10.第23题专练（1-2）（题型对应练）-【中考专项新突破】2025年广州中考数学复习

时40分钟，即子小时。 系式：y=-x2+16x-60, ∴.令y=0,则x=6或x=10(不合 当=号时， 24=36. 题意，舍去) 3 ∴.气温0℃以下持续时间为 骑行速度不超过30千米/小时， 6-只-曾4 ∴.李老师不能在上午9：10之前 ∴.次日需采取防霜措施， 到达天后宫. 5.解：(1)按照售价从低到高排列列 从东涌骑行到天 (3):m=24 出表格如表。 后宫的距离为24千米. 售价（元/盆）1820222630 .李老师从东涌骑行到天后宫的 日销售量（盆）5450463830 过程中二氧化碳的减排量约为 (2)由表格可知，售价每涨价 24×0.2=4.8(千克) 2元/盆，日销售量少卖4盆 3.解：(1)设反比例函数的关系式为 (3)①设定价应为x元/盆.依题 y=(k>0), 意，得 则k=xy=mn=S矩形oA7B=10000, -154-a≥182x4=40w, ÷y=10000 整理，得-2x2+120x-1750=0, x 解得x1=25,x2=35, (2)设鲜花方阵中OA的长为m .定价为25元/盆或35元/盆 米，则0B为(250-m)米. 时，每天获得400元的利润。 依题意，得m(250-m)=10000, ②设每天的利润为w元.依题 解得m=50或m=200,符合 意，得 题意 w=(x-15)[54-,18》x4l .此时火炬的坐标为(50,200)或 2 (200,50) =-2x2+120x-1350 4.解：(1)由图可知，当x=5时，气 =-2(x-30)2+450, 温最低， -2<0,.当x=30时，w有最 又抛物线为y=-x2+16x-60, 大值，最大值为450元. 当x=5时， 答：售价定为30元/盆时，每天能 y=-25+80-60=-5. 够获得最大利润， ∴.次日0时到8时的最低气温是 第23题专练（一） -5℃. 1.解：(1)①一次函数y=2x+m的 故答案为-5℃ 图象与反比例西数y=兰（>0)的 (2)由题意，结合(1)得 图象相交于点A(2,1), B(5,-5),A(0,3), ∴.将点A,B的坐标代入y=x+b, 2x2+m=1,登=1， 8 得 6=3， 解得m=-3,k=2. 解得 k=-5’ 5k+b=-5, ②由①，得一次函数的解析式为 b=3. y=2x-3,反比例函数的解析式 ∴.次函数的解析式为y=- 5t3 为y=2 (3)需采取防霜措施，理由如下： 「y=2x-3, 由(2)知一次函数为y=- 5t+3 联立 x 令y=0,则x=日 「x=2, 解得 [x=-2 或 5时至8时的图象满足函数关 ly=1 y=-4. 阅盟学堂XTPZK GZSX105题型对应练参考答 A(2,1),B(-2,-4 一次函数与反比例函数的大致图 象如图所示， 由图象可知不等式k>2x+m的 解集为x<-弓或0<<2 (2),平移后的点A,B恰好关于 原点对称， ∴.平移后的直线AB过原点，即平 移后直线的解析式为y=2x, ∴.平移前直线AB的解析式为y= 2x+4..m=4. 2解：(1)：直线y=+号与 3 x轴、y轴分别相交于A,B两点， ∴.点A的坐标是(-3,0)， 点B的坐标是(0,2) .A0=3,B0= 21 1 2=4 (2)如图，过点C作CF⊥A0于 点F, Sac=9,2A0.CF=9, ∴.CF=6,即点C的纵坐标为6. 把7=6代入直线y=多+号得 x=1, .点C的坐标为(1,6). .k=6×1=6. (3)设点D的横坐标为x,则其纵 坐标为6 .OE=,DE=6 3 ①当△AOB∽△OED时， 0 品0即 x=6 解得x=±2 ∴.点D的坐标为(2,3)或(-2，-3)； ②当△AOB∽△DE0时， 9 品熙略三解得=3 点D的坐标为(3,2)或(-3， -2). 综上所述，点D的坐标为(2,3)或 （-2,-3)或(3,2)或(-3，-2). 3.解：(1)如图，过点C作CE⊥x轴 于点E, B E :四边形ABCD是正方形， .AB=BC,∠ABC=90°. ∴.∠AB0+∠EBC=90°. ∠OAB+∠AB0=90°， .∠OAB=∠EBC. 在△AOB和△BEC中， ,∠AOB=∠BEC, ∠OAB=∠EBC, LAB=BC, .∴.△AOB≌△BEC(AAS). .AO=BE=4,OB=EC=2. .OE=OB +BE=6. .点C的坐标为(6,2). :点C(6,2)在反比例函数的图 象上， .∴.k=6×2=12 ·反比例函数的解析式为y=12 (2)在y轴上存在点M,使以A, M,C,N为顶点的四边形是平行 四边形，理由如下： 根据(1)中求点C的坐标，同理可 得点D的坐标为(4,6)， 设直线OD的解析式为y=x,则) 阅盟学堂 4=6,解得k=另 当-2<p<-弓，且p≠-1时， 3 ·直线OD的解析式为y= p-1<0,3p+1<0, ∴.△>0，此时方程(p+1)x2+（p 当点N在直线AC的上方时， 3 -1)x-P兮=0有两个不相等的 在y=2中，令x=6,得y=9, 实数根. ∴.N(6,9).∴.NC=9-2=7. ∴.由平行四边形的性质，得 当p=-3时，3即+1=0， AM=NC=7. ∴.△=0，此时方程(p+1)x2+(p 0A=4, -1)x-P,1=0有两个相等的实 2 ∴.此时点M的坐标为(0,11)或 数根 (0,-3); 当点N在直线AC的下方时， 当-号<p<0时， 由平行四边形的性质，将x=-6 p-1<0,3p+1>0, 代人y=,得y=-9, .△<0，此时方程(p+1)x2+(p .N(-6,-9) -1x-2分=0无实数根 ∴.此时点M的坐标为(0，-11). 当p>1时，p-1>0,3p+1>0, 综上所述，符合条件的点M有3 ∴.△>0，此时方程(p+1)x2+（p 个，坐标为(0,11)或(0，-3)或 -1)x-P,1=0有两个不相等的 (0,-11). 2 解：(1)把A(-2,-3)代入 实数根， y=受得-3，解得m=6 综上所述，当-2<p<-号且p≠ ∴反比例函数的解析式为y= 6 -1或p>1时，方程(p+1)x2+ (p-1)x-D,1=0有两个解； 2 把B(1,n)代入y=- ,得n=6, 6 当p=-1或p=-号时，方程 .B(1,6). 把A(-2,-3),B(1,6)分别代入 (p+1)x2+(p-1)x-D,1=0有 2 y=k+b,得 「-2k+b=-3, 一个解； k+b=6, k=3, 当-号<p<0时，方程(p+1)2 解得 b=3. +(p-1)x-P1=0无解. 2 ∴.一次函数的解析式为y=3x+3. (2)观察图象可知，点P在点E 5.解：(1)如图所示，点D即为所求. 上方时，-2<p<0或p>1. ①当p=-1时，方程(p+1)x2+ 0-1)x-分号=0为-元-一次 方程，只有一个实数根； ②当p≠-1时，方程(p+1)x2+ (2)如图，连接AD,CD,BD,BD与 AC相交于点F. p-1)-2=0为一元二次 A(0,4),B(-3,0),C(2,0), 方程， .AB BC=5. 4=(p-1)2-4(p+1)× BD与AC互相平分， (-）=p-13p+1). .四边形ABCD是菱形，F(1,2). 根据中点坐标公式，得 XTPZK GZSX106题型对应练参考答案 -3+xD=1,2 2 0+yp=2, xD=5,yD=4.∴.D(5,4) 点D在反比例函数的图象上， ∴.k=20 ·反比例函数的解析式为y=20 (3)A(0,4),C(2,0), ∴.直线AC的解析式为y=-2x+4 将直线AC向上平移m个单位长 度，当直线AC与反比例函数的图 象只有一个交点时，△ACF的面 积最小， ry=-2x+m+4, .{._20 y= 整理，得2x2-(m+4)x+20=0, 令4=(m+4)2-160=0, 解得m=-4+4√/10或 m=-4-4√10（舍去）. .平移后直线的解析式为 y=-2x+410. .x2-2√10x+10=0,解得x =/10. 将x=√/10代人y=-2x+4√10， 得y=2√/10， ∴点E的坐标为（√10,210） 第23题专练（二） 1.(1)证明：如图，连接0A, B D :BE是⊙O的直径， .∠BAE=90°. ∴.∠BA0+∠OAE=90. :OA=OB,∴.∠ABC=∠BAO. .·∠EAC=∠ABC, .∴.∠CAE=∠BAO. ∴.∠CAE+∠OAE=90°， 即∠0AC=90°. OA是⊙0的半径， ∴.CA是⊙0的切线. (2)解：如图，连接BD, LEAC=LABC,∠C=∠C, 阅盟学堂 .△EAC∽△ABC. (2)①如图2所示， .BC=16..BE=BC-CE=12. AD平分∠BAE, .∠BAD=∠EAD. .BD=DE..BD=DE. D :BE是⊙O的直径， 图2 .∠BDE=90°. 由圆周角定理，得 DE-BD-BE-62 ∠ADC=∠ABC, 2.(1)解：CD为直径， sin∠ADc=1 ,AB=20, 10 .∴.∠CAD=90° ∠AFE=∠ADC=60°， sin LABC=4C10 AB=10 ∴.∠ACD=90°-60°=30 .AC=2/10. ∴.∠ABD=∠ACD=30° .BC=√AB2-AC=6√1O. (2)证明：①：四边形ABCD是圆 '.SAABC = 内接四边形， 2AC·BC=60. ∴.∠ADC+∠ABC=180°. :Sam=74B·0D=7x20× .·∠AFE=∠ADC 10=100, .∠AFE+∠ABC=180°. .EF∥BC. ∴.S四边形ACBD=SAADB+S△ABc=160. ②如图3，过点C作CE⊥AB于点 ②如图，过点D作DG∥BC交圆于 E,过点O作OF⊥CD于点F,设 点G,连接AG,CG,则DG∥BC∥EF, CD与AB的交点为G, DG∥BC,∴.∠BCD=∠GDC. .BD =CG 图3 四边形ACGD是圆内接四边形， .∠GDE=∠ACG 根据等面积法，得 AC·BC=CE·AB, :EF∥DG,∴.∠E=∠GDE. ∴.∠E=∠ACG. 即2√/10×6√10=20CE, .·∠AFE=∠ADC,∠ADC=∠AGC, 解得CE=6. .∠AFE=∠AGC .AE=√AC-CE=2. .AE=AC, .0E=0A-AE=8. ∴.△AEF≌△ACG(AAS) .∠CEG=∠D0G=90°， .EF=CG...EF BD. ∠CGE=∠DGO, 3.解：(1)如图1所示. ∴.△CEG∽△DOG. 能品即%0号 即0G-10=5 又.EG+0G=0E=8, ∴.EG=3,0G=5. .DG=√0G2+0D2=5√5. D 根据等面积法，得 图1 DG·OF=OG·OD, XTPZK GZSX107题型对应练参考答案 0F=0G:0D=25, DG “⊙0的半径为是 即点0到弦CD的距离为25. 5.解：(1)EF是⊙0的切线，证明如 4.(1)解：如图所示. 下：如图，连接OE, BE是∠ABC的平分线， &LAB=∠CBE=分∠ABC .A正=CE..0E⊥AC EF∥AC,.OE⊥EF. (2)证明：如图，连接AD,OD, 0E是⊙0的半径， BC是⊙O的切线，.OD⊥BC. ∴.EF是⊙O的切线. .AC⊥BD,∴.OD∥AC (2)AB是⊙0的直径， .∠ODA=∠CAD. ∴.∠AEB=∠ACB=90°. .OD=0A, ∴.∠EAB+∠EBA=90. ∴.∠ODA=∠OAD. 在Rt△AEB中， ..∠OAD=∠CAD. AB=10,AE=2V5, .AD平分∠BAC .BE=AB2-AE=4√5. (3)解：如图，连接DE, OA=OE,∴.∠EA0=∠AEO. :AE是⊙0的直径， ∴.∠AEO+∠EBA=90°. ∴.∠ADE=90°. ,∠0EF=90°， ∴.∠ED0+∠ODA=90. 即∠AEF+∠AE0=90°， BD是⊙O的切线，.OD LBD. .∠AEF=∠EBF ∴.∠BD0=90°. :∠F=∠F,∴.△FAE∽△FEB. ∴.∠ED0+∠BDE=90°. AF_EF_AE25 1 .∠ODA=∠BDE. EFBF-EB 452 ∠ODA=∠OAD, 设EF=x,则BF=2x,OF=2x-5. ∴.∠BDE=∠OAD, 在Rt△OEF中，EF=x,OE=5, 即∠BDE=∠BAD. 0F=2x-5, 又∠B=∠B, .25+x2=(2x-5)2, ∴.△BDE∽△BAD. BEBDDE 解得x=或x=0(合去)， ·BD-BA AD ∠CAD=∠EAD, 即8F-90F=2x-5-曾 EF∥AC,.∠F=∠BAC. .'.tan∠EAD=tan∠CAD= 1 2 :∠OEF=∠BCA=90°， DE 1 .△FOE△ABC AD=2 FE OE FO 5 号分 AC=BC=AB=6 E50065, 六BE=2,MB=6, .AC=8,BC=6 六ME=AB-BE= .点C到直线AB的距离为 21 :AE是⊙0的直径， 0学 阅盟学堂XTPZK GZSX108题型对应练参考 6.(1)证明：如图1，延长A0交BC 于点H,连接BO: B 图1 AB=AC,OB=OC, ∴.点A,O在线段BC的垂直平分 线上 .A0⊥BC. 又，AB=AC, .AO平分LBAC. (2)解：如图2，延长CD交⊙0于 点E,连接BE,则CE是⊙O的 直径， 图2 .∠EBC=90°，BC⊥BE. ·∠E=∠BAC, sin E=sin L BAC=3 8e号 .BC=12,.CE=20. .BE=√CE-BC=16, 0A=0E=2cE=10 .AH⊥BC,.BE∥OA. ÷g-胎8020m 解得0=8 c0=10+8-图 .BE∥OA,即BE∥OH,OC=OE, ∴.OH是△CEB的中位线. .OH-BE-8.CH-7BG-6. .∴.AH=10+8=18. 在Rt△ACH中， AC=√A+C=√182+62= 6√10. 答案 7.(1)证明：如图，连接0D, (2)解：，OB=0A, ∴.∠BAF=∠ABE. tan∠BMF=BF FAF=tan∠ABE= .AF=2BF. .AB=√AF2+BF网 AC=BC,∠ACB=90°， =√(2BF)2+BF .△ACB为等腰直角三角形. =√5BF=10. ∴.∠CAB=45 .BF=25,AF=4W5. .∠C0D=2∠CAB=90°. DE∥CF, .BF2+FO2=OB2, ∴.∠C0D+∠ED0=180°. 且0B=0A=45-F0, ∴.∠ED0=90°. ∴.(25)2+F02=(4√5-F0)2, OD为⊙的半径， 解得F0=35 ∴.DE为⊙O的切线. 2 (2)解：如图，过点C作CH⊥AB 0D=0B=0A=45-35 于点H, :△ACB为等腰直角三角形， =5⑤ 2· AC=4, OB=OD,BF =CF. .CH-AH-AB-22 CD=2F0=2x35 2 =35. tan LCFD= 册-2…m=2 =cos∠AOE=cos∠FOB 在Rt△CFH中，由勾股定理，得 OE CF2=CH FHP, FO OB' .CF=√10. O OD OE=0A·0B tan L CFD= FO OF-CF-OC= OD =2. 4 w/10-0D 35 6 0D=20 3 DE=0E-0D=255_55 故⊙0的半径为20 6 2 3 =5 8.(1)证明：如图，连接并延长A0 3 交BC于点F,连接OC,则OB 第24题抛物线压轴专练 =0C. 1.解：(1)将点(2，-1)代入 y+c中， 得-1+2b=-1,解得b=0, ∴.抛物线C1的解析式为 AB=AC,.∠AOB=∠AOC. 由平移可得抛物线C2的解析式 ∴.∠FOB=∠FOC. ∴.OF⊥BC. 为为=-子（红-m)2+n, AE∥BC,.OA⊥AE. ∴.E(m,n) OA是⊙0的半径， (2):抛物线C2与坐标轴有且只 .AE是⊙O的切线 有两个公共点， 阅盟学堂XTPZK GZSX109题型对应练参考 ∴当抛物线不经过原点时，点E 在x轴上，n=0; 当抛物线经过原点时a=子2。 综上所述，n=0或n=子2。 (3)①n=1, ∴.抛物线C2的解析式为 1 为=-4(x-m)2+1. 当0≤x≤2时，-1≤y1≤0， 令-m2+1≤-1， 解得m≥2√2或m≤-2√2（舍去）. m>0,.点A在2的左侧， 即m-2≤2，解得m≤4. .2√2≤m≤4. ②.AF=BF, .点F在线段AB的垂直平分 线上 .点F的横坐标为m. 设F(m,t), n0.1-子m）且DF=Ac, m2+(-1+=4+, 解得1=名a2+12), 22≤m≤4， 2.解：(1)依题意，得 「c=3, l9a-6a+c=0, 解得-1， c=3. 则抛物线的表达式为 y=-x2-2x+3. 令-x2-2x+3=0,解得x=-3或 x=1,∴.A(1,0). (2)由点A,C的坐标，得直线AC 的表达式为y=-3x+3, 同理可得，直线BC的表达式为 y=x+3. 如图1，延长ED交BC于点N, 图 案第23题专练（一） 姓名： 班级： 学号： 1.已知一次函数y=2x+m的图象与反比例函数y=k(k>0)的图象相交于A,B两点. (1)当点A的坐标为(2,1)时. ①求m,k的值； ②分别作出上述一次函数与反比例函数的大致图象（不用列表），并依据图象，直接写出不等式 k>2x+m的解集； (2)若将函数y=2x+m的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，点A,B恰好关于原点对称，求m的值 阅盟学堂XTPZK GZSX31题型对应练 2(2023·越秀区模拟)如图，直线y=2+号与：轴y轴分别相交于A,B两点，与双商线y=套在第- 象限内相交于点C,已知SA4oc=9. (1)求S△A0B; (2)求k的值； (3)D是双曲线y=飞上一点，DE垂直x轴于点E,若以0，D,E为顶点的三角形与△A0B相似，试求点 D的坐标. 阅盟学堂XTPZK GZSX32题型对应练 3.(2024·增城区模拟)如图，四边形ABCD是正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=4,OB=2,反 比例函数y=（传≠0)在第一象限的图象经过正方形的顶点C (1)求点C的坐标和反比例函数的解析式. (2)若N为直线OD上的一动点（不与点O重合），在y轴上是否存在点M,使以A,M,C,N为顶点的四 边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 阅盟学堂XTPZK GZSX33题型对应练 4.(2024·海珠区改编)如图，已知一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=m的图象相交于点A(-2,-3) 和点B(1,n),且与x轴y轴分别相交于C,D两点 (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)P(P,9)为直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线，交双曲线于点E,交x轴于点F,当点P在点E 上方时，判断关于x的方程(p+1)2+(p-1)x-P2=0的解的个数 阅盟学堂XTPZK GZSX34题型对应练 5.(2024·荔湾区模拟)如图，已知A(0,4),B(-3,0),C(2,0). (1)请用无刻度的直尺和圆规作出点B关于直线AC的对称点D;(要求：不写作法，保留作图痕迹) (2)若反比例函数y=k的图象过点D,求此反比例函数的解析式； (3)在(2)的条件下，E是第一象限内的反比例函数图象上一动点，当△ACE的面积取最小值时，求点E 的坐标. 阅盟学堂XTPZK GZSX35题型对应练 第23题专练（二） 姓名： 班级： 学号： 1.(2024·眉山)如图，BE是⊙0的直径，点A在⊙0上，点C在BE的延长线上，∠EAC=∠ABC,AD平 分∠BAE交⊙O于点D,连接DE. (1)求证：CA是⊙0的切线； (2)当AC=8,CE=4时，求DE的长. 2.(2024·浙江)如图，在圆内接四边形ABCD中，AD<AC,∠ADC<∠BAD,延长AD至点E,使AE=AC, 延长BA至点F,使∠AFE=∠ADC,连接EF. (1)若LAFE=60°，CD为直径，求∠ABD的度数； (2)求证：①EF∥BC;②EF=BD. 阅盟学堂XTPZK GZSX36题型对应练 3.(2024·南沙区模拟)如图，⊙0是△ABC的外接圆，AB为直径 (1)尺规作图：在直径AB下方的半圆上找点D,使得AD=BD;(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)所作的图中，连接AD,BD,CD.已知AB=20,sin∠4DC=Y10 10 ①求四边形ACBD的面积； ②求点O到弦CD的距离. 阅盟学堂XTPZK GZSX37题型对应练 4.如图，AB为经过圆心0的一条线段，且与⊙0相交于点E. (1)过点B在AB的上方作⊙O的切线，切点为D,过点A作AC⊥BD,垂足为C,AC与⊙O相交于点F. 请用尺规作图，不用写作图的详细步骤； (2)求证：AD平分∠BAC; (3)若BD=3,amLC4D=2,求O0的半径 B- E 阅盟学堂XTPZK GZSX38题型对应练 5.(2024·番禺区模拟)如图，以Rt△ABC的斜边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O,∠ABC的平分线BE 交AC于点D,交⊙O于点E,过点E作EF∥AC交BA的延长线于点F, (1)判断EF是否是⊙O的切线，并证明你的结论； (2)连接AE,若AE=2√5，AB=10,求点C到直线AB的距离. D 0 阅盟学堂XTPZK GZSX39题型对应练 6.(2024·黄埔区模拟)如图，△ABC内接于⊙0，AB=AC,C0的延长线交AB于点D. (1)求证：AO平分∠BAC; (2)若BC=12,LBAC=子，求AC和CD的长 B 备用图 阅盟学堂XTPZK GZSX40题型对应练