精品解析：上海市曹杨第二中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

曹杨二中高三月考数学试卷 2025.10 一､填空题 1. 设集合，则__________. 2. 是虚数单位，复数满足，则的虚部为_____. 3. 设，则__________. 4. 的二项展开式中的常数项为_________.（结果用数值表示） 5. 函数的相邻两条对称轴之间的距离为，则_____． 6. 已知数列满足，则__________. 7. 函数在上的极大值点为__________. 8. 设.若直线与圆始终有交点，则的取值范围是__________. 9. 长为，宽为1的矩形，以它的对角线所在直线为轴旋转一周，得到的旋转体的体积为______． 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为_______________. 11. 空间中有三个点，且，在空间中任取2个不同的点，使得它们与恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有______种. 12. 在平面中，非零向量 满足 则 的最大值为________. 二､选择题 13. 已知、，，，则是的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 14. 探照灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.根据光路可逆原理，在平面直角坐标系中，已知抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程是（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 15. 已知是定义在上的偶函数，满足，且当时，，则下列结论错误的是（ ） A. 当时， B. C. 的图像关于点对称 D. 函数有3个零点 16. 设数列的前四项分别为，对于以下两个命题，说法正确的是（ ）． ①存在等比数列以及锐角α，使成立． ②对任意等差数列以及锐角α，均不能使成立． A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题 三､解答题 17. 如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的大小． 18. 已知A、B、C为的三个内角，a、b、c是其三条边，﹒ （1）若，求b、c； （2）若，求c． 19. 为迎接我校校庆，社团联组织师生共同准备了书签及明信片这两种校庆纪念品，每种纪念品均分为手绘款和普通款两类.校庆当日，志愿者小玲负责在服务点发放纪念品.在做准备工作时，小玲清点了服务点已有的各类纪念品的份数，发现缺失手绘款明信片，准备向社团联申请补领，其余纪念品的份数如下表所示： 书签 明信片 手绘款 40 普通款 150 120 （1）设每位抵达的校友可以随机抽取1份纪念品，小玲补领了手绘款明信片50张.记事件：“首位抵达的校友抽到手绘款纪念品”，事件：“首位抵达的校友没有抽到明信片”，分别计算，并判断事件是否独立； （2）设每位抵达的校友可以随机抽取2份纪念品.若小玲希望事件：“首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品”发生的概率大于0.2，且考虑到纪念品总数有限，希望补领的手绘款明信片的张数尽可能地少，则她应该申请补领多少张手绘款明信片？ 20. 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程； （3）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值． 21. 已知函数．, （1）对于任意的，求证； （2）若，且存在单调递减区间，求实数的取值范围； （3）设函数的图象与函数的图象交于点，过线段的中点作轴的垂线分别交，于点，证明：在点处的切线与在点处的切线不平行． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曹杨二中高三月考数学试卷 2025.10 一､填空题 1. 设集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】化简集合，结合交集的概念即可求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 2. 是虚数单位，复数满足，则的虚部为_____. 【答案】-1 【解析】 【分析】根据，利用复数的除法化简求解. 【详解】因为， 所以， 所以的虚部为-1， 故答案为：-1 3. 设，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再分析出就是函数在处的导数，计算即可. 【详解】因为，所以. 由导数的定义可知. 故答案为： 4. 的二项展开式中的常数项为_________.（结果用数值表示） 【答案】 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】由可得， 令，即，则， 即的二项展开式中的常数项为. 故答案为：. 5. 函数的相邻两条对称轴之间的距离为，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】结合正弦函数的图象的对称轴与周期，列出方程求解即得. 【详解】由正弦函数的对称性与周期性，知函数的最小正周期满足， 解得．又则， 故答案为：1． 6. 已知数列满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合题意求出数列的前8项，再求和即可. 【详解】因为，， 所以，， ，， ，，， 则. 故答案为： 7. 函数在上的极大值点为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，利用导数分析函数的单调性并确定极值点即可. 【详解】由， 时，， 令，解得， 所以当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 则函数在上的极大值点为. 故答案为：. 8. 设.若直线与圆始终有交点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意确定直线过定点，再由直线与圆始终有交点，代入得，再解不等式即可. 【详解】直线，即， 当时，方程恒成立， 所以直线过定点， 又直线与圆始终有交点， 所以定点在圆上或圆内， 则，即，又 所以解得， 则的取值范围是. 故答案为：. 9. 长为，宽为1的矩形，以它的对角线所在直线为轴旋转一周，得到的旋转体的体积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】作于点，于点，求出，，然后结合圆锥体积公式利用割补法求解即可. 【详解】如图，是点关于的对称点，交于， 作于点，于点，， ，， 设、、绕直线旋转所成旋转体的体积 分别为，、，则有，， 所求体积． 故答案为： 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据题意得到相关线段关于的表达式，再利用勾股定理建立关于方程，进而求得，从而得解. 【详解】设，由知在双曲线的右支上，可得，， 所以，，又由，知， 所以在中，由勾股定理可得， 解得或（舍去），又，则， 所以，， 所以的面积为. 故答案为：. 11. 空间中有三个点，且，在空间中任取2个不同的点，使得它们与恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有______种. 【答案】9 【解析】 【分析】分类讨论. 第一类为当为四棱锥的一个侧面时，其余两点在平面的同侧，；第二类当为四棱锥的一个对角面时，其余两点在平面的异侧. 【详解】如图所示，有两种情况： ①当为四棱锥的一个侧面时，其余两点在平面的同侧，若为底面棱有两种（平面左右两侧各一组），同理为底面棱时有各两种，故共有6种； ②当为四棱锥的一个对角面时，其余两点在平面的异侧，若为底面对角线则有一组，同理为底面对角线各有一组，故共有3种； 综上所述，共有9种. 故答案为：9 12. 在平面中，非零向量 满足 则 的最大值为________. 【答案】2 【解析】 【分析】设，构造椭圆，利用三角换元可求最大值. 【详解】 如图，设，则为等边三角形，， 且，，故的轨迹为椭圆，其焦距为， 故短半轴长为，故椭圆方程为， 设，故 ， 故的最大值为2，, 故答案为：2. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是构造出椭圆，并结合三角函数知识求解. 二､选择题 13. 已知、，，，则是的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于，即， 显然由，则，故充分性成立； 由推不出，如，，满足， 但是，故必要性不成立； 所以是的的充分不必要条件. 故选：A 14. 探照灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.根据光路可逆原理，在平面直角坐标系中，已知抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程是（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的光学性质以及焦半径公式，结合抛物线定义计算可得结果. 【详解】设入射光线和反射光线与抛物线的交点分别为，显然直线过焦点， 分别从向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，如下图所示： 由抛物线方程可知准线方程为， 再由抛物线定义可得， 因此光线从点到点经过的总路程为. 故选：B. 15. 已知是定义在上的偶函数，满足，且当时，，则下列结论错误的是（ ） A. 当时， B. C. 的图像关于点对称 D. 函数有3个零点 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设可得周期为4，对A，根据条件，利用偶函数的性质，即可求解；对B，利用函数的周期性，即可求解；对C，假设结论成立，从而有，再根据题设有，即可求解；对D，将问题转化成图象交点的个数，在同一坐标系中，作出两函数的图象，即可求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且， 则，即周期为4， 对于选项A，因为时，， 则时，，，又， 所以时，，故A正确， 对于选项B，，故B正确， 对于选项C，若的图像关于点对称， 则，又， 则与矛盾，故C错误， 对于选项D，令，得， 由选项A知，， 又的周期为，则同一直角坐标系中， 作出函数的图象，如图所示， 由图可知，有个交点， 所以函数有个零点，故D正确， 故选：C. 16. 设数列的前四项分别为，对于以下两个命题，说法正确的是（ ）． ①存在等比数列以及锐角α，使成立． ②对任意等差数列以及锐角α，均不能使成立． A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】假设，，成等比数列，可得，在同一坐标系内作和的图象可判断①；分，和，求出的最大值和最小值可知，判断该方程是否有解可判断②. 【详解】对于①，若，，成等比数列，即，， 则，即，得， 在同一坐标系内作和的图象： 可知方程，有且只有一解， 所以存在等比数列以及锐角α，使成立，①是真命题； 对于②，假设存在等差数列以及锐角α， 使成立，则必有， 当时，显然不成立； 当时，，， 所以，， 所以， 则， ，即，即， 因为，所以，， 不存在这样的使得等式成立； 当时，，， 所以，， 所以， 同理， 因为，所以，， 不存在这样的使得等式成立； 所以②是真命题. 故选：A. 【点睛】思路点睛：与三角有关的方程是否有解的问题，可根据代数式的特征选择合适的范围，再根据范围判断一些特定代数式的符号，从而可判断方程是否有解. 三､解答题 17. 如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的大小． 【答案】（1）∵，，∴为等腰直角三角形， 故在三棱柱中为等腰直角三角形， 又是棱的中点，则， 因为侧面，均为正方形，即，， 又， 平面，所以平面，即三棱柱为直三棱柱， 所以平面，平面，则， 又且、平面， ∴平面. （2） 【解析】 【分析】（1）首先可得，再证明平面，即三棱柱为直三棱柱，从而得到，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，， 以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设异面直线与所成角为，则， 因为，所以，即异面直线与所成角为. 【点睛】 18. 已知A、B、C为的三个内角，a、b、c是其三条边，﹒ （1）若，求b、c； （2）若，求c． 【答案】（1）1，； （2）﹒ 【解析】 【分析】(1)由已知利用正弦定理即可求解的值；利用余弦定理即可求解的值． (2)根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得、的值，进而根据正弦定理可得的值． 【小问1详解】 ∵，由正弦定理得， 又，可得， 由于，可得． 【小问2详解】 ∵，0＜C＜π， ∴，C＞＞A， . ∵， ∴， 又， 可解得或(舍)， 由正弦定理，可得． 19. 为迎接我校校庆，社团联组织师生共同准备了书签及明信片这两种校庆纪念品，每种纪念品均分为手绘款和普通款两类.校庆当日，志愿者小玲负责在服务点发放纪念品.在做准备工作时，小玲清点了服务点已有的各类纪念品的份数，发现缺失手绘款明信片，准备向社团联申请补领，其余纪念品的份数如下表所示： 书签 明信片 手绘款 40 普通款 150 120 （1）设每位抵达的校友可以随机抽取1份纪念品，小玲补领了手绘款明信片50张.记事件：“首位抵达的校友抽到手绘款纪念品”，事件：“首位抵达的校友没有抽到明信片”，分别计算，并判断事件是否独立； （2）设每位抵达的校友可以随机抽取2份纪念品.若小玲希望事件：“首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品”发生的概率大于0.2，且考虑到纪念品总数有限，希望补领的手绘款明信片的张数尽可能地少，则她应该申请补领多少张手绘款明信片？ 【答案】（1），事件A，不独立 （2）59 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求出、，根据相互独立事件的概率公式判断是否独立； （2）表示出首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品的概率，解不等式求解即可. 【小问1详解】 依题意， 书签 明信片 手绘款 40 50 普通款 150 120 ， ， ， 因为， 所以事件A，不独立. 【小问2详解】 设手绘款明信片的张数为，首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品为事件C， 则，解得， 考虑到纪念品总数有限，希望补领的手绘款明信片的张数尽可能地少，且为整数， 所以手绘款明信片的张数为59. 20. 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程； （3）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据的边上中线为得，再联立即可求解； （2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程得，再由，即，最后代入即可求解； （3）设直线的方程为,则直线的方程为，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理求出中点的坐标，观察坐标知，的中点坐标在轴上，则整理后利用基本不等式即可得到面积的最值. 【小问1详解】 由题意，因为，为直角三角形，所以. 又，所以，所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，,显然直线的斜率存在， 设直线的方程为，， 联立消去得，， 所以，即. 且， 因为，所以， 所以，即， 所以， 整理得， 即， 化简得，即满足条件， 所以直线的方程为或， 即直线的方程为或. 【小问3详解】 由题意，, 设直线的方程为,， 则直线的方程为，， 联立消去得， 所以 所以 所以， 同理联立消去得， 所以 所以 所以， 即的中点. 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的面积最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合应用问题，利用基本不等式求最值，第三问的解题关键是分类联立直线与椭圆方程，求出的坐标，观察坐标知，的中点坐标在轴上，则整理后利用基本不等式得到面积的最值. . 21. 已知函数．, （1）对于任意的，求证； （2）若，且存在单调递减区间，求实数的取值范围； （3）设函数的图象与函数的图象交于点，过线段的中点作轴的垂线分别交，于点，证明：在点处的切线与在点处的切线不平行． 【答案】（1）证明：令， 则， 当时，，则函数在上单调递增， 当时，，则函数在上单调递减， 于是，故，即． （2） （3）证明：如图，设点的坐标分别为， 则点的横坐标为，因，则在点处的切线斜率为， 又因，则在点处的切线斜率为， 假设在点处的切线与在点处的切线平行，则，即， 则， 即，设，则， ① 令，则， 所以在上单调递增，故， 则，这与①矛盾，假设不成立， 故在点处的切线与在点处的切线不平行． 【解析】 【分析】（1）令，利用求导判断函数的单调性，求得极值，即可证明结论； （2）将函数存在单调递减区间转化为有解，即有正数解，利用参变分离法即可求得参数的取值范围； （3）设点的坐标分别为，分别求出在点处的切线斜率与在点处的切线斜率，假设两切线平行，由推得，设，则， ①，构造函数，通过求导，判断函数的单调性，推得，与①矛盾，说明假设不成立，从而结论得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，， 则， 因为函数存在单调递减区间，所以有解， 又因为，则有正数解， 由，因， 故的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $