精品解析：福建省漳州市漳浦县新启点教育集团2025-2026学年上学期九年级数学10月检查试卷（三）

新启点教育集团2025−2026学年上学期10月检查（三） 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150 一、单选题 1. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. ，，8， B. 5，6，7，8 C. 3，6，4，7 D. 2，4，6，8 2. 将一元二次方程配方后得到的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在菱形中，与交于点O．若，，则该菱形的面积是（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 4. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 5. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6 C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D. 袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 6. 如图，已知，，那么下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形中，在上，且，，，矩形的周长为，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 8. 如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（ ） A. 2 B. 4 C. 10 D. 2或10 10. 如图①是手工课上红红剪的窗花，军军将其轮廓绘制到平面直角坐标系中，得到如图②所示的示意图，其中是正方形和正方形的中心，且正方形的顶点均在坐标轴上，与轴平行，若，则与的交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 一只昆虫自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），昆虫停在阴影部分的概率为________________． 12. 如图，在正方形中，，点E在上且，点F是边上的动点，则的最小值为______． 13. 如图，已知，它们依次交直线和于点和点，如果，，那么___________． 14. 如图，在矩形中，点E在上，于点F，于点G．若，，，则的长为 ____________________． 15. 如图，菱形在平面直角坐标系中，，点的坐标为，点是对角线上一点，，，则点的坐标为______． 16. 如果是两个不相等的实数，，，那么代数式______． 三、解答题 17. 解方程：． 18. 如图，在菱形中，，于点E，若的长为8，求的长． 19. 已知线段，用直尺和圆规求作这条线段的黄金分割点C． 20. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，中国古老的汉族传统民间艺术之一．它历史悠久，风格独特，深受大家的喜爱．为了迎接2025蛇年新年，小慧向妈妈学习剪纸，装饰门窗烘托节日气氛．如图，现有4张背面完全一样的剪纸画卡片，将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上． （1）从中随机抽取1张卡片，抽到的卡片上的图案是中心对称图形的概率为______； （2）若从中随机抽取1张卡片后不放回，再随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率． 21. 如图，已知中，，把绕点顺时针方向旋转得到，连接，交于点． （1）求证：； （2）若，，当四边形是菱形时，求的长． 22. 已知：如图，在的斜边上任取一点，过点分别作、的平行线，交于点，交于点． （1）求证：； （2）是否与平行？若能，此时与有什么关系？ 23. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，E为BC上一点，BE∶CE＝3∶2，连接AE，点P从点A出发，沿射线AB的方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，过点P作PF∥BC交直线AE于点F. (1)线段AE＝ ； (2)设点P的运动时间为t(s)，EF的长度为y，求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围； (3)当t为何值时，以F为圆心的⊙F恰好与直线AB、BC都相切？并求此时⊙F的半径． 24. 如图，在矩形中，，，点M从A点出发沿以速度向B点运动，同时点N从B点出发沿以的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设点M、N的运动时间为t秒． （1）当t为何值时，？ （2）当t为何值时，的面积是面积的一半？ 25. 如图1，在直角坐标系中，点，点，点，点是线段上一点． （1）求直线的函数表达式； （2）若，求的长； （3）如图2，过点作的垂线交延长线于点和的面积分别记为，，若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新启点教育集团2025−2026学年上学期10月检查（三） 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150 一、单选题 1. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. ，，8， B. 5，6，7，8 C. 3，6，4，7 D. 2，4，6，8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段．对于按顺序给出的四条线段，我们通常检验其是否满足，即．据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：A中，由，可知这一组线段是成比例线段．所以A符合题意； B中，由，可知这一组线段不是成比例线段．所以B不符合题意； C中，由，可知这一组线段不是成比例线段．所以C不符合题意； D中，由，可知这一组线段不是成比例线段．所以D不符合题意． 故选：A． 2. 将一元二次方程配方后得到的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先将方程变形为，再利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 3. 如图，在菱形中，与交于点O．若，，则该菱形的面积是（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形面积的计算，已知对角线长度，由菱形面积等于对角线乘积的一半做计算即可． 【详解】解：，， ． 故选：B． 4. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．由方程有实数根的情况可以得到关于k的不等式，从而求解． 【详解】关于x的一元二次方程有实数根， 且， 即且， 解得且． 故选：C． 5. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6 C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D. 袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率．根据折线统计图可知，随着试验次数的增加频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解． 【详解】根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下， A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，本选项不符合题意； B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是的概率是，本选项符合题意； C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，本选项不符合题意； D、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，本选项不符合题意； 故选：B． 6. 如图，已知，，那么下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理的推论，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，由此可解． 【详解】解：，， ，． ． 故选D． 7. 如图，矩形中，在上，且，，，矩形的周长为，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，矩形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出.设，根据矩形的性质得出，，，求出，证，推出，求出，得出方程，求出即可. 【详解】设， 四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 矩形的周长为， ， ， 即. 故选：A． 8. 如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 根据相似三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项两个三角形不相似，符合题意； B.根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，得该选项两个三角形相似，不符合题意； C.根据两个角相等的两个三角形相似，得该选项两个三角形相似，不符合题意； D. 根据两个角相等的两个三角形相似，得该选项两个三角形相似，不符合题意； 故选：A． 9. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（ ） A. 2 B. 4 C. 10 D. 2或10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 设运动时间为，则，，利用三角形面积的计算公式结合的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， ． 设运动时间为，则，， 根据题意列一元二次方程得： ， 整理得，， 整理得：， 解得，（不合题意，舍去）． 即当的面积等于时，运动时间为． 故选：A． 10. 如图①是手工课上红红剪的窗花，军军将其轮廓绘制到平面直角坐标系中，得到如图②所示的示意图，其中是正方形和正方形的中心，且正方形的顶点均在坐标轴上，与轴平行，若，则与的交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．设与轴交于点，过点作于点，则四边形是矩形，得到，，根据正方形的性质推出，，得到和都是等腰直角三角形，进而得到，，求出，即可求解． 【详解】解：如图，设与轴交于点，过点作于点，则四边形是矩形， ，， 四边形和四边形都是边长为的正方形， ，，，，， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，， ， 点在第二象限内， 点的坐标为， 故选：D． 二、填空题 11. 一只昆虫自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），昆虫停在阴影部分的概率为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的应用，会求几何图形的概率是解题的关键； 先求出阴影部分的面积和整个图形的面积，再求概率． 【详解】由图得，阴影部分的面积为：，整个图形的面积为， 昆虫停在阴影部分的概率为． 故答案为：． 12. 如图，在正方形中，，点E在上且，点F是边上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质．作点E关于的对称点G，连接，则，，可得的最小值为的长，再根据题意可得点B，C，G三点共线，然后根据勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点G，连接，则，， ∴， 即的最小值为的长， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴点B，C，G三点共线， ∴， ∴． 即的最小值为． 故答案为： 13. 如图，已知，它们依次交直线和于点和点，如果，，那么___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．由平行线分线段成比例定理求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 14. 如图，在矩形中，点E在上，于点F，于点G．若，，，则的长为 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．先利用勾股定理求出，然后证明，求出，再证明，求出，即可进一步求得答案． 【详解】解：，，， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，菱形在平面直角坐标系中，，点的坐标为，点是对角线上一点，，，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】考查菱形的性质、勾股定理，解题关键是利用菱形性质得出边的关系，结合勾股定理求出点的坐标，再根据线段长度关系确定点的坐标先利用菱形性质及勾股定理求出点坐标，再得出长度，结合求出长度，进而确定点坐标． 【详解】解：∵ 四边形是菱形，， ∴ ． ∵ ，在轴上， ∴ 平行于轴，点的纵坐标与点的纵坐标相同． 设点的坐标为，点的坐标为， 由勾股定理可得， 解得或, ∵点在轴正半轴， ∴， ∴ 点的坐标为． ∵点的坐标为，平行于轴， ∴ 点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 16. 如果是两个不相等的实数，，，那么代数式______． 【答案】2032 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟练运用一元二次方程根的定义和根与系数的关系，把代数式化成已知式子形式及两根和、积的形式，是解此题的关键． 由题意得m，n是的两个不相等的实数根，则根据根的定义和根与系数的关系可知：，，，变形，为，代入求解即可． 【详解】是两个不相等的实数，且满足， 是方程的两根， ，，， ． 故答案为：2032． 三、解答题 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求法，判断出判别式的取值范围是解决本题的关键． 先判断方程的跟的判别式，再由求根公式代入求解即可． 【详解】解：方程为， ，，， ， ， ，． 18. 如图，在菱形中，，于点E，若的长为8，求的长． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质及含30度角的直角三角形性质，熟练掌握相关性质是解题关键，先求出，，利用含30度角的直角三角形性质求出即可求出结论． 【详解】解：四边形是菱形，， ， ，， ， ， ． 19. 已知线段，用直尺和圆规求作这条线段的黄金分割点C． 【答案】 如图，点C就是线段a的黄金分割点． 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割比及尺规作图，熟练掌握黄金分割比是解题的关键；因此此题可根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（）叫做黄金比，进而作图即可． 【详解】解：作法： （1）延长线段至F，使，分别以A、F为圆心，以大于等于线段的长为半径作弧，两弧相交于点G，连接，则，在上取点D，使； （2）连接，在上截取． （3）在上截取． 20. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，中国古老的汉族传统民间艺术之一．它历史悠久，风格独特，深受大家的喜爱．为了迎接2025蛇年新年，小慧向妈妈学习剪纸，装饰门窗烘托节日气氛．如图，现有4张背面完全一样的剪纸画卡片，将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上． （1）从中随机抽取1张卡片，抽到的卡片上的图案是中心对称图形的概率为______； （2）若从中随机抽取1张卡片后不放回，再随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式、中心对称图形、轴对称图形等知识点，掌握列表法和树状图法求概率是解题的关键． （1）先判断其中的中心对称图形，再根据概率公式求解即得答案； （2）先画出树状图得到所有可能的情况，再判断两次都是轴对称图形的情况，然后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：中心对称图形的卡片是C，所以从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：轴对称图形的卡片有B和C， 根据题意画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的有2种结果， 则两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率为． 21. 如图，已知中，，把绕点顺时针方向旋转得到，连接，交于点． （1）求证：； （2）若，，当四边形是菱形时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵ 绕点顺时针方向旋转得到， ∴ ，，． ∴ ，即． 又∵ ， ∴ ． 在和中， ， ∴ （）． （2）． 【解析】 【分析】（1）要证明，需根据旋转性质找到对应边和角的关系，再利用全等三角形判定定理（）来证明． （2）要求的长，先根据菱形性质得出边和角的关系，再结合已知角度推出为等腰直角三角形，利用勾股定理求出，最后结合菱形的边求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ 四边形是菱形， ∴ ，． ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴ ． 在中，根据勾股定理： ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的性质以及勾股定理，熟练掌握这些知识，通过已知条件逐步推导是解题关键． 22. 已知：如图，在的斜边上任取一点，过点分别作、的平行线，交于点，交于点． （1）求证：； （2）是否与平行？若能，此时与有什么关系？ 【答案】（1） 证明：， ． ， ． ； （2）能平行， 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，解题的关键是根据问题选择合适的比例式． （1）由和分别写出对应的比例式，即可求解问题； （2）假设，则，再根据和求得比例式，三个比例式综合考虑即可得到结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：能平行． 若，则． ， ． ， ． ，即， 所以． 23. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，E为BC上一点，BE∶CE＝3∶2，连接AE，点P从点A出发，沿射线AB的方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，过点P作PF∥BC交直线AE于点F. (1)线段AE＝ ； (2)设点P的运动时间为t(s)，EF的长度为y，求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围； (3)当t为何值时，以F为圆心的⊙F恰好与直线AB、BC都相切？并求此时⊙F的半径． 【答案】（1）5；（2）；（3）时，半径PF＝；t＝16，半径PF＝12. 【解析】 【分析】（1）由矩形性质知BC=AD=5，根据BE：CE=3：2知BE=3，利用勾股定理可得AE=5； （2）由PF∥BE知，据此求得AF=t，再分0≤t≤4和t＞4两种情况分别求出EF即可得； （3）由以点F为圆心的⊙F恰好与直线AB、BC相切时PF=PG，再分t=0或t=4、0＜t＜4、t＞4这三种情况分别求解可得 【详解】(1)∵四边形ABCD为矩形， ∴BC＝AD＝5， ∵BE∶CE＝3∶2， 则BE＝3，CE＝2， ∴AE＝＝＝5. (2)如图1， 当点P在线段AB上运动时，即0≤t≤4， ∵PF∥BE， ∴＝，即＝， ∴AF＝t， 则EF＝AE－AF＝5－t，即y＝5－t(0≤t≤4)； 如图2， 当点P在射线AB上运动时，即t＞4， 此时，EF＝AF－AE＝t－5，即y＝t－5(t＞4)； 综上，； (3)以点F为圆心的⊙F恰好与直线AB、BC相切时，PF＝FG，分以下三种情况： ①当t＝0或t＝4时，显然符合条件的⊙F不存在； ②当0＜t＜4时，如解图1，作FG⊥BC于点G， 则FG＝BP＝4－t， ∵PF∥BC， ∴△APF∽△ABE， ∴＝，即＝， ∴PF＝t， 由4－t＝t可得t＝， 则此时⊙F的半径PF＝； ③当t＞4时，如解图2，同理可得FG＝t－4，PF＝t， 由t－4＝t可得t＝16， 则此时⊙F的半径PF＝12. 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，动点的函数为题，切线的性质，相似三角形的判定与性质及分类讨论的数学思想.解题的关键是熟练掌握切线的性质、矩形的性质及相似三角形的判定与性质． 24. 如图，在矩形中，，，点M从A点出发沿以速度向B点运动，同时点N从B点出发沿以的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设点M、N的运动时间为t秒． （1）当t为何值时，？ （2）当t为何值时，的面积是面积的一半？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质和，得到，根据勾股定理得到，得到，解得； （2）根据，，可得，，根据，得到，解得，取． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，，， 且， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故当t值为1或时，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 化简得， 解得， ∵， ∴， ∴当t值为3时，的面积是面积的一半． 【点睛】本题主要考查了矩形与动点．熟练掌握矩形性质，写动点移动距离表达式，勾股定理，三角形面积公式，是解题的关键． 25. 如图1，在直角坐标系中，点，点，点，点是线段上一点． （1）求直线的函数表达式； （2）若，求的长； （3）如图2，过点作的垂线交延长线于点和的面积分别记为，，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设直线的函数表达式为，再将点，代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）根据两点间距离得，，再证明得，可得答案； （3）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设，根据三角形的面积公式得，推出，证明得，求出，，，，得，进一步证明推出，得，求解后可得答案． 【小问1详解】 解：设直线的函数表达式为，过点，， ∴， 解得：， ∴设直线的函数表达式为； 【小问2详解】 ∵，，， ∴，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：； 【小问3详解】 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设， ∴，，，， ∵，和的面积分别记为，，若， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， ∴， ∵，轴即， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 解得：，（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，两点间距离，坐标与图形，相似三角形的判定和性质等知识点，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $