陕西省西安市铁一中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

瘦西西安市锐一中学 2025-2026高三上学期9月月考数学试题 题号 二 三 四 总分 得分 得分 评卷人 一、单项选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分） 拿1.(1+2x)卢的展开式中，含x3的项的系数是( A.20 B.40 C.80 D.160 章2.设公差d≠0的等差数列{a}中，a3,as,as成等比数列，则十a十a5=( a1+a4十a7 A青 B c号 D吉 章3.已知z=m2-1+(m2-3m+2)i(m∈R,i为虚数单位)，则“m=-1”是“z为纯虚数”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 章4.我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万 事休。”函数fm)=ze+e） 的部分图象大致为() 2+C0s 拿5.对于三次函数f(x)=aax3+bx2+cx十d(a≠0)，给出定义：设f(x)是函数y=f(x)的导数，f (x)是函数f(x)的导数，若方程f(x)=0有实数解co,则称(cof(xo)为函数y=fx)的“拐点”。 某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点 就是对称中心。若函数f@)-号。--2+提，则f)+f品)+f)+ +f8器=(） A.2025 B.2026 C.4050 D.4052 食6己知双曲线C:-y=1(Q>0),点M在C上，过点M作C两条渐近线的垂线，垂足分别为 A,B,若MA-B=呈，则双曲线C的离心率为水) A.23 C.2 3 B. D台 ◆7.若直线y=kx+b是曲线y=ln(x+2)的切线，也是曲线y=lnx十4的切线，则k=() A.习 B.2 C.In2 D.2ln2 章8.定义在R上的函数f(x)满足对任意的，c2(x≠c2),有(1-c2)[f(c)-fx2)]<0。若a= (W2+1)e5-1,b=(2+√3)e2-5,c=2+√2，则fa),fb),fc)的大小关系是() A.f(a)>f(b)>f(c) B.f(c)>f(b)>f(a) C.f(b)>f(c)>f(a) D.f(c)>f(a)>f(b) 得分 评卷人 二、多项选择题（本大题包括3小题，每小题6分，共18分） 章9.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如下判断正确的是() A.若acosA=bcos B,则△ABC为等腰三角形 B.若A>B,则sinA>sinB C.若△ABC为锐角三角形，则sinA>cosB D.若满足条件A=若，c=2的△ABC有两个，则a的取值范围为(1,2) 章10.如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△ABM,连结BD,N 为BD的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是() A.存在某个位置，使得CN⊥AB B.翻折过程中，CN的长是定值 C.若AB=BM,则AM⊥BD D.若AB=BM=1,当三棱锥B,-AMD的体积最大时，三棱锥B,-AMD的外接球的表面积是 4π B 章11.己知函数f(x)=e十x一2和g(x)=nx十x-2的零点分别为c1,x2,则下列结论正确的是( A.x1+x2=2 B.xlnc+c2lnx<0 C>号 D.lnz-xlnc<2 得分 评卷人 三、填空题（本大题包括3小题，共15分） 李12已知向量à=3,2c0s号，6=(-号号)，且a16,则c0sa= 章13.己知抛物线C:x2=2py(p>0)上的一点N(x,3)到焦点F的距离为4，P为C上一动点， Q为圆M:(如-3+(y+3P=4上一动点，则点P到直线g=-号的距离与PQ之和的最小值为 章14.现有五种不同的颜料可用，从这五种染料中选取染料给四棱锥P一ABCD的五个项点染色， 要求同一条棱上的两个顶点不同色，问满足条件的染色法案有种 得分 评卷人 四、解答题（本大题包括5小题，共77分） 章15.如图，已知三棱柱ABC-ABC,平面A1ACC⊥平面ABC,∠ABC=90°，∠BAC=30°， A1A=AC=AC=4,E,F分别是AC,AB的中点。 (1)证明：AE⊥BC: (2)求直线EF与平面ABC所成角的余弦值。 A 章16.已知函数f)=号x2-ax+(a-1h,a>1。 (1)讨论函数f(x)的极值点情况； (2)设a=2,若对任意，西∈(0，十∞，西，≠，有f0-f儿>b恒成立，求实数b的取值范围。 D1一2 章17.在平面直角坐标系x0y中，动圆C与圆C:x2++2x-5=0内切，且与圆C:2+y-2z +}=0外切，记动圆C的圆心的轨迹为H。 (1)求轨迹H的方程； (2)设O为坐标原点，过点C2且与坐标轴不垂直的直线与轨迹H交于P,Q两点，线段OC2上是否存 在点N(n,0),使得QP.NP=PQ·NQ?若存在，求出n的取值范围：若不存在，说明理由。 拿18.随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之 一。当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分。已知某市2025年共有10000名考生参加了 中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分视为100分）作为样本，整理 得到如下频数分布表： 1笔试成绩X|[40,50)1[50,60)|[60,70)1[70,80)1[80,90)1[90,100]1 1人数1511513530110151 (1)假定笔试成绩不低于90分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人， 求至少有1人笔试成绩为优秀的概率； (2)由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布N(μ，8)，其中μ近似为100 名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），=180，据此估计该市 全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数（结果四舍五入精确到个位）； (3)考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答3道题，前两题是哲学知识，每 道题答对得3分，答错得0分：最后一题是心理学知识，答对得4分，答错得0分。已知考生甲答对前 两题的概率都是分，答对最后一题的概率为子，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分Y的 分布列及数学期望。 (参考数据：√180≈13.4： 若X~N(4,82),则P(u-0<X<u+)≈0.6827， P(μ-28<X<4+28)≈0.9545，P(-30<X<4+38)≈0.9973。) 章19.意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的 曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝 等工程。通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数ch(m)=。士e的图象，现定义双 2 由正弦函数s动回)=二，，他们之同具有类似于三角函数的性质。尼知c0z≥1-分2对任 2 意x∈R均成立) (1)证明：①倍元关系：sh(2x)=2sh(x)ch(x):②平方关系：ch2(x)-sh2(x)=1 (2)对任意x≥0，恒有sh(c)≥ax成立，求实数a的取值范围： (3)证明：sh2)+ sh(1) sh(号) sh(2) 十…十 tanl 1 tan3 n1>2(n-1)+1。 tan2 tan- 瘦西函安锐一中学 2025-2026高三上学潮9月月考毅学务考斧等 一、单选题 题号 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A C D C A B O BCD BD ABD 三、填空题 12安 13.3 14.420 四、解答题 15、(本小题满分13分) 【答案】解法一： (I)连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点，所以A1E⊥AC。 又平面AACC⊥平面ABC,A,BC平面AACC 平面AACC∩平面ABC=AC,所以A,E⊥平面ABC, 又因为BCc平面ABC,则AE⊥BC. (Ⅱ)取BC中点G,连接G,CF,则CFA,是平行四边形， 由于AB⊥平面ABC,故A1B⊥G,所以平行四边形BCFA1是矩形 由(I)得BC⊥平面EGFA1,则平面A1BC⊥平面EGA1, 所以F在平面A1BC上的射影在直线A1G上，连接A1G交F于O, 则∠OG是直线F与平面A,BC所成角（或其补角）， 不妨设AC=4,则在△AG中，A回=2W月，G=√5， 由于0是AG的中点，故0=0G=A,C=⑤， 2 所以co8L50G=®02+0G-EG2-3 2XEOXOG 因此，直线与平面A3C所成角的余弦值为鲁。 解法二： （I)连接AB,因为A1A=A,C,E是AC的中点，所以A1E⊥AC。 又平面AACC⊥平面ABC,A1EC平面A1ACC,平面A1ACC∩平面ABC=AC, 所以A四⊥平面ABC。如图，以点为原点，分别以射线C,EA为y,z轴的正半轴，建立空间直 角坐标系E-yz。AC=4, 则A0.0,2,8,10,Bv5.82v,,是，2w),c020 因此，应-(9，多2月)，0=(-3,10，由威，d=0,得8180. (Ⅱ)设直线EF与平面A1BC所成角为6， 由(I)得B⑦=(-√3,1,0)，A1C=(0,2,-2W3) 设平面A80的法向量n=(动，则Cn=-月a+y=0 lAc.n=y-V32=0 取n=(1,V,1),故9=屈列=4 1E一5’ 因此，直线F与平面A,BC所成角的余弦值为 55 16、【答案】(1)函数f(知)的定义域为(0，+0)，f'(如)=0-a+4-1=心-a@+a-1= (@-1)(您-(a-1) 令f()=0,则m=1或⑧=8-1，因为a>1,所以a-1>0。 当。-1=1，即a=2时，f回)=（②-1≥0，所以f回在0，十四）单调递增，无极值点： 当a-1>1,即a>2时，在(0,1)和(a-1,+o)上f(s)>0,f()单调递增：在(1，a-1)上f(如)< 0,(c)单调递减，所以峦=1是极大值点，⑧=a-1是极小值点： 当a-1<1,即a<2时，在(0，a-1)和(1，+o)上f(w)>0,(c)单调递增：在(a-1,1)上f(m)< 0,f()单调递减，所以=a-1是极大值点，⑧=1是极小值点。 综上，当a=2时，无极值点：当a>2时，=1是极大值点，=a-1是极小值点：当a<2时，=a 一1是极大值点，”=1是极小值点。 (2)当a=2时，fa)=号a2-2m+血0 不妨设，>，>0，则f儿e-e>b恒成立，等价于fe)-@>代，)-，恒成立。 奶1一心2 令g()=f)-bo=2-(2+be+h,∈(0，+o,则g(回)在（包，+o)上单调通增。 所以g()=公-2+b)+≥0在(0，+o回)上恒成立，即6≤+是-2在(@，+o)上恒成立。 由均值不等式公+是≥2@话=2（当且仅当知=1时取等号》， 所以0+】-2≥0，则b≤0，故实数b的取值范围是(-0,0]。 17、(1)设动圆C的半径为R, 由于G42++2如-5=0的圆心和半径分别为C(-1,0),n=2, 7 4 且圆C:2+g2-2m+是=0的圆心和半径分别为C(1,0,r%=号，由题意可得1G0=名-元， 1ocl=R+合， CCI +ICC2l=4>ICCal=2, 因此点C轨迹满足椭圆方程，且以C,C2为焦点，以4为长轴长的椭圆， 故2a=4,2c=2,∴.a=2,c=1,b=√， 故轨迹辽的方程为譬+号-1。 (2)设直线P2的方程为y=(-1),k≠0， 代入等+等=1，得：8+4)-8a+4-12=0,6=(-8y-40+40-12)>0恒成 立。 设P(m1,),Q(22),线段PQ的中点为(3)， 2 e的=- 则购=十2=4 由Q2.N2=Pd·②，得：P.(N+)=P交.(2N）=0, ·直线R为直线PQ的垂直平分线，直线R的方程为：y十，3张 3+42店(0-3+4g2）, 1 令y=0得：N点的横坐标n=。2 3+4k2- ,1,2∈(0，+∞， +4 3 ∴是+4e属+one@寻 18、(1)由已知，样本中笔试成绩不低于80分的考生共有15人，其中成绩优秀的10人。 故至少有1人笔试成绩为优秀的橛率为P=C,C+C竖=生。 C% (2)由表格中的数据可知，4=0.05×45+0.15×55+0.35×65+0.3×75+0.10×85+0.05×95= 69, 又o2=180,即a≈13.4，∴.P(X≥82.4=P(X≥u+o)=2[1-P(u-o<X<u+o)]≈0.15865， 由此可估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数为10000×0.15865≈1587人。 (3)考生甲的总得分Y的所有可能取值为0,3,4,6,7,10， 则P(Y=0)=(2}P×专=立，P(Y=3)=C受)P×号=合，PY=4到=（号P×号=言， P(y=6)=(3×号=立，P(Y=)=C号P×号=青，P(Y=10)=(号P×号=合， 故Y的分布列为： 1Y10131416171101 川p1立1合1合1是1号1音 )=0×最+3×信+4×信+6×最+7×号+0×合=受. 19.【答案】(1)证明： @2h)h(回=2，.=产=h 2 2 ②h回-h)=[了-[e2=*+2e产--2e-1. 4 4 (2)构造函数)=sh(回)-0=ge-a,ae[0,+),F(回)=g+e-a 2 2 0当a≤1时，因为h()=生Vg。=, 当且仅当e”=e即m=0时等号成立，所以F()≥0，故m)单调递增， 此时F)≥(0)=0，故对任意m≥0，sh()≥a恒成立，符合题意： ②当a>1时，令C)=F(@,e[0,+o),则G()=2≥0恒成立，故c()单调递增， 由C0)=1-a<0与C(h2a)=&>0,可知存在唯-∈(@，h2a),使得C()=0, 当∈(0，)时，F()=G()<G()=0,则F(@)在(0，)内单调递减， 故对任意位∈(0，)，F()<F0)=0,即sh(@)<a,不合题意，舍去： 综上所述，实数a的取值范围为(-0,1]。 3)由2)知当a=1时，h(a]>aae(@,+o,令a=名，则sh(层)>异， 令m()=花-inc,∈(0，十∞)，m()=1-co8>0,m()单调递增， 所以m(@)>m(@)-0,即e>血e恒成立，所以sh(吴)>号>2n克，则 ()、2 > 20号令 n()=coe8-1+号c2,a∈(，+o),ne)=-ime十>0，n(回)单词递增，所以n(回)>n(0)=0, 即c0aa>1-合2恒成立，令a=是，0合>1-京， 所以②+助+（导） 十…十 tan2 an元 >2加-(}+室+量++拉)>-(1+短+2++a-xm】 >2m-(1+1-壹+号-青++n1-品)=2m-2+分=2n-)+品：