6.专题六 “将军饮马”模型 （课堂本）-【中考专项新突破】2025年广州中考数学复习

专题六“将军饮马”模型 知识结构 常见模型 (1)PA+PB最小 (2)PA+PB最小 (3)|PA-PB最大 (4)PA-PB最大 D P A OM p C F'p D 0月KB (5)△PCD周长最小 (6)四边形PQCD周长最小 (7)QH LOB,PQ+QH最小 C 定点A. M M 定点AA (河 O NC B W P M 'D' B定点 PQ定长 B定点 (8)CP+PQ+QD最小 (9)AM+MN+NB最小 (10)AP+PQ+QB最小 基础强化 1.点A,B均在面积为1的小正方形组成的网2.(2023·花都区模拟)如图，在△ABC中，D是 格的格点上，建立平面直角坐标系如图 边BC上一点，DC=5BD=5,且△ADC的面积 所示. 为10，则△ABC周长的最小值是 （) (1)若P是x轴上使得|PA-PB的值最大的 点，则点P的坐标为 (2)若P是x轴上使得PA+ B D PB的值最小的点，则点 A.10 B.12C.14 D.16 P的坐标为 重点类型 类型工一个动点 类型2双动点 3.如图，在扇形B0C中，∠B0C=60°，OD平分4.如图，∠A0B=30°，M,N分别是射线OA,0B ∠BOC交BC于点D,E为半径OB上一动点， 上的动点，P为∠AOB内一点，且OP=8,则 若OB=2,则阴影部分的周长的最小值 △PMW的周长的最小值为 为 60o 192阅盟学堂ZKSX 类型3将军饮马模型 ! 类型④三连线 5.如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD=60°，7.如图，C,D分别是∠AOB两边OA,OB上的 点E,F在对角线AC上 定点，∠A0B=20°，0C=OD=4,E,F分别是 (点E在点F的左侧)，且 边OB,OA上的动点，则CE+EF+FD的最 EF=1,则DE+BF的最 小值是 小值为 6.如图，在矩形ABCD中，AD=4,AB=8,E,F 是边CD上的动点（点F在点E的右侧），且 EF=2,则四边形ABFE的周长的最小值 为 类型5垂线段 类型⑥三动点 8.如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平9.如图，在△ABC中，AB=42,∠A=60°， 分线交DC于点E,若P,Q分别是AD和AE ∠B=45°，D,E,F分别为AB,BC,AC上的动 上的动点，求DQ+PQ的最小值. 点，求△DEF周长的最小值 阅盟学堂ZKSX193 实战中考 10.(2024·泸州)如图，在边长为6的正方形ABCD中，E,F分别是边AB,BC上的动点，且满足 AB=BF,AF与DE相交于点0，M是DF的中点，G是边AB上的点，AG=2CB,则0M+FC的 最小值是 () D G A.4 B.5 C.8 D.10 11.（三动点模型)如图，AB,AC,BC是某新区的三条规划路，其中AB=6km,AC=3km,∠BAC= 60°，BC所对的圆心角为60°.现计划在BC路边建物资总站点P,在AB,AC路边分别建物资分站 点E,F,即分别在BC,线段AB和AC上选取点P,E,F.由于总站工作人员每天要将物资在各物 资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE,EF和 FP.显然，为了快捷环保和节约成本，就要使线段PE,EF,FP之和最短（各物资站点与所在道 路之间的距离、路宽均忽略不计).可求得△PEF周长的最小值为 km. 194阅盟学堂ZKSX设AP=a,则PD=DQ=1-a, 四边形ABCD为正方形， QC=QF=a,PQ=2a, ∴.∠DAB=∠ABC=∠BCD= 在Rt△PDQ中，cos∠QPD= PD ∠ADC=90°，AB=AD. PO' ∴.∠ABG=90 号器 在△ABG和△ADF中， rAB=AD, 解得a=√2-1. ∠ABG=∠ADF, 由∠D,PQ=∠DPQ=45°，得 BG=DF, D1P⊥AD. .∴.△ABG≌△ADF(SAS). △DD1A是等腰直角三角形， .∠BAG=∠DAF,BG=DF,AG=AF ·AP=PD=2,故不符合题意， .:∠EAF=45°， ∴.∠DAF+∠BAE=∠BAG+∠BAE 应舍去 =∠EAG=45°. 综上所述，PQ的值为名 .∠EAF=∠EAG. 在△AEG和△AEF中， (3)证明：如图2，连接BD,BF, rAG=AF, D ∠EAG=∠EAF, LAE =AE, .△AEG≌△AEF(SAS). ∴.EG=EF BE=2,DF=3, 图2 .EF =EG=BG+BE DF +BE ,四边形ABCD是正方形， =5. ∴.∠BAE=∠BDQ=∠ABD=45. (2):四边形ABCD是边长为6 由切线长定理可知 的正方形， ∠PBA=∠PBF,∠QBC=∠QBF, .BC=CD=6. ∠P8Q=7∠ABC=45 设DF=x,则CF=6-x, 由(1)知，EF=DF+BE, .∠ABE=∠DBQ. BE=2, .△BAE∽△BDO. .CE BC-BE =4,EF=2+x. BAAE BD=DQ 在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2, .42+(6-x)2=(2+x)2, .·cos∠ABD= BA2 解得x=3. DB .DF=3. AB=马D0. (3)BN+DM=MN2,证明如下： 2 如图2，延长CB至点G,使BG= 又：cos L BAC=4B=2 DF,连接AG,在AG上截取AH= AC=2, AM,连接HN,BH, .AC =2AB =2CD .CE-AE =(AC-AE)-AE =AC-2AE =20-2×号0 =2CQ. 图2 9.解：(1)如图1，延长CB至点G, 由(1)知，∠BAG=∠DAF, 使BG=DF,连接AG, ∠EAG=∠EAF=45°， ·四边形ABCD为正方形， ∴.AB=AD,∠ADB=∠ABD=45° 在△ABH和△ADM中， rAH AM, B ∠BAH=∠DAM, 图1 LAB=AD, 阅盟学堂XTPZK GZSX45课堂本参考答案 ,.△ABH≌△ADM(SAS). .BH=DM,∠ABH=∠ADM=45°， .∠HBN=∠ABH+∠ABN=90°. 在△AHN和△AMN中， AH AM, ∠NAH=∠NAM, LAN=AN, ∴.△AHN≌△AMW(SAS). .NH =MN. 在Rt△BHN中，BW2+Bf=NH, .BN2 DM2 MNP. 专题六将军饮马模型 1.(1)(4,0) 2(等) 2.D3.22+T4.85.√10 3 6.207.4 8.解：如图，过点D作DD'⊥AE于 点F,交AC于点D',再过点D'作 D'P'⊥AD于点P', P DD'⊥AE, .∠AFD=∠AFD'. AE平分∠DAC, ∴.∠DAE=∠CAE. 又：AF=AF, ∴.△DAF≌△D'AF(ASA). ∴.D'是点D关于AE的对称点， AD'=AD=4. .D'P'即为DQ+PQ的最小值. :四边形ABCD是正方形， .∠DAD'=45. .'AP'=P'D'. ∴.△AD'P'为等腰直角三角形 又AD'=4, .P'D'=22, 即DQ+PQ的最小值为22. 9.解：如图，作点F关于AB,BC的 对称点F',F",连接BF,BF",BF, FE, B 由对称性质可得 P'A=AP"=PA=(37-33)km CADEF=DE+DF+EF .∠AP'E=∠AP"F=30. =DE +DF EF", ·.·P'P"=2PA·cos∠AP'E=√J3PA .当F,D,E,F"四点共线时， =(3√/2i-9)(km), CADEF FF". ∴.△PEF周长的最小值为 ∠ABC=45°， ∴.∠FBF"=90° (3√/21-9)km. △BFF"是等腰直角三角形. 故答案为(3/21-9) 当BF最小时，FF"最小，此时 专题七隐圆与四点共圆 BF⊥AC. ∠A=60°，AB=4√2， 1.v vV 2G 3.5 ∴.BF=26. 4.65.7-26.5-1 CADER FFW=4 7.解：∠ADE=∠ABE=90°， A,D,B,E四点共圆，AE为四点 即△DEF周长的最小值为43. 所在圆的直径， 10.B 又：△ABC为等腰直角三角形， 11.解：如图，假设点P即为所求，分 .∠AED=∠ABD=45° 别作点P关于AB,AC的对称点 ∴.△DAE为等腰直角三角形 P',P",连接P'P",分别交AB,AC 于点E,F,连接PA,PA,PE,PF, ∴.AE=2AD=2√2. 8.解：如图，连接BD, P D AD∥BC, ∴.∠ADC=180°-∠C=135°. 又∠ABE=45°， ∴.∠ABE+∠ADE=180° 由对称性可知， ∴A,D,E,B四点共圆. PE +EF +PF P'E +EF FP" 又AB=AE, =P'p", ∴.△ABE是等腰直角三角形 且点P',E,F,P在一条直线上， ∴.∠ADB=∠AEB=45°=∠C. .P'p"即为最短距离，其长度取 ∠BAD+∠BED=180°， 决于PA的长度 ∠BEC+∠BED=180°， 如图，连接BC,作出BC的圆心 ∴.∠BAD=∠BEC. .:.△ABD∽△EBC 0,连接A0,与BC交于点P,点 AD AB2 P即为使PA最短的点， EC EB 2 AB=6 km,AC=3 km, ∴.CE=√2AD=150W2(米). ∠BAC=60°， 9.证明：(1)：FG⊥AF, ∴.△ABC是直角三角形， ∴.∠AFG=90° ∠ABC=30°，BC=3√5km 四边形ABCD是正方形， :BC所对的圆心角为60°， .∠ABC=90°，∠DBC=45° .△OBC是等边三角形， A,B,G,F四点共圆. ∠CB0=60°，B0=BC=3√3km. .∠AB0=90° .A0=√AB+B0=3√7(km). .PA=(3√万-33)km .∠P'AE=∠EAP,LPAF=∠FAP B .∴.∠EAG=∠DBC=45° .∠P'AP"=2∠BAC=120°， 阅盟学堂XTPZK GZSX46课堂本参考答案 ∴.△AFG是等腰直角三角形， (2).∠EAG=45 .四边形ABCD是正方形 ∴.∠EAG=∠DBC=∠ABD=45. A,B,G,F四点共圆. ∴.∠AGF=∠ABD=45 .∴.∠AFG=180°-45°-45°=90. .FG⊥AF 10.2m+211.22+122-1 12.(1)证明：.四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠ABC=90. ∠ABE=15°， ∴.∠EBC=75° :BF,BC关于BE对称， .BF=BC,∠FBE=∠EBC=75. .BF=BC=BA, ∠FBA=∠FBE-∠ABE=60° ∴.△ABF为等边三角形 (2)解：①△BGF能为等腰三角形. 点E不与点A,D重合， .只能FG=BG. .∠F=∠BAF=∠FBG, .△BAFM△GBF. 设∠FGB=a,LGFB=B. 在△BAF中，a+2B=180°. 由∠GBC=∠GBF,得 a+90°-B=B. 由a+28=180, l+90°-B=B, 解得a=45, lB=67.5. ∴.∠ABE=90°-67.5°=22.5°. ②如图，作BM⊥AF于点M,连接 CG,作BN⊥CG于点N, .∠FMB=∠CNB,∠F=∠BCN, FB=CB, ∴.△FMB≌△CNB(AAS). 又，BF=BA, .∠FBM=∠ABM=∠CBN. .∴.∠MBN=∠ABM+∠ABW =∠CBN+∠ABN =90°. ∴.∠AGC=90°. .A,B,C,D,G五点共圆. .·△GBF≌△GBC, ∴.当G为AD的中点时，边BC上