11.第24题抛物线压轴专练（题型对应练）-【中考专项新突破】2025年广州中考数学复习

第24题抛物线压轴专练 姓名： 班级： 学号： 1.（2024·天河区二模)在平面直角坐标系中，将过点(2，-1)的抛物线C1:y=-子+bx(6为常数)向 右平移m(m>0)个单位长度，再向上平移n(n≥0)个单位长度得到新的抛物线C2,其顶点为E. (1)求点E的坐标；（用含m,n的式子表示） (2)若抛物线C,与坐标轴有且只有两个公共点，求满足条件的点E的纵坐标； (3)当n=1时，抛物线C2与x轴相交于A,B两点，与y轴相交于点D,且当0≤x≤2时，对于抛物线C1 上的任意一点P,在抛物线C2上总存在一点Q,使得点P,Q的纵坐标相等，探究下列问题： ①求m的取值范围； ②若存在一点F,满足DF=AF=BF,求点F的纵坐标的取值范围. 阅盟学堂XTPZK GZSX42题型对应练 2.(2024·黄埔区模拟)已知二次函数y=ax2+2ax+c的图象与x轴相交于点A和点B(-3,0),与y轴 相交于点C(0,3). (1)求点A的坐标； (2)若D是直线BC上方的抛物线上的一点，过点D作DE∥y轴交射线AC于点E,过点D作DF⊥BC 于点F,求3√2DF-DE的最大值及此时点D的坐标 (3)在(2)的条件下，若P,Q为x轴下方的抛物线上的两个动点，并且这两个点满足∠PBQ=90°，试求 点D到直线PQ的最大距离 阅盟学堂XTPZK GZSX43题型对应练 3.（2024·越秀区模拟)已知抛物线y=-x2+2mx+n经过点(2,2m-3). (1)用含m的式子表示n; (2)当m<0时，设该抛物线与x轴相交于点A,B(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C,△ABC的 外接圆与y轴相交于另一点D(点D与点C不重合)，求点D的坐标； (3)若点E(-3,y1),F(t,y2),G(m-1,y3)都在该抛物线上，且当3<t≤4时，总有y1<y2<y3,求y3的 取值范围 阅盟学堂XTPZK GZSX44题型对应练 4.(2024·荔湾区模拟)已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴 相交于点C,点B的坐标为(3,0)，对称轴为直线x=1,对称轴与x轴相交于点D. (1)求该抛物线的解析式. (2)作直线BC,P是抛物线上一动点，作直线PC,当∠PCB=∠ABC时，求点P的坐标. (3)E为线段0C上一动点，当点E的坐标为何值时，DE+子CE有最小值？并求出最小值 阅盟学堂XTPZK GZSX45题型对应练 5.(2024·花都区二模)已知抛物线C1y=ax2-2ax-2,0为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(4,2). (1)若抛物线C1过点A,求抛物线的解析式； (2)若抛物线C1与直线OA只有一个交点，求a的值； (3)把抛物线C1沿射线OA方向平移(t>0)个单位长度（规定：射线OA方向为正方向）得到抛物线 C2,若对于抛物线C2,当-2≤x≤3时，y随x的增大而增大，求t的取值范围. 阅盟学堂XTPZK GZSX46题型对应练 6.(2024·白云区模拟)已知直线l:y=x+b(k>0)经过点P(-1,2). (1)用含有k的式子表示b. (2)若直线l与x轴、y轴分别相交于A,B两点，△AOB的面积为S,求S的取值范围. (3)过点P的抛物线y=(x-k)2+n与y轴的交点为E,记抛物线的顶点为C,该抛物线上是否存在点 F,使四边形BPEF为平行四边形？若存在，求出此时顶点C的坐标；若不存在，请说明理由， 阅盟学堂XTPZK GZSX47题型对应练 7.(2023·乐山)已知(x),(n)是抛物线C:y=-子2+bx(6为常数)上的两点，当年+=0 时，总有y1=y2 (1)求b的值； (2)将抛物线C,平移后得到抛物线C,:y=-子(x-m)2+1(m>0).当0≤x≤2时，探究下列问题： ①若抛物线C,与抛物线C2有一个交点，求m的取值范围； ②设抛物线C2与x轴相交于A,B两点，与y轴相交于点C,抛物线C2的顶点为E,△ABC外接圆 的圆心为点F.如果对于抛物线C1上的任意一点P,在抛物线C2上总存在一点Q,使得点P,Q 的纵坐标相等，求EF长的取值范围. 阅盟学堂XTPZK GZSX48题型对应练7.(1)证明：如图，连接0D, (2)解：，OB=0A, ∴.∠BAF=∠ABE. tan∠BMF=BF FAF=tan∠ABE= .AF=2BF. .AB=√AF2+BF网 AC=BC,∠ACB=90°， =√(2BF)2+BF .△ACB为等腰直角三角形. =√5BF=10. ∴.∠CAB=45 .BF=25,AF=4W5. .∠C0D=2∠CAB=90°. DE∥CF, .BF2+FO2=OB2, ∴.∠C0D+∠ED0=180°. 且0B=0A=45-F0, ∴.∠ED0=90°. ∴.(25)2+F02=(4√5-F0)2, OD为⊙的半径， 解得F0=35 ∴.DE为⊙O的切线. 2 (2)解：如图，过点C作CH⊥AB 0D=0B=0A=45-35 于点H, :△ACB为等腰直角三角形， =5⑤ 2· AC=4, OB=OD,BF =CF. .CH-AH-AB-22 CD=2F0=2x35 2 =35. tan LCFD= 册-2…m=2 =cos∠AOE=cos∠FOB 在Rt△CFH中，由勾股定理，得 OE CF2=CH FHP, FO OB' .CF=√10. O OD OE=0A·0B tan L CFD= FO OF-CF-OC= OD =2. 4 w/10-0D 35 6 0D=20 3 DE=0E-0D=255_55 故⊙0的半径为20 6 2 3 =5 8.(1)证明：如图，连接并延长A0 3 交BC于点F,连接OC,则OB 第24题抛物线压轴专练 =0C. 1.解：(1)将点(2，-1)代入 y+c中， 得-1+2b=-1,解得b=0, ∴.抛物线C1的解析式为 AB=AC,.∠AOB=∠AOC. 由平移可得抛物线C2的解析式 ∴.∠FOB=∠FOC. ∴.OF⊥BC. 为为=-子（红-m)2+n, AE∥BC,.OA⊥AE. ∴.E(m,n) OA是⊙0的半径， (2):抛物线C2与坐标轴有且只 .AE是⊙O的切线 有两个公共点， 阅盟学堂XTPZK GZSX109题型对应练参考 ∴当抛物线不经过原点时，点E 在x轴上，n=0; 当抛物线经过原点时a=子2。 综上所述，n=0或n=子2。 (3)①n=1, ∴.抛物线C2的解析式为 1 为=-4(x-m)2+1. 当0≤x≤2时，-1≤y1≤0， 令-m2+1≤-1， 解得m≥2√2或m≤-2√2（舍去）. m>0,.点A在2的左侧， 即m-2≤2，解得m≤4. .2√2≤m≤4. ②.AF=BF, .点F在线段AB的垂直平分 线上 .点F的横坐标为m. 设F(m,t), n0.1-子m）且DF=Ac, m2+(-1+=4+, 解得1=名a2+12), 22≤m≤4， 2.解：(1)依题意，得 「c=3, l9a-6a+c=0, 解得-1， c=3. 则抛物线的表达式为 y=-x2-2x+3. 令-x2-2x+3=0,解得x=-3或 x=1,∴.A(1,0). (2)由点A,C的坐标，得直线AC 的表达式为y=-3x+3, 同理可得，直线BC的表达式为 y=x+3. 如图1，延长ED交BC于点N, 图 案 设D(m,-m2-2m+3), N(m,m+3),E(m,-3m+3). 由点B,C的坐标，知∠BC0= 450=∠DNP,则FD-号oN 3√2DF-DE=3DN-DE= 3(yp-yN)-(yE-yp)=4yp- 3yN-yg=4(-m2-2m+3)- 3(m+3)+3m-3=-4m2-8m =-4(m+1)2+4≤4. 故当m=-1时，3√2DF-DE有 最大值，最大值为4，此时点D的 坐标为(-1,4). (3)设点P,Q的坐标分别为 (m,-m2-2m+3), (n,-n2-2n+3). 如图2，分别过点P,Q作x轴的 垂线，垂足分别为M,N, 图2 .∠PBQ=90°， .∴.∠PBM+∠OBN=90° .·∠OBN+∠BQN=90°， .∴.∠PBM=∠BQN. .tan∠PBM=tan∠BQN, 即PM、BN BM ON' 即m2+2m-3=n+3 -3-mn2+2n-3' 整理，得mn-(m+n)=-2. 设直线PQ的表达式为y=x+c, 将点P,Q的坐标分别代入上 式，得 -m2-2m+3=km+c且-n2 2n+3=km+c, 解得k=-m-n-2,c=mn+3, 则直线PQ的表达式为 y=(-m-n-2)x+mn+3. .mn-(m+n)=-2, .y=(m+n)(1-x)-2x+1. 当x=1时，y=-1, 阅盟学堂 .直线PQ恒过点(1，-1) ∴.该抛物线的解析式为 .点D到直线PQ的最大距离是 y-+ 点D到该点的距离： 3米+4， √(-1-1)2+(4+1)2=√/29. (2)如图1所示，当点P在BC下 3.解：(1)把点(2,2m-3)代入抛物 方时， 线y=-x2+2mx+n, 得-4+4m+n=2m-3, .n=1-2m. (2).n=1-2m, .y=-x2+2mx+1-2m. 当y=0时，-x2+2mx+1-2m=0, 图1 解得x=1或x=2m-1. 设CP交x轴于点H(x,0) :m<0,点A在点B的左侧， .·∠PCB=∠ABC, ∴.A(2m-1,0),B(1,0). .BH=CH,即(3-x)2=x2+16, 令x=0,则y=1-2m. .∴.0A=0C=1-2m. 解得x=石，即-石，0 ∴.△A0C为等腰直角三角形. 由点C,H的坐标，得直线CH的 .∠AC0=45° A,D,B,C四点共圆， 表达式为y-华+4， .∠ABD=∠AC0=45. 令4+4=-+ 8 x+4, ∴.△BOD也是等腰直角三角形 .0D=0B=1..D(0,-1) 解得x=0(舍去)或x=一 4 (3)抛物线的对称轴为直线 4100 m x-2 =m, .点P的坐标为-7,49 当点P(P)在BC上方时， .m-1<m, ∠P'CB=∠ABC,∴.CP∥x轴. ∴.点G在抛物线对称轴的左侧. ∴.则点C,P关于抛物线的对称轴 t>-3,y2>y1, .点E一定也在抛物线对称轴的 对称. 左侧. ∴.点P的坐标为(2,4). 取点G和点E关于抛物线对称轴 综上所述，点P的坐标为 的对称点G,E, （-号9)成24 则G(m+1,y3),E'(2m+3,y1), (3)如图2，在x轴的负半轴截取 当点F在抛物线对称轴左侧时， 0T=3,连接CT, 有m-1>4,解得m>5. 过点D作DH⊥CT于点H,与y轴 y3=-(m-1)2+2m(m-1)+ 相交于点E, 1-2m=m2-2m=(m-1)2-1, .y3>15; 当点F在抛物线对称轴右侧时， 有m+1s3, 2m+3>4, 解得子<m2 .-1≤y3≤0. D B 综上所述，-1≤y3≤0或y3>15. 4.解：(1)依题意，得 图2 0T=3,0C=4,∴.CT=5. 4 b=1, 3 解得 sin LTCO=3 9a+3b+4=0, 8 b= 3 .·EH⊥CT、 XTPZK GZSX110题型对应练参考答案 EH=CE·sinLTC0=C® 右移动5个单位长度，再竖直 5 :0E+号CE=DE+m 向上移动气 个单位长度 则当D,E,H三点共线时， 抛物线C1:y=ax2-2ax-2的 DB+字CE=Dn最个， 对称轴为直线x=- 2a DH⊥CT, ∴抛物线C2的对称轴为直线x= ∴.∠CHE=90°=∠D0E. :∠CEH=LOED, 1+ .∴.∠ODE=∠TCO. 当-2≤x≤3时，y随x的增大而 tan LODE=tanLTCO=OE=3 增大，分两种情况： 0D=4, ①a>0时，抛物线C2的对称轴为 DH 4 cosLODE=cOsLTCO=DT=5 直线x=-2或在直线x=-2的 0B=0D,DH=号Dm 左侧， 1+25≤-2，解得1≤-35 0D=1, 5 0E=子，m=0D+0=1+3=4 (舍去)； ②a<0时，抛物线C2的对称轴为 直线x=3或在直线x=3的右侧， 当点E的坐标为(0，)时，DE 1*2⑤ ≥3，解得≥5 号CE有最小值最小值为9 综上所述，t的取值范围为t≥√5. 6.解：(1).直线y=kx+b(k>0)经 5.解：(1)抛物线C1:y=ax2-2ax 过点P(-1,2),∴.-k+b=2. -2过点A,点A的坐标为(4,2)， .b=k+2(k>0) ∴.16a-8a-2=2,解得a= 1 (2)由(1)可知，直线y=kx+b= kx+k+2(k>0), ∴.抛物线的解析式为 y=2--2 4-是-1.0），B0,k+2). (2)点A的坐标为(4,2)， 5=20A:0B 六直线04的表达式为y=之 =2层++2) :抛物线C1与直线OA只有一个 =(4++) 交点， .ax2-2ax-2= 之有两个相等 的解，即a2-(2a+2）k-2=0 即-4+≥0k+≥4 有两个相等的解。 s4+)≥x4+4 ∴.△=0，即 =4. [-(a+川 -4a·(-2)=0, ∴.S的取值范围为S≥4 解得a=26-5或a=-26-5 (3)存在点F使四边形BPEF为 4 4 平行四边形，理由如下： (3)A(4,2), 抛物线y=（x-k)2+n过 ∴.抛物线C,沿射线OA方向平移 点P(-1,2), (t>0)个单位长度相当于水平向 .（-1-k)2+n=2..n=-2 阅盟学堂XTPZK GZSX111题型对应练参考答 -2k+1. .抛物线的解析式为 y=(x-k)2-2-2k+1(k>0). .C(k,-k2-2k+1) 当x=0时，y=-2k+1, .E(0,-2k+1) 四边形BPEF为平行四边形， ∴.PB∥EF,PB=EF. 点P向右平移1个单位长度 再向上平移k个单位长度得到 点B, 点E向右平移1个单位长度 再向上平移k个单位长度得到 点F .F(0+1,-2k+1+k), 即F(1,-k+1). 点F在抛物线上， .(1-k)2-2-2k+1=-k+1, 解得及=子 .d 7.解：(1)当1+x2=0时， 总有y1=y2, .抛物线关于y轴对称 6 =0..b=0. 2x() (2)①注意到抛物线C2的最大值 和开口大小不变，m只影响图象 左右平移 下面考虑满足题意的两种临界 情形： (i)当抛物线C2过点(0,0)时，如 图1所示， 图1 此时，x=0,y=一 4m2+1=0, 1 解得m=2或m=-2(舍去)； (ⅱ)当抛物线C2过点(2，-1) 时，如图2所示， 345 图2 此时，x=2, y=-(2-m2+1=-1, 解得m=2+2√2或m=2-2√2 (舍去 综上所述，m的取值范围为 2≤m≤2+2√2 ②已知在抛物线C2上总存在点 Q,同①考虑满足题意的两种临界 情形： (i)当抛物线C2过点(0，-1)时， 如图3所示， AV 图3 此时，=0，y=-子m+1=-1, 解得m=2√2或m=-2√2（舍 去)； (i)当抛物线C2过点(2,0)时， 如图4所示， 4 图4 此时，x=2, y=-子(2-m)2+1=0, 解得m=4或m=0(舍去). 综上所述，2√2≤m≤4. 如图5，由三角形外接圆及圆的性 质可知，点E,F在线段AB的垂直 平分线上，连接EF交x轴于点H, 阅盟学堂 过点F作y轴的垂线交y轴于点 .∠FAC=60°-， G,连接FC,FB. ∠EAC=2a-60°，AE=AC. ∠ACE=号[180-(2a 60)]=120°-ax. ∴.LAFE+∠FAC=∠ACE=120°- ∴.∠AFE=(120°-α)-(60°- a)=60°. ,∠ABC=∠AFC=60°， ∴.A,B,F,C四点共圆. 图5 ∴.点F在△ABC的外接圆的BC 令y=-4(x-m)2+1=0, 的中点到点C的圆弧上运动. 解得xA=m-2,xg=m+2, AB=25, .HB=m+2-m=2. .外接圆的半径是2 .FB=FC, 由圆周角定理可得该圆弧所对圆 .FH HB2 FG2 +GC2. 心角为60°， 设FH=t,则 动点F的路径长为2m×60 180 +2=m+(肾-1-小， =2n 3 (件--2（等-小+m (3)AF=EF+CF,证明如下： 4=0. 如图，在线段AF上截取GF=FC, (-(4-2+3)=0, 连接CG,BF. GF=FC,∠AFC=60°， m≥22，. -1≠0. .△FCG是等边三角形. ∴.∠FCG=60° 年-21+3=0，即1=g+3 8+21 △ABC是等边三角形， .∴.BC=AC,∠ACB=60°=∠FCG 2√2≤m≤4， .∠ACG=∠BCF 5 7 .)≤t≤7，即2≤FH≤2 2 在△ACG和△BCF中， ≤EF≤2 CA=CB :EF=FH+1,.2 ∠ACG=∠BCF 第25题几何压轴专练 LCG=CF, 1.解：(1)如图所示。 ∴.△ACG≌△BCF(SAS). .AG=BF. :点B关于射线AD的对称点为E, ∴.BF=EF.AG=EF AF=AG+GF, ∴.AF=EF+CF. (4)如图，过点C作CH⊥AF于点H, (2)如图，连接AE, AB=√13，.AC=/13. 设∠BAF=a, 设CG=CF=GF=x, :点B关于射线AD的对称点为E, AF=4,∴.AG=4-x. ..AE=AB,∠EAF=∠BAF=a. 在Rt△CHG中，∠CGH=60°， :△ABC是等边三角形， ∴.AB=AC,∠BAC=∠ACB=60° 2 XTPZK GZSX112题型对应练参考答案