广东省佛山市顺德区国华纪念中学2025-2026学年高三上学期第二次阶段考试数学试卷

国华纪念中学2025-2026学年上学期第二阶段考试 高三数学试卷 命题人：覃飞 审题人：李兴习 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则集合中的子集个数为（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 3. 若椭圆的焦距是短轴长的2倍，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 4. 设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5. 若函数图像的一条对称轴方程为，则（ ） A. B. C. D. 6. 若对圆上任意一点，的取值与，无关，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 7. 向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知大于1的三个实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 在正三棱柱中，各棱长均为1，D为BC的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 三棱柱外接球表面积为 10. 已知双曲线的左，右焦点分别为，直线交于，两点，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 到的距离的最大值为 11. 已知锐角的面积为，且满足，，边上的高为h，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知数列是公差不为零的等差数列，成等比数列，则=___ 13. 过原点的直线与及的图象都相切，则实数的值为______. 14. 有4个相同的球，分别标有数字2，0，2，5，从中有放回地随机取4次，每次取1个球，并记录每次取出的球上的数字作为结果.记为结果中数字2，0，5各出现次数中的最大值，则的数学期望 ______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 随着季节的变化，某种生物的繁殖量也发生变化，某研究员对所在地区该生物2025年1月至5月每月的繁殖量进行统计分析（取近似值），结果如下表： 月份 1 2 3 4 5 繁殖量/千个 1.5 2 3.5 8 15 （1）据上表数据，计算与的相关系数（精确到0.01），并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强，否则认为与线性相关性较弱） （2）利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并计算5月份该生物繁殖量的残差. 参考数据：，，. 参考公式：对于一组数据，其相关系数，其经验回归直线中，，. 16. 已知函数为数列的前项和． （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：． 17. 如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，，底面，且． （1）在侧棱上是否存在点F，使得点A，B，E，F四点共面？若存在，指出点F的位置，并证明；若不存在，请说明理由； （2）求二面角的余弦值. 18. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，上存在点到和的距离都等于． （1）求抛物线的方程； （2）过点的直线交抛物线于点，直线与相交于另一点，直线与相交于另一点． （i）求证：； （ii）求证：直线经过定点． 19. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若，求的取值范围； （3）若，设，且，证明：. 国华纪念中学2025-2026学年上学期第二阶段考试 高三数学试卷 命题人：覃飞 审题人：李兴习 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 【15题答案】 【答案】（1），线性相关性很强 （2）， 【16题答案】 【答案】（1）； （2） ∵，∴， ∴， ∴， ∵， 故． 【17题答案】 【答案】（1）存在，靠近的三等分点，证明如下： 取靠近的三等分点，连接， 因为四边形为正方形，所以， 因为，所以， 又，所以，所以共面． （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （i）如图，设直线的方程为，并记点， 联立方程组，消去得，易知， 则，， 而，则， 可知，即． （ii）由题意，点，设直线的方程为， 并记点， 联立方程组，消去得，则， 由三点共线，可得， 得到，将代入化简， 得， 所以，而，可知，同理可得， 则，解得， 故直线的方程为，过定点． 【19题答案】 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为； （2）； （3）证明：由（2）知，当时，，当且仅当时等号成立， 则，即，同理， 于是，即， 当时，，，显然当时，，单调递增， 当时，令，则， 当时，；当时，， 则当时，，单调递增， 而，且，则存在唯一，使得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，则存在唯一，使得， 因此当时，，当时，， 而，且，于是，即， 又，则，即，从而， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $