6.专题九 最值问题 专题十 AB+k⋅CD型最值问题（作业本）-【中考专项新突破】2025年广州中考数学复习

专题九最值问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,点F在边AC上，并且CF=2,E为边BC上的动点，将 △CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，连接AP,BP,则△PAB面积的最小值是 ,BP的取 值范围是 2.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2√2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作 ⊙O分别交AB,AC于E,F两点，连接EF,则线段EF长度的最小值是 F D 3.(2024·黄埔区模拟)如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边AB的中点，F是边AD上的一个动 点，连接EF,将△AEF沿EF折叠得△HEF,连接DH,则DH的取值范围是 4.(2024·烟台)如图，在口ABCD中，∠C=120°，AB=8,BC=10,E为边CD的中点，F为边AD上的一个 动点，将△DEF沿EF翻折得△D'EF,连接AD',BD',则△ABD'面积的最小值为 5.（2024·凉山州)如图，⊙M的圆心为M(4,0),半径为2，P是直线y=x+4上的一个动点，过点P作 ⊙M的切线，切点为Q,则PQ的最小值为 y=x+4 阅盟学堂XTPZK GZSX75 分层作业本专题突破 专题十AB+k·CD型最值问题 1.如图，在△ACB中，∠B=90°，AB=CB=2,以点B为圆心作⊙B与AC相切，P为⊙B上任意一动点，则 PH+PC的最小值是 2 第1题图 第2题图 2.如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4,E,F分别是AB,AC的中点，P是扇形AEF的EF上任意一点，连接 BP,CP,则)BP+CP的最小值是 3.如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A,B两点，过点B的直线与抛物线在第二象限交于点C,且 anCBA=手，D为线段BC上一动点（不含端点）.现有一动点P从点A出发，沿线段AD以每秒1个 单位长度的速度运动到点D,再沿线段DC以每秒；个单位长度的速度运动到点C,则动点P运动到点 C的最短时间是多少？ 4.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,AD是△ABC的中线.若P,Q分别是AD和AC上的动点 (1)求PC+PQ的最小值； (2)求CP+号P的最小值 阅盟学堂XTPZK GZSX76分层作业本专题突破∠BAM=∠EAF=45°， ∴.∠BAE=∠MAF 8--, .∴.△ABE∽△AMF ∠DAB=60°，∠DCB=120°， .∠AMF=∠ABE=90°， ∴.∠DAB+∠DCB=180 .A,B,C,D四点共圆，作出此圆 器器号 如图所示 .AQ=FQ,AH=MH, AD=AB,∠DAB=60°， FM,lQ/FM. .△ADB是等边三角形. ∴.∠AHQ=90°. .∠ABD=∠ADB=60°， AD=BD. ∴.点Q的运动轨迹是线段Q,当 .∴.∠ACD=LABD=60°， 点E从点B运动到点C时，BE=8 ∠ACB=∠ADB=60°. .MF=8√2. CM=DC, 0=2MF=42, ∴.△DMC是等边三角形. .∠ADB=∠MDC=60°， 即点Q的运动路径长为4√2. DM=DC. 5.解：(1)当AE=CF时， .∠ADM=∠BDC. 易证LAPE=60°， AD BD,MD =CD, 所以LAPB=120°，因此点P的路 ∴.△ADM≌△BDC(SAS) 径是一条弧. .AM=BC. 故答案分别为120，弧。 .AC=AM+MC=BC+CD. (2)当AE=BF时，由对称性可 :四边形ABCD的周长为 知，点P的路径长就是过点C向 AD +AB+CD+BC=AD+AB+AC. AB作的垂线段的长度，所以点P 且AD=AB=6, 经过的路径长为√62-32=3√5. .当AC最大时，四边形ABCD的 专题九最值问题 周长最大 ∴.当AC为△ABC的外接圆的直 1.6217-2≤BP≤82.√5 径时，四边形ABCD的周长最大， 3.√5-1≤DH≤24.205-16 此时LABC=90° 5.27 ∠ACB=60°， 专题十AB+k·CD型最值问题 AB 6 ·AC-AC sin60°， 1.52.√17 解得AC=43. 3.解：如图，过点C作CK∥x轴，过 .AC的最大值为4√3. 点D作DG⊥CK于点G,过点A .四边形ABCD的周长的最大值 作AH⊥CK于点H,直线BC交 为12+4√5. y轴于点M, 专题八动点轨迹、路径长问题 1.A2.(1)4(2)25-2 3.326 4.解：如图，在BC上截取BM=BA, 连接AM,MF,取AM的中点H,连 接HQ, A(-1,0),B(3,0),.0B=3. 4 .:tan∠ABC= 30M=4 .直线BC的解析式为 阅盟学堂XTPZK GZSX87分层作业本参考答 3t+4. y、 4 y=-3x+4, y=x2-2x-3, 7 x=-3 解得 x=3, 或 y=0, 64 y=91 d-子) 依题意，得动点P运动的路径为 折线AD+DC, 运动时间：=AD+号0C, CG∥AB,∴.∠GCD=∠ABC. ∴.tan∠GCD=tan∠ABC. Dc=号0c .t=AD+DG. 即运动的时间值等于折线AD+ DG的长度值. 由垂线段最短可知，折线AD+DG 的长度的最小值为CK与x轴之 间的垂线段， ∴.动点P运动到点C的最短时间 是g 4.解：(1)如图，在AB上截取AQ'= AQ,连接CQ',PQ',QQ'.过点C 作CE⊥AB于点E. C E ,AB=AC,AD是△ABC的中线， .AD平分∠QAQ',AD⊥CB. .CD=BD-7 BG-3. 又AQ'=AQ, ∴.AD垂直平分QQ'.∴.PQ=PQ' 由三角形三边关系可知 PC+PQ=PC+PQ'≥CQ', .当C,P,Q'三点共线时， PC+PQ有最小值. ·.CE⊥AB, ∴.CE长为PC+PQ的最小值. AD⊥CB, .在Rt△ADC中，∠ADC=90. AD=√AC2-CD=√52-32=4. :Sac=2A0·BC -2AB CE, .CE=AD.BC=4×6-24 AB 5 5； 即PC+PQ的最小值为学 (2)如图，过点P作PI1AB于点 I,连接CI,由(1)得sin∠DAB= 照}-器c特 加 .CP+AP-CP+PL 由三角形的三边关系可知 CP+PI≥CI, ∴当C,P,I三点共线时， CP+子AP有最小值 CE⊥AB, 65长为P+子P的最小值 即CP+号P的最小值为号 专题十一逆等线模型解题策略 1号 2.解：如图，过点B作BG∥CE交 AD于点H,过点E作EC∥BC交 BG于点G,连接AG,DG, B .·BG∥CE,EG∥BC, ∴，四边形BCEG是平行四边形. 又.∠C=90°， ∴.平行四边形BCEG是矩形. .BG=EC=BA,BC=GE =ED, ∠GBC=∠BGE=∠GED=90°， ∴.△GED是等腰直角三角形. 、GD=2cB,即0=2 GE .∠GBA=180°-∠GBC= 180°-90°=90°，BG=BA, .△ABG是等腰直角三角形. c4-20B,脚8器-5 :△GED,△ABG是等腰直角三 角形， 阅盟学 .∠AGB=∠DGE=45°. .∠AGD=∠BGE=90° 又：是器2， ..△AGD∽△BGE. ∴.∠GAD=∠GBE. 、.∠AGB=180°-（∠GAD+∠AHG) 四边形ABCD是正方形， =18O°-（∠CBE+∠BHD) ∴.∠BAD=∠B=90°，AB∥CD, AD =AB. =∠AFB ∴.∠EMG=∠BAD=∠B=90° =45°. AB∥CD,GM∥AD 3.解：如图，以点M为圆心，BN的长 ∴.四边形AMGD是平行四边形 为半径画弧，以点A为圆心，BC ∠BAD=90°， 的长为半径画弧，两弧交于点E, ∴.四边形AMGD是矩形. 连接AE,ME,BE. ∴.MG=AD.∴.MG=AB. ,·AF⊥EG, ∴.∠AEH+∠EAH=90°. ∠EAH+∠AFB=90°， ∴.∠AEH=∠AFB. 在△GME和△ABF中， 依题意，得ME=NB,AE=CB. r∠GEM=∠AFB, 在△AME和△CVB中， ∠EMG=∠B, rAE=CB, LMG BA, ME=NB, ∴.△GME≌△ABF(AAS). LAM=CN, ∴.AF=EG .'.△AME≌△CNB(SSS). (2)解：如图，过点F作FP∥EG, ∴.∠MAE=∠NCB. FP=EG,连接GP,AP,则四边形 :△ABC为等边三角形，D是BC EFPG是平行四边形， 的中点， .GP =EF. .AD平分∠BAC, .·AG+GP≥AP ∠BAC=∠NCB=60° .当A,G,P三点共线时， ∠BMD=7∠BAC=30, AG+EF=AG+GP最小， 最小值为线段AP的长 ∠MAE=∠NCB=60° AF⊥EG,FP∥EG,∴.FP⊥AF. ∴.∠BAE=∠BAD+∠MAE 在Rt△ABF中，由勾股定理，得 =30°+60°=90°. AF=√AB+BF2=√62+2 ·.:ME=NB, =2√/10. ∴.BM+BN=BM+ME. AF EG,EG=FP, 由三角形三边关系，可得 .FP=AF=2√10. BM+ME≥BE, 在Rt△AFP中，由勾股定理，得 .当B,M,E三点共线时， AP=√AF2+FP2=45, BM+BN有最小值. 在等边△ABC中， .AG+EF的最小值为4√5. AE =CB=AB=2, 专题十二分类讨论思想 在Rt△BAE中，∠BAE=90°， 1.解：当m=0时，函数的图象是一 BE=√AB2+AE=√22+2 条直线y=-x+1,它与x轴、y轴 各有一个交点，与坐标轴只有两 =2√2， 个交点； 即BM+BN的最小值为2√2. 当m≠0，△=b2-4ac=0时， 4.(1)证明：如图，过点G作GM∥ 即(3m+1)2-4m(2m+1)=0, AD交AB于点M, ∴.m2+2m+1=0, XTPZK GZSX88分层作业本参考答案