12.第25题几何压轴专练（题型对应练）-【中考专项新突破】2025年广州中考数学复习

第25题几何压轴专练 姓名： 班级： 学号： 1.如图，在等边三角形ABC中，D是线段BC上一点，作射线AD,点B关于射线AD的对称点为E,连接 BE,连接EC并延长，交射线AD于点F (1)用尺规补全图形； (2)求∠AFE的度数；若AB=2√3，求动点F的路径长； (3)用等式表示线段AF,CF,EF之间的数量关系，并证明； (4)若AB=√13，AF=4,求CF的长 D 阅盟学堂XTPZK GZSX49题型对应练 2.(2022·越秀区模拟改编)如图，在等边△ABC中，AB=6,D为边BC的中点，E为边AB上一动点，将射 线DE绕点D顺时针旋转60°，与边AC相交于点F(点F与点A不重合). (1)求证：△BED∽△CDF; (2)求证：FD平分LEFC; (3)点E在边AB上运动的过程中，△AEF的周长是否会发生变化？若不变，求△AEF的周长；若变化， 请说明理由. 阅盟学堂XTPZK GZSX50题型对应练 3.（2024·花都区模拟)【读一读】 一般地，学习几何要从作图开始，再观察图形，根据图形的某一类共同特征对图形进行分类（即给一类 图形下定义一定义概念便于归类、交流与表达)，然后继续研究图形的其他特征、判定方法以及图形 的组合、图形之间的关系、图形的计算等问题.课本里对三角形、四边形的研究即遵循着上面的思路. 【算一算】 当然，在学习几何的不同阶段，可能研究的是几何的部分问题.比如有下面的问题，请你研究. 如图，在△ABC中，AB=AC,M,N分别为边AB,BC的中点，连接MN. (1)如图1，若∠BAC=90°，BC=2√2，先将△BMN绕点B顺时针旋转α(a为锐角)，得到△BEF,当点 A,E,F在同一直线上时，AE与BC相交于点D,连接CF,ME. ①填空：∠BMW= (填度数)，△BME是 三角形（填类别）； ②求CD的长； (2)如图2，若LBAC<90°，将△BMN绕点B顺时针旋转a,得到△BEF,连接AE,CF.当旋转角α满足 0°<a<360°，点C,E,F在同一直线上时，利用所提供的图2和备用图探究∠BAE与∠ABF的数量 关系，并说明理由. B 图1 图2 备用图 阅盟学堂XTPZK GZSX51题型对应练 4.(2024·黄埔区模拟)如图，在矩形ABCD和矩形AGFE中，AD=4,AE=2,AB=√3AD,AG=√5AE.矩形 AGFE绕着点A旋转，连接BG,CF,AC,AF. (1)求证：△ABG∽△ACF. (2)当CE的长度最大时， ①求BG的长度. ②在△ACF内是否存在一点P,使得CP+AP+√3PF的值最小？若存在，求CP+AP+3PF的最小 值；若不存在，请说明理由. D 备用图 阅盟学堂XTPZK GZSX52题型对应练 5.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=4,E为线段BC上一动点，边AB关于AE对称的线段为AF, 连接DF. (1)当AF平分LDAE时，∠BAE的度数为 ； (2)延长DF,交射线AE于点G,当BE=2时，求AG的长； (3)连接AC,H为线段AC上一动点（不与点A,C重合），且BE=√5CH,求DE+3DH的最小值 备用图 阅盟学堂XTPZK GZSX53题型对应练 6.如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A,D重合），点A关于直线BE的对称点为F,连接 CF并延长，交直线BE于点P,连接AF交PB于点N,连接BF,设∠ABE=a. (1)求∠BCF的大小； (2)探究线段PF,PC,BF之间的数量关系，并证明你的结论； (3)过点C作CG⊥AF,垂足为G,连接DG.试判断DG与CF的位置关系，并证明所得的结论； (4④)将△AME绕点B顺时针旋转0“得到△CB,点E的对应点为川，连接那当血Q=停时，判断 △BFH的形状，并说明理由 人 备用图 阅盟学堂XTPZK GZSX54题型对应练 7.(黄埔区二模)如图，在正方形ABCD中，AB=10,O是边BC的中点，E是正方形内一动点，OE=2√5， 连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到DF,连接AE,CF. (1)求证：△ADE≌△CDF; (2)若A,E,0三点共线，连接OF,求线段OF的长； (3)当线段OF取最小值时，求tan∠F0C. 0 备用图 阅盟学堂XTPZK GZSX55题型对应练 8.(2024·天河区二模)如图1，在正方形ABCD中，E是边BC上任意一点（不与点B重合），以BE为边 在它的外侧作正方形BEFG,点M和点P分别是这两个正方形的对称中心，连接MP. (1)填空：当AB=10时，线段MP长度的最大值是 (2)在正方形ABCD的边上是否存在一点Q,使得△MPQ为等腰直角三角形？若存在，通过证明确定 所有满足条件的点Q的具体位置；若不存在，请说明理由， (3)如图2，连接AE并延长，与DF相交于点O.求∠DOA的度数，并求出DF与AE的数量关系. M B 图1 图2 阅盟学堂XTPZK GZSX56题型对应练 9.已知点A,B在⊙0上，∠AOB=90°，OA=√2 (1)P是优弧AB上的一个动点，求∠APB的度数； (2)如图1，当tanL0AP=√2-1时，求证：∠AP0=∠BP0; (3)如图2，当点P运动到优弧AB的中点时，点Q在PB上移动（点Q不与点P,B重合），若△QPA的面 积为S1,△QPB的面积为S2,求S,+S2的取值范围。 P p 图1 图2 备用图 (解法提示：方法1：如图3，将△PQB沿直线P0翻折到△PQ'A的位置，S1+S2的最大值就是四边形 PQAQ的最大值，此时S,+S,=2QQ·PG+2QQ'·GH=2QQ·PH,PH是定值，故当QQ为直径 时，S1+S2最大；方法2：如图4，将△PQB沿直线PQ翻折到△PQB'的位置，A,Q,B'三点共线，S1+S2 的最大值就是△PAB'的面积的最大值，当PB'⊥PA时，△PAB'的面积最大) B 图3 图4 阅盟学堂XTPZK GZSX57题型对应练345 图2 此时，x=2, y=-(2-m2+1=-1, 解得m=2+2√2或m=2-2√2 (舍去 综上所述，m的取值范围为 2≤m≤2+2√2 ②已知在抛物线C2上总存在点 Q,同①考虑满足题意的两种临界 情形： (i)当抛物线C2过点(0，-1)时， 如图3所示， AV 图3 此时，=0，y=-子m+1=-1, 解得m=2√2或m=-2√2（舍 去)； (i)当抛物线C2过点(2,0)时， 如图4所示， 4 图4 此时，x=2, y=-子(2-m)2+1=0, 解得m=4或m=0(舍去). 综上所述，2√2≤m≤4. 如图5，由三角形外接圆及圆的性 质可知，点E,F在线段AB的垂直 平分线上，连接EF交x轴于点H, 阅盟学堂 过点F作y轴的垂线交y轴于点 .∠FAC=60°-， G,连接FC,FB. ∠EAC=2a-60°，AE=AC. ∠ACE=号[180-(2a 60)]=120°-ax. ∴.LAFE+∠FAC=∠ACE=120°- ∴.∠AFE=(120°-α)-(60°- a)=60°. ,∠ABC=∠AFC=60°， ∴.A,B,F,C四点共圆. 图5 ∴.点F在△ABC的外接圆的BC 令y=-4(x-m)2+1=0, 的中点到点C的圆弧上运动. 解得xA=m-2,xg=m+2, AB=25, .HB=m+2-m=2. .外接圆的半径是2 .FB=FC, 由圆周角定理可得该圆弧所对圆 .FH HB2 FG2 +GC2. 心角为60°， 设FH=t,则 动点F的路径长为2m×60 180 +2=m+(肾-1-小， =2n 3 (件--2（等-小+m (3)AF=EF+CF,证明如下： 4=0. 如图，在线段AF上截取GF=FC, (-(4-2+3)=0, 连接CG,BF. GF=FC,∠AFC=60°， m≥22，. -1≠0. .△FCG是等边三角形. ∴.∠FCG=60° 年-21+3=0，即1=g+3 8+21 △ABC是等边三角形， .∴.BC=AC,∠ACB=60°=∠FCG 2√2≤m≤4， .∠ACG=∠BCF 5 7 .)≤t≤7，即2≤FH≤2 2 在△ACG和△BCF中， ≤EF≤2 CA=CB :EF=FH+1,.2 ∠ACG=∠BCF 第25题几何压轴专练 LCG=CF, 1.解：(1)如图所示。 ∴.△ACG≌△BCF(SAS). .AG=BF. :点B关于射线AD的对称点为E, ∴.BF=EF.AG=EF AF=AG+GF, ∴.AF=EF+CF. (4)如图，过点C作CH⊥AF于点H, (2)如图，连接AE, AB=√13，.AC=/13. 设∠BAF=a, 设CG=CF=GF=x, :点B关于射线AD的对称点为E, AF=4,∴.AG=4-x. ..AE=AB,∠EAF=∠BAF=a. 在Rt△CHG中，∠CGH=60°， :△ABC是等边三角形， ∴.AB=AC,∠BAC=∠ACB=60° 2 XTPZK GZSX112题型对应练参考答案 cn-cc 2 :AH=AG+GH=4- 21 在Rt△ACH中，A+C=AC2, 即4-}+( =(3)2, 解得x=1或x=3(舍去)， .CF的长为1. 2.（1)证明：依题意，得∠EDF =60°， ∴.∠BDE+∠CDF=180°- ∠EDF=120°. △ABC是等边三角形， ∴.∠B=∠C=60° .∠BDE+∠BED=180°-∠B =120°. .LBED=∠CDF. ∴.△BED∽△CDF. (2)证明：由(1)知 △BED∽△CDF, BE ED :.LBDE=LCFD,CD-DF …腮架 D为边BC的中点， .BD-CD...DE-DF BE BD ∠B=∠EDF=60°， ∴.△BDE∽△DFE. .∠BDE=∠DFE. .∠CFD=∠DFE. .∴.FD平分∠EFC (3)解：△AEF的周长不会发生 变化. 如图，过点E作EHLAC于点H, D 设BE=a,则AE=6-a :D为边BC的中点， ∴.BD=CD=3 由(1)知△BED△CDF, 80器2号 a 阅盟学堂 ..cr=9 ②如图4，连接AN, AF=6-9 ∠A=60°， m-948-6-o, AH=2B=2(6-a). 图4 GH=4C-AH=6-分6-a） ·AB=AC,∠BAC=90°， BC=2√2， =3+分 :.AB-BC=2, 2 m=6F-m=是-32 ∠ACB=∠ABC=45. 在Rt△EHF中， ∴.AN=√2，BE=1. EF=0-3a+ .·∠ADN=∠BDE, 0 =a-3+9 ∠AND=∠BED=90°， 9 ∴.EF+AF+AE=a-3+ .△ADN△BDE. a 6-9+6-a=9. 能能-是-2 a 设DE=x,则DN=√2x ∴.△AEF的周长为定值9，不会 在Rt△ABE中，BE=1,AB=2, 发生变化 3.解：(1)①如图3，连接NF, .AE=√5，则AD=√5-x. 在Rt△ADW中，AD2=DN+AN2, 即(3-x)2=(2x)2+(2)2, 解得x=2-√3或x=-2-√5（舍 去) .CD=DN+CN=2√2-6+2 =3√2-√6. 图3 (2)如图5所示，当点C,E,F在 M,N分别为边AB,BC的中点， 同一直线上，且点E在线段FC上 .MN是△BAC的中位线。 时， ∴.MN∥AC. .∠BMW=∠BAC=90. ·将△BMN绕点B顺时针旋转 a(a为锐角)，得到△BEF, .BE BM,BF BN, ∠BEF=∠BMN=90. 点A,E,F在同一直线上， .∠AEB=∠BEF=90. 图5 在Rt△ABE中，M是斜边AB的 AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB. 中点， 设∠ABC=∠ACB=0, :ME=子4B=MB 则∠BAC=180°-28. M,N分别为边AB,BC的中点， ∴.BM=ME=BE. ∴.MN是△ABC的中位线 ∴.△BME是等边三角形. .MN∥AC..∠MNB=∠ACB=a. 故答案分别为90°，等边， 将△BMW绕点B顺时针旋转 XTPZK GZSX113题型对应练参考答案 ,得到△BEF, .△EBF≌△MBN, ∠MBE=∠NBF=a. .∠EBF=∠EFB=O. .∠BEF=180°-20. :点C,E,F在同一直线上， ∴.LBEC=2a. ∴.∠BEC+∠BAC=180°. ∴点A,B,E,C在同一个圆上 ∴.∠EAC=∠EBC=a-Q. ,.∠BAE=∠BAC-∠EAC =(180°-20)-(a-0) =180°-a-6. ∠ABF=a+0, ∴.∠BAE+∠ABF=180; 如图6所示，当点F在线段EC 上时， 图6 ∠BEF=∠BAC,BC=BC, ∴点A,B,E,C在同一个圆上 设∠ABC=∠ACB=0,则∠BAC= ∠BEF=180°-20. 将△BMN绕点B顺时针旋转a, 得到△BEF,设LNBF=B, 则∠EBM=B,a+B=360°. .∠ABF=0-B. :∠BFE=∠EBF=0, ∠EFB=∠FBC+∠FCB, ∴.∠ECB=∠FCB=∠EFB- ∠FBC=0-B. BE=BE. ∴.∠BAE=LECB=0-B. .∴.∠BAE=∠ABF 综上所述，∠BAE=∠ABF或 ∠BAE+∠ABF=180. 4.(1)证明：四边形ABCD为矩 形，AD=4, .∠ABC=∠BAD=90°， CD=AB=3AD=43. 阅盟学堂 .AC=8. 根据旋转，可得∠PAF=∠KAL, .∠BAC=30°， B_45- 根据两边对应成比例且夹角相等 AC-8 2 可得△APF∽△AKL, 同理，得AG=√5AE=25, ∴KL=3PF AE=FG=2, .CP+PK+KL≥CL, .AF=√22+12=4. 即CP+AP+√3PF≥CL, -9光 .当C,P,K,L四点共线时， CP+AP+√3PF的值最小. ∠FAG=30°=∠BAC. 由题意可知∠LAC=150°，AF=4, :∠FAG=∠FAC+∠CAG, AC=8, ∠BAC=∠BAG+∠CAG, .AL=43. ∴.∠GAB=∠FAC 过点L作LQ垂直CA的延长线于 .△ABG∽△ACF. 点Q,可得∠L4Q=30°， (2)解：①如图1， ∴.QL=23,AQ=6. 在Rt△CLQ中，根据勾股定理，得 CL=√(8+6)2+(25)2=413， .CP+AP+√3PF的最小值为 图1 4/13. AC+AE≥CE, 5.解：(1)20 .当C,A,E三点共线时， (2)如图1，过点E作EH⊥AB交 AC+AE=CE,此时CE的长度 其延长线于点H,延长DF交BC 最大 于点M,连接EF, 由(1)知BC=4,AC=8,AE=2, D EF=2√5，△ABG∽△ACF, .CF=√EF2+CE2=√12+100 G =4万， B 图1 设∠BAE=,由轴对称的性质， :BG=CF=2/21. 得AF=AB=4,EF=BE=2, 2 ∠FAE=∠BAE=a, ②如图2，将AP绕点A顺时针旋 ∠AFE=∠ABE=120°， 转30°，得到AK,且使AK=√3AP, ∴.∠DAF=∠DAB-∠FAE 连接PK, ∠BAE=60°-2am. .AD=AF=4, .∠ADF=180°-∠DAF 2 =60°+a. AD∥BC, 图2 ∴.∠GME=∠ADF=60°+a, 根据△APK边角关系， ∠AEB=∠DAE=∠DAB-∠BAE 可得PK=AP. =60°-a. 同理将AF绕点A顺时针旋转 .∴.∠FGE=∠AEB+∠GME 30°，得到AL,且使AL=√3AF,连 =120° 接LK, .∠FGE=∠ABE. XTPZK GZSX114题型对应练参考答案 ∠ABC=120°，.∠HBE=60° .∠BEH=30°. EH⊥AB, 朋=28E=1, 限=号服a .AE=√A+HE=2万. :∠FGE=∠ABE,∠FEG=∠AEB, ∴.△FGE∽△ABE. 贯器 .EG=EF EB_2x2_27 EA 27 7 AG =AB-EC=2/7_2 7 =127 71 (3)如图2，过点B作BG⊥AC于 点G,BK∥AC交DC的延长线于 点K,连接EK D G B 图2 :四边形ABCD为菱形， .AB=BC CD=AD=4. 4G=c6=74C 又∠BAD=60°， ∴.∠BAG=∠ACB=∠ACD=30. BG=74B=2 .AG=√AB2-BG=√42-22= 25. CG=AG=25..AC=45. .AC=√3CD. :BK∥AC, .∠CBK=∠ACB=∠ACD. 又，DK∥AB, ∴.四边形ABKC为平行四边形. .AC=BK,CK=AB=4. ∴.DK=8,BK=√3CD. 又BE=3CH,. 8= 阅盟学堂 .∠ACD=∠CBK, ,四边形ABCD为正方形， .△BEK∽△CHD. .AC=√2CD,∠ACD=45°， 然盼器 AB=BC. 由(2)知∠PFA=45°， ∴.EK=3DH. .∠CFG=45° .DE +3DH=DE +EK. .CGLAF, 当D,E,K三点共线（此时点E ∴.△CFG为等腰直角三角形 与点C重合)时，DE+EK有最小 .∠FCG=45°，FC=√2CG. 值，此时DE+EK=DK=8. ∴.DE+√3DH的最小值为8. %-器=2 6.解：（1)依题意，得BA=BF, :∠ACD=∠FCG=45°， ∠FBE=∠ABE=a, ∴.∠ACF=∠DCG 四边形ABCD为正方形， .∴.△AFC∽△DGC. .AB=BC,∠ABC=90° .∠AFC=∠DGC=180°- ∴.BF=BC,∠FBC=90°-2a. ∠PFA=135° ∴.∠BCF=∠BFC. .∴.∠FCG+∠DGC=180° ∠BCF=180°-(90°-2a) .DG∥CF 2 =45°+a. (4)△BFH为等腰三角形，理由 (2)PF2+PC2=2BF2.证明如下： 如下：如图3，过点H作HK⊥BF 如图1，连接PA,AC, 于点K, 图1 依题意，得∠BNF=90°，PA=PF, 图3 ∠BFN=90°-a, 将△ABE绕点B顺时针旋转 ∠PAF=∠PFA. 90°得到△CBH,点E的对应点 由(1)知∠BFC=∠BCF=45°+x, 为H, .∠PAF=∠PFA=180° ∴.△BAE≌△BCH. ∠BFC-∠BFN=45°. ∴.∠ABE=∠CBH=a,BE=BH, ∠APF=90 AE CH,AB=BC. .PC2 PA2 PC2 PF2 AC2. AB2+BC2=AC2,AB BC BF, .sin a=5 AE5 1 5,BE55 ..2BF2=AC2. ..PF2+PC2=2BF2 设AE=CH=x,则BE=BH=√5x (3)DG∥CF.证明如下： .AB=BE2 -AE2 =2x. 如图2，连接AC, ∴.BF=AB=2x 由(1)知∠FBC=90°-2a, ∴.LFBH=∠FBC+∠CBH=90°-x HK⊥BF, ∴.∠KHB=90°-∠FBH=. 图2 ÷sin∠KB=ima= 51 XTPZK GZSX115题型对应练参考答案 停即 5x 5 BK=xB服=8R .BK=KF. ∴KH为BF的垂直平分线. .HB =HF. ∴△BFH为等腰三角形. 7.（1)证明：由旋转得∠EDF=90, DE=DF, :四边形ABCD是正方形， .∴.∠ADC=90°，AD=CD. .∠ADC=∠EDF, 即LADE+∠EDC=∠EDC+∠CDF. .∠ADE=∠CDF. 在△ADE和△CDF中， rAD =CD, ∠ADE=∠CDF, DE =DF, .△ADE≌△CDF(SAS). (2)解：如图1，过点F作BC的垂 线，交BC的延长线于点P, E B 图1 :O是BC的中点，且BC=AB= 10,.0B=5. :A,E,0三点共线，由勾股定理， 得A0=5√5， .AE=A0-0E=5√5-25= 35. 由(I)知△ADE≌△CDF, .LDAE LDCF,CF=AE=35. ∠BAD=∠DCP=90°， ·.∠OAB=∠FCP. 又.∠AB0=∠P=90°， .△ABO△CPF. 89-0脚0 .CP=2PF. 设PF=x,则CP=2x,由勾股定 理，得(35)2=x2+(2x)2, 阅盟学堂 解得x=3或-3（舍去） .BM=MD,BP PF. .PF=3,0P=5+6=11. .MP为△BDF的中位线. 由勾股定理，得OF=√PF+OP MP=号DR =√32+11=√/130， 依题意，得DF≤DC+CF≤DC+ .线段0F的长为√130. CE +EF=DC+BC=20, (3)解：如图2，由于0E=2√5，故 ∴.当点D,C,F在一条直线上时， 点E可以看作在以点O为圆心， DF取得最大值20， 25为半径的半圆上运动，延长 .线段MP长度的最大值是 BA到点P,使得AP=OC,连 1DF=10. 接PE, 故答案为10. (2)在正方形ABCD的边上存在 一点Q,使得△MPQ为等腰直角 三角形 如图4，以MP为直径画圆，交BC 于点Q,交AB于点Q',则△MPQ 和△MQ'P为等腰直角三角形.证 图2 明如下： :AE=CF,∠DAE=∠DCF, D ∴.∠PAE=∠OCF. ,.△PAE≌△OCF(SAS) .PE =OF. 当线段OF取最小值时，线段PE 取最小值，此时射线PE经过圆心 O'B 图4 0,即P,E,0三点共线. ,四边形ABCD和四边形BEFG 由全等，得PH=0C=号BC=5, 为正方形， ∠EPA=∠FOC. ∴.∠DBC=∠FBC=45°. 在Rt△OPB中， .∠MBP=90°. PB-PA+AB-15,OR-BG-5, .以MP为直径的圆经过点B. MP为圆的直径， OB .∴.tan∠FOC=tan∠EPA= .∴.∠MQP=∠MQ'P=90° PB 51 ∠MPQ'=∠ABD=45°， 15=3 ∠MPQ=∠CBD=45°， 8.解：（1)如图3，连接BD,BF, ∴.△MPQ和△MQ'P为等腰直角 DF,CF, 三角形 如图4，过点M作MK⊥AB于 点K, MB=MD,.K为AB的中点 .点Q'落在点B与AB的中点 之间. B 图3 :E是边BC上任意一点（不与点 :四边形ABCD和四边形BEFG B重合)， 为正方形，点M和点P分别是这 .点Q落在线段CE之间. 两个正方形的对称中心， 综上所述，存在一点Q,使得 XTPZK GZSX116题型对应练参考答案 △MPQ为等腰直角三角形，其中 点Q落在线段CE之间或点B与 AB的中点之间. (3)如图5，连接BD,BF,设BD 与AO相交于点K, B 图5 易证△DBF∽△ABE, ∴.∠BDF=∠BAE. :∠DKO=∠AKB, ∴.∠D0A=∠ABD=45° .△DBFM△ABE, 器-赠2， 即DF=√2AE. 9.(1)解：∠A0B=90°， ∠APB=2LA0B=45 (2)证明：如图1，过点0作0C1 PA于点C,在CA上截取CD=OC, P B 图1 ,tan∠0AP=√2-1， C=2-1,即AC=(2+1)0C, :.AC .CD=0C, .AD=AC-CD=(2+1)0C-0C =20C. ∠0CD=90°，OC=CD, .0D=20C,∠CD0=45. ∴.AD=OD.∴.∠A=∠D0A. :∠A+∠D0A=∠CD0=45°， .∠A=22.5 OP=0A, ∴.∠AP0=∠A=22.5°. .∠APB=45° ∴.LBP0=∠APB-∠APO=22.5 阅盟学堂 .∠AP0=∠BPO. (3)解：如图2，连接AB,延长PO 交AB于点E,则PE⊥AB,将 △PBQ沿直线PQ翻折得 △PB'Q, D :∠ACD+∠ABD=180°， .∠ABD+∠EBD=180°， 即A,B,E三点共线. B G∠BAD=LCAD=7LBAC=a 图2 ∴.∠E=∠EAD=a 则PB'=PB=PA,∠PQB=∠PQB, 如图，过点D作DH⊥AE于点H, S2=SA0BP=S△08p: AD·cosa=AH. ∠AQP=∠ABP,∠ABP=∠PAB, Dsa=宁E=4B+40, .∠AQP=∠PAB. 即AB+AC=2AD·cos. ,四边形PABQ内接于⊙O, (3)解：由(1)可知BD=DC=D1, .∠PAB+∠PQB=180. .动点I的运动路径为以点D ∴.∠AQP+∠PQB'=180°， 为圆心，BD的长为半径的圆 即A,Q,B三点共线. 弧BC. S+S2 SAOPA +SAOBP SAPAR, ∠BAC=120°， ∴.S1+S2>0,当且仅当PA⊥PB .∠BDC=60°，即△BDC为等 时，8+8有最大值学 边三角形. ∴.动点I的运动路径长为 在Rt△PAE中，AE=1,PE=√2+1， ×10×2m-9m 60 .PA2=AE2+PE=4+22. 2+2 如图，分别取BD,CD的中点M, N,连接MG,NG,MN. .0<S,+S2≤2+2 ∴.MG∥AB,NG∥AC,MN= 10.(1)证明：AI平分∠BAC, ∴.∠MGW=-∠BAC=120° ∴.∠BAD=∠DAC. .M,G,N三点共圆. .BD DC...BD DC. ∴.AD的中点G的运动路径为以 .·∠DBC=∠DAC, MN为弦的圆弧MN. ∴.∠BAD=∠DBC. .∠MGN=120°， :BI平分∠ABC, .MN所对圆心角的度数 .∠CBI=∠ABL. 为120°. 又：∠DBI=∠DBC+∠CBI, 易得M,G,N所在圆的半径 ∠DIB=∠BAD+∠ABI, ∴.∠DBI=∠DIB..∴.BD=DI. 弹 ∴.BD=DC=DL. .AD的中点G的运动路径长为 (2)解：AB+AC=2AD·cosa.理 由如下： 器×9x2m 9m. 如图，将△ADC绕点D逆时针旋 转，使CD与BD重合，点A的对 应点为E. XTPZK GZSX117题型对应练参考答案