山东省滕州市第一中学2025-2026学年高二上学期单元检测数学试题

滕州一中2025-2026学年度高二年级单元检测 数学试题 一、单项选释题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的， 1.若{a,b,构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是() A.a.b+c.a+b+c B.a+b,B+c,6-a C.3a-26,b+c,c-a D.a-c,2a+b,20+b 2.已知向量=(1,1,0)，万=(-1,0,2)，且ka+与2a-b互相垂直，则k=() A.-1 B.2 D.月 3.过不重合的A(m2+2,2-3),B3--2,2m)两点的直线1倾斜角为45°， 则的取值为() A.m=-1 B.l=-2 C.m=-1或2 D.m=-1或-2 4.在棱长均相等的平行六面体ABCD-ABCD中，∠AAB=∠AAD=∠DAB=60°，则向 量AC在向量AA上的投影向量为() A.√2BB1 C.3BB. D.2BB 5.如图，两条异面直线a,b所成角为60°，在直线a,b上分别取点A',E和点A,F,使 AA'⊥a且AA'⊥b.已知AE=2,AF=3,EF=√23.则线段AA的长为() A.2或V10 B.4 C.2或4 D.4或10 A 6.设空间两个单位向量OA=(,n,0),OB=(0,n,p)与向量OC=(1,1,1)的夹角都 等于号则os∠A0B=（) A.23 B.2+5C.2-5或2+5 D.2-v5或2+ 4 2 4 4 2 2 7.数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、 垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为A(3,1),B(4,2), C(2,3),则△ABC的欧拉线方程为() A.x+y+1=0B.x+y-5=0C.x+y+5=0D.x-y+1=0 试卷第1页，共4页 8.已知实数a,b,c,d满足，= 是64-3，则a-c+亿-d的最小值为() ac-14 4器 c. D.121 25 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错 的得0分 9.关于空间向量，下列说法错误的是（) A.对于任意的空间向量ai,c,都有(a.)c=a(亿.c) B.若空间向量a,b满足a.b>0,则a与的夹角为锐角 C.若m=(2,4,-2)是直线1的方向向量，n=（-1,-2,1)是平面x的法向量，则1L心 D.若直线l的方向向量为m,平面a的法向量为，则“m⊥n”是“l∥a的充要条件 10.下列四个命题中正确的是() A.过点(3,1)，且在x轴和y轴上的截距互为相反数的直线方程为x-y-2=0 B.若直线x-y-k-1=0和以M(-3,1),N(3,2)为端点的线段相交，则实数k的取值范围 为或月 2 C.若三条直线x+y=0,x-y=0,x+y=3-a不能构成三角形，则实数a所有可能的取 值组成的集合为{-1,1} D.若直线1沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原 米的位，则该直线的斜字为号 11.在棱长为1的正方体ABCD-AB,CD1中，点E为线段AB的中点，点F为线段AB,的 中点，点M,N分别为线段AC与线段B,C上一点，则() A.点D到直线CF的距离为25 B.直线CP与直线DE所成角的余弦值为 5 C.当AM=AC,B,N=B,C,MNW平面ABCD时，元+u=1 D.W的最小值为6 试卷第2页，共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知直线：x+(a-1)y+1=0,直线：x+2y+2=0,若，1川2，则a= 13.如图，在平行六面体ABCD-AB'CD中，AB=2,AD=2, D AA'=3,∠BAD=∠BAA=∠DAA'=60°.则BC与CA所成角 B 的余弦值为 14.人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到 “在空间直角坐标系O-z中，已知向量i=(a,b,c), 点(x。,y,。),若平面经过点。，且以m为法向量，点P(x,y=)是平面内的任意一点， 则平面&的方程为a(x-x)+b(y-y。)+c(亿-z。上0”.现已知平行六面体ABCD-ABCD, 平面CDD,C的方程为x-2y+2-2=0,平面ADDA经过点E(0,0,1),F(1,1,2),G(2,2,1),平 面ACC,A的方程为kx-y-2z+1=0(1≤长2)，则平面CDD,C与平面ACCA夹角的余弦值 的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤」 15.(13分)己知△ABC的顶点A(5,1),AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0, AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0.求： (1)直线BC的斜截式方程； (2)△ABC的面积. 16.(15分)已知直线(1-a)x+(1+a)y+3a-3=0(a∈R) (1)求证：直线经过定点，并求出定点P: (2)经过点P有一条直线1，它夹在两条直线l1:2x-y-2=0与12：x+y+3=0之间的线段恰 被P平分，求直线1的方程. 试卷第3页，共4页 17.（15分)如图，在空间中平移△ABC到△A'B'C',连接对应顶点，设 AA=a,AB=b,AC=c,M,E分别是BC,AA'的中点，N是 B'C上一点. (I)若N为B'C的中点，用向量法证明：AM/EN: B (2)若AB=AC=1,AA'=2,∠BAC=60°，∠ACC'=∠ABB′=90°， 问是否存在点N使得AM⊥N,并说明理由. 18.（17分)在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD,ABEF的边长都是1，且它 们所在的平面互相垂直.活动弹子M,N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN 的长度保持相等，记CM=BN=a(0<a<√2)， (I)a为何值时，MN的长最小？ D (2)当MN的长最小时求平面MA与平面MWB夹角的余弦值： B (3)当MN的长最小时求直线CE到平面MB的距离. 19.(17分)如图，在四面体ABCD中，E,F分别是线段AD,BD上的点且BF=3FD, AE-7ED,ZABD=90,EC-4 AB=BD=4,BC=23,CD-2. 2 (1)证明：CF⊥平面ABD: (②)在线段AC上是否存在点G,使得BG与平面CEF所成角的正弦值为14？ 28 G 若存在，求4C的值：若不存在，请说明理由。 AC 试卷第4页，共4页 滕州一中2025-2026学年度高二年级单元检测 数学参考答案 一、单选题1-8 CCBD CCBA9ABD10BD11BCD 二、填空题12.113.014.号 69 15.(1)y=3-3:(2)8 【详解】解：(1)设点B(m),则点Mm+5,”+1 2,2 [m-2n-5=0 =-1 由已知有 2xm+5_+15=0 n=-3 22 [2x-y-5=0 故点B(-1-3),同理设C(c)则y-1-2, x-5 :s y=3 则点C(43),所以kc=3-35 -1-4-5 所以直线5C的方程为)+3-（x+,化为斜载式方程为y--号 5 (2)由(1)知BC到=V4+1)+(3+3}=V6,直线BC的一般式方程为6x-5y-9=0 BC边上的高即点A到直线BC的距离为h=B0-5-9_16 V62+52V61 s-ch-瓦x6-8 √61 16.(1)证明见解析，定点P(3,0)(2)8x-y-24=0 【详解】(1)证明：将直线1的方程改写为(-x+y+3)a+(x+y-3)=0, 令-x+y+3=0,且x+y-3=0,两式联立，解得x=3,y=0,所以直线过定点P(30) (2)如图，设直线1夹在直线4,12之间的部分是AB,且AB被P(3,0)平分， VA 设点A,B的坐标分别是(，乃)，（x2,y2),则有x+x2=6,乃+y2=0, 又A,B两点分别在直线，12上，所以2x1--2=0,x2+y2+3=0, 由以上因个式子解符3号男可4得》 所以直线AB的方程为8x-y-24=0. 答案第1页，共4页 17.(1)证明见解析(2)不存在，理由见解析 【详解】(1)当N为BC的中点时，E=函+A=,AA+AN +a丽+4c到=4+as+40到6小a--5+), AM-AB+BM+(CC+BC)B+(A+C) =A丽+a+(aC-]西+c+a到-a+6+),所以AM1v. (2)设BN=BC,则=EA+AN=}AM+AB+BN 号H+亚+ABC-+孤4C-例到 =ā6+6-6)-a-006+E, 由于∠ACC'=∠ABB'=90°，a.b=.c=0, 所以M=a+6+)c25+无+a +-+56+运-1+1-刘+分1x1x3+分- 22 4 即AM.EN≠0，故不存在点N使得AM⊥EN, 18a 2 3 【详解】(1)因为平面ABCDL平面ABEF,BC⊥AB,BE⊥AB, 且平面ABCD∩平面ABEF=AB,BCC平面ABCD, 故CB⊥平面ABEF,又BEC平面ABEF, 故BC⊥BE,从而BC,AB,BE两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 有B(0,0,0)、A(1,0,0)、C(0,0,1)、F(1,1,0)、E(0,1,0), D B w-0号0-号-- 2 答案第2页，共4页 (2)由(1)可知，当M,N为AC、BF中点时，MN最短， 则》w哈a传-(w-经 令平面A与平面NB的法向量分别为i=(x,y,2)、i=(x2,y2,2), 1 X- 9÷0 y2 220 则有 ,取x=x2=1,则有m=(1,1,1),i=(1,-1,-1), 2 270 25+2=0 mn 1-1-1 则“.cos(i,列= m园1+1+11+1+3' :平面MA与平面MB夹角的余弦值是 1 (3)CE=(0,1,-1),当MN的长最小时，平面MB的法向量为i=(1,-1,-1), 有CE.n=-1+1=0,故CE/1平面MNB, 故直线CE到平面MB的距离等于点C到平面MB的距离，BC=(O,O,1), 故d= BC.列1 网 V1+1+13 ，即当MN的长最小时直线CB到平面wB的距离为 3 19.()证明见解析：（②存在，4C=上或9 AC214 【详解】(1)因BD=4,BC=2√3，CD=2,故三角形BDC为直角三角形， 所以∠CBF=30°，由BF=3FD→BF=3, 在△CBF中，由余弦定理，CF2=BF2+BC2-2BF.BCcos30°， 可得CF=√3，由BF2+CF2=CB2知CF⊥BD①如图， H 过B做AD的垂线BH,垂足为H,由于AB=BD, 则有AH=HD,又由于AE=7ED,所以有HE=3ED, 则有阳∥H,因朋-4D-2点则有P=子H= 2 又由于C-4,CR=5,所以有8r+C:=EC,则Cr1B② 又BD∩FE=F,BD,FEC面ABD, 由①②可得：CF⊥平面ABD. 答案第3页，共4页 (2)如图，由(1)知，CF⊥平面ABD,所以有CF⊥AB,又BD L AB, 由线面垂直判定定理可知，AB⊥平面BCD,在平面BCD内过点B作 Z◆ By/1CF,分别以BD,B,BA为x轴y轴，二轴正方向建立空间直角坐标 系a-g于是，BQao吵.4004，c65.0,r3ao,g3,3》 H 设G(化y),满足AG=14G,则有(，y,z-4)=飞，5，-4)， G 所以G32,V3元，-42+4)，所以BG=(3元，√32，-42+4) B 又因为西-5》cm-0-5.0), 平面CEF的法向量i=(a,b,c), CE=0 由于 ,所以有 a-+=-0 i.c℉=0 ,故可取i=(-1,0,1) -√3b=0 设BG与平面CEF所成的角为O, BG.n 则有sin6=cos(BG,以 7元-4 V14 解得2二1或，2 BG. V2V92+32+(-4+4 28 所以在线段AC上存在点G,使得BG与平面CBP的所成角的正弦值为4 8 且4C=或 9 AC214 答案第4页，共4页