ，解得：， 故的外接圆的方程是 16. 如图，平面直角坐标系中，和都是等腰直角三角形，，.设和的外接圆圆心分别为M，N. （1）若与直线相切，求直线的方程； （2）若直线截所得弦长为4，求的标准方程. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出圆的方程，表示出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出的值，即得直线的方程； （2）先求出直线的方程，表示出的外接圆的圆心和半径，结合题设的弦长建立方程求出的值，即得的标准方程. 【小问1详解】 因是等腰直角三角形，，则，的外接圆圆心为的中点， 故，圆的半径为，则圆的方程为. 又是等腰直角三角形，，则直线的倾斜角为，斜率为， 故直线的方程为，即. 因与直线相切，则到直线的距离， 解得：（因，舍去负值），故直线的方程为. 【小问2详解】 因直线的倾斜角为，，则其方程为：， 易得，则的外接圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线距离为. 因直线截的所得弦长为4，则得，解得（因，舍去负值）. 故的标准方程为. 17. 已知及经过点的直线. （1）当与相切时，求直线的方程； （2）若直线与圆相交于A，B两点，且，求的长. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）当直线斜率不存在时，易得切线方程；当斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率即得切线方程； （2）取的中点为，设，结合图形可得，由勾股定理得出①和②，联立求出，即得的长. 【小问1详解】 当直线的斜率不存在时，直线， 圆心到的距离为2，等于半径，符合题意； 当直线的斜率存在时，设，即， 由，解得，所以的方程为； 故直线的方程为或. 【小问2详解】 如图，取的中点为，设，连，则， 又，则，， 在中，有①，在中，②， 联立①和②，解得，故. 18. 已知点A，B分别是两射线和上的两点，点. （1）若点是线段的中点，求线段的长； （2）若线段的中点在直线上，且直线与圆相切，求直线的方程； （3）若点在直线上，为坐标原点，求面积的最小值，并求取最小值时直线的方程. 【答案】（1） （2） （3）6； 【解析】 【分析】（1）先检验直线的斜率不存在不合题意，再设的方程，将其分别与两射线方程联立，表示出点的坐标，利用点为的中点求得值，得到点的坐标，可求线段的长； （2）同法检验直线的斜率不存在不合题意，设直线的方程为：，将其分别与两射线方程联立，表示出点的坐标，利用的中点在直线上，求出，再由直线与圆相切，列方程求出值，检验即得的方程； （3）根据（1）的结论求出点的坐标，结合图形易得，代入整理后换元成二次函数，利用其图象性质可求得面积最小值及直线的方程. 【小问1详解】 若直线的斜率不存在，即的方程为，易得，， 此时中点坐标，不是点，不合题意； 即直线的斜率存在，不妨设为，依题意或， 此时的方程为， 由可得， 由可得， 因的中点为，则， 解得：，则，， 则. 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，即的方程可设为，，易得， 此时的中点为显然不在直线上，不合题意； 即直线的斜率存在，设为，且或， 此时，可设直线的方程为：， 由可得， 由可得， 则的中点为， 因点在直线上，则 因，解得：，故直线的方程可化为， 又直线与圆相切， 则，解得或 当时，直线与两射线不相交，不合题意， 故，此时直线的方程为. 【小问3详解】 当直线斜率不存在时，由（1）的结论， 可得； 当的斜率存在时，设为，依题意或， 则直线的方程为， 由（1）可得， 又 ， 设，则，令， 则，即，可得， 因，故当，即时，取得最小值为6， 此时直线的方程为. 19. 已知圆，内接于此圆，点的坐标，O为坐标原点. （1）若直线的方程是，求的面积； （2）若的重心是，求直线的方程（三角形重心是三角形三条中线的交点，且三等分所在中线）； （3）若直线与直线的倾斜角互补，求证：直线的斜率为定值. 【答案】（1）10 （2） （3） 解法一：设，直线，代入圆的方程整理得： ， 因为3，是上述方程的两根， 所以，即， ， 因为直线与直线的倾斜角互补，所以， 设直线， 同理可得：，， 所以. 解法二：设直线，且，， 由消去并整理得： ， 则，是此方程的两实根，故， 且，； 因为直线与直线的倾斜角互补， 所以， 即， ， ， 整理得：， 去分母并整理得：， 即， ， ， 若，则，直线过点不合要求， 所以， 所以，，即直线的斜率为定值. 【解析】 【分析】（1）根据点到直线距离公式及直线与圆相交的弦长公式结合三角形面积公式计算即可； （2）设线段的中点坐标为，由，根据平面向量坐标运算得，由几何性质得，计算可得直线斜率，进而可得直线方程； （3）解法一：设，直线，直线与圆联立方程可得，，同理可得，，由直线斜率公式计算即可求解；解法二：设直线，且，，直线与圆联立方程组结合韦达定理可得，，由直线与直线的倾斜角互补得，根据直线斜率公式化简计算即可求解. 【小问1详解】 设的高为，则， 圆的圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以， 故的面积为； 【小问2详解】 设线段的中点坐标为， 则，，， 即，可得，由几何性质知， 所以，即直线斜率为， 所以直线的方程为，即. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $